教學實施後之影響

1. 當 學 生 在 觀 察 函 數 係 數 的 變 化 對 其 圖 形 的 影 響 時 ， 可 提 醒 學 生 記 錄 下 控 制 變 因 （ 保 持 不 變 的 要 素 ） ， 再 就 操 縱 變 因 （ 持 續 改 變 的 要 素 ） 來 觀 察 、 分 析 、 類 比 、 推 論 。

2. 平 時 若 是 利 用 課 餘 時 間 以 DERIVE 輔 助 教 學，當 學 生 有 主 動 要 求 再 多 一 點 時 間 給 他 們 觀 察 的 時 候 ， 教 師 不 妨 順 應 學 生 之 意 ， 或 許 在 學 生 自 由 意 願 下 的 探 索 與 學 習 ， 可 以 激 出 不 同 的 火 花 ！

整 個 教 學 歷 程 依 組 別 逐 次 進 行 教 學 活 動 ， 進 行 反 思 與 回 饋 。 在 教 學 活 動 進 行 時 ， 教 師 對 於 該 組 學 生 之 學 習 狀 況 適 時 做 即 時 性 調 整 ， 並 於 該 組 教 學 活 動 結 束 後，針 對 教 學 活 動 教 案 設 計 施 予 立 即 性 修 正，以 作 為 未 來 使 用 DERIVE 教 學 的 可 行 性 模 式 。

為 了 讓 未 來 教 師 明 瞭 課 程 調 整 前 後 之 差 異 ， 所 以 有 關 教 案 設 計 的 修 正 部 分 ， 研 究 者 以 紅 色 字 體 來 辨 識 ， 詳 見 附 件 四 之 教 學 活 動 教 案 設 計 。

第二節 教學實施後之影響

本 節 將 討 論 在 教 學 活 動 進 行 後，針 對 多 項 式 的 學 習，CAS 數 學 軟 體 DERIVE 是 否 能 促 進 學 生 學 習 ， 增 進 學 生 對 知 識 的 建 構 與 了 解 ？ 比 較 研 究 對 象 學 習 成 就 測 驗 前 後 測 之 結 果 ， 來 觀 看 學 生 數 學 學 習 的 成 效 ； 同 時 ， 從 學 生 問 卷 及 訪 談 的 回 饋，了 解 學 生 在 經 過 DERIVE 輔 助 學 習 活 動 後 之 學 習 成 效 和 態 度 的 改 變，以 及 對 此 試 探 性 教 學 活 動 的 看 法 。

一 、 學 習 成 就 測 驗 前 後 測 之 比 較

蒐 集 研 究 對 象 學 習 成 就 測 驗 前 測 試 題 及 後 測 試 題 ， 研 究 者 分 別 就 前 測 及 後 測 之 答 題 結 果 予 以 計 分 統 計 ， 此 外 ， 不 管 研 究 對 象 答 對 或 答 錯 ， 研 究 者 將 每 個 研 究 對 象 答 題 所 寫 的 內 容 進 行 分 析，了 解 其 解 題 時 所 使 用 的 策 略（ 詳 見 附 件 九、

附 件 十 ） ， 並 加 以 比 較 。 以 下 將 依 測 驗 答 對 率 及 測 驗 答 題 內 容 來 進 行 討 論 ： (一 ) 測 驗 答 對 率 之 比 較

配 合 本 研 究 欲 達 成 之 教 學 目 標 ， 設 計 學 習 成 就 測 驗 ， 前 測 和 後 測 使 用 同 一 份 試 題 。 測 驗 試 題 有 17 題 ， 共 計 20 格 ， 每 格 採 5 分 計 算 。 其 中 第 1 題 和 第 2

題 為 多 重 選 擇 題，採 部 分 給 分 且 不 倒 扣；第 10 題、第 13 題 和 第 14 題 研 究 對 象

在 表 4-2-1 中 呈 現 各 個 研 究 對 象 在 整 個 教 學 實 驗 剛 開 始 時 所 做 的 學 習 成 就 測 驗 前 測 結 果 。 雖 然 研 究 對 象 在 高 一 上 學 期 已 學 過 多 項 式 的 單 元 ， 而 且 試 題 內 容 部 分 來 自 實 驗 學 校 高 一 上 學 期 數 學 科 第 三 次 段 考 試 題 （ 段 考 範 圍 恰 以 多 項 式 為 主 題 ），但 就 此 次 測 驗 的 結 果 來 看，8 名 研 究 對 象 平 均 答 對 率 僅 為 36.375%。

關 於 各 題 之 答 對 率，只 有 被 研 究 者 用 來 測 驗 先 備 知 識 的 第 1、2、3、4 題，以 及 用 來 測 驗 代 數 基 本 定 理 、 虛 根 成 對 定 理 、 或 方 程 式 與 函 數 圖 形 之 關 係 的 第 12 題 單 選 題，這 5 格 有 超 過 60%的 答 對 率；同 時，有 8 格 的 答 對 率 低 於 30%，甚 至 有 4 格 的 答 對 率 為 0%（ 第 11(1)、 11(2)、 11(3)、 16 題 ）。

若 按 8 名 研 究 對 象 的 答 題 狀 況 來 看，每 人 20 格，總 計 160 格。學 生 有 作 答 的 部 分 ， 其 中 作 答 正 確 無 誤 者 共 46 格 （ 佔 28.7%）， 作 答 不 完 全 正 確 者 （ 包 含 答 錯 ）共 79 格（ 佔 49.4%）；換 句 話 說，學 生 未 能 得 分 的 格 數 有 35 格（ 佔 21.9%）。 值 得 注 意 的 是 在 未 得 分 的 格 數 中 有 17 格（ 佔 10.6%）是 學 生 未 寫 答 案，但 有 解 題 想 法 及 計 算 過 程；有 18 格（ 佔 11.3%）是 學 生 完 全 放 棄 而 未 作 答，其 中 學生 直 接 放 棄 答 題 的 格 數 大 多 集 中 於 第 11(2)題 和 第 11(3)題 。

答 對 率 為 0%、 而 且 有 多 位 學 生 直 接 放 棄 作 答 的 第 11 題 ， 其 測 驗 內 容 如 下 所 示 ：

11.拋 物 線 Γ 之 方 程 式 y＝ （ x－ 1）²， 則 ：

(1)將 Γ 依 水 平 方 向 右 移 ， 第 一 次 經 過 點 （ 4， 4） 時 的 拋 物 線 其 方 程 式 為 ______。

(2)將 Γ 依 直 線 y＝ x 向 東 北 方 向 移 動 ， 當 它 第 一 次 經 過 點 （ 4， 15） 時 其 拋 物 線 方 程 式 為 ______。

(3)若 將 Γ 翻 轉 使 其 開 口 向 下 ， 而 頂 點 保 持 不 變 ， 對 原 拋 物 線 開 口 加 以 放 大 ， 使 拋 物 線 正 好 通 過 點 （ 4， － 4） 時 ， 則 此 時 新 拋 物 線 的 方 程 式 為 ______。

對 於 函 數 圖 形 平 移 的 概 念 ， 學 生 習 慣 去 處 理 那 些 已 知 圖 形 往 哪 一 個 方 向 平 移 多 少 單 位 的 問 題 ， 一 旦 換 成 第 11(1)題 的 描 述 ， 學 生 便 無 法 去 揣 測 「 第 一 次 經 過 」 的 意 義 ， 甚 至 會 因 為 在 乎 圖 形 經 過 (4,－ 4)這 個 點 ， 而 忽 略 了 圖 形 平 移 的 動 作或 方 向。第 11(2)題 中 描 述 圖 形 向 東 北 方 向 移 動，不 是 學 生 習 慣 的 題 型，學 生 亦 無 法 把 它 轉 換 為 圖 形 同 時 向 右 移 n 單 位 及 向 上 移 n 單 位 的 概 念 ， 8 人 有 6 人 未 作 答 ， 甚 至 多 達 5 人 直 接 放 棄 嘗 試 解 題 。 或 許 是 受 前 二 題 的 影 響 ， 抑 或 是 無 法 去 模 擬 函 數 的 動 態 呈 現，第 11(3)題 居 然 有 7 人 未 作 答，其 中 有 6 人 直 接 放 棄 嘗 試 解 題 。

在 表 4-2-2 中 呈 現 8 個 研 究 對 象 在 教 學 活 動 結 束 後 所 做 的 學 習 成 就 測 驗 後

同 樣 地，若 按 8 名 研 究 對 象 的 答 題 狀 況 來 看，每 人 20 格，總 計 160 格。學

別 多 項 式 的 因 式 ； 第 3 題 是 關 於 多 項 式 同 類 項 的 合 併 以 及 對 多 項 式 次 數 的 了 解 ； 第 4 題 是 有 關 多 項 式 整 除 的 問 題 。

在 前 測 時 ， 第 1 題 有 多 數 學 生 未 能 清 楚 了 解 多 項 式 之 變 數 不 能 置 於 分 母 、 指 數 位 置 、 絕 對 值 內 ， 亦 未 能 清 楚 像 ² x

5x y +3

−y 這 種 型 式 的 多 項 式 對 x 來 說 也 是 x 的 多 項 式 。 在 第 2 題 ， 學 生 能 用 長 除 法 、 綜 合 除 法 、 因 式 分 解 、 或 利 用 因 式 定 理 來 找 多 項 式 的 一 次 因 式，但 在 了 解 x－ 1 為 f(x)的 因 式 之 餘，卻 容 易 忽 略 3x－ 3 亦 為 f(x)之 因 式 。 在 第 3 題 ， 學 生 能 明 白 多 項 式 次 數 的 意 義 ， 以 同 類 項 合 併 的 處 理 方 式，進 一 步 去 解 未 知 數 a,b。在 第 4 題 中，學 生 能 了 解 整 除 的 意 義，

答 對 者 皆 以 長 除 法 的 方 式 來 協 助 解 題 。

從 後 測 中 ， 學 生 減 少 了 前 述 的 缺 失 處 ， 更 明 白 什 麼 是 多 項 式 、 什 麼 是 多 項 式 的 因 式 、 什 麼 叫 整 除 、 如 何 去 找 多 項 式 的 因 式 ， 先 備 知 識 更 為 強 化 、 鞏 固 。 因 此 從 後 測 的 答 對 率 中，除 了 第 3 題 學 生 容 易 計 算 錯 誤 以 外，第 1 題、第 2 題、

第 4 題 皆 有 很 高 的 答 對 率 （ 92.5%、 87.5%、 75.0%）。

2. 具 有 更 有 效 之 解 題 策 略

在 面 對 生 活 化 的 問 題 時，能 將 已 知 條 件 轉 化 成 以 數 學 方 式 來 解 決。以 第 16 題 為 例 ， 小 穎 在 前 測 時 曾 嘗 試 解 題 ， 但 苦 無 其 他 解 題 策 略 ， 故 將 原 本 嘗 試 的 過 程 擦 去 ， 選 擇 不 做 答 。 然 而 其 在 後 測 的 表 現 良 好 ， 能 將 拋 物 線 的 問 題 轉 化 為 二 次 函 數 的 數 學 問 題，假 設 二 次 函 數y=ax²+bx+ ，將已知條件分別轉化成拋物線c 與 y 軸 之 交 點、拋 物 線 頂 點、拋 物 線 與 x 軸 之 交 點，做 出 聯 立 方 程 式，求 得 a、

b、 c， 進 而 解 決 問 題 。 如 圖 4-2-1， 小 穎 以 更 有 效 的 解 題 策 略 來 作 答 。

圖 4-2-1 小 穎 在 第 16 題 的 答 題 內 容

3. 具 有 更 精 確 之 解 題 策 略

在 前 測 時 ， 有 關 函 數 圖 形 的 繪 製 ， 學 生 所 用 的 方 法 多 為 描 點 的 方 式 。 點 描 多 一 點 即 可 看 出 函 數 圖 形 之 趨 勢 走 向 ， 但 點 描 少 一 點 時 ， 則 會 受 學 生 自 己 認 知 的 影 響。如 圖 4-2-2 和 圖 4-2-3，阿 全 和 欣 欣 在 前 測 時 都 使 用 了 描 點 法，描 繪 了 三 個 點 (0, 0)、 (1, 1)、 (2, 8)但 由 於 對 三 次 函 數 完 全 沒 有 概 念 ， 不 約 而 同 地 都 把 三 次 函 數y=x 的 圖 形 視 為 拋 物 線 的 圖 形 ， 因 此 在 描 了 三 個 點 之 後 ， 即 以 線 對 稱³ 的 方 式 來 成 圖 。 經 過 教 學 活 動 的 練 習 及 學 習 之 後 ， 阿 全 利 用 同 樣 的 三 個 點 ， 但 他 了 解 三 次 函 數 的 發 展 趨 勢 ， 故 以 點 對 稱 的 型 式 來 成 圖 ； 而 欣 欣 則 是 明 瞭 三 次 函 數 的 圖 形 不 是 拋 物 線 ， 因 此 採 取 多 畫 一 些 點 以 精 準 成 圖 。 由 於 二 人 皆 有 正 確 的 認 知 ， 具 有 精 確 的 解 題 策 略 ， 所 以 能 成 功 畫 出 三 次 函 數 的 圖 形 。

（ 前 測 ） （ 後 測 ）

圖 4-2-2 阿 全 在 第 17 題 的 答 題 內 容

（ 前 測 ） （ 後 測 ）

圖 4-2-3 欣 欣 在 第 17 題 的 答 題 內 容

萱 萱 後 測 的 第 7 題，有 別 於 前 測 她 假 設 a、b，僅 以 拋 物 線 開 口 方 向 和 直 線 斜 率 來 協 助 判 斷，在 後 測 時 多 用 了 拋 物 線 頂 點 的 概 念，不 再 是 將 a、b 以 數 字 代 入 ， 而 改 由 a、 b 的 正 負 來 協 助 判 別 ， 如 圖 4-2-4。

圖 4-2-4 萱 萱 在 第 7 題 的 答 題 內 容

在 此 提 出 一 個 方 程 式 的 例 子，綾 綾 在 解 決 第 15 題 時，如 圖 4-2-5 所 示，前 測 似 乎 利 用 根 與 係 數 的 關 係 來 協 助 解 題 ， 但 她 反 應 說 其 實 她 也 不 確 定 能 不 能 用 ， 當 算 出 結 果 後 發 現 k 居 然 是 複 數 ， 她 也 嚇 了 一 跳 ， 在 不 確 定 答 案 對 不 對 的 狀 況 下 ， 她 也 只 好 硬 著 頭 皮 將 答 案 寫 上 去 。 但 是 在 後 測 的 時 候 ， 綾 綾 明 確 了 解 根 與 方 程 式 的 關 係，而 且 在 題 目 沒 說 明 k 是 不 是 實 數 時，不 能 用 虛 根 成 對 定 理，

誤 把1 i− 當 另 一 根 處 理，因 此，她 選 擇 利 用 把 根1 i+ 直 接 代 入 方 程 式 的 方 式 來 求 得 未 知 數 k 該 是 多 少 。 這 一 題 有 幾 個 學 生 都 是 使 用 相 同 的 解 題 策 略 ， 可 能 是 對 複 數 的 運 算 不 夠 熟 悉 ， 可 惜 在 計 算 過 程 中 產 生 錯 誤 ， 未 能 正 確 求 解 。

（ 前 測 ）

（ 後 測 ）

圖 4-2-5 綾 綾 在 第 15 題 的 答 題 內 容 4. 具 有 更 多 元 之 解 題 策 略

以 第 14 題 為 例，在 前 測 時 當 學 生 已 知 方 程 式3x⁴−10x³+4x²− −x 6=0有 一 根 為1 3

2 + i

時 ， 雖 有 半 數 的 學 生 直 覺 聯 想 到 虛 根 成 對 ， 但 確 沒 有 人 能 正 確 完 整 解 題 。 而 錯 誤 的 原 因 有 ： 利 用 根 與 係 數 的 關 係 來 運 算 ， 結 果 計 算 錯 誤 ； 利 用 已 知 根 來 寫 出 因 式 ， 而 在 使 用 長 除 法 找 其 他 因 式 時 ， 錯 讀 商 式 而 寫 錯 方 程 式 的 解 ；

作 答 時 未 依 題 意 寫 出 所 有 解 ； 僅 知 道 方 根 式 有 另 一 根 為1 3

解 題 的 方 法。像 第 11 題 這 三 小 題 在 後 測 時 直 接 放 棄 的 狀 況，明 顯 地 比 前 測 好 很 多，從 先 前 直 接 放 棄 答 題 的 總 格 數 11 格 降 低 為 6 格，而 各 題 之 答 對 率 也 不 再 是 前 測 時 的 0%， 皆 在 大 家 的 努 力 嘗 試 下 而 攀 升 。

不 過 ， 在 學 習 成 就 測 驗 後 測 中 ， 研 究 者 亦 看 到 學 生 在 解 題 過 程 中 的 缺 失 ， 這 些 都 是 身 為 教 育 者 需 要 注 意 的 項 目 ， 亦 要 設 法 協 助 學 生 補 強 ：

1. 計 算 錯 誤

在 後 測 的 測 驗 中 ， 許 多 學 生 在 解 題 的 過 程 中 有 更 明 確 之 解 題 方 法 ， 相 較 於 前 測 ， 研 究 對 象 自 己 本 身 會 有 更 正 確 、 更 鞏 固 的 數 學 概 念 。 但 很 遺 憾 的 是 有 些 題 目 雖 然 學 生 有 正 確 的 解 題 策 略 ， 但 難 免 有 人 會 因 計 算 錯 誤 而 無 法 完 全 正 確 作 答 。 這 樣 的 錯 誤 在 第 3、 4、 、 9、 13、 14、 15 題 中 都 有 這 樣 的 情 形 產 生 。

研 究 者 認 為 利 用 DERIVE 來 輔 助 學 生 學 習，可 以 藉 由 電 腦 將 代 數 概 念 和 圖 像 幾 何 連 結 ， 增 加 學 生 別 於 傳 統 教 室 學 習 的 經 驗 ； 但 是 ， 電 腦 輔 助 教 學 並 不 能 完 全 取 代 傳 統 教 室 教 學 。 雖 然 繁 複 的 計 算 可 以 讓 電 腦 幫 我 們 處 理 ， 而 電 腦 的 操

研 究 者 認 為 利 用 DERIVE 來 輔 助 學 生 學 習，可 以 藉 由 電 腦 將 代 數 概 念 和 圖 像 幾 何 連 結 ， 增 加 學 生 別 於 傳 統 教 室 學 習 的 經 驗 ； 但 是 ， 電 腦 輔 助 教 學 並 不 能 完 全 取 代 傳 統 教 室 教 學 。 雖 然 繁 複 的 計 算 可 以 讓 電 腦 幫 我 們 處 理 ， 而 電 腦 的 操