多項函數

函 數 概 念 在 數 學 學 習 中 佔 有 極 重 要 的 地 位 ， 而 在 高 中 的 函 數 課 程 中 ， 多 項 函 數 是 基 本 又 重 要 的 主 題 之 一，本 節 將 分 三 方 面 來 探 討：函 數 概 念 的 相 關 研 究、

學 生 在 學 習 多 項 函 數 及 多 項 方 程 式 中 可 能 有 的 迷 思 概 念 與 學 習 困 難 、 以 及 應 用 科 技 於 多 項 函 數 及 多 項 方 程 式 的 教 學 。

一 、 函 數 概 念 的 相 關 研 究

鄭 毓 信 （ 1998） 表 示 函 數 概 念 的 歷 史 發 展 是 一 個 一 般 化 的 過 程 ， 而 這 事 實 上 就 表 明 數 學 的 研 究 不 斷 達 到 了 新 的、更 高 的 抽 象 程 度（ 如 圖 2-3-1 所 示 ），而 數 學 家 們 總 是 追 求 更 大 的 普 遍 性 。

圖 2-3-1 函 數 概 念 的 歷 史 發 展 （ 鄭 毓 信 ， 1998， 頁 17）

語 意 敘 述 等 五 種 。Even（ 1990）提 出 函 數 的 一 般 表 徵 有 式 子 和 圖 形 ，其 他 的 表 徵 有 文 氏 圖 、 表 格 、 序 對 集 合 ， 以 及 來 自 生 活 的 情 境 。 Kieran（ 1990） 原 本 將 表 徵 的 形 式 分 成 表 列 、 圖 形 、 圖 表 三 種 ； 後 來 他 把 表 徵 的 形 式 分 成 四 種 ： 情 境

（ 圖 形 或 視 覺 的 描 述 ）、表 列、圖 形、代 數 表 徵（ Kieran, 1993）。吳 玫 瑤（ 2001）

認 為 Kieran 最 後 在 1993 年 的 分 法 較 為 詳 盡 。

有 關 函 數 表 徵 的 比 較，Markovits、Eylon、 和 Bruckheimer（ 1988）指 出 學 生 在 初 期 的 學 習 中 ， 處 理 圖 形 表 徵 比 代 數 式 表 徵 容 易 ， 因 為 圖 形 是 一 種 視 覺 化 的 表 徵 ， 函 數 圖 形 的 呈 現 對 函 數 性 質 的 討 論 有 輔 助 觀 察 的 效 果 ， 不 僅 可 以 輔 助 教 師 的 教 學 ， 更 可 以 幫 助 學 習 者 的 學 習 。

Freudenthal（ 1983） 表 示 圖 形 是 提 供 函 數 視 覺 表 徵 的 重 要 工 具 ， 它 可 以 ： (1)點 態 性 閱 讀 － 例 如 透 過 坐 標 平 面 上 的 垂 直 與 水 平 線，可 以 找 出 相 對 應 的 自 變 數 與 應 變 數 之 值，必 要 時 可 在 兩 軸 上 作 調 整。(2)局 部 性 閱 讀 － 例 如 研 究 圖 形 接 近 某 個 點 的 特 性，如：極 值、遞 增 或 遞 減 等。(3)整 體 性 閱 讀 － 使 人 能 夠 一 眼 便 認 出 此 函 數 ， 並 且 尋 找 和 比 較 其 整 體 的 特 徵 。

此 外，Zaslavsky（ 1997）指 出 學 生 在 學 習 二 次 函 數 的 過 程 中，代 數 與 幾 何 圖 形 表 徵 間 成 功 的 轉 換 ， 將 是 促 進 函 數 概 念 有 效 的 學 習 策 略 。

關 於 概 念 形 成 過 程 的 層 次，Sfard（ 1991）將 概 念 形 成 的 過 程 分 成 以 下 三 個 層 次 ：

1. 內 化 （ interiorization） － 某 個 已 知 的 數 學 個 體 以 某 段 歷 程 表 現 出 來 （ 相 當 於 算 術 過 程 ）。

2. 壓 縮（ condensation）－ 將 這 個 歷 程 解 析 為 許 多 可 以 處 理 的 單 位（ 相 當 於 把 這 個 歷 程 結 構 化 與 符 號 化 ）。

3. 物 化（ reification）－ 用 新 的 觀 點 檢 視 熟 悉 的 事 物，而 且 把 這 個「 歷 程 」加 以 「 凝 固 」 成 一 個 靜 態 的 組 織 體 （ 相 當 於 永 久 成 立 的 數 學 個 體 ）。

若 將 未 達 到 內 化 層 次 的 學 生 訂 為 內 化 前 的 階 層 ， 則 學 生 的 概 念 成 長 可 分 為 四 個 層 次 ： 內 化 前 （ pre-interiorization）、 內 化 、 壓 縮 、 物 化 ， 而 且 用 這 四 個 層 次 來 描 述 概 念 的 成 長 是 足 夠 的。Sfard（ 1991）認 為 內 化、壓 縮、物 化 形 成 一 個 階 序

（ hierarchy），即 在 前 面 的 層 次 未 達 成 之 前，無 法 進 行 到 下 一 個 層 次。當 一 個 概 念 達 到 物 化 時 ， 這 個 概 念 又 可 以 當 作 一 個 物 件 來 被 操 作 ， 再 次 經 由 內 化 壓 縮 物 化 的 過 程 ， 形 成 一 個 更 高 階 的 概 念 。 如 此 一 直 螺 旋 式 循 環 上 去 ， 概 念 得 以 不 斷 的 向 上 發 展 。

楊 清 海 （ 2002） 的 研 究 中 將 比 較 內 化 、 壓 縮 、 物 化 三 個 層 次 ， 分 別 提 出 三

念 ； 2.藉 由 函 數 圖 形 的 正 例 與 非 例 ， 提 供 學 生 修 正 基 模 的 機 會 ； 3.課 本 提 供 不 同 的 函 數 表 徵 ， 幫 助 學 生 瞭 解 函 數 的 定 義 ； 4.提 供 許 多 不 同 的 函 數 讓 學 生 逐 漸 抽 象 出 函 數 的 概 念 。 經 由 高 一 上 學 期 的 教 學 ， 學 生 概 念 的 層 次 改 變 情 形 是 大 部 分 的 學 生 通 過 內 化 的 階 層 的 要 求 ， 且 自 內 化 層 次 到 壓 縮 層 次 的 幫 助 最 大 ， 但 只 有 極 少 部 分 的 學 生 達 到 物 化 。

二 、 學 生 在 學 習 多 項 函 數 及 多 項 方 程 式 中 可 能 有 的 迷 思 概 念 與 學 習 困 難

江 南 青 （ 1984） 表 示 教 師 不 只 要 接 受 學 生 的 正 確 答 案 ， 同 時 更 不 能 忽 略 錯 誤 的 答 案 ， 因 為 學 生 在 學 習 過 程 中 所 產 生 的 錯 誤 型 態 ， 都 是 教 師 進 行 教 學 診 斷 的 重 要 資 料 。 針 對 學 生 在 多 項 函 數 及 多 項 方 程 式 中 可 能 有 的 迷 思 概 念 ， 有 一 些 研 究 者 提 出 他 們 的 看 法 。

葉 明 達 （ 2000） 探 討 國 內 高 中 生 最 常 下 的 函 數 定 義 與 函 數 概 念 有 關 的 迷 思 概 念 時 ， 發 現 高 中 生 多 將 函 數 定 義 為 集 合 的 對 應 ， 並 強 調 元 素 一 對 一 與 多 對 一 的 特 性；而 迷 思 概 念 主 要 有：函 數 關 係 是 一 個 一 定 可 以 列 出 關 係 式 的 對 應 關 係；

函 數 關 係 就 是 兩 堆 數 字 的 關 係 ； 函 數 一 定 要 有 規 律 ； 對 應 域 是 值 域 的 一 部 分 ； 函 數 圖 形 是 平 滑 的 、 連 續 的 ， 有 缺 口 的 就 不 是 函 數 。 他 認 為 高 中 生 對 合 成 函 數 的 函 數 值 會 因 誤 認 自 變 數 一 定 是 x， 或 因 代 換 變 數 符 號 混 淆 不 清 而 發 生 錯 誤 。 Markovits（ 1988）的 研 究 指 出 學 生 對 定 義 域 與 值 域 方 面 的 學 習 有 困 難，學 生 對 指 出 圖 形 表 徵 中 定 義 域 與 值 域 感 到 困 難 ， 而 表 徵 之 間 的 轉 換 ， 代 數 轉 換 到 圖 形 會 比 圖 形 轉 換 到 代 數 容 易 。

Markovits、 Eylon 和 Bruckheimer（ 1986） 研 究 九 年 級 （ 14~15 歲 ） 且 已 修 過 函 數 相 關 課 程 的 學 生 對 函 數 概 念 的 理 解 ， 發 現 學 生 遭 遇 到 以 下 的 學 習 困 難 ：

1. 在 不 考 慮 問 題 的 特 殊 本 質 下 ， 三 種 函 數 ： 常 數 函 數 、 分 段 函 數 （ piecewise function） 和 以 離 散 點 表 徵 的 函 數 對 學 生 來 說 是 困 難 的 。

2. 學 生 常 忽 略 定 義 域 和 值 域 。

3. 不 論 式 子 或 圖 形 表 徵 ， 學 生 「 原 像 」 和 「 像 」 的 概 念 僅 有 部 分 的 理 解 。 4. 學 生 所 舉 的 函 數 例 子 都 侷 限 在 式 子 和 圖 形 表 徵 ， 尤 其 是 式 子 表 徵 。 5. 從 圖 形 到 式 子 表 徵 之 轉 換 比 式 子 到 圖 形 表 徵 之 轉 換 要 來 得 困 難 。 6. 所 舉 的 函 數 例 子 有 傾 向 線 性 關 係 的 現 象 。

王 婷 瑩 （ 2004） 提 及 在 多 項 式 除 法 原 理 的 教 學 活 動 中 ， 文 字 符 號 與 所 代 表 概 念 之 連 結 影 響 思 維 的 啟 動 與 轉 化 。 此 外 ， 一 般 化 的 語 言 或 式 子 不 一 定 能 使 思 維 啟 動 、 轉 化 ， 如 ：「 多 項 無 法 比 較 大 小 」、「 多 項 式 要 比 較 的 是 次 數 」， 這 樣 的

傳 達 只 有 口 頭 的 語 言 陳 述 ， 沒 有 提 供 可 豐 富 學 生 知 覺 、 表 象 的 例 子 ， 難 以 使 學

6. 對 於 代 數 表 徵 ， 學 生 可 能 只 注 意 到 自 己 代 的 式 子 ， 而 未 能 注 意 多 項 函 數 中 的 每 組 對 應 。

7. 觀 察 代 數 表 徵 和 圖 形 表 徵 的 關 係 時 ， 學 生 可 能 有 不 當 的 錯 誤 類 推 ， 如 ： 函 數 係 數 與 圖 形 變 化 的 關 係，學 生 可 能 取 實 質 上 毫 不 相 關 的 兩 個 變 因 來 比 較。

一 旦 了 解 學 生 在 學 習 多 項 函 數 及 多 項 方 程 式 中 可 能 有 的 迷 思 概 念 與 學 習 困 難 ， 教 師 越 能 明 瞭 學 生 在 進 行 教 學 活 動 時 可 能 遭 遇 的 困 境 較 能 診 斷 學 生 錯 誤 的 因 素 ， 亦 能 適 時 給 予 學 生 指 引 。

三 、 應 用 科 技 於 多 項 函 數 及 多 項 方 程 式 的 教 學

函 數 是 中 學 數 學 極 為 重 要 的 內 容 ， 如 ： 數 、 多 項 式 、 方 程 式 、 不 等 式 、 數 列、極 限、導 數 與 微 分 等 內 容 都 與 函 數 息 息 相 關，同 時 擴 及 至 三 角、解 析 幾 何 ， 甚 至 是 內 容 豐 富 的 應 用 性 問 題 ， 而 跨 學 科 的 綜 合 應 用 亦 是 函 數 的 鮮 明 特 徵 。 所 以 ， 學 好 函 數 是 學 好 數 學 的 關 鍵 。 然 而 函 數 是 學 生 所 接 觸 到 的 第 一 個 研 究 變 數 之 間 關 係 的 數 學 基 本 概 念 ， 部 分 學 生 無 法 很 好 地 以 自 身 知 識 背 景 來 建 構 這 一 個 抽 象 的 概 念 ， 得 到 深 刻 的 理 解 。 函 數 圖 形 是 函 數 關 係 的 一 種 直 觀 、 具 體 形 象 的 表 示 ， 函 數 圖 形 對 函 數 的 概 念 與 性 質 的 理 解 扮 演 著 很 重 要 的 角 色 ， 但 由 於 作 圖 很 麻 煩 、 不 方 便 ， 甚 至 不 可 能 作 出 ， 從 而 學 生 很 難 對 函 數 概 念 有 深 刻 理 解 。

Tall和 Thomas（ 1991）提 出 一 個 假 設：「 一 旦 學 生 無 法 了 解 概 念 的 意 義 時 ， 他 們 會 將 這 個 難 題 隱 藏 起 來 ， 並 且 藉 由 一 些 慣 常 性 活 動 來 得 到 正 確 答 案 、 獲 得 認 可 。 」 他 們 藉 由 研 究 來 驗 證 這 個 假 設 ， 此 研 究 是 要 學 生 在 學 習 代 數 課 題 時 利 用「 動 態 代 數 模 組 」（ Danymic Algebra Module）來 達 到 提 升 多 面 向 思 考 的 目 標，

而 研 究 所 得 的 結 論 ， 發 現 電 腦 似 乎 能 提 升 學 生 多 面 向 思 考 的 能 力 ， 讓 學 生 更 能 跳 脫 例 行 性 的 活 動 ， 能 以 更 勇 於 嘗 試 的 想 法 來 解 題 。

Nickson（ 2000）表 示 對 於 在 教 授 代 數 時 利 用 科 技 有 許 多 爭 議，然 而 證 據 顯 示 利 用 科 技 是 有 效 的 ， 它 能 幫 助 學 生 看 到 許 多 不 同 的 過 程 ， 並 且 對 於 這 個 課 題 有 較 靈 活 的 看 法 ， 可 用 在 將 文 字 題 模 式 化 ， 以 及 做 出 許 多 類 型 的 函 數 圖 形 。

楊 清 泉（ 2006）認 為 圖 形 計 算 器 的 出 現 可 以 幫 助 學 生 很 好 地 學 習 函 數 知 識，

且 其 在 函 數 學 習 中 有 三 大 優 勢 ：

1. 利 用 圖 形 計 算 器 有 利 於 加 深 對 函 數 知 識 的 理 解 ， 挖 掘 函 數 知 識 蘊 涵 的 重 要 思 想 方 法 ， 領 悟 數 學 的 本 質 。

2. 利 用 圖 形 計 算 器 有 利 於 掌 握 函 數 知 識 的 重 點 ． 突 破 函 數 知 識 的 難 點 ， 構 建 完 整 的 函 數 知 識 體 系 。

3. 利 用 圖 形 計 算 器 有 利 於 解 決 函 數 型 實 際 應 用 問 題 ， 逐 步 培 養 科 學 研 究 的 態 度 和 意 識 。

蔡 震 雄（ 2006）以 實 際 生 活 熟 悉 的 物 理 問 題 － 自 由 落 體 為 例 子，如 圖 2-3-2 所 示 ， 利 用 圖 形 計 算 器 輸 入 數 據 ， 再 畫 出 函 數 圖 形 並 迴 歸 分 析 是 何 種 函 數 ， 進 一 步 利 用 函 數 迴 歸 功 能 確 定 相 應 的 係 數 ， 整 個 過 程 利 用 圖 形 計 算 器 來 輔 助 學 生 將 問 題 轉 化 而 建 構 出 二 次 函 數 數 學 模 型。數 學 建 模 的 操 作 程 序 如 圖 2-3-3 所 示，

可 以 看 出 培 養 學 生 運 用 數 學 建 模 解 決 實 際 問 題 的 能 力 ， 關 鍵 在 於 把 實 際 問 題 抽 象 為 數 學 問 題 ， 經 過 觀 察 分 析 、 提 煉 出 實 際 問 題 的 數 學 模 型 ， 再 將 數 學 模 型 納 入 某 知 識 系 統 去 處 理。學 生 藉 由 CAS 的 輔 助 學 習，培 養 他 們 的 數 學 思 想，且 提 高 了 他 們 的 資 訊 素 養。而 使 用 CAS 的 過 程 中，學 生 能 夠 方 便、快 捷 地 建 立 函 數 模 型 ， 續 而 増 進 他 們 利 用 數 學 解 決 生 活 實 際 問 題 的 能 力 ， 從 中 亦 體 會 數 學 的 應 用 價 值 和 數 學 魅 力 ， 得 到 成 功 的 喜 悅 ， 進 一 步 建 立 學 好 數 學 的 信 心 和 探 索 數 學 的 興 趣 。

(1) 輸 入 數 據 (2) 畫 函 數 圖 形 並 迴 歸 分 析 是 何 種 函 數

(3) 利 用 函 數 迴 歸 功 能 確 定 相 應 的 係 數

圖 2-3-2 自 由 落 體 運 動 的 函 數 建 模

圖 2-3-3 數 學 建 模 的 操 作 程 序

實 際 問 題 分 析 抽 象 建 立 模 型 數 學 問 題

檢 驗 實 數 解 釋 譯 數 學 解

林 保 平 （ 1986） 提 到 ： 在 函 數 及 其 圖 形 性 質 的 教 學 中 ， 通 常 都 須 經 由 描 點