第四章 結果與討論
第一節 簡易二次函數試題分析
以下就學生在後測題目（共14 題，三 A 及三 B 兩班，共 71 人施測）及延 後測題目（共8 題，全校 25 個班，共 874 人施測）中，以 Tester2 程式逐題分析 各題通過率、難度、鑑別度；以及實驗組（三A）、對照組（三 B）與其他組（其 他）之高分組（高學習成就）及低分組（低學習成就）於各選項所選答的比率，
並就其錯誤類型及迷思概念作分析，亦可於日後應用於學生補救教學上，表4-1 為後測及延後測題目之敘述統計量。
表4-1 後測及延後測敘述統計量
後測 延後測
平均答對人數 52.71 592.25
受試者總數 71.00 874.00
平均答對率 0.74 0.68
問題總數 14.00 8.00
內部一致性係數 0.85 0.75
差異係數 0.49 0.35
註(1)「*」為正確選項。
註(2)「其他」為空白未填或該題畫記 2 個答案以上。
註(3)「選項率」即各選項的選答比率。
一、後測
1、下列哪一個點在二次函數y= x2 2 +6的圖形上？
(A) (1 ,－8) (B) (－1 ,－8) (C) (－2 , 14) (D) (2 ,－14)
31
三 A
選 項 A B C* D 其他
選項率 .03 .06 .86 .00 .06 通過率:85.714 高分組 .00 .00 1.00 .00 .00 難 度:0.7727 低分組 .09 .18 .55 .00 .18 鑑別度:0.4545 三 B
選 項 A B C* D 其他
選項率 .00 .11 .83 .03 .03 通過率:83.333 高分組 .00 .00 1.00 .00 .00 難 度:0.8750 低分組 .00 .17 .75 .00 .08 鑑別度:0.2500 分析：
此題所需的能力為知道將座標（a,b）以 x=a , y=b 代入檢驗y = x2 2+6等式 是否成立，如此即可求得答案。
討論：
(1)在三 A 及三 B 中，高分組均全數通過，顯示此兩份不同多媒體設計教材對高 分組學生並無任何影響；而低分組答對的比率也均超過五成，顯示此題難度 偏易，故鑑別度偏低。
(2)選 A、B、D 者應補救其負整數的平方運算及整數的加減法運算。
(3)在三 A 中，選 A 選項者比率為 0.09，三 B 中則無人選此選項，因三 A 及三 B 總人數分別為35 人及 36 人，故此即為 1 人之差距；另外低分組的答對率三 A 與三B 相差 0.20，事實上則為 2 人的差距，此為兩實驗組因人數較少所造成 的結果。
2、若二次函數的圖形通過（3 ,5）與（－3 , 5）兩點，則其對稱軸為何？
(A) y＝0 (B) x－3＝0 (C) 3x－5＝0 (D) x＝0 。
三 A
選 項 A B C D* 其他
選項率 .31 .06 .03 .60 .00 通過率:60.000 高分組 .09 .00 .00 .91 .00 難 度:0.5455 低分組 .55 .18 .09 .18 .00 鑑別度:0.7273
32
三 B
選 項 A B C D* 其他
選項率 .17 .08 .08 .64 .03 通過率:63.889 高分組 .17 .00 .00 .83 .00 難 度:0.5833 低分組 .08 .25 .25 .33 .08 鑑別度:0.5000 分析：
此題主要能力為下：
(1)知道（3 ,5）與（－3 , 5）兩點的座標位置。
(2)了解二次函數的大致圖形，並能畫出其對稱軸。
(3)必須知道 y 軸的直線方程式為 x = 0。
討論：
(1)選 A 者應知道對稱軸為 y 軸，但不知 y 軸方程式為 x = 0，尤其三 A 選 A 選項 之比率遠高過三B，且兩班的高分組均有人選擇該選項，顯示應就一年級「直 線方程式」課程加以補強。
(2)選 B、C 兩選項者應為猜測答題，因此低分組的學生集中在這兩個選項，而三 A 及三 B 高分組均無人選此兩個選項。
(3)因此題牽涉一年級直線方程式之課程，若此題將選項 A、D 直接改為 x 軸與 y 軸表示時，高分組及低分組的答對率均會增加。
3、把兩個二次函數y =3x2 與y =−3x2 的圖形畫在同一坐標平面上，將之看成 一個圖形時，則此圖形的對稱軸為下列何者？
(Ａ) x 軸 (Ｂ) y 軸
(Ｃ) x 軸及 y 軸皆是 (Ｄ) x＝3。
三 A
選 項 A B C* D 其他
選項率 .20 .09 .69 .03 .00 通過率:68.571 高分組 .09 .00 .91 .00 .00 難 度:0.6818 低分組 .18 .27 .45 .09 .00 鑑別度:0.4545 三 B
選 項 A B C* D 其他
選項率 .17 .17 .61 .03 .03 通過率:61.111 高分組 .00 .00 1.00 .00 .00 難 度:0.6667 低分組 .25 .25 .33 .08 .08 鑑別度:0.6667 分析：
33
此題所需能力為下：
(1)知道二次函數圖形開口方向。
(2)知道二次函數圖形開口大小。
(3)知道二次函數圖形頂點位置。
(4)須會繪製y=3x2、y=−3x2之圖形。
(5)須了解「對稱軸」的意義。
討論：
(1)三 A 高分組選擇 A 選項比率為 0.09（1 人），三 B 高分組則沒有人選；而低 分組兩班選A 選項比率分別為 0.18 及 0.25，顯示選擇此選項者應是寫太快，
而忽略了後面尚有合理的選項。
(2)選 B 選項者之兩組高分組並無人選擇，但低分組的學生選擇該選項的比率為 0.27 及 0.25，顯示兩種教材均有其不足之處。推測若將 C 選項與 A 選項調換 順序，則通過率會更高。
(3)選 D 者兩班則均各為 1 人，推測應為學生猜題結果。
4、若y=ax2圖形有最高點，則 a 有何限制？
(Ａ) a ≥0 (Ｂ) a <0 (Ｃ) a >0 (Ｄ) a ≠0。 三 A
選 項 A B* C D 其他
選項率 .06 .83 .11 .00 .00 通過率:82.857 高分組 .00 1.00 .00 .00 .00 難 度:0.7273 低分組 .18 .45 .36 .00 .00 鑑別度:0.5455 三 B
選 項 A B* C D 其他
選項率 .06 .67 .06 .19 .03 通過率:66.667 高分組 .00 .92 .00 .08 .00 難 度:0.5417 低分組 .17 .17 .17 .42 .08 鑑別度:0.7500 分析：
此題主要能力為知道如何判斷二次函數開口方向即可。
討論：
(1)三 A 高分組全數答對此題，而低分組也達 0.45 比率答對；反觀三 B 高分組有 一人未答對，而低分組答對比率也偏低；顯示激發式動態教學在此相關題型上 俱有優勢。
(2)三 A 高、低分組均無人選 D 選項，而三 B 高分組有一人選擇了 D 選項，低分
34
組則有相當的比例選了D 選項，顯示一般傳統多媒體教學對二次函數開口方 向的展演較激發式動態教學要差。
(3)綜合兩班通過率來看是有些差距，因此在此種題型上，使用 AMA 設計教材更 能達到教學成效。
5、下列哪一個二次函數的圖形開口最大？
(A) y =25x2 (B) y =27x2 (C) y =−23x2 (D) y =−24x2 。 三 A
選 項 A B C* D 其他
選項率 .03 .23 .74 .00 .00 通過率:74.286 高分組 .00 .09 .91 .00 .00 難 度:0.6818 低分組 .09 .45 .45 .00 .00 鑑別度:0.4545 三 B
選 項 A B C* D 其他
選項率 .06 .11 .78 .06 .00 通過率:77.778 高分組 .00 .00 1.00 .00 .00 難 度:0.7083 低分組 .17 .25 .42 .17 .00 鑑別度:0.5833 分析：
此題須知道如何判斷二次函數開口大小。
討論：
(1)此題通過率兩班實差不多，不過三A無論高分組或低分組選A選項的比率均較 三B來的高，顯示在二次函數開口大小的單元中，若所比較開口大的二次函數 中，其二次項係數為正數的話，一般多媒體教學成效反而較激發式動態教學 來的好。
(2)三A無人選D選項，而三B則有2人，或許此為學生猜測答題結果，也有可能是 一般多媒體教學在二次項係數為負數時的教學成效不如激發式動態教學。
(3)大致上，選B、D者應就二次函數圖形開口大小加強補救。
6、有四個二次函數如下：
(甲) y=5x2；(乙) y=−5x2；(丙) y =8x2；(丁) y=−8x2， 則下列何者為它們在同一坐標平面上的圖形？
(Ａ) (B) (C) (D)
35
三 A
選 項 A* B C D 其他
選項率 .74 .14 .06 .06 .00 通過率:74.286 高分組 1.00 .00 .00 .00 .00 難 度:0.6818 低分組 .36 .27 .18 .18 .00 鑑別度:0.6364 三 B
選 項 A* B C D 其他
選項率 .83 .11 .00 .06 .00 通過率:83.333 高分組 1.00 .00 .00 .00 .00 難 度:0.7500 低分組 .50 .33 .00 .17 .00 鑑別度:0.5000 分析：
此題主要能力為學習者需具備二次函數開口方向及開口大小的整合能力。
討論：
(1)三 A 及三 B 高分組在此題均全數答對，顯示此兩份不同多媒體設計教材對高 分組學生並無任何影響。
(2)三 A 及三 B 低分組有大約三成比例選擇 B 選項，顯示這兩套教材設計上對低 分組的學習者仍有盲點存在，或可在多媒體教材內多加些實例。
(3)選 C、D 者應就二次函數圖形開口方向加以補強。
(4)選 B、D 者應就二次函數圖形開口大小加以補強。
7、在坐標平面上，直線y=−3與y=−x2交於 A、 A′兩點，與y=−2x2交於 B 、 B′ 兩點，與y =−3x2的圖形交於 C 、C′ 兩點。試比較 AA ′ 、 BB ′ 、C ′C 的大 小關係為何？
(Ａ) BB ′ ＞ AA ′ ＞C ′C (Ｂ) C ′C ＞ AA ′ ＞ BB ′ (Ｃ) C ′C ＞ BB ′ ＞ AA ′ (Ｄ) A ′ ＞ BA B ′ ＞ C ′C 。 三 A
選 項 A B C D* 其他
選項率 .00 .09 .26 .66 .00 通過率:65.714 高分組 .00 .09 .09 .82 .00 難 度:0.5909 低分組 .00 .18 .45 .36 .00 鑑別度:0.4545
36
三 B
選 項 A B C D* 其他
選項率 .11 .11 .14 .64 .00 通過率:63.889 高分組 .00 .00 .08 .92 .00 難 度:0.5833 低分組 .25 .33 .17 .25 .00 鑑別度:0.6667 分析：
此題屬較難題型，學習者需具備以下能力：
(1)能將y=−x2、y =−2x2與y=−3x2大致的圖形畫在同一座標平面上。
(2)能將y=−3的圖形亦畫在同一座標平面上，如此才能得到三線段在座標平面 上的相對位置。
討論：
(1)三 A 低分組 C 選項的選項率為 0.45，而三 B 低分組則為 0.17，可見三 A 的多 媒體教材應就二次函數開口大小部分多加著墨。
(2)三 A 及三 B 高分組此題答對率均達八成以上。
(3)選 A、B 選項者應是以猜測方式答本題；但三 A 高分組有 1 人選擇了 B 選項，
有可能是因為粗心造成。
(4)選 C 選項者應就二次函數之圖形及開口大小補強。
8、以下四個二次函數中，若 x 值從 0 開始遞減，則哪一函數值最快達到 100？
(Ａ) y =2x2 (Ｂ) y =3x2
(Ｃ) 2 3 1x y = (Ｄ) y = x2。 三 A
選 項 A B* C D 其他
選項率 .03 .69 .26 .03 .00 通過率:68.571 高分組 .00 1.00 .00 .00 .00 難 度:0.6364 低分組 .09 .27 .55 .09 .00 鑑別度:0.7273 三 B
選 項 A B* C D 其他
選項率 .03 .78 .11 .08 .00 通過率:77.778 高分組 .00 1.00 .00 .00 .00 難 度:0.7917 低分組 .08 .58 .17 .17 .00 鑑別度:0.4167 分析：
37
此題學習者除了必須能繪製此四個二次函數選項的大略圖形外，還必須了解 何謂「函數值」。
討論：
(1)三 A 及三 B 高分組已全數答對，顯示此兩份不同多媒體設計教材對高分組學 生並無任何影響。
(2)三 A 低分組在 C 選項的選項率超過三 B 低分組在 C 選項的選項率的 3 倍，顯 示三A 的教材需就二次函數圖形在座標平面上的相對位置多舉一些例子，以 讓低分組學生能更加了解，並就二次函數開口大小加以補強。
(3)選 A、D 選項者應為學習者以猜測的方式答題結果。
9、若兩拋物線y=27x2 +5 及 y=−27x2 −5的頂點分別為 A、B， 則 AB ＝？
(Ａ) 10 (Ｂ) 1 (Ｃ) 5 (Ｄ) 0 三 A
選 項 A* B C D 其他
選項率 .77 .06 .09 .09 .00 通過率:77.143 高分組 1.00 .00 .00 .00 .00 難 度:0.6818 低分組 .36 .18 .18 .27 .00 鑑別度:0.6364 三 B
選 項 A* B C D 其他
選項率 .75 .06 .03 .17 .00 通過率:75.000 高分組 1.00 .00 .00 .00 .00 難 度:0.7083 低分組 .42 .17 .08 .33 .00 鑑別度:0.5833 分析：
此題學習者必須能將二次函數的頂點座標標示出來，才能算出兩頂點座標的 距離。
討論：
(1)三 A 與三 B 高分組均全數答對，顯示此兩份不同多媒體設計教材對高分組學 生並無任何影響。
(2)選 D 選項者的迷思概念為其認為拋物線y=27x2 +5 及 y =−27x2 −5的圖形 為上下對稱的線對稱圖形，且頂點在同一條水平對稱軸上，因此兩圖形頂點 為同一點，故距離為0。
(3)選 B、C 選項者應為猜測式答題結果。
38
10、已知二次函數y =ax2 +k，其中a＞0、k＜0，則下列哪一選項可能是此二次 函數圖形？
三 A
選 項 A B* C D 其他
選項率 .09 .83 .06 .03 .00 通過率:82.857 高分組 .00 1.00 .00 .00 .00 難 度:0.7727 低分組 .27 .55 .09 .09 .00 鑑別度:0.4545 三 B
選 項 A B* C D 其他
選項率 .14 .75 .03 .08 .00 通過率:75.000 高分組 .00 1.00 .00 .00 .00 難 度:0.7500 低分組 .33 .50 .00 .17 .00 鑑別度:0.5000 分析：
此題將二次函數的各項係數由數字更改為文字符號，其需具備能力為知道如 何判斷二次函數開口方向及判斷頂點座標為何。
討論：
(1)三 A 及三 B 高分組均全數答對，，顯示此兩份不同多媒體設計教材對高分組 學生並無任何影響；而低分組答對的比率也均達五成。
(2)三 A 及三 B 低分組在 A 選項上的選擇率均約三成，顯示兩份多媒體教材需針 對低分組學生就判斷「二次函數開口方向」及「頂點座標」加強。
(3)選 A、D 選項者應就二次函數圖形頂點相關觀念補強。
(4)選 C、D 選項者應就二次函數圖形開口方向的判斷補強。
11、如圖，拋物線甲的二次函數為y=ax2 +b，拋物線乙的二次函數 為y =cx2 +d ，則下列敘述何者錯誤？
(Ａ) b＝d (Ｂ) a＞0 (Ｃ) c＞0 (Ｄ) c＞a。
39
三 A
選 項 A B C D* 其他
選項率 .11 .09 .03 .77 .00 通過率:77.143 高分組 .00 .00 .00 1.00 .00 難 度:0.7727 低分組 .18 .18 .09 .55 .00 鑑別度:0.4545 三 B
選 項 A B C D* 其他
選項率 .17 .03 .08 .72 .00 通過率:72.222 高分組 .00 .00 .00 1.00 .00 難 度:0.6667 低分組 .42 .00 .25 .33 .00 鑑別度:0.6667 分析：
本題為第 10 題的延伸，將兩個由文字符號表示的二次函數圖形畫在同一座 標平面上來判斷各項係數的大小關係。所需具備的能力為：
(1)知道開口朝上為二次項係數大於 0。
(2)能判斷二次函數圖形開口大小。
(3)能知道二次函數圖形頂點座標。
討論：
(1)三 A 及三 B 的高分組均全數答對，顯示此兩份不同多媒體設計教材對高分組
(1)三 A 及三 B 的高分組均全數答對，顯示此兩份不同多媒體設計教材對高分組