第三章 土木結構之 DLV 損傷探測分析
3.6 不足觀測條件下之結構損傷探測
3.6.3 基於正交性之模態重建理論
前述方法，在不足觀測條件下，僅適用於破壞樓層與觀測樓層共層
（co-located observation）之情況。為克服前述困難，本節將應用模態向量 之正交性，重建結構系統之模態矩陣，再由自然頻率、阻尼比與模態之關 係式求得阻尼矩陣與勁度矩陣，繼而根據式(3.13a)建立連續時間之系統矩 陣，作為狀態空間 DLV 法評估破壞樓層與觀測樓層非共層（not co-located observation）之分析基礎。
茲考慮一 n 個自由度之結構系統，其質量矩陣 M 與模態矩陣 Φ 分別 表示如下:
樓層）未作觀測，則對應於n 個模態向量之未知分量共有n(nm)個，因此
容許觀測不足度（allowable degree of insufficient observation）之上限為小 於或等於(n1)/2之整數值。
多僅能允許兩個樓層不作振動反應監測，亦即為本節 Case.3 缺少二樓及四
0
為系統之最佳解。
茲歸納分析步驟如下：
Step.1：假設 ( )
4 1
1 , 1 1 , 3 1
, 1 1 ,
2
為係數2,1之掃描搜尋起點。
Step.2：假設 ( )
4 1
1 , 3 1 , 5 1
, 3 1 ,
4
為係數4,1之掃描搜尋起點，並將2,1及
4,1代入式(3.68a) ~式(3.68d)，且在固定係數2,1之情況下，針對係
數4,1進行逐步掃描搜尋計算。
Step.3：利用式(3.68a)~式(3.68h)聯立求得參數2,1及4,1，並於(3.70)計算出
相對應之誤差函數e值。
Step.4：固定係數4,1之情況下，針對係數2,1進行逐步掃描搜尋計算。重複
Step.2 與 Step.4 直到完成設定之掃描迴圈數為止。
本文分析時，採用 MATLAB®軟體中之 solve 指令作為求解模態正交 關係之非線性聯立方程組之工具，由於此聯立方程組並非唯一解，須考量 各模態向量所對應的自由度相位趨勢（in-phase or out-of-phase）來判別，
以得到合理之結果。
A.受損層勁度折減 10%
以 Case.3 針對一、三及五樓等部分樓層進行觀測為例，應用模態向量 之正交性，重建出缺少二樓及四樓點之模態分量，據以應用狀態空間 DLV 法進行損傷探測分析。各案例之分析結果歸納於表 3.17、表 3.18 及圖 3.25、
圖 3.26，假設受損樓層之勁度折減 10%，茲分述如下：
(a)特徵分析之損傷探測
表 3.17 及圖 3.25 之結果顯示，當單一樓層破壞時，於四樓或五樓發 生破壞之案例，可準確偵測出受損樓層，其餘案例均無法以 PD 指標偵測 出受損樓層。其中，一樓、二樓及三樓破壞之案例，乃以第一組破壞定位 向量分析之結果。
當複數樓層破壞時，於一樓及五樓發生破壞之案例，可準確偵測出受 損樓層；於三樓及五樓發生破壞之案例，則只偵測出五樓受損，與假設之 破壞條件未盡相符。其中，三樓及五樓破壞之案例，乃以第一組破壞定位 向量分析之結果。
(b)系統識別之損傷探測
表 3.18 及圖 3.26 之結果顯示，當單一樓層破壞時，於四樓或五樓發 生破壞之案例，可準確偵測出受損樓層，其餘案例均無法以 PD 指標偵測 出受損樓層。其中，一樓、二樓及三樓破壞之案例，乃以第一組破壞定位 向量分析之結果。
當複數樓層破壞時，於一樓及五樓發生破壞之案例，可準確偵測出受 損樓層；於三樓及五樓發生破壞之案例，則只偵測出五樓受損，與假設之 破壞條件未盡相符。其中，三樓及五樓破壞之案例，乃以第一組破壞定位 向量分析之結果。
B.受損層勁度折減 40%
若考慮將受損樓層之折減勁度放大為 40%，其分析結果歸納於表 3.19、表 3.20 及圖 3.27、圖 3.28，茲分述如下：
(a)特徵分析之損傷探測
表 3.19 及圖 3.27 之結果顯示，各案例無論結構受損樓層為單一樓層
或複數樓層，均可準確偵測出受損樓層及求得定位破壞向量。其中，一樓 發生破壞之案例，一樓之 WSIj值相對較小但略大於 PD 之篩選標準，惟仍 將其視為破壞樓層。
(b)系統識別之損傷探測
表 3.20 及圖 3.28 之結果顯示，各案例無論結構受損樓層為單一樓層 或複數樓層，均可準確偵測出受損樓層及求得定位破壞向量。其中，一樓 發生破壞之案例，一樓之 WSIj值相對較小但略大於 PD 之篩選標準，惟仍 將其視為破壞樓層。
由上述之分析結果可知，欲以模態正交性重建系統各模態向量，其各 模態向量之未知分量數目，不得大於由各模態向量建立之正交方程式，且 結構系統之質量矩陣必須為已知參數，於此兩條件下，方有機會利用模態 正交關係求出未知之模態分量。
此外，若各模態向量之未知分量呈兩兩相乘之型式，將使得模態正交 方程式為非線性聯立方程組，造成其解並非唯一，故須考量各模態向量所 對應的自由度相位趨勢來判別。以健康結構根據特徵分析之重建結果為例
（圖 3.29），第二模態之振形除了基礎點外只應該有一個節點；第三模態 會有兩個節點；第四模態有三個節點;第五模態則有四個節點。其中，第二 組解之第二、三及五模態振形不符合上述規則，而第一組解則符合上述規 則為合理之結果，據以為狀態空間 DLV 法之分析基礎。
在 Case.3 不足觀測條件下，應用模態重建理論進行狀態空間 DLV 法 之分析結果，由於受到在求解非線性聯立方程組過程中，需先合理假設第 一模態之未知分量範圍，以及並未利用到第三模態向量及第四模態向量與 第五模態向量間之正交關係方程式等影響，將造成其損傷探測結果之正確
性下降。而此影響於輕微受損之案例中較為顯著，使得部分案例無法定位 出實際受損樓層；於受損程度較大之案例中，則均可準確偵測出受損樓層。
綜合以上所述，本節所提出之兩種於不足觀測條件下，狀態空間 DLV 法之分析方法（未以正交性重建模態及以正交性重建模態），各有其優劣 之處，茲分述如下：
●第一種方法：（未以正交性重建模態）
․優：可直接應用識別結果進行損傷探測分析，當受損樓層有觀測時 （co-located observation），於輕微受損(10 %)之情況下，即可
準確定位出受損樓層。
․缺：受損樓層未觀測時（not co-located observation），則無法定位 出實際受損樓層。
●第二種方法：（以正交性重建模態）
․優：不論受損樓層是否有觀測，於受損程度較大(40 %)之情況下，
均可準確定位受損樓層。
․缺：觀測點之數目受限於模態正交方程式之多寡，以及結構系統之 質量矩陣必須為已知參數。惟此兩個條件，於實際應用上較難 以準確掌握（如某些模態未被激發或活載重之影響）。
因此，根據實務應用面之考量，吾人建議以第一種方法作為主要判斷 之依據，若在求解條件允許之情況下，再輔以第二種方法，取其二者分析 果之聯集，作為二次判斷之依據，將所有偵測出之樓層均視為可能受損之 樓層。