第一章 緒論
第四節 研究限制
研究者在教學上針對學生較學習困難的部分提出不同的教學法，故僅以研究者 的教學班級學童為研究對象實施圖示表徵教學法，並以研究者自編的「乘除兩步驟 併式紀錄問題解題測驗」，瞭解學生的解題表現及進步情形。由於施測對象及使用 的版本不同，因此，本研究的研究僅做為教學上的改進，結果無法過度推論至其他 地區的學生。
第二章 文獻探討
本研究主要探討圖示表徵教學對於國小四年級學童使用括號併式記錄乘除 兩步驟問題的影響。本章共分為三大部分：第一節探討乘除兩步驟問題；第二節 探討圖示表徵教學的相關研究；第三節探討ACT-R 理論的生成規則。
第一節 乘除兩步驟問題
數學應用問題旨在提供學童學習數學運算符號及將運算能力使用於生活 情境中。而教材中通常以數學應用問題作為概念學習的開始，從佈題到解題，
最後引出數學概念，所以，應用問題是數學運算符號學習的主要呈現方式。
若將數學應用問題依照運算步驟的次數來區分，則可以將數學應用問題區 分為「單步驟問題」、「兩步驟問題」及「多步驟問題」等三類。而教學順序 也由從單步驟問題開始，慢慢接觸兩步驟問題，進而學會解決多步驟問題。蔣 治邦（民82）認為解決多步驟問題（包含兩步驟問題）比單步驟問題困難許多。
探究原因，可以發現較多的運算次數才能解決多步驟問題（包含兩步驟問題），
這使得問題敘述會比單步驟問題繁瑣的多；而繁瑣的敘述會讓學童在理解題意 上時常出現問題，這也就是為何閱讀能力會影響數學解題能力。但多步驟問題
（包含兩步驟問題）在數學課程上的運用非常多，舉凡長度、面積、體積、容 積、重量、時間、速率……等問題皆會依題目的難易進行兩步驟以上的解題。
由此可知，解決多步驟問題（包含兩步驟問題）是學童應具備的基本能力。
本節將依本研究的研究內容進行「乘除兩步驟問題」的探討。首先針對乘 除法問題進行探討，再針對兩步驟問題（包含併式記錄）的學習進行探討，最 後探討與乘除兩步驟併式記錄學習相關的教材內容。
一、乘除法的學習
乘除兩步驟問題是建立在乘除單步驟問題的基礎上，也就是學童必須有乘法 與除法概念，才能進一步學習乘除兩步驟問題。乘法與除法和加、減法ㄧ樣，時 常被運用於解決生活問題中，例如：買物品時，計算相同物的總金額或計算相同 物的平均單價。甯自強（民82a)將加、減、乘、除的運算區分為「加、減法運思」
及「乘、除法運思」兩類，並對此兩類運算法做進一步的解釋。甯自強認為加、
減法運思是解決量的「分解」、「合成」及「比較」；而乘、除法的運思是解決
「單位量」間的變換問題。也就是，加、減法問題不涉及單位轉換問題，加、減 法解決的是同單位的問題；而乘、除法問題為不同單位間變換的問題。由此也可 以看出乘、除法問題較加、減法問題困難。
Greer（1992)認為加、減法問題只是單一向度問題（如分解、合成及比較問 題），而乘、除法問題則為複雜的多向度問題，這也代表乘、除法問題比加減問 題困難。Greer 進一步將複雜的多向度乘、除法問題分為以下四類型：
(一)等值群組(包含群組及比例)
等值群組問題中所包含「群組大小」、「群組數量」及「總數」等三個數值，
這三個數值都可能為未知數。依「總數」是已知或未知，將等值群組區分為乘法及 除法問題。如：總數未知，則群組大小和群組數量已知，這屬於乘法問題；總數確 定，此時組數或群組大小未知，則屬於除法問題。
除法問題又分為「群組大小」未知或「群組數量」未知二種。若群組大小未知，
則將總數平分給每一組，就可以計算出每一組的大小，此為等分除問題；若群組數 量未知，此時群組大小已知，則可以利用重複減法來找出組數，此為包含除問題。
乘法問題、等分除問題及包含除問題普遍存在於現行有關乘除問題之國小課程 內容中。常見的乘法問題，如「每人有6枝鉛筆，5個人共有幾枝鉛筆？」；等分除 問題，如「把30枝鉛筆平分給5人，全部分完，每人可得到幾枝鉛筆？」；包含除
問題，如「將30枝鉛筆分給小朋友，每人分得6枝，全部分完，可以分給幾人？」
(二)倍數比較
倍數比較問題包含「大數」、「小數」和「倍」等三個數，這三個數均可能未 知。倍數比較問題就是在求大數是小數的幾倍問題，若大數未知，則為乘法問題，
如「小美有 6 枝鉛筆，小偉的鉛筆是小美的 5 倍，問小偉有多少枝鉛筆？」；若 小數未知，則為等分除問題，如「小偉的鉛筆是小美的 5 倍，小偉有 30 枝，小 美有多少枝鉛筆？」若幾倍未知，則為包含除問題，如「小偉有 30 枝鉛筆，小 美有6 枝鉛筆，小偉的鉛筆是小美的幾倍？」
(三)組合(笛卡爾積)
組合問題是一集合中任一元素與另一集合中任一元素進行一對一配對組合 問題。如「小美有6 件不同的襯衫及 5 件不同顏色的裙子，共可搭配幾套衣服？」， 此為組合數未知問題。或「小美的襯衫及裙子共可搭配30 套外出服，若小美有 6 件襯衫（或裙子），則裙子（或襯衫）有幾件？」，此為任一集合中元素個數未知 問題。
(四)面積問題
矩形面積問題是指由兩個相同長度單位形成一個新的面積單位。如長方形的 長和寬單位為公分，則面積單位為公分公分的乘積則為平方公分；若長方形的長 和寬單位為公尺，面積單位則為平方公尺。
矩形面積問題只有面積未知或矩形某一邊長未知兩種題型。面積未知問題，
如「長為 6 公分，寛為 5 公分，求長方形的面積為多少平方公分？」；邊長未知 問題，如「長方形的面積為30 平方公分，長為 6 公分，求寛是多少公分？」
甯自強(民82a)認為「乘法問題」是將高階單位量轉化成低階單位量的問題；
而「除法問題」是將低階單位量轉化成高階單位量的問題。進一步區分除法問題，
除法問題包含「等分除」問題與「包含除」問題。「等分除」問題具有平分的意
但是不知道組數，以重複減法算出，所以稱為「包含除」。所以，「等分除」問 題是新高階單位量未知的問題；而「包含除」問題是新高階單位數未知的問題（甯 自強，民82c)。現行國小數學教材大多以單位量轉換的觀點來解決乘、除法問題，
就如陳鉪逸等人（民99）也指出國小課程都是透過單位量轉換的觀點來處理乘、
除法問題；換句話說，乘、除法是用來解決單位量變換的問題（甯自強，民82a)。
若以單位量轉換觀點來看待乘、除法問題，乘、除法問題就有更簡單的分類了。
如甯自強（民82c)以單位量轉換活動為觀點，將乘、除法問題分為以下三類：
(一)乘法問題
乘法問題，如「一打鉛筆有12枝，4打鉛筆共有幾枝鉛筆？」問題中鉛筆的 總量本來是以「打」為單位來描述，共有4打，現在要以「枝」為單位來重新描 述總量；也就是將單位量由「打」轉換為「枝」，以重新描述總量。
(二)包含除問題
包含除問題，如「老師有48枝鉛筆，把12枝鉛筆裝成一盒，全部裝完，可以 裝成幾盒？」 問題中鉛筆原本是以「枝」為單位來描述總量，後來改以「盒」
為單位，重新描述總量，也就是求單位量為「12」時，新的單位數為何。
(三)等分除問題
等分除問題，如「老師有48枝鉛筆，想要平分成4盒，問一盒有幾枝？」鉛 筆原本是以「枝」為單位來描述總量，共有48枝鉛筆，後來改以「盒」為單位，
重新描述總量，也就是求單位數為4袋時，新的單位量為何。
中小學數學科教材教法一書提到等值群組與倍數比較問題在國小是比較普 遍遇到的問題，可以將乘、除法問題看成如圖 2-1-1 的結構圖，結構圖中有三個 數值，包含「單位數」、「單位量」和「全體」（或積），任一個數值都可能是 未知，教師可以教導學童牢記結構圖中的結構，以清楚分析出哪些數是已知，哪 些是未知（John A. Van De Walle,2001；張英傑與周菊美譯，民 94，第七章）。
如此，可以避免學童將乘法算式寫成除法算式，除法算式寫成乘法算式的錯誤發
二、兩步驟問題（包含併式）的學習
所謂的兩步驟問題，是指必須使用兩次運算才能解決的一個問題（甯自強，
民82b)。解決兩步驟問題時，必須將一個問題分解為兩個子問題，並由題意決定
「先算什麼？後算什麼？」，再將這兩個運算用併式的方式記錄下來，成為兩步 驟併式記錄。兩步驟問題中的兩個運算不是各別獨立的，而是有關係的（朱建 正 ，民 96），因此才能列出併式記錄。兩步驟問題包含加、減、乘、除四種的 不同運算，並依據「先算什麼？後算什麼？」的運算次序來決定括號在前（可省 略）或括號在後的併式記錄，所以兩步驟問題有非常多種不同的併式記錄類型。
國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要中，將兩步驟問題分成分為「加 減併式」、「乘除併式」與「加減乘除混合併式」等三大類型；其中「加減併式」，
在一年級教材就已出現，也就是分年細目1-n-06「能作一位數之連加、連減與加 減混合計算」。而「乘除併式」與「加減乘除混合併式」到四年級才會出現，但 四年級教材中卻將「加減併式」與「乘除併式」放在同一單元，在經驗及困難度 比較之下，「乘除併式」問題相對困難很多。
Hocever 與 Zarnegar (1987)在兩步驟問題研究中發現，學童在解決兩步驟問 題時，最困難的部分是列出第一步驟算式；而困難的原因是字詞概念及語意結構 的不理解(Hocever＆Zarnegar 1987)。也就是說，若對整體題意不瞭解，第一步驟 是很難列出的，因為兩步驟問題中的兩個運算是有關係的；所以解題時應要先對 整體題意有所理解，才可以進行推理、運算。國立編譯館八十二年版開始引入兩
Hocever 與 Zarnegar (1987)在兩步驟問題研究中發現，學童在解決兩步驟問 題時，最困難的部分是列出第一步驟算式；而困難的原因是字詞概念及語意結構 的不理解(Hocever＆Zarnegar 1987)。也就是說，若對整體題意不瞭解，第一步驟 是很難列出的，因為兩步驟問題中的兩個運算是有關係的；所以解題時應要先對 整體題意有所理解，才可以進行推理、運算。國立編譯館八十二年版開始引入兩