數學軟體DERIVE應用於高中學生學習多項式概念的教學研究

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(1)國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文. 數學軟體 DERIVE 應用於高中學生學習多項式概念的教學研究 A Study of Using Mathematic Software, DERIVE, to Teach Polynomials in High School. 研究生：李采虹指導教授：袁. 媛. 中華民國. 教授. 九十六. 年. 七. 月.

(2) 數學軟體 DERIVE 應用於高中學生學習多項式概念的教學研究 A Study of Using Mathematic Software, DERIVE, to Teach Polynomials in High School. 研究生：李采虹指導教授：袁. 媛. Student：Tsai-Hung Lee 教授. Advisor：Dr. Yuan Yuan. 國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文. A Thesis Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Degree Program of E-Learning July 2007 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十六年七月.

(3) 中文摘要. 數學軟體 DERIVE 應用於高中學生學習多項式概念的教學研究. 學生：李采虹. 指導教授：袁. 媛. 教授. 國立交通大學理學院專班網路學習組摘. 要. 本研究乃是將數學軟體 DERIVE 應用於高中學生學習多項式概念的教學研究。以「多項函數的圖形」和「多項方程式」為單元主題，開發適合學生的學習素材和教學活動，了解學生對此試探性教學活動的看法與回饋，探究數學軟體 DERIVE 應用於高中數學教學之可行性。同時透過觀察與訪談，將探討數學軟體 DERIVE 的輔助學習對學生學習多項式概念的影響。本研究採行動研究的方式，以台北縣某完全中學 8 名高中一年級普通班學生為研究對象，依多項式之學習成就測驗前測的結果，將研究對象分為四組。前測階段 8 人同時進行二次共計 110 分鐘的電腦軟體教學課程，實驗階段中為時約 7 小時的教學活動則採分組分次進行，逐次地修正與調整教學活動，使教學模式能較佳化，在未來可作為大班教學的參考。藉由課堂觀察、學生電腦操作觀察、學習單、學生問卷、學生學習成就測驗以及訪談等資料之蒐集整理，來進行研究結果分析。研究結果發現在合適的學習單循序漸進引導下， DERIVE 免除學生作單調繁雜的計算，讓學生有更多的時間去作數學思考；當抽象的數學變成可具體操作時，學生心中的解題策略在 DERIVE 的輔助下得以延續； DERIVE 有別於傳統教室教學的呈現，除了給學生新鮮感，亦激發學生學習數學的興趣。以 DERIVE 來輔助教學的模式，學生反應可以適應、接受，並不會因此而分心，並依學生學習成就之前後測的整體結果及學生給予的回饋，研究者相信數學軟體 DERIVE 應用於輔助高中學生學習多項式是具可行性的。惟教師以 DERIVE 輔助教學時，對於教學環境的限制、軟體可能帶來圖形錯誤解讀的迷思概念等，應有相對的應變與調適。最後根據研究結果與發現，提出若干建議以作為教師改進與未來研究之參考。關鍵字：電腦代數系統、數學軟體 DERIVE、多項式、函數. i.

(4) ii.

(5) 英文摘要. A Study of Using Mathematic Software, DERIVE, to Teach Polynomials in High School. Student：Tsai-Hung Lee. Advisors：Dr. Yuan Yuan. Degree Program of E-Learning of College of Science National Chiao Tung University ABSTRACT This study applied an action research method to explore the possibility of applying Mathematics Software, DERIVE, to teach polynomials in high school. The researcher used DERIVE as the tool to design learning materials and activities for teaching and learning of “Graphs of polynomial functions” and “Polynomial equations”. This study was based on observing classroom and interviewing students to discuss its effect on students’ conceptual understanding of polynomials. Participates were 8 high school students in Taipei County. At the beginning, all students took an achievement test and based on the test results students were assigned to four groups of two. All students were given a 110-minute DERIVE exploration lesson at the same time. After the DERIVE lesson, the researcher designed a 7-hour polynomial exploration activity using DERIVE as the aid tool. Each group was taught by the research sequentially, and this gave the researcher a chance to modify the activity to improve the lesson plan for follow-up group teaching. It was found that using DERIVE could reduce the time on rigmarole tasks and students could spend much time on thinking mathematically. DERIVE was considered to make the abstract concept accessibility and manipulability, and this helped students continue their thought on solving problems. Unlike in the traditional classrooms, students were motivated by these novel presentations. Students responded that they liked to used DERIVE and it helped them focus on conceptual explorations. However, possible misconceptions might occur when iii.

(6) using DERIVE in teaching mathematics. Suggestions for applying DERIVE into mathematics teaching and future research were provided.. . Keyword: Computer Algebra System, DERIVE, Polynomial, Function. iv.

(7) 誌. 謝. 在完成論文口試的那一刹那，我幾乎要掉下眼淚，沒想到自己居然能熬過這一關。首先要感謝我的指導教授袁媛老師！學弟曾形容老師就像一把傘照顧著我們這些學生，而在我心中老師就像是一支 500 萬的超級大傘～從編寫學習單到撰寫論文，袁媛老師細心、耐心地循序指導，百忙之中花了許多時間修正我的論文並給予意見與建議。因此，能完成這篇論文，心中對於老師熱心的指導和溫暖的鼓勵，有著無限的感動與感激！同時，在此也要感謝中央大學單維彰教授與本校專班主任莊祚敏教授給予寶貴意見，讓我的教學視野更加寬廣。在研究期間，非常感謝專班同學與學校同事的鼓勵與支持，讓我擁有堅持下去的力量。昱伶，謝謝妳～不但是我做研究的好伙伴，亦是交換心事、鼓勵彼此的好朋友。淑惠，謝謝妳～每次跟妳話後總能紓解不少壓力，讓我又恢復活力拼下去。木發、秀瓊，謝謝你們～有你們這兩位超棒的工作伙伴的鼓勵與支持，讓我在忙碌的工作中能更有心力去完成學業。國唐、基添，謝謝你們的關心，學妹我終於寫完論文。再則感謝眾多大朋友和小朋友給我加油，你們的加油都是我動力的來源。最後要感謝我的家人對我的關懷與照顧，讓我在這幾年能無後顧之憂，順利完成我的學業，而今日終能開心地跟你們說聲：「謝謝你們！我要畢業了喲～」再一次誠摯地感謝大家的指導、支持與鼓勵，能夠順利完成論文並取得碩士學位，真的非常開心，同時將這份喜悅及成果與大家分享。. 采虹. 謹識. 2007 年 7 月. v.

(8) vi.

(9) 目. 錄頁次. 中文摘要 ......................................................................................................... i 英文摘要 ........................................................................................................ iii 誌. 謝 ............................................................................................................. v. 目. 錄 ............................................................................................................ vii. 表目錄 ............................................................................................................ ix 圖目錄 ............................................................................................................. x 第一章. 緒論 ................................................................................................ - 1 -. 第一節. 研究動機 ................................................................................. - 1 -. 第二節. 研究的重要性 .......................................................................... - 3 -. 第三節. 研究目的 ................................................................................. - 5 -. 第二章. 文獻探討 ........................................................................................ - 7 -. 第一節. 電腦代數系統 .......................................................................... - 7 -. 第二節. DERIVE ................................................................................ - 19 -. 第三節. 多項函數 ............................................................................... - 30 -. 第三章. 研究方法 ...................................................................................... - 41 -. 第一節. 研究架構和研究方法 ............................................................ - 41 -. 第二節. 研究對象 ............................................................................... - 43 -. 第三節. 研究工具 ............................................................................... - 45 -. 第四節. 研究流程 ............................................................................... - 51 -. 第五節. 資料之整理與分析 ................................................................ - 55 -. 第四章. 研究結果與討論 ........................................................................... - 57 -. 第一節. 學生學習歷程 ........................................................................ - 57 -. 第二節. 教學實施後之影響 ................................................................ - 75 -. 第三節. 教師成長 ............................................................................... - 93 -. 第五章. 結論與建議 ................................................................................... - 99 -. 第一節. 結論 ...................................................................................... - 99 -. 第二節. 建議 .................................................................................... - 107 -. 參考文獻 ................................................................................................... - 111 中文部份 ............................................................................................ - 111 英文部分 ............................................................................................ - 114 vii.

(10) 附件一. 學習背景調查表 ......................................................................... - 117 -. 附件二. DERIVE之操作手冊 ................................................................... - 119 -. 附件三. 教學活動學習單 ......................................................................... - 145 -. 附件四. 教學活動教案設計 ...................................................................... - 167 -. 附件五. 學習成就測驗前測試題 .............................................................. - 183 -. 附件六. 學習成就測驗後測試題 .............................................................. - 187 -. 附件七. 學生使用 DERIVE學習回饋問卷 ................................................. - 191 -. 附件八. 後測階段學生訪談計劃及大綱 ................................................... - 195 -. 附件九. 前測－學生作答結果之比較與分析 ............................................ - 197 -. 附件十. 後測－學生作答結果之比較與分析 ............................................ - 207 -. viii.

(11) 表目錄頁次表 2-2-1 DERIVE的歷史發展簡史 ............................................................... - 20 表 2-3-1 內化、壓縮、物化三層次比較表 .................................................. - 33 表 3-2-1 研究對象學習背景調查結果摘要表 .............................................. - 44 表 3-3-1 單元主題教學活動內容 ................................................................ - 47 表 3-3-2 學習成就測驗前、後測試題評量概念分析表 ............................... - 48 表 3-4-1 研究流程 ....................................................................................... - 51 表 4-2-1 學習成就測驗前測試題答題計分表 .............................................. - 76 表 4-2-2 學習成就測驗後測試題答題計分表 .............................................. - 78 表 4-2-3 學生使用 DERIVE學習回饋摘要 ................................................... - 87 -. ix.

(12) 圖目錄頁次圖 2-1-1 直線圖形往左移動的錯覺 ............................................................. - 12 圖 2-1-2 直線圖形往右移動的錯覺 ............................................................. - 12 圖 2-1-3 視不同斜率之直線為兩平行線的錯覺 .......................................... - 13 圖 2-1-4 直觀兩圖有高度差別而影響或忽略 y截距的判讀 .......................... - 13 圖 2-1-5 直觀兩圖有開口大小不同、圖形位置不同的錯覺 ........................ - 14 圖 2-1-6 Casio的 CFX-9850GC PLUS ........................................................... - 15 圖 2-1-7 HP 50g ........................................................................................... - 15 圖 2-1-8 SHARP的 EL-9900 .......................................................................... - 15 圖 2-1-9 TI-nspire系列產品 ......................................................................... - 15 圖 2-2-1 DERIVE的界面和功能簡介 ........................................................... - 22 圖 2-2-2 DERIVE將常用的指令以視覺化的小圖示呈現 .............................. - 22 圖 2-2-3 DERIVE將功能以選單的方式呈現 ................................................ - 22 圖 2-2-4 DERIVE對於隱函數可以直接繪出圖形 ......................................... - 23 圖 2-2-5 TI-89 Titanium ............................................................................... - 24 圖 2-2-6 Voyage TM 200 ................................................................................ - 24 圖 2-2-7 Kutzler經由符號和圖形的表現來分析多項式 ................................ - 25 圖 2-2-8 DERIVE克服計算障礙，學生可專注於數學概念的理解 ............... - 26 圖 2-2-9 學生利用 DERIVE觀察指數函數和對數函數的性質 ...................... - 27 圖 2-2-10 自我循步探索多項函數和圖形的關係 ........................................ - 28 圖 2-3-1 函數概念的歷史發展 .................................................................... - 31 圖 2-3-2 自由落體運動的函數建模 ............................................................. - 37 圖 2-3-3 數學建模的操作程序 .................................................................... - 37 圖 3-1-1 研究架構 ....................................................................................... - 41 圖 3-3-1 前測階段師生於電腦教室進行電腦軟體教學課程 ........................ - 46 圖 3-3-2 實驗階段小組進行教學活動的教學環境 ....................................... - 46 圖 3-3-3 修正前測試題中不當的輔助圖示 .................................................. - 50 圖 4-1-1 學生專心投入學習 DERIVE，並一起討論 .................................... - 58 圖 4-1-2 學生誤取代數視窗之指令表示式，導致無法成圖 ........................ - 62 圖 4-1-3 欣欣對常數函數與零多項式的混淆 .............................................. - 65 圖 4-1-4 欣欣和阿斌對一般式的了解 ......................................................... - 65 x.

(13) 圖 4-1-5 欣欣對一次函數圖形的平移產生迷思概念 ................................... - 66 圖 4-1-6 阿斌對一次函數圖形的平移產生迷思概念 ................................... - 66 圖 4-1-7 學生觀察圖形時可能會有多樣的解讀 .......................................... - 67 圖 4-1-8 欣欣對複係數方程式根的個數的探索 .......................................... - 68 圖 4-1-9 萱萱和小琳對一次函數圖形的觀察 .............................................. - 70 圖 4-1-10 萱萱對多次函數圖形的觀察 ....................................................... - 71 圖 4-1-11 綾綾對代數基本定理的探索 ....................................................... - 74 圖 4-2-1 小穎在第 16 題的答題內容 ........................................................... - 80 圖 4-2-2 阿全在第 17 題的答題內容 ........................................................... - 81 圖 4-2-3 欣欣在第 17 題的答題內容 ........................................................... - 81 圖 4-2-4 萱萱在第 7 題的答題內容 ............................................................. - 82 圖 4-2-5 綾綾在第 15 題的答題內容 ........................................................... - 82 圖 4-2-6 小真、小琳後測第 8 題的答題內容 .............................................. - 84 圖 4-2-7 阿斌在第 17 題的答題內容 ........................................................... - 85 圖 4-2-8 綾綾在第 17 題的答題內容 ........................................................... - 86 -. xi.

(14) xii.

(15) 第一章. 緒論. 我經由這個機會，接觸到許多美麗的數學理念。這些理念都是很容易親近的。如果沒有這個機會，我可能一輩子都碰不見它們，除非我選擇數學做為終身的事業。－ Sarah Flannery （夫蘭納里， 2001， p. 28）. 第一節. 研究動機. 在研究者過去的中小學求學經驗中，數學學習的環境以傳統教室為唯一場所，知識的傳授以教師板書為主，教師上課時甚少使用教具及教學媒體。而多數學生學習數學知識的歷程，部分觀念是因為解題技術的熟練而有深刻的記憶，部分比較難以想像的概念，則是採硬記手段，然後慢慢花時間理解；當然，學習中所遭受的挫折與困難也有可能促使學生學習數學的興趣低落，甚至選擇放棄。若研究者站在教師的角色來看現在的學生，一樣有如此種種面向，雖然傳統的教學方式是不可輕易摒棄，但隨著科技的進步及教育方式的改革，現在的學生其實有更多的管道學習知識，從感官的刺激、實體物體的操作、虛擬情境的模擬、電腦的輔助學習 ……等，皆是我們思考新教學方式的方向。環境的不同、世代的改變，影響了學生的思維模式，因此教師必須思考新的方式及尋求或創造更適合學生的教學方式。資訊科技的進步和校園資訊資源愈顯普及性，「電腦輔助學習」（ Computer-Assisted Learning）已經能成功地運用到許多教學領域。隨著電腦硬體與軟體的發展與改善，使得數學學習活動除了紙筆運算、模型教具外，亦可利用電腦軟體及網路資源來輔助教學。目前電腦軟體應用在數學教學的部分，主要的有動態幾何系統（ Dynamic Geometry System ）和電腦代數系統（ Computer Algebra System），二者可以用來進行數學教學實驗與活動，當然尚有其他軟體，甚至網路上亦有許多虛擬教具（ Virtual Manipulatives）可以成為我們教學活動的良好資源。美國數學教師協會（ National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）在發展課程標準時，認為新課程應著重解決問題、以及思考如何解決的多元性，鼓勵學生討論、探索，教師僅扮演從旁協助的角色，學生主動地在既有的知識架構下整合所學。NCTM 指出關於數學的教與學， -1-.

(16) 計算機與電腦是不可或缺的，電腦科技影響了數學教學的方式，也提高了學生的學習能力，同時亦建議各層次的老師為了教導數學技能與概念，而讓學生達到有效的學習，都應該適當使用科技的工具（ NCTM, 2000）。為實現國民教育目的，目前我國教育部所公佈之《國民中小學九年一貫課程綱要》（ 2006）指示須引導學生致力達成課程目標，其中包含運用科技與資訊的能力、激發主動探索和研究的精神、培養獨立思考與解決問題的能力。當然，「資訊融入教學」這樣的課題是具挑戰性，對於任教多年的老師可能需要時間去學習及適應。雖然資訊技術對部分教師來說仍是有障礙存在，但是身為教師的我們應學習如何善用電腦科技及其所發展出來的資源，作為課程上有用的教學素材，讓電腦軟體及網路資源成為良好的輔助教學工具，讓學生亦有另類的數學學習環境。周琦（ 2005）認為將資訊科技與學科課程作有效的整合，可以建構出一種理想的學習環境，不但可以支援真實的情境假設，教學素材也可以不受時空限制地資源分享，教學情境可以有豐富多樣的交互模式，教學資源也可以打破地區界限的限制來共同合作交流，而以學生為主體的教學，也可以創造有利培養學生的自主發現和自主探索的機會，進而建構知識。隨著電算器的問世，我們的數學教育因此有了重大的改變。它能幫助學生數學觀念的建立與了解，也能提高學生對數學的興趣，讓數學不再是大部分學生討厭的科目。它讓學生減少時間花費在複雜而無意義的計算中，而可以讓學生去探究並釐清數學觀念，它可以做許多以前的紙筆運算所做不到的事，如描繪 3D圖形 ……等等（陳育聖、楊德清， 2001）。 Lindsay（ 1995）表示，七十年代以來電腦代數系統蓬勃發展，欲成為數學教學使用工具，可惜要被視為學習輔助的接受度有限。他持續關心數學教育，並深入探索電腦代數系統的濳力，研究軟體與數學課程整合的可能性，以他二年的電腦輔助教學的經驗，提出數學軟體 DERIVE 可做為論證示範、應用和自我循步探索的輔助工具。為此，研究者特別考慮使用電腦代數系統中的數學軟體 DERIVE，思考其在高中數學教學應用上的可能性，期待能讓 DERIVE 不只是電腦軟體，更希望利用 DERIVE 開發數學學習素材，使其能有效地激發學生之思考、啟發學生對數學知識之建構！. -2-.

(17) 第二節. 研究的重要性. 在一般教室進行數學教學時，礙於授課時數的壓力、黑板板面空間的有限運用、數學式子的繁雜運算過程、黑板製圖的不便等種種限制，教科書上一些數學性質及定理，許多數學教師在課堂上僅能繪製幾個圖形、舉幾個簡單的例子、快速帶過數學證明，而學生就是直接接受這些性質、定理，甚至是不思考解題方法而去硬記這些例子的解題過程。陳育聖、楊德清（ 2001）提到在傳統的數學教育中，由於聯考引導教學，使得教師在課堂中特別強調公式的背誦，並讓學生重複那些單調又繁雜的計算題，以訓練學生的計算能力，並認為擁有良好的計算能力是重要的，但卻忽略了數學教育的本質並不是訓練學生成為一流的計算機器，而應該是著重在數學觀念的建立與理解。倘若在教學過程中能適當使用電腦輔助教學，引入數學軟體的使用，則在教師適當的引導下，學生將於有限時間內可經由大量的觀察與實作經驗的訊息刺激，更能相信性質、定理的存在，亦能提昇學生的思考層次。於國立交通大學理學院在職專班網路學習組修讀碩士的期間，研究者有機會接受到電腦科技的刺激，以學生學習需求為目標，鑽研多樣性教學素材，開發多元學習內容與活動，以提昇校園學習情境，強化學生學習之成效。一般來說，電腦軟體在數學上的應用可分為三大類（郭亮偉， 2005）： 1. 動態幾何系統（ Dynamic Geometry System）以尺規作圖為基礎，考慮了幾何教學的需要，圖形具可變異性，學習者利用滑鼠拖曳點或圖形，可讓圖形產生連續且漸進的動態變化或軌跡，藉由動態觀察來獲得平時不易得到大量資料及圖形變化，直觀地去探查幾何問題的變與不變。常見的軟體有 GSP（ The Geometer’s Sketchpad）、 Cabri Geometry、 Cabri 3D……等。 2. 電腦代數系統（ Computer Algebra System, CAS）利用演算法解決代數的微分、積分、線性、非線性方程式、多項式系統的求解，以及利用數值方法來作 2D、 3D 圖形的繪製；在數學的實驗與學習可藉由數值的改變來觀察代數系統的圖形變化。常見的軟體： Mathematica、 Maple、 DERIVE……等。 3. 其他數學軟體除了前面兩大分類，目前有許多研究發展工具軟體有助於於數學教學，用以製作數學學習素材，如陳明璋教授利用 Microsoft Office PowerPoint 發展 -3-.

(18) 外掛程式 MathPS、李俊儀（ 2004）和黃俊榮（ 2004）利用 Flash 開發幾何繪圖工具 GP（ Geometry Player）、蔡仁杰（ 2005）繼續發展荷蘭繪圖軟體 Drape（ DRAwing Programming Environment），甚至是目前我們常用來試算的 Microsoft Office 軟體 Excel，這些軟體都是數學教師可利用它來開發素材、發展適當的模組、以進行教學活動來強化學生的概念建立。此外，許多數學教育者開發具主題性質的虛擬教具（ Virtual Manipulatives），如張世明的 Magic Board（ 2006）、王智弘的多方塊（ 2006）、劉賢建的虛擬計算機（ 2006），皆是利用 Flash 開發虛擬教具；網路資源更有許多虛擬教具存有主題式的學習目標，讓數學教師或學生可以利用虛擬教具的特性來輔助數學概念之養成。有關電腦輔助數學教學的研究，近年來國內有許多研究者利用動態幾何系統的數學軟體來開發教學模組及教學素材，並深入教學環境實際教學，其中 GSP 在教學實務中，不僅在高等教育中使用它來處理複雜的幾何問題，在高中、國中、甚至國小都有數學教師利用它來開發素材運用於平時的教學活動；如前所言，亦有許多數學教育學者開發其他數學軟體，甚至是設計 Web 教學平台、利用多媒體來輔助學生之數學學習。而研究者比較好奇的是：為什麼國內運用 CAS 於數學教育的文獻不多？再則從這些文獻中可以發現：CAS 的使用對象多為高等教育的學生，一般大學以上的學生有機會接觸 CAS 數學軟體，利用它來協助數學概念的養成與理解，或作為解決艱深問題的輔助工具；但是，在中等教育以下，除了少數學生接觸過 CAS 之數學軟體，一般的學校數學教學環境卻甚少使用。雖然在教育部為配合九年一貫的實施所公佈之《普通高級中學設備標準》（ 2005）中，表列 Mathematica、Maple、DERIVE 這三個 CAS 數學軟體，但在實際的教學環境中卻很少有教師使用 CAS 數學軟體來輔助教學。研究者在本研究將使用 CAS 數學軟體 DERIVE，探討其在高中數學教學應用上的可能性。DERIVE 的前身是 muMATH-79，早於西元 1979 年開發，當時使用於 DOS 系統，所佔容量不大，卻能以高速運算協助解決數值運算及代數問題，發展至今已經開發到 DERIVE 6，可用於 Windows 視窗系統；雖然開發已久，但至今尚未正式引入台灣。大陸學者趙繼源、石剛（ 2005）針對師範院校數學專業的學生及在職中小學數學教師，編寫《數學工具軟件及應用》，其中提到大陸於 1995 年引進 DERIVE 的 DOS 版本，但目前尚未見到 Windows 版本，然而在以 Windows 操作系統為主的時代，人們選擇接觸 Mathematica、Mathlab 等 Windows 版本的數學軟體，使得未引進 Windows 版本的 DERIVE 在大陸更 -4-.

(19) 鮮為人知。不過，DERIVE 從 DOS 版本開始在國外如英國、美國十分流行，許多大學都要求學習高等數學的學生，必須同時學習 DERIVE，並會用該軟體解決數學中的問題，甚至在中小學之數學教室裡讓學生能以計算機來搭配使用以輔助學生學習數學。相較於其它代數軟體， DERIVE 將常用的指令以視覺化的小圖示呈現，而許多功能亦以選單的方式呈現，不但讓初學者很容易上手，甚至容易操作使用。因此，高等教育的學生可以使用它來解決繁雜的運算及代數問題，由於介面簡單及指令的視覺化及選單化，使中等教育以下的學生亦可在數學活動中配合使用之。不管是解決數學問題、研究數學學問，還是教授數學課程或學習數學知識，這是一個極好的輔助工具軟體。以教學的角度來看 DERIVE，它提供了一種有別於傳統的新方式，利用鍵盤的敲擊，消除長時間進行數學計算的苦工，但這不代表 DERIVE 必須淪為計算工具。當 DERIVE 協助使用者去解決數學問題及減輕計算部分的負擔，以教師的課程教授，加上學習單的輔助，可以讓學習者更能專心於所遭遇問題的數學意義，建構所涵蓋的數學概念。. 第三節. 研究目的. 本研究乃是將數學軟體 DERIVE 應用於高中學生學習多項式概念的教學研究。在引入 CAS 數學軟體 DERIVE 的同時，亦蘊涵下列研究目的： 1. 透過 CAS 數學軟體 DERIVE 的輔助，設計適合高中學生學習多項式概念之教學活動，並開發學習素材以輔助學生學習。藉此教學活動鼓勵學生討論、探索，了解學生對此試探性教學活動的看法與回饋，續而探究數學軟體 DERIVE 應用於高中數學教學之可行性。 2. 透過觀察與訪談，本研究將探討 CAS 數學軟體 DERIVE 對學生學習多項式概念的影響，了解教學活動設計是否有助於學生對多項式概念的理解，進而達成數學學習的成效。依據上述研究目的，本研究主要透過分析學生學習歷程、學習單、學習成就測驗及訪談資料等，回答下列問題從而達成研究目的： 1. 使用數學軟體 DERIVE 應用於輔助高中學生學習多項式概念是否可行？ 2. 使用數學軟體 DERIVE 的輔助學習下，對學生學習多項式概念有何影響？ -5-.

(20) -6-.

(21) 第二章. 文獻探討. 本研究乃是將電腦代數系統數學軟體 DERIVE 應用於高中學生學習多項式概念的教學研究。基於國內關於電腦代數系統的介紹有限，且數學軟體 DERIVE 在國內無相關文獻；因此，在本章探討本研究之相關文獻的同時，將進一步介紹之。全章共分三節，第一節介紹電腦代數系統及其相關議題，第二節引介數學軟體 DERIVE 及其相關議題，第三節將討論多項函數之相關概念及應用。. 第一節. 電腦代數系統. 在資訊科技的輔助下，可以讓我們頭腦中的數學實驗更具體地呈現：對艱深的數學概念、問題解決過程進行類比；遇到困難的計算、複雜的方程式，只要給出算法，就能獲得解決；多變的幾何關係，利用電腦動態的作圖功能即可得到圖形的顯示。然而資訊科技不僅是輔助教學或輔助學習的工具，亦是啟發、促進學生自主學習的認知工具和情感激勵工具，增進學生的參與感及學習興趣。本節將介紹電腦代數系統及其在教學上的應用。. 一、電腦代數系統電腦代數系統（ Computer Algebra System, CAS）是可以提供使用者進行符號運算、數值計算和圖形顯示的電腦軟體。數值計算的涵義不僅是基本的算術計算，還包括其他較複雜的計算，如：函數的求值、方程式的數值解、矩陣的計算、矩陣特徵值的計算等。符號運算是 CAS在所有數學軟體中最重要的特色，也就是對代表數學對象的符號進行運算，這些符號可以代表整數、有理數、實數、複數或代數式，也可以代表其他的數學對象如多項式、有理函數、矩陣、方程組，或其他抽象的數學對象如群、環、域等等。傳統模式通常是以手工紙筆進行符號運算，隨著資訊科技的發展及對符號算法的深入研究，用電腦代替人工進行符號運算已經成為可能。從成都理工大學信息管理學院數學實驗室的網頁中，可以獲得符號運算軟體發展歷程的重要訊息（ http://www.mathlab.cdut.edu.cn/jpkc/ index.html）。西元 1960 年以來，符號運算這個領域有極大的發展，一系列符號運算算法的提出為現代電腦代數系統奠定了理論基礎。比較著名的算法包括：計算多項式理想 -7-.

(22) 的 Grobner 基算法、多項式分解的 Berlekamp 算法、計算有理函數積分的 Risch 算法。在二十世紀六十年代，比較流行的電腦程式語言是 FORTRAN 和 ALGOL。這兩種語言主要是用來作數值計算，至今 FORTRAN 依然是數值計算領域的標準語言之一。然而 FORTRAN 語言和 ALGOL 語言並不適合於編寫符號運算軟體。六十年代初出現的 LISP 語言為符號運算軟體提供了合適的語言環境，因此早期的符號運算軟體都是用 LISP 語言編寫，其中最著名的符號運算系統是由 Stanford 大學的 Tony Hearn 開發的 REDUCE，而最初的目的是用來進行物理計算。到了七十年代初，由麻省理工學院的 JoelMoses、WillianMartin 等人開發 MACSYMA，是當代功能最強大的符號運算系統。它的功能除了標準的符號運算以外，還包括極限的計算、符號積分、解方程式等等。事實上，許多符號運算的標準算法都是由麻省理工學院的研究小組提出的。由 G. Collins and R. Loos 開發的 SAC/ALDES 系統是另外一種類型的符號運算系統，所使用的開發語言是 LISP 語言的一個子集稱為 muSIMP。進入八十年代，隨著個人電腦的普及，電腦代數系統也獲得了飛速的發展。在這個時代推出的電腦代數系統大部分是用 C 語言編寫的，比較著名的系統包括 Maple、Mathematica、DERIVE 等。除了上述通用的 CAS 數學軟體以外，亦有一些在某個領域專用的 CAS 軟體，如：用於高能物理計算的 SCHOONSCHIP，用於廣義相對論計算的 SHEEP 和 STENSOR；在數學領域中用於群論的 Cayley 和 GAP，用於數論的 PARI， SIMATH 和 KANT；在代數幾何和交換代數領域中常用的系統是 CoCoA 和 Macaulay；還有專門計算 Lie 群的 Lie 等等。在佛山科學技術學院數學系的網頁中，對於 CAS 數學軟體之共同性有一些見解（ http://www.fosu.edu.cn/li/math/），認為不同的數學軟體之間有較大的差別，但通用 CAS 數學軟體有一些共同的特點： 1. 可以進行數值計算、符號運算和圖形顯示，具有高效的可編程功能。 2. 多數 CAS 都是交互式的，經由使用者透過鍵盤輸入命令，電腦計算計算後顯示結果。較好的系統都有 Windows 版本、良好的介面、方便靈活的命令輸入模式，且很容易獲得說明幫助。此外，好的數學軟體都提供了人們習慣的數學符號表達形式。 3. 各個系統持續發展、更新，朝著智能化、自動化方向發展。數學軟體的實質是數學方法及其演算法在電腦上的實現，這些都是無數數學家的工作與智慧的結晶。 -8-.

(23) 4. 參與軟體開發和應用的人員的數量在不斷增加，而且日趨國際化。隨著網際網路的普及，使用者可以很方便地與軟體開發者進行溝通，反應軟體中存在的問題，也把新的應用情況和好的程式提供給軟體的開發者。數學軟體的開發不再只是軟體開發者的事情，也是廣大使用者的事情。. 二、 CAS 的功能及表徵 CAS透過電腦利用數學演算法解決代數的微分、積分、線性、非線性方程式、多項式系統的求解，以及利用數值方法來作 2D、3D圖形的繪製。使用在數學的實驗與學習可藉由數值的改變來觀察代數系統的圖形變化。黃誌偉（ 2006）有鑒於 CAS能提供數值計算、符號運算、圖形顯示，以「 CAS表徵」表示透過 CAS呈現數學概念之各種表徵形式，認為 CAS表徵涉及到數值計算、圖形呈現、動態展示和代數運算。以本研究所探討之多項函數及多項方程式為例，來看 CAS 表徵的四種模式： 1. 數值模式（ numerical model）： CAS可以提供快速的數值運算，讓學習者可檢驗自己所求的函數值是否正確；利用指令可以一次求得多組自變數與應變數的對應，大量的數值供應可讓學習者便於進行觀察及猜想函數變化趨勢。 2. 圖形模式（ graphical model）：經由學習者給予函數的定義， CAS可以提供函數圖形，讓學習者可檢驗自己所描繪的圖形是否正確；藉由快速的函數圖形供給，可讓學習者同時觀察比較不同函數圖形的共同特徵及相異處。 3. 動態模式（ dynamic model）：函數各項係數的連續改變，可即時對應到圖形的改變；圖形視窗可拉近來觀察圖形的細微變化，亦可放遠來觀察圖形的延伸狀況；利用追踪（ Trace）的功能由函數圖形上的點的坐標表示亦能明白函數值的增減變化及極值的產生處，也可以協助學習者建構多項函數的 zero與多項方程式的解的關係。 4. 代數模式（ algebraic model）：利用 CAS可進行符號運算的特色，對多項式可進行因式分解或多項式展開的工作，多項方程式的求解亦可以代數解的方式呈現。 CAS 的優越性主要在於它能夠進行大規模的符號運算。平時我們利用紙筆進行符號運算只能處理符號較少、過程較不複雜的算式；一旦所涉及的符號較多、過程較複雜時，人工的紙筆計算便成為可能而不可行的事，主要原因是在 -9-.

(24) 做大量符號運算時，我們很容易出錯，並且缺乏足夠的耐心。當算式中的符號個數上升到四位數後，紙筆計算便成為不可行的事，此時，使用 CAS 進行運算可以做到準確、快速、有效。 CAS 提供學習者進行數學實驗的空間，除了可以協助學習者驗證答案，免除繁雜的計算，節省計算時間並轉移於思考，也可以從上述的 CAS 表徵的各個模式中獲得觀察、歸納、建構知識的機會，此外，學習者平時礙於紙筆計算的麻煩或能力不足等因素而停頓的問題，也可以利用 CAS 依自己所欲進行之歷程繼續完成問題解決，增加了學習者探索數學知識之可能性。 CAS 包含大量的數學知識，但僅是數學的一小部分，有許多數學領域還未能涉及。雖然 CAS 在代替使用者進行繁瑣的符號運算上有強大的優越性，可是 CAS 數學軟體都有一定的局限，畢竟電腦是個機器，只能執行人們給它的指令。多數 CAS 對電腦硬體有較高的要求，在進行符號運算時，通常需要很大的容量和較長的計算時間，而精確的代數運算須以時間和空間為代價，這一點在資訊科技成長快速的現代是可以被克服的；使用 CAS 數學軟體所遇到的另一個問題是解決問題時所得的計算結果有時會很長，使用者有時可能會很難從結果中看到問題的要義。. 三、使用 CAS 的整合教學環境與教學模式傳統的教學系統只有教師、學生和教材三個要素，在資訊科技進步的現代則是多了一個要素－「教學媒體」。周琦（ 2005）認為這四個要素不是孤立地、簡單地組合在一起，而是相互聯繫、相互作用的有機整體。將資訊科技與學科課程作有效的整合，可以建構出一種理想的學習環境，可支援真實的情境假設、不受時空限制的資源分享、快速靈活的訊息獲取、豐富多樣的交互模式、打破地區界限的合作交流，以及有利培養學習者的自主發現和自主探索。資訊科技在與學科內容整合的環境下，不僅是輔助教學或輔助學習的工具，亦是啟發、促進學生自主學習的認知工具和情感激勵工具。由於數學的知識是抽象的，所用的術語也很抽象，如 "對稱 "、"極限 "、"軌跡 "等概念、關係、及動態的變化過程較讓人難以直接想像，而在資訊科技的輔助下能讓人心振奮，其運用可幫助教師和學生解決這些難處，激發學生探究的興趣，幫助學生更快速、更高品質地完成數學問題的探索。. - 10 -.

(25) 在此整合的教學環境下，提供學生自主探索、自我省思、同儕合作學習等機會，除了讓學生能主動、積極地 "動 "起來，更是使學生的創新思維與實踐能力在學習過程中得到有效的鍛鍊。而在利用資訊科技整合之數學教學環境中，學生學習知識時所經歷的操作、觀察、測試（試驗）、猜想、發現等過程變得更具體、清晰，嘗試錯誤的成分減少（比手算時較少不必要的嘗試及計算錯誤），數學思維的目的性增強，數學推理的邏輯基礎更為穩固，數學思考更具有程序性；因此，相對提高了學生透過自主積極的數學思維而成功建構數學概念、解決數學問題的可能性。Jonassen（ 1996）提到學習者若將電腦科技當作認知學習環境的工具，可以提升解決問題能力與擴展思考力，進而提升學習者知識建構與認知的能力。教師的教學模式以學生的學習發展做為根本目的和出發點，使所教知識能學生的生活世界連繫，幫助學生發現知識之笿中意義，激勵學生完成富有挑戰性的學習任務；引導學生創設和諧融洽的學習氣氛以利於小組合作學習與溝通。資訊科技與課程之整合須以數學的具體任務為完成目的，使學生的數學學習能自主地處於發現問題、用數學的模式提出問題、探索解決方法、解決問題的學習過程。而以資訊科技為主，有兩種教學模式值得我們深入探索：探究性學習模式和合作式學習模式，根據數學教學本身的特點，從數學課堂教學和數學實踐教學尋找切入點，創設具有豐富性、挑戰性和開放性的教學環境，為學生的發展提供更為寬廣、彈性、具創意的學習空間，讓學生在運用資訊科技中培養學生觀察、猜想、類比等數學思維。CAS能夠使學生以任何傳統的表徵形式來定義、結合、轉換、比較、或直觀操作函數與關係，可以在代數與幾何之間搭起橋樑，而教師惟有理解和掌握 CAS的功能及其教學意義，才能真正實現資訊科技與數學課程的有效整合。. 四、使用 CAS 時所產生的圖形誤解黃誌偉（ 2006）指出在使用 CAS時有相當多的微妙技巧，選擇適當的定義域與值域才能呈現合適的圖形。由於在 CAS整合環境下的數學學習，著重學生的自主學習，因此，螢幕上所呈現的圖形，可能在學生知識的建構過程給予不同的讀解，造成意義上的嚴重誤解。 Goldenberg（ 1988）提出在學生自主學習的情境下，探索係數對函數圖形的影響，可能建構出錯綜複雜的數學概念。舉例如下： - 11 -.

(26) 1. x軸和 y軸保持不變，常數項的改變所引發觀察線型函數圖形的錯覺學生從操作經驗中觀察圖形的移動方向，但有時並非是教師所預期的學習目標。針對線型函數 y = ax + b ，改變常數項 b，觀察圖形的變化，如圖 2-1-1所示，教師的期望乃是能得到 y = x − 1 向上平移 2單位可得 y = x + 1 的結果。但在同一個視窗，學生可能將其解讀為 y = x −1向左平移 2單位可得 y = x +1的結果，甚至可能會有 y = x − 1 向左上方平移可得 y = x + 1 的錯覺，這些在教師教導線型函數概念時，都不是教師所盼望得到的觀察結果。. 圖 2-1-1 直線圖形往左移動的錯覺. 圖 2-1-2 直線圖形往右移動的錯覺同樣地，如圖 2-1-2 所示，教師希望能得到 y = −2 x − 1 向上平移 2 單位可得. y = −2 x + 1 的結果。但在同一個視窗，學生可能將其解讀為 y = −2 x − 1 向右平移 1 單位可得 y = −2 x + 1 的結果，甚至可能會有 y = −2 x − 1 向右上方平移可得 y = −2 x + 1 的錯覺。. - 12 -.

(27) 2. x 軸和 y 軸的比例改變，視不同斜率之直線為兩平行線的錯覺 x軸和 y軸的比例會改變原有圖形的風貌，而影響學生對圖形的判讀。譬如數學上所定義直線之「斜率」，我們常會直觀地以直線斜的程度來比較，一旦 x 軸與 y 軸沒保持 1:1 的比例，很可能在比較二圖形時學生會將兩條不同斜率的直線看成是兩條平行線，如圖 2-1-3 所示。所以，在使用 CAS 時，必須注意 x 軸和 y 軸的比例或使用視窗的比例，才能去除其對圖形產生的影響，正確地讀取圖形所傳達的訊息。. 圖 2-1-3 視不同斜率之直線為兩平行線的錯覺. 3. x 軸和 y 軸的比例保持不變，視野大小改變，觀察同一函數圖形的錯覺如圖 2-1-4 所示，採用同一個一次函數 y = −2 x − 1 ， x 軸和 y 軸的維持 1:1 的比例，而將視野大小改變，也就是將圖形拉近（如左圖）或放遠（如右圖）來看，由於保角的因素，會讓學生覺得圖形很像、斜率一樣；但拉近、放遠的動作改變了距離，使得右圖的直線看起來比左圖的直線來得高，學生可能認為直線. y = ax + b 中的 b 有改變，因此影響學生對 y 截距 b 的判讀，甚至有可能會直接忽略。. 圖 2-1-4 直觀兩圖有高度差別而影響或忽略 y 截距的判讀 - 13 -.

(28) 同樣的狀況若發生在二次函數的探索，如圖 2-1-5 所示，拉近或放遠來看同一個拋物線的圖形，直觀的觀察會覺得二者的形狀不一樣，即開口大小不一樣，如此會影響學生對二次函數中 x2 項係數的判讀。此外，學生對圖形的位置也可能產生錯覺，可能會覺得左圖和右圖中的頂點不是同一點，亦可能會覺得左圖拋物線頂點附近的曲線較鈍、較為平緩。. y = x 2 − 3x + 1. y = x 2 − 3x + 1. 圖 2-1-5 直觀兩圖有開口大小不同、圖形位置不同的錯覺. 由上面的舉例可知，雖然 CAS 具有強大的繪圖功能，在程式的設計控制下，幾乎能作出數學中所有的函數圖形，提供數學教學者以 CAS 輔助教學來輔助學生概念之養成，但如何解讀 CAS 所產生的圖形，成為使用上不可或缺的重要問題，如何協助學生以 CAS 來輔助學習，達到正確的學習目標，亦是身為教學者的重要工作。. 五、 CAS 使用之新趨勢－圖形計算器（ graphing calculator ）在我們台灣大家很普遍地使用計算機（ calculator ），是一種小型的手持儀器，可用來完成計算，但通常僅能完成算術運算和少量邏輯操作，並顯示其結果。回顧計算器的歷史，中國的老祖宗們使用算盤，西洋的數學家們開發計算尺，就時代背景而言，這些都是數值計算的好用工具。過去有些計算器跟現在的電腦一樣大， 1623 年 W. Schickard 建造出世界已知的第一部機械式計算器，慢慢地被桌上型電力機械計算器取代。 1948 年造型輕便小巧的科塔計算器上市，計算機的市場又展開新的競爭年代。最後隨著積體電路和微處理器的開發，昂貴笨重的計算器逐漸被輕薄小巧的電子裝置所取代，今日大部分計算器是掌上型微電子裝置。. - 14 -.

(29) 近代較高階的科學計算器、工程型計算器可以支援三角函數、統計和其他函數。而最先進的現代計算器甚至可顯示圖形，並且包含 CAS ，我們稱之為圖形計算器（ graphing calculator ）。這種計算器是一種新型的數學工具，具備符號代數系統、幾何操作系統、數據分析系統等，可以直觀地繪製各種圖形，並進行動態演示、軌跡追踪。圖形計算器擴展了普通計算機的功能，具有強大的圖形功能、視覺化功能和 CAS 功能，是教學、學習和做數學的輔助工具，為數學思想提供視覺化的圖像，使組織、分析數據容易實現。這類計算器可顯示填滿螢幕的單一數值，並可將數字以科學記號的方式表現至 9.999999999 × 1099 ，如果使用者試圖輸入一個過大的數值或運算結果產生過大數值的算式（如：. 200! ），則計算器將顯示「 error 」，原因在於記憶體有限的計算器無法儲存如此巨大的輸入。使用圖形計算器時，如果輸入數學上未定義的函數或操作有誤時，亦會顯示「 error 」，例如：把數字或式子除以零、對負數取平方根（除了某些昂貴的計算器擁有可處理複數的特殊函數，大部分科學計算器並不允許複數的存在） …… 等。. 圖 2-1-6 Casio 的 CFX-9850GC PLUS. 圖 2-1-7 HP 50g. 圖 2-1-8 SHARP 的 EL-9900. 圖 2-1-9 TI-nspire 系列產品 - 15 -.

(30) 目前有一些公司開發圖形計算器進攻教育市場，如： Casio 的 FX-7000G 、. CFX-9800GFX-7400G PLUS 、 CFX-9750G PLUS 、 CFX-9850GC PLUS ；惠普 HP 的 HP 9g 、 HP 39gs 、 HP 40gs 、 HP 48gll 、 HP 50g ；夏普 SHARP 的 EL-9900 ；德州儀器的 TI-73 Explorer TM、 TI-83Plus、TI-83 Plus Silver Edition、 TI-84Plus、TI-84. Plus Silver Edition 、 TI-86 、 TI-89 Titanium 、 TI-92 Plus 、 Voyage TM 200 及最新開發的 TI-Nspire…… 等。以 TI 圖形計算器為例，其內部置了功能強大的數學教學軟體，如函數作圖、分析、幾何繪圖、符號運算、數據處理等系統，且具有編程功能。體型小攜帶方便，提供極大的便利性，讓學生能及時學習和解決腦海中和生活上隨時出現的問題，而且任何時間都可以使用圖形計算器，讓每一個普通教室成為計算機教室，讓每一個學生隨時隨地可以學習和探索數學。美國德州儀器（ Texas. Instruments, TI ）中國教育產品事業部（ 2004 ）在人教網的專家論壇中表示 TI 圖形計算器具有以下四個特色，其實這些特色亦是各個圖形計算器所努力的目標：. 1. 便攜性：圖形計算器可以在任何一間普通教室利用普通的投影機進行演示，還可以利用實物投影儀、電視、電腦等多種設備。此外，師生可以方便地隨身攜帶圖形計算器，教師隨時隨地可以備課，學生可以在教室、家庭、野外、運動場等各種場合進行數學實驗，透過探索科學，進行數學分析，從而發現規律。. 2. 專用性：圖形計算器起初乃為數學教學時使用，後來發展為數理綜合性的應用。其硬體和軟體都是基於教學目的而設計，不同於一般意義的計算機和掌上型電腦，因此，圖形計算器更專業化，更符合教學的要求和學習的需要，更具有實用價值。. 3. 多學科：圖形計算器不僅僅在數學課堂教學中可以得到廣泛應用，還可以透過以電腦為基礎的實驗室和儀器進行多種物理、化學、生物等學科的實驗。另外，由於數學軟體的使用，可以將實驗結果用適合的函數擬合，並用數學的方法分析，如此數學、物理、化學、生物等教學成為一個綜合理科的實驗、教學與學生創新實踐的過程。. 4. 網路化： TI 圖形電算機相互之間可以方便地傳輸數據和程式，更可以和相關的電腦數學軟體進行連繫、建立備份、綜合使用。同時，如今的 TI 圖形電算機已經可以連接互聯網，從網路上下載應用程式，更新作業系統，訂作做用戶界面，甚至完成數學作業等。. - 16 -.

(31) 圖形計算器不僅影響了老師的「教」，也改變了學生的「學」。其優點在於它提供給學生一個自我研究、自我學習的優良環境，激發了學生主動發展研究性學習的積極性，支持學生在數學各個領域的研究。學生可以在幾何、統計、代數、測量等方面集中精力和時間於做出選擇、反思、推理和問題解決（顧穎、張佶， 2005 ）。圖形計算器在數學實驗的過程中，扮演良好的輔助角色，對於學生的學習起了以下的功用：. 1. 圖形計算器可以減少繁雜計算，延伸大腦思維：利用圖形計算器學生可以做過去做不到或不太好做的事情。如：指數函數圖形的描繪及性質的歸納，紙筆作圖較費時、準確性不夠，且不便於研究函數的性質。若有圖形計算器的輔助，學生可以多個圖形，甚至任意選定多個不同的底數來比較。學習過程中減少繁瑣的低層次紙筆運算，而讓學生有更多的時間用於數學思維的訓練，再經過自己的實驗、觀察、歸納、猜想、驗證，親身去體驗知識的形成過程，因此，更容易去認識、理解和獲得抽象的數學概念及結論。. 2. 圖形計算器可以使抽象的數學變為可操作的：建構多重表徵的教學環境，學生可以自己動手進行數學實驗，使抽象的數學具體化，使靜態的數學動態化。圖形計算器的繪圖功能使學生易於掌握「數形結合」的思想，把一些抽象的概念和原理用直觀形象、生動活潑的形式表現出來，而且學生在自主發現規律、類比總結的過程中，加深對數學概念的理解和記憶。. 3. 圖形計算器為研究性學習創造條件：圖形計算器使學生可以有機會觸及課堂教學以外的更多實際生活中的問題（如：數學建模等），培養較具深的數學思維，並能更深層次地研究數學。在研究的同時，作為主體的學生在思想、行為、觀念等方面得到重視和鼓勵，使學生在這種氛圍下更願意去嘗試探索，培養了學生的自信心，滿足了學生的好奇心，提高了學生的自學能力。. 4. 圖形計算器激發了學生的學習數學的興趣：傳統數學教學中大量枯燥的公式、繁瑣的運算、複雜的空間圖形令部分學生感到害怕，尤其抽象思維能力不佳的學生更是感到自卑。圖形計算器中奇妙、直觀的圖形語言深深吸引了學生，學生對這種學習工具充滿好奇，由好奇激發出極大的興趣，啟動了學生的數學學習潛能。學生從親歷數學 - 17 -.

(32) 發現的過程、相互之間研究討論、發現總結規律，有時甚至發現新的問題，進而激發學生自行探究，學生在這種狀態下產生了濃厚的學習興趣和強烈的求知欲望，自覺主動地、快樂地學習。. Riedesel, Schwartz, and Clements （ 1996 ）表示計算器在他們社會中逐漸普及化，國小教師覺得如此會阻礙小孩們基本的算術能力，家長亦認同如此甚至會禁止他們的孩子使用計算器；還有一派的說法，認為學生使用計算器算數學是一種作弊行為，因而導致很多學校的學生會拒絕使用計算器運算的這個教學法。除了這些觀點之外，明智的老師認為計算器的確改變了我們做數學的傳統方式，而且應該教導學生如何正確地使用計算器，適當使用計算器的教學方法需要一些想像並仔細考慮教學上的目標是什麼。敏感的老師也企圖發表一些言論認為計算器的使用會對家長和孩子產生不良影響。由於有關學校是否使用計算器教學的相關研究數以百計， Riedesel et al.（ 1996 ）整理出一些正面的影響：. 1. 增加學生對解決問題的熱誠和信心。 2. 對數學有更正面的態度。 3. 有持續解決問題的能力。 4. 能自己決定使用或不使用計算器來計算。 5. 熟悉科技產品。 6. 增加對數字的觀念。 7. 增加對數字的熟練度。 8. 願意選擇任一種方法解決問題。 9. 利用練習題來增加學生建構數學規則的能力。 10. 發展學生對數學關係的探索和對數字屬性的觀念。 11. 清楚了解問題關鍵。 12. 增加解決問題的速度。 13. 能解決難度較高的問題，就是多重性類型。 14. 有效使用計算演算法。 15. 增加消費者知覺。 16. 促進團體合作。 17. 增加檢查答案的興致和能力。 18. 建立個人化，學生能夠獨立發展新觀念。然而，還是有一些其他顧慮值得我們教師注意：例如學生可能以錯誤的方式使用計算器，並對計算器的信賴而盲目相信答案；教師為了破解學生的盲從， - 18 -.

(33) 常會指導學生以人工驗算，並確認其答案的正確性。當然，學生也有可能只運用計算器取得答案，而不了解運算的真實意義，例如輸入 ( − 1) × ( − 1) 獲得「 1 」的結果，但卻不了解背後「負負得正」的規則；在此情況下，計算器成為學生的依賴而非學習輔助工具，使學生對任何簡單的運算都以計算器求解，並降低應答的速度，這不是數學教師所樂意見到的。因此，當我們進行教學活動使用學習輔具時，應該於適切的時機使用，並且在旁協助學生數學概念的養成。. 第二節. DERIVE. 本研究將以電腦代數系統的軟體 DERIVE 6 作為研究工具。如同「電腦代數系統」之名， DERIVE 在處理代數問題具有強而有力的功能。. 一、 DERIVE 的歷史發展簡介西元 1979 年， CAS 只能在大型的主機電腦才可以使用，而且幾乎在學術機構才有機會使用。由 Albert D. Rich and David R. Stoutemyer 所建立的 Soft. Warehouse 希望能讓 CAS 能廣泛地由群眾在 PC 個人電腦上使用，進行開發 muMATH，並於 1979 年開始發行 muMATH-79，在 8080 和 Z80 電腦上只要 48KB 的記憶體就可以執行 CP/M （ Control Program/Monitor or Control Program for. Microcomputers ），在 Radio Shack TRS-80 電腦上面可以執行 TRS-DOS （ the Tandy Radio Shack - Disk Operating System ）；當時使用於 DOS 系統，所佔容量不大，卻能以高速運算協助解決數值運算及代數問題。在 1980 年發行. muMATH-80，除了可以用在前述的電腦，亦可在 Apple Ⅱ電腦使用。接著，1983 年發行 muMATH-83 可以在 IBM-PC XT 電腦執行，而且只需要 300KB 的記憶體。. muMATH 的「 mu 」來自希臘字母 μ，在十進位的系統中代表微米，也就是百萬分之一（ 10−6 ），由於這個數學程式在當時可以在小型電腦的微處理器（ micro-processors ）上使用，所以很自然地被取名為 muMATH 。 muMATH 以. muSIMP 語言寫成，由 LISP 語言改進而來，提供了更普通常見的語法，將符號嵌入數學運算中，取代原本 LISP 語言中以字首前綴的方式，如在 LISP 中以 (+. 3 4) 呈現，而在 muSIMP 則以 3+4 直接呈現。後來 muSIMP 發展成 muLISP 語言。 - 19 -.

(34) 表 2-2-1 DERIVE 的歷史發展簡史發行年份. 系. 統. 需. 求. muMATH-79. 1979. ran on 8080 and Z80 computers with as little as 48K bytes of memory running CP/M, and on Radio Shack TRS-80 computers running TRS-DOS.. muMATH-80. 1980. ran on the above computers as well as the 6502 based Apple Ⅱ computers.. muMATH-83. 1983. ran on the above computers as well as the 8088 based IBM PC and XT computers with as little as 300K bytes of memory.. DERIVE T M. 1988.10. had an easy to use menu-oriented CAS interface, 2D and 3D graphics, and ran on PC compatible computers running MS-DOS with a minimum of 512K bytes of memory.. DERIVE for Windows. 1996.10. had a GUI Windows interface, a 32-bit math engine kernel, and ran on PC compatible computers running MS Windows and NT.. 2000. requires Windows 2000 or XP (Minimum RAM and processor requirements are the same as the operating system requirements), a CD-ROM drive for installation, and at least 10MB (or 20 MB if also TI-Connect is to be installed) of free disk space.. DERIVE 6. DERIVE 6.1. requires Windows 98, Me, 2000 or XP (Minimum RAM and processor requirements are the same as the operating system requirements), a CD-ROM drive for installation, and at least 10MB (or 20 MB if also TI-Connect is to be installed) of free disk space. Derive 6.01 did not run under Windows Me, 98, NT 4.0, and Windows 95 because Derive 6 uses Unicode fonts which are not supported by this systems. Starting with version 6.1, this issue has been resolved and Derive can now be used with Windows 98 and Me too.. 資料來源： Soft Warehouse Europe（ http://www.derive-europe.com/main.asp）. 而後這些為 CAS 努力的軟體設計者認為程式有必要重寫，不能只是升級或改善 muMATH 而已。 LISP 是經常用來寫人工智慧軟體的語言，改版後的軟體即是使用此語言，尤其是使用 muLISP 語言，而新軟體中將符號以隱含的方式呈現，使得其所需容量更小，且具更有效率的運算能力。對於此軟體是否承繼. muMATH 之名，設計者掙扎許久，而為了呈現其在電腦上做數學時動態和創造性的過程這個特色，因此將它命名為「 DERIVE 」。. DERIVE 是 muMATH 的後繼版本，它是第一個在 PC 個人電腦上營運的符號運算系統， 1988 年的 DERIVE 為 MS-DOS 版本，具有友好的選單驅動介面和圖形介面，可以很方便地顯示二維和三維圖形。它唯一的缺陷是沒有編程功能，直到 1994 年 DERIVE 3.0 的版本問世時，才提供了有限的編程功能。 1996. - 20 -.

(35) 年的 DERIVE 為 MS Windows 和 NT 版本，擁有圖形使用者（ Graphical User. Interface, GUI ）視窗介面； 2000 年 DERIVE 6 的版本發行，可使用於 Windows 2000 和 Windows XP 這些平台；而最新的 DERIVE 6.1 的版本克服了 Unicode fonts 於使用 Windows 98 和 Windows Me 平台時的衝突，也可以在這二種平台上使用。雖然開發已久，但至今尚未正式引入台灣。. DERIVE 的原創公司 Soft Warehouse 被美國德州儀器公司（ Texas Instruments, TI ）併購，DERIVE 成為 TI 教育產品的一員。由於 TI 是硬體廠商，真正要賣的是掌上型計算機，此新一代的計算機兼具運算功能和測繪功能，不難想像 TI 買下 CAS 數學軟體 DERIVE 的目的，是為了它的技術，並進一步把技術轉移至掌上型計算機，將它改寫成掌上型計算機的程式。當然，因此造就了 DERIVE 和 TI 的掌上型計算機有著方便的溝通關係，也共同來主攻高中到大一這個範圍的教育市場，除了有較簡單的介面設計供學生使用，亦特別設計「 step 」的功能，讓微分、積分等動作能顯示一步步的運算過程，供學生學習。近日，研究者得到一個很遺憾的消息， TI 和 Soft Warehouse 決定於 2007 年七月底停售 DERIVE ，除了波蘭語、捷克語、匈牙利語和日語這些版本將於在地廠商銷售到 2008 年十二月底。而 DERIVE 將由 TI 新產品 TI-nspire 取代。. TI-nspire 將併入極重要的 DERIVE 特色及其兼容性，支撐著名的圖形計算機 TI-92、 TI-89、 Voyage TM 200 的技術進一步成為新一代 Math/CAS 工具，採取創新的雙重平台設計（掌上型＋ 100% 電腦相容）及各種不同構成要素（ CAS、繪圖、幾何、試算表）的密切整合。由於 TI-nspire 有攻佔教育市場的企圖心，未來數學教育學者亦可考量利用它來教與學，將它引入國內並使用於中等教育以上之教學應用的可能性。. 二、 DERIVE 的界面和功能簡介. CAS 數學軟體 DERIVE 在處理代數問題具有強大功能，可以處理代數變量（ algebraic variables ）、代數式、方程式、函數、向量和矩陣，亦能執行數值計算和符號運算，處理代數、三角學、微積分的問題，而且可以使用數值方式繪製二維和三維的圖形，如圖 2-2-1 所示。本研究使用 DERIVE 6.0 版本，研究中以「 DERIVE 」簡稱之，使用於. Windows 2000 和 Windows XP 視窗系統。相較於其它 CAS 軟體，它將常用的指令以視覺化的小圖示呈現（如圖 2-2-2 ），而許多功能亦以選單的方式呈現（如圖 2-2-3 ），不但讓初學者很容易上手，甚至容易操作使用。因此，高等教育的 - 21 -.

(36) 學生可以使用它來解決繁雜的運算及代數問題，由於介面簡單及指令的視覺化及選單化，使中等教育以下的學生亦可在數學活動中配合使用之。. 圖 2-2-1 DERIVE 的界面和功能簡介. 圖 2-2-2 DERIVE 將常用的指令以視覺化的小圖示呈現. 圖 2-2-3 DERIVE 將功能以選單的方式呈現. - 22 -.

(37) DERIVE 主要的長處在於使用符號代數 (symbolic algebra) 及強大的製圖法。我們可以直觀輸入代數式，解決相關問題，例如當我們要輸入 ab 這一項時，其他 CAS 軟體可能要以「 a * b 」的型式輸入，而 DERIVE 除了可以用這個方法，也可以直接用「 ab 」或「 a b 」輸入。最神奇的是它對於隱函數可以直接繪出圖形，無須利用參數慢慢繪製，如圖 2-2-4 所示，譬如我們要繪製一個以原點為圓心、半徑為 5 的圓，可以直接利用圓的方程式 x 2 + y 2 = 16 來繪製，不一定 ⎧ x = 4 cos θ 要把圓的方程式改成參數式 ⎨ 才能完成圖形之繪製。 ⎩ y = 4sin θ. 圖 2-2-4 DERIVE 對於隱函數可以直接繪出圖形. 以教育市場為目標， DERIVE 6.0 版本較先前的版本新增了一些功能，值得我們注意：. 1. 新增「 step 」功能，能列出代數式簡化過程的步驟和轉換的規則，也就是能將複雜的解題流程，按照解題步驟一步一步呈現，同時並可顯示每一步驟的轉換所使用之數學性質及規則，如此可以讓學生明瞭解題的流程、學習代數式簡化過程的微妙之處。學生學習一個題目就好像是觀察一個專家的思考流程，而在探索專家使用的步驟時，可加深學生對解題的理解，認清解題過程的規則。. 2. DERIVE 與 TI-89, TI-89 Titanium, TI-92 Plus, and Voyage TM 200 這些掌上型圖形計算機之間可以傳送和接收工作單。目前國外圖形計算機漸為廣泛利用，學生人手一機，利用 DERIVE 和圖形計算機之間的連結功能，可以讓教師利用電腦適當傳遞指令給學生，而學生也可以將自己使用圖形計算機的想法回傳給電腦。. - 23 -.

(38) 圖 2-2-6 Voyage TM 200. 圖 2-2-5 TI-89 Titanium. 3. 可以使用拉霸（ Slider Bar ）來控制代數式中的參數，動態模擬參數的改變對圖形的影響。而由視覺上的動態模擬，更可讓學生觀察、推論、歸納代數式之參數與圖形之間的關係。. 4. 顯示方程式的圖形時，能自動標示圖形之代數式，便於學生了解代數式與圖形之對應，進而觀察、推論、歸納代數式與圖形之間的關係。. 5. 利用滑鼠可以轉動 3D 圖形。 6. 提供 online help 功能。 7. 可以依自己的喜好來訂作工具箱、快速鍵和選單。不管是解決數學問題、研究數學學問，還是教授數學課程或學習數學知識，這是一個極好的輔助工具軟體。以教學的角度來看 DERIVE ，它提供了一種有別於傳統的新方式，利用鍵盤的敲擊，它消除長時間進行數學計算的苦工，但這不代表 DERIVE 必須淪為計算工具。當 DERIVE 協助使用者去解決數學問題及減輕計算部分的負擔，以教師的課程教授，加上學習單的輔助，可以讓學習者更能專心於所遭遇問題的數學意義，建構所涵蓋的數學概念。. 三、 DERIVE 於高中教學的適用性利用 DERIVE ，除了可以幫助學生處理或解決代數問題，藉由繪製二維和三維的圖形，更可讓學生看到傳統課堂中所不能給予之動態模擬情境及代數與圖形之間的關係，給予學生觀察、自主學習的機會，加強代數與圖形的結合，加深學生對數學概念的了解。. Lindsay （ 1995 ）表示，七十年代以來 CAS 蓬勃發展，欲成為數學教學使用工具，可惜要被視為學習輔助的接受度有限。 Lindsay 持續關心大學數學教育，覺得大學講師有職任去探索 CAS 的濳力，並研究將其與課程結合的方法。以他二年的 CAS 輔助教學的經驗，提出 CAS 數學軟體 DERIVE 可做為論證示 - 24 -.