每一個複係數（包含實係數）ｎ次方程式 ( ) 0f x = 至少有一個複數根。
上面這個定理保證了多項方程式的解是存在的。沒有這一個保證，研究方程
式的許多理論就失去了依據，此定理確實是代數學的基石，稱為「代數基本定理」。
當代數基本定理保證解的存在後，解方程式才有實質的意義。以代數基本定理為 基礎，用因式定理逐次提出一次因式，可以進一步推導下面的結論：
若將 k 重根計作 k 個根，每一個複係數ｎ次方程式 ( ) 0f x = 恰好有ｎ個 複數根。
當初我們在上課時，同學們非常信任老師，自然而然地接受並記住這樣的結 論，真的要證明可能很困難，但是今天的活動我們將利用 Derive 來感受這樣的結 論！
現在請你開啟 Derive 檔案：方程式 002.dfw，並另存新檔將檔名存成《方程 式 002+你的名字.dfw》。
1. 利用 Derive，請你寫出方程式6x4−11x3−85x2+62x+280= 的根。 0
∴方程式共有____個根。
2. 利用 Derive，請你寫出方程式6x4+31x3−54x2−179x+140= 的根。 0
∴方程式共有____個根。
3. 利用 Derive，請你寫出方程式x5+x3+ = 的根。 x 0
∴方程式共有____個根。
4. 利用 Derive，請你寫出方程式x6− = 的根。 1 0
∴方程式共有____個根。
在課堂上我們不太敢去接觸複係數方程式，一旦方程式的係數出現複數的 話，對我們來說，解它就是個難題。現在我們手邊有 Derive 這個電腦軟體的輔助，
我們可以放膽去嘗試複係數方程式，看看是不是如同代數基本定理所言，幾次方 程式就有幾個根呢？
5. (1) 請你寫下一個複係數方程式。
(2) 利用 Derive，寫出這個複係數方程式的根。
(3) 檢查一下，根的個數是否和方程式的次數一樣多？
經過剛剛的練習，是不是更能體認代數基本定理的意義。我們再來看看課本 中我們證明過的另一個定理：實係數多項方程式虛根成對定理。
設 f x( )=a xn n+an−1xn−1+ +... a x1 1+a0 = 為一實係數多項方程式。若複數0 a bi+ （ , 0a b∈ℜ，b≠ ）是方程式 ( ) 0f x = 的一根，則其共軛複數a bi− 也是方程式 ( ) 0f x = 的一根。
次數在三次以下的實係數方程式似乎可以讓我們很容易理解虛根成對定理，
那我們現在來看看次數較高的實係數方程式，是不是也可以讓我們看到共軛複數 根成對出現的狀況？
6. 利用第 1 題的結果，方程式6x4−11x3−85x2+62x+280= 有____個虛數根，0 有____個實數根。如果有虛數根，是不是共軛複數根會一起出現？
7. 利用第 2 題的結果，方程式6x4+31x3−54x2−179x+140= 有____個虛數根，0 有____個實數根。如果有虛數根，是不是共軛複數根會一起出現？
8. 利用第 3 題的結果，方程式x5+x3+ = 有____個虛數根，有____個實數根。x 0 如果有虛數根，是不是共軛複數根會一起出現？
9. 利用第 4 題的結果，方程式x6− = 有____個虛數根，有____個實數根。 1 0 如果有虛數根，是不是共軛複數根會一起出現？
10. 已知實係數四次多項方程式 ( )f x = 的其中兩根為0 2 i− 和− +1 3i，且 ( )f x 之x4 項的係數為 1，請你試著去找出這個多項方程式。
從上面的練習，應該可以體認虛根成對定理之意義。我們知道虛根成對定理 是使用在實係數多項方程式，倘若現在我們是遇到複係數方程式，則它的虛數根 是不是一定以共軛複數根的型式成對出現？我們來試試看！
11. (1) 請你寫下一個次數最少為二次的複係數方程式。
(2) 利用 Derive，找出這個複係數方程式的根。
(3) 檢查一下，它的虛數根是不是一定以共軛複數根的型式成對出現？
單元名稱 單元一 多項函數的圖形
教師活動 學生活動 時間
教師活動 學生活動 時間
數圖形有什麼改變？
應變數的對應。
下，函數圖形有什麼改變？
對學習成就較低的學生，可以多鼓勵他們可以用文字敘
觀察二 利用下列 3 個三次函數，觀察領導係數的改變
(1) 函數圖形是不是連續不斷？
教材來源 高級中學翰林版數學教科書第一冊第四章
（教育部審定 94 學年度用書）
教學時間 120 分鐘 學生人數 每組 2 人 共四組
學習本單元的預 備知識
1. 能區分多項函數和多項方程式。
2. 能判別任一多項式的次數及同類項。
3. 能了解多項式的四則運算。
4. 能正確使用配方法。
5. 有因式分解的概念。
6. 能利用公式解來處理一元二次方程式求根的問題。
學生分析
學生程度：能正確使用配方法，且有因式分解的概念，用以協助解方程式。
學習態度：學生學習態度良好，多數能以努力來補不足之處，少數較消極而較 容易放棄。
單元教學目標
1. 能了解根與係數的關係，並能應用它去解方程式。
2. 能了解代數基本定理及其應用。
3. 能了解實係數多項方程式虛根成對定理及其應用。
4. 能了解多項函數的 zero 與方程式的解的關係。
活動時間分配
活動一：實係數多次多項方程式之求解 50 分鐘
活動二：代數基本定理&實係數多項方程式虛根成對定理 50 分鐘 活動三：多項函數的 zero 與方程式的解 20 分鐘
備註
教師準備工作：
1. 教學活動學習單。
2. 電腦（已安裝數學軟體 DERIVE）
3. 教學使用檔案：方程式 001.dfw、方程式 002.dfw
活動一：實係數多次多項方程式之求解
(1) 請你試著去求出方程式的解。（請寫下過程）
活動二：代數基本定理&實係數多項方程式虛根成對定理
經過剛剛的練習，是不是更能體認代數基本定理的意
教師活動 學生活動 時間