結論與建議

本研究乃是將數學軟體 DERIVE 應用於高中數學的教學研究，探討在進行

「多項函數的圖形」和「多項方程式」二個單元活動後對學生數學學習的影響。以下依據研究結果歸納結論，並提出對未來教學研究的建議，作為未來相關研究之參考。

第一節結論

本節主要根據學生學習歷程、教學實施後之影響及教師成長的研究分析結果進行歸納與整理，針對多項式概念的學習，探討數學軟體 DERIVE 應用於高中數學教學的可行性，以及使用數學軟體 DERIVE 的輔助學習對學生學習多項式概念之影響。

研究問題一：使用數學軟體 DERIVE 應用於輔助高中學生學習多項式概念是否可行？

從研究結果發現，在教師設計合適的學習單循序漸進地引導學生學習的狀況下， DERIVE 免除學生作單調繁雜的計算，讓學生有更多的時間去作數學思考；當 DERIVE 使得抽象的數學變成可以具體操作時，平日學生比較難解的問題，甚至是容易放棄的難題，在 DERIVE 的輔助下，學生得以延續心中的解題策略來鑽研問題，而 DERIVE 的操作容易，讓學生有探索較具深度之數學概念的機會；有別於傳統教室教學的呈現，除了給學生帶來新鮮感，亦激發學生學習數學的興趣。本研究以 DERIVE 來輔助教學的模式，學生反應可以適應、接受這樣的模式，並不會因此而無法專心，且依學生學習成就之前後測的整體結果以及學生給予的回饋，研究者相信數學軟體 DERIVE 應用於輔助高中學生學習多項式是具可行性的。

以 DERIVE 來輔助教學，支援教師呈現平日較難呈現的部分，例如以多量實例快速論證代數基本定理及實係數多項方程式虛根成對定理；教師為學習目標設計合適的學習單，在學習素材的循序輔助以及教師適當地介入引導，資訊科技可以創造有利培養學生的自主發現和自主探索的機會。教師將 DERIVE 融入教學，除了要有接觸與熟悉數學軟體的心理準備，還可能會遭遇教學環境的

限制與壓力，如：電腦教室借用不易、電腦教室的秩序管理不易、教學時數有限、教學進度所帶來的壓力。而教師的教學熱忱及努力付出是足以克服這些恐懼，在教師努力規劃經營下，必能藉此展現數學魅力、揭示數學本質、激發學生數學興趣。

DERIVE 的輔助學習，學生可能只注意到電腦呈現的結果，未能切中問題的要義； DERIVE 能快速呈現代數式的圖形，但是學生可能在解讀圖形時會有迷失概念，影響其接續對代數式之數學意義的判定。教師必須了解 DERIVE 不該只是學生驗證答案的工具，應該是學生的學習輔具，於適當時機以適當方式輔助，且教師有義務在旁做適當的介入與引導，協助學生數學概念的養成。此外，教師的口頭鼓勵及提示，讓學生有方向且有信心去進行探索試驗的動作。

研究問題二：使用數學軟體 DERIVE 的輔助學習下，對學生學習多項式概念有何影響？

關於多項式的學習，在以 DERIVE 輔助學生學習的教學環境下，學生有不錯的表現。依學習單中的提示，觀察函數圖形的各種性質，皆順利產生正確的認知，且皆能利用 DERIVE 的功能，來追踪函數上的點來做細部觀察。DERIVE 的輔助學習，讓學生可以將多項函數的代數表徵和圖形表徵作一連結，來觀察、

類比、推論出圖形的發展趨勢與其代數式之間的關係。藉由電腦的輔助，減少計算的時間，使得學生可以全專注於數學概念的建構，且有更豐富的推論。面對四次以上的方程式，學生解題明顯有困難，而 DERIVE 的輔助使他們能利用自己的想法去操作軟體，使得平日利用紙筆運算的他們， DERIVE 的輔助延續了他們心中的解題策略，完成較艱深問題的問題解決。

從學習單的設計輔助，研究者發現學生表徵之間的轉換，代數轉換到圖形會比圖形轉換到代數容易；學生可以容易地利用求函數值的方式來描點並畫出圖形，但若要以圖形來找出函數，或者是圖像的變化來直接與函數作一連結，對學生而言會比較困難。在觀察代數表徵和圖形表徵的關係時，學生可能有不合適的類推，或者對 DERIVE 呈現的結果有誤解，此時，教師必須做適當的介入指導。

從學習成就測驗前測和後測之答對率來比較，不論是全體還是個體，後測的結果皆比前測的結果來得佳。同時，在經過本次的教學活動後，學生有較高的意願及興趣思考解題策略來嘗試解題，減少了直接放棄解題的情形。就內容而言，學生的先備知識更為強化鞏固，具有更有效、更精確、更多元之解題策

略。然而還是有些問題存在，如：計算錯誤、表示法不夠完善，這些都是需要傳統教室教學來增強學生的數學概念與計算能力。此外，平常學生比較喜歡處理直線圖形，有學生面對三次函數 y=x 時，取出三點 (－ 1,－ 1)、 (0, 0)、 (1, 1)³ 後，即將圖形視為直線，可能是 DERIVE 的負面效果，讓學生不想多花太多的時間取點、描點、並驗驗之，直覺地認為圖形該是如此。

不可否定的是將數學軟體 DERIVE 適當的融入於數學教學中對學生的學習興趣具有正面的效果，而且容易操作的軟體更使得學生能有機會探索更深的數學概念，讓他們在這方面有更多的喜悅。儘管如此，研究者認為資訊科技可以融入教學，但是不能完全取代傳統教室的教學。數學概念仍是需要傳統教室教學的方法來穩固學生建構知識的基礎，數學軟體 DERIVE 可以是輔助學生學習的良好工具。

由於本研究以行動研究為研究主體，以下研究結論的陳述主要是從研究過程中觀察所得的細項結論，分成數學軟體 DERIVE、教學活動、學習成就測驗前後測之比較、學生回饋四個部分來說明：

一、有關數學軟體 DERIVE 的部分

(一 ) 觀察學生對數學軟體 DERIVE 的體驗，發現令人感到雀躍的結果： 1. 學生的專心投入學習

2. 顯示利用 DERIVE 來學習之長處 (1) 輸入方便，容易上手

(2) 節省計算時間、增加思考空間 (3) 功能之視覺化有助於學生之探索

(4) 數形結合，使學生有機會去接觸課堂上少見的例子 (5) 激發學生的學習興趣

(二 ) 以 DERIVE 輔助學習，學生在操作上或是在概念理解的部分，也可能會遭遇一些困難：

1. 英文介面會使學生畏懼，中文化的輔助說明對學生來說是重要的。 2. 學生的數學概念不夠，可能會誤以二維畫圖視窗來畫三維圖形。

3. 學生對 DERIVE 操作的熟練度不夠，可能誤取不恰當的表示式來進行學生想要做的動作。

4. 學生信心不足，可能會中止進一步的探究。

(三 ) 以 DERIVE 來輔助教學時，有一些現象教學者必須要注意： 1. 教學過程中，學生可能有認知上的迷思概念，應隨時予以修正。 2. 使用 DERIVE 的過程中，教師應給予適當的協助及鼓勵。

3. 教師應注意教學秩序的管理。

二、有關教學活動的部分

(一 ) 關於多項式的學習，在以 DERIVE 輔助學生學習的教學環境下，學生有不錯的表現。

1. 教學實驗剛開始時，學生需要時間來熟悉 DERIVE 中對函數的定義方式，由於以常數函數出發，學生很快熟悉操作並進入狀況，而且花費時間比研究者所預計的時間來得少。

2. 學生對於不熟的指令，在二人合作下能成功地依學習單中的提示，以序對的方式同時找到函數的多組對應。

3. 觀察二次函數圖形的對稱性、開口方向、開口大小、最高點或最低點時，學生皆順利產生正確的認知，且皆能以追踪（ Trace）的方法來找到函數的極值，也能利用配方法來找到頂點的所在處。

4. 多次函數的探索是課本較沒出現的教材，要學生直接描繪函數圖形是有困難的。藉由 DERIVE 的輔助繪圖，學生可以輕易地經由追踪動作來了解函數遞增或遞減的趨勢、體會函數連續不斷的樣子，成功地描述函數次數的改變對函數圖形可能的影響，圖形「轉彎」的狀況可能隨次數的增加而愈來愈多。

5. 多項函數的活動中，研究者大膽給予學生一個函數圖形，希望學生能找出其函數。教師告知答案可能不是唯一，但鼓勵學生去推測其可能性。單就學生的數學能力，能從圖形中觀察幾個特殊的點來推測函數的可能性，在 DERIVE 的輔助下，學生實際去檢驗自己找到的函數，並加以修正，成功地找到一個具代表性的函數。

6. 給予學生已具因式分解型式的方程式，學生很容易去解方程式。但若不具因式分解的型式，則次數越多的狀況，學生越難求解。在方程式求解的過程中，學生知道可以利用公式解、一次因式檢驗法、因式分解等動作來協助求解，遇到三次方程式，學生尚能有有效的解題策略。面對四次以上的方程式，學生解題明顯有困難，而 DERIVE 的輔助使他們能利用自己的想法去操作軟體，以完成較艱深問題的解題動作。

7. 在學習單的輔助下，利用 DERIVE 學生嘗試多量的試驗動作，來真實感受

7. 當學生使用電腦時，有些觀察他們可能會淺嘗輒止，此刻需要教師適時的導引及鼓勵，才能有機會刺激其他有關數學思考的行為，啟發數學思維。 8. 對學習成就較低的學生，可以多鼓勵他們可以用文字敘述的方式來寫下他

們所觀察到的現象。

(四 ) 關於教學活動的設計，應就學生學習的狀況及偶發事件的情形，給予立即性和即時性的修正。

1. 常數函數是學生較熟稔的概念，學生能成功將函數和其圖形連結，所花教

在文檔中數學軟體DERIVE應用於高中學生學習多項式概念的教學研究 (頁 113-125)

第一節 結論

第一節結論