第三章 研究方法
第三節 研究設計
本實驗教學分為2節課，共90分鐘的教學，分在兩天進行，而每節均各自再 分為兩部分，其教學內容與測驗的整個過程時間分配如圖3-2所示，且三A及三B 的各項教學內容及測驗時間的分配均同。
第一天先以15分鐘的時間介詔「簡易二次函數」並大略繪製其圖形，後進行 7分鐘之相關內容測驗；再以15分鐘時間作其「圖形開口、頂點及對稱軸」等的 教學，教學後亦以7分鐘測驗學生的學習狀況。
第二天則以15分鐘的時間作「簡易二次函數圖形的開口大小」之教學，在教 學後進行7分鐘的相關內容測驗；接下來再以15分鐘介詔「簡易二次函數的上下 平移」，最後以7分鐘的測驗結束之。
其中三A的教材是採激發式動態呈現教學，內容以多媒體學習理論及激發式 動態設計原則編製，其呈現時以步驟化、區塊化，按照展演者欲展演之內容呈現。
而三B的教材是採一般投影片設計之，各頁投影片內容均與三A無異，只是其一 開始所呈現在學生面前的就是整頁所有欲傳達的訊息。
變異來源 平方和 自由度 平均平方和 F p
組間 50.24 2 25.12 0.04 0.96
組內 556006.74 877 633.99 總和 556056.98 879
動態
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量（段考）成績作為分組依據，研究者取全三年級學生之第27百分位數以下為低 學習成就之學生（歸類為「低分組」，佔27%）；以第73百分位數以上為高學習 成就之學生（歸類為「高分組」，佔27%）；其餘則為中學習成就之學生（歸類 為「中分組」，佔46%）。
在設計施測題目前，先將「簡易二次函數及圖形」主題中，學習者應當學會 的各項技能（以K1，K2，…，K12表示）列出，而相關技能所代表之細目如表 3-4所示，用以對應研究者出題時所需搭配之技能選項。
表3-4 技能表
技能編號 技能內容
K1 能判斷二次函數開口方向。
K2 能判斷二次函數開口大小。
K3 能了解二次函數圖形為拋物線。
K4 能了解二次函數圖形是無限延伸的。
K5 能判斷二次函數圖形有最高點或最低點。
K6 能了解y =ax2 +k的最高點或最低點坐標為( )0,k 。 K7 能了解y =ax2 +k圖形對y軸對稱。
K8 能求出二次函數圖形與x軸的交點坐標。
K9 能求出二次函數圖形與y軸的交點坐標。
K10 能了解二次函數圖形上的點坐標即為方程式的解。
K11 能求出平面上過兩點的直線方程式。
K12 能了解y=ax2 +c與y =ax2 +d僅是圖形上下平移的結果，其 中a ≠0，c≠d 。
研究者根據此技能表，並參酌部編版數學科第五冊課本第三章、國際能力學 生評量計畫（PISA）及國際數學與科學教育成就趨勢調查（TIMSS）的出題方 式來設計相關題目予以測驗，並請兩位在不同學校任教之數學教師，其年資分別 為19年及7年，協助判斷及確認在解答各測驗題目時，所應當使用的技能是否一 致，並在不一致處進行反覆討論，進而決定其Q-矩陣（Q-matrix），如表3-5所示，
以便日後認知診斷測驗之用。
在Q-矩陣各元素中，「1」代表欲解答該題目時需具備該技能，而「0」則為 不需具備該技能。
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表3-5 後測Q-矩陣
題號 技能屬性
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 K11 K12 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 8 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 9 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 10 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 11 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 12 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 13 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 14 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 在後測結束後，研究者即進行第三次定期評量題目編製工作作為本實驗之延 後測，在決定「簡易二次函數」相關之後，立即與檢視後測內容效度之兩位數學 教師討論題目內容，亦決定欲測試題目的Q-矩陣，如表3-6所示。由雙向細目表 可知該內容在定期評量中所佔比例為8題。
表3-6 延後測Q-矩陣
題號 技能屬性
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 K11 K12 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 5 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 7 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 8 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 教學時，實驗組、對照組均為90分鐘（2節課）的課程，分為四個部分：第 一部分為概略畫出簡易二次函數圖形，第二部分為開口方向、頂點及對稱軸；第
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三部分為開口大小，第四部分為二次函數之上下平移。其中實驗組（3A班）採 用激發式動態教學之多媒體教材，而對照組（3B）則使用一般多媒體教材教學。
每一部分教學均為15分鐘，在各部分主題教學後，立即施以後測，時間為7分鐘。
後測的雙向細目表如表3-7所示，且教學過程中均以投影片教學，只在第一節課 開始時，因複習先備知識使用黑板，其餘時間均未使用板書。
表3-7 後測雙向細目表
單元 內容 概念理解 程序執行 解題思考 比例
（%） 題數 3-1 開口方向、頂
點、對稱軸 4 1 1 43 6
3-1 開口大小 1 2 2 36 5
3-1 圖形的上下
平移 0 2 1 21 3
比例
（%） 36 36 28 100
題數 5 5 4 14
後測時間為99年12月中下旬，而在100年1月中旬，本校舉行99學年度第三次 定期評量，由研究者擔任數學科出題教師，並將此次定期評量設定為延後測，將 預定施測之延後測題目編入考題中，藉以驗證實驗組學生的學習成效，施測對象 為全校國中三年級之學生。表3-8為第三次定期考查之雙向細目表：
表3-8 第三次定期考查雙向細目表
單元 內容 節數 概念理解 程序執行 解題思考 比例
（%） 題數
2-4 數學證明 6 3 3 2 32 8
3-1 二次函數
與圖形 6 4 2 2 32 8
3-2 配方法與
拋物線 8 3 4 2 36 9
比例
（%） 40 36 24 100
題數 10 9 6 25
其中，本研究內容為單元3-1的8道測驗題，並委請前述之兩位數學教師針對
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此8題進行技能確認，以便列出其Q-矩陣。
在檢視過程中，發現有道題目所需之技能（K11）內容並非此單元所欲教學 的範疇，而是在國一時就該具備之技能，但考量事後的學習診斷測驗中，也許學 生在解題過程中所遭遇的困難並不是本研究主題內容，而是先備知識的不足，因 此教師也可針對此先備知識內容施以補救教學，因而決定將此技能列入Q-矩陣 中。
另外，在後測時並無測驗第8 項技能（K8），研究者是將其與第 9 項技能 歸為一類（能求出二次函數圖形與兩軸的交點坐標），因此後測時並無K8 及 K11 兩項技能的施測與估計值；而在延後測（第三次定期評量）的部分，研究者 將技能再細分，期望能診斷出更細部之處，以了解學生所學之不足，因此將此技 能列入延後測之Q-矩陣中。
第五節 分析工具
在本研究中，後測14 題及延後測 8 題等資料的處理主要所採用之統計分析 軟體有三，分別簡述如下：
一、SPSS 統計軟體
本研究藉 SPSS 的功能統計實驗組及其他組之敘述統計量，並利用 t-考驗
（t-test）及單因子變異數分析（ANOVA），做施測後各組的平均數、技能精熟程 度及各認知能力上是否有顯著差異之檢定。
其執行畫面如圖3-3 所示，用以檢定三 A、三 B 及其他此三組的差異。本研 究所採用SPSS 統計軟體版本為 17.0 版。
圖3-3 SPSS 執行畫面
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二、Ox 參數估計軟體
de la Torre 對 G-DINA 模式的參數估計是採 EM 演算法，其程式碼是由 Doornik（2003）在 OxEdit 編輯器寫的，程式執行之後可提供各技能精熟程度的 參數估計值與答題各組型的分類情形。
其執行畫面如圖3-4 所示，並以 G-DINA 模式進行估計作業，將實驗組、對 照組及其他組各學生的技能精熟程度估計出來，以便進行更進一步的探討。
圖3-4 Ox 執行畫面
三、Tester2 軟體
由國立政治大學教育學系余民寧教授於2002 年所開發之電腦程式 Tester for Window 2.0，主要用於「注意係數」的計算，其值域為 0 至 1 之間。「注意係數」
為佐藤隆博博士（Dr. T. Sato）所發明的 S-P 表分析技術（余民寧，2002），用 以表示試題作答組型是否呈現不尋常（unusual）或異常（aberrant）。若「注意 係數」數值超過0.50，則該作答組型即為「異常」，而「注意係數」值愈大（如 超過0.75），即表示「異常」的情況愈嚴重，此時宜多加注意題目的設計方向，
故稱其為「注意係數」。
其執行畫面如圖3-5 所示，而本程式亦可計算各題之整體通過率、高分組及 低分組的通過率，並計算該題之難度及鑑別度，也可呈現各選項的選項率，從中 分析學生的錯誤類型及迷思概念。
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圖3-5 Tester2 執行畫面
所謂選項率是以全體受試學生中，每一個選項的作答人數佔總人數的百分比 比值。每一選項的選項率，可作為篩選或修改不恰當試題的依據，並可分析學生 作答情形，藉以了解學生是否有一些錯誤或迷思概念。
難度又稱「難易度」，其主要在確定每一個試題的難易度，本研究希望仿照 國中基測試題的難度，以中間偏易之題目施測；Tester2 軟體採內部一致性 (internal consistency)的方式，將受試者依總分的高低排列，再以高分組與低分組 在每一個試題的通過率，分別以PH及PL表示。依照古典試題分析理論，難度(P) 的計算方式為「P＝（PH+PL）/2」，以其表示試題的難易度(item difficulty index)。
當P值愈大，表示該試題愈容易，愈多數學生答對該試題；而P值愈小，則表示 該試題愈困難，愈少數學生答對該試題；而P值接近0.5時，則表示該試題難易度 適中，為理想的難度指數。
而鑑別度是指試題能區別受試者能力高低的程度，亦採內部一致性的方式，
將受試者依總分高低排列，再以高分組與低分組在每一個試題的通過率，分別以 PH及PL表示。鑑別度(D)的計算方式為「D＝（PH－PL）」，以其表示試題的鑑 別度( item discrimination index )。D值的值域介於-1.00到＋1.00之間，D值愈大，
表示鑑別度愈大；D值愈小，表示鑑別度愈小；D值為0，表示沒有鑑別度，可能 是因為試題太容易或太艱難，使得所有人均答對或均答錯，或是題目不清；若D 值計算出來為負數，表示低分組學生答對率高於高分組，具有反向作用，則該試 題應淘汰。其原因可能是因為能力低的學生胡亂猜測，結果碰巧猜對；能力高的 學生看不懂題目、會錯意、粗心大意。一般而言，鑑別度以0.25以上為標準，高 於0.4為優良試題。
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第四章 結果與討論
本章為研究結果與討論，共分為四小節做說明。第一節為「簡易二次函數試 題迷思概念分析」；第二節為「後測及延後測之敘述統計量」；第三節為「技能精 熟程度在簡易二次函數之分析」；第四節為「認知能力在簡易二次函數之比較」。
第一節 簡易二次函數試題分析
以下就學生在後測題目（共14 題，三 A 及三 B 兩班，共 71 人施測）及延 後測題目（共8 題，全校 25 個班，共 874 人施測）中，以 Tester2 程式逐題分析 各題通過率、難度、鑑別度；以及實驗組（三A）、對照組（三 B）與其他組（其
以下就學生在後測題目（共14 題，三 A 及三 B 兩班，共 71 人施測）及延 後測題目（共8 題，全校 25 個班，共 874 人施測）中，以 Tester2 程式逐題分析 各題通過率、難度、鑑別度；以及實驗組（三A）、對照組（三 B）與其他組（其