這個活動我們將回顧「二次函數」的概念及圖形。請同學將你操作使用的 Derive 檔案存檔，並將檔名存成《函數圖形 003+你的名字.dfw》。Are you ready?
Let’s go!
1. 什麼是「二次函數」？試著用自己的話把它寫下來。
2. 請你舉一個二次函數的例子： ( )f x = ______________
並寫出函數值 (1) ______, (2) ______, (3) ______
(0) ______, ( 1) ______, ( 2) ______
f f f
f f f
= = =
= − = − =
將它的函數圖形畫出來。
3. 試著在 Derive 的環境下呈現此函數，並求出這些函數值。
4. 利用 Derive 中的指令，亦可以一次求得多組自變數與應變數的對應。
請你嘗試寫寫看。
提示：VECTOR([x, f(x)], x, s, t, d) 利用 VECTOR 可以用點坐標的方式，一次顯示在函數 f(x)中，
多個自變數對應之函數值。此語法將呈現：當 x 由數值 s 到數值 t 每隔數值 d 所對應之 函數值 f(x)，並以點坐標[x, f(x)]呈現。
5. 利用剛才的結果，請你利用繪圖功能，在 Derive 的 2D 視窗中描繪出這些點。
觀察這些點所形成的圖形，圖形有什麼現象？請寫下你推論的結論。
6. 試著在 Derive 的環境下畫出此函數圖形，其結果和你所畫的是否相同？
7. 在你舉的例子裡，觀察 Derive 幫你畫出的函數圖形。
使用 2D 視窗中 Trace 的功能，追蹤函數圖形上的點，是否有最高點或最低點？
若有最高點或最低點，請記錄下此點之坐標。
8. 請你回想老師在教室教學時，是否有其他方式可以找到函數圖形的最高點或最 低點，請你寫下你的方法及想法。
9. 試著在 Derive 的環境中畫出幾個不同的二次函數圖形。
你發現這些二次函數圖形有什麼共同的特徵？
10. 你是否能用一個一般式來表示任何一個二次函數？
如果可以，請寫出這個一般式。
休息一下，等一下還有進階的活動喲~~ ^-^
進階 經過老師的提示與講解，在這裡的進階題，我們將利用函數的一般式來探 討二次函數的圖形！
1. 已知二次函數可以用一般式 f x( )=a x h
(
−)
2+ 表示（其中 , ,k a h k∈ ） R (1) 請你在 Derive 的代數視窗中呈現此函數 f x( )=a x h(
−)
2+ 。 k(2) 請你打開 Derive 的 2D 視窗，以文字標示函數 f x( )=a x h
(
−)
2+ 。 k製作拉霸分別代表實數 a、實數 h 和實數 k。
並畫出 f x( )=a x h
(
−)
2+ 的函數圖形。 k(3) 當你改變 a 值，且 h 值和 k 值保持不變的狀況下，函數圖形有什麼改變？
有什麼不變？請你記錄下來。（可舉例說明）
(4) 當你改變 h 值，且 a 值和 k 值保持不變的狀況下，函數圖形有什麼改變？
有什麼不變？請你記錄下來。（可舉例說明）
(5) 當你改變 k 值，且 a 值和 h 值保持不變的狀況下，函數圖形有什麼改變？
有什麼不變？請你記錄下來。（可舉例說明）
(6) 利用 Derive 同時畫出這二個二次函數： f x1( )=3
(
x−2)
2+ 、 1 f x2( )= −3(
x−2)
2+ 的圖形。 1你能用自己的話說說看：這兩個函數圖形之間有什麼關係？
(7) 利用 Derive 同時畫出這三個二次函數： f x1( )=3
(
x−2)
2+ 、 1 f x2( )=3(
x−4)
2+ 、1 f x3( )=3(
x−4)
2+ 的圖形， 5○1 你發現這三個二次函數的圖形有什麼相同的特徵？
○2 觀察函數y= f x1( )和y= f x2( )。
你能用自己的話說說看：這兩個函數圖形之間有什麼關係？
○3 觀察函數y= f x2( )和y= f x3( )。
你能用自己的話說說看：這兩個函數圖形之間有什麼關係？
4 從1、2和3的觀察發現，請描述y= f x3( )和y= f x1( )的關係。
2. 現在給你一個二次函數y= −2x2+4x+ ，請你用配方法將它改成3
( )
2y=a x h− + 的型式，並寫出此函數圖形的特性。 k
3. 如果我們用一般式h x( )=ax2 +bx c+ ( , ,a b c∈R)來表示二次函數，請你利用 配方法，試著去寫出它的幾何意義。
活動四 多次函數的圖形
在課本的內容中，所談論的函數圖形最高是三次函數的圖形，而在這次的活 動中我們所要討論的多次函數的圖形，除了三次函數圖形的探討，我們也將探索 多次函數的變化趨勢。
首先請你先開啟 Derive 檔案：多次函數.dfw。此外，當你在使用 Derive 的過 程中若有操作上的問題，可以隨時向老師提問！Are you ready? Let’s go!
觀察一 觀察三次多項函數 f x1( )=x3+x2+ + 和x 1 f x2( )=x3+x2− − 圖形的x 1 變化趨勢。
1. 請你在 Derive 的代數視窗中呈現此函數 f x1( )=x3+x2+ + 。 x 1 2. 請你將 Derive 的代數視窗和 2D 視窗並排顯示，
並畫出 f x1( )=x3+x2+ + 的圖形。 x 1
3. 使用 2D 視窗中 Trace 的功能，追蹤函數圖形上的點，當自變數 x 由小變大時，
其函數值（y 坐標）之增減變化情形是如何？函數是否連續不斷？……
請記錄下你的觀察。
提示：若不易觀察，可將 2D 視窗放大，或將圖形放大、縮小以方便觀察。
另外，追蹤函數圖形上的點時，其點坐標呈現於視窗左下角。
4. 請你利用 Derive 畫出三次函數 f x2( )=x3+x2− − 的圖形。 x 1
5. 使用 2D 視窗中 Trace 的功能，追蹤函數圖形上的點，當自變數 x 由小變大時，
其函數值（y 坐標）之增減變化情形是如何？函數是否連續不斷？請記錄下你 的觀察。
6. 這 2 個三次函數的圖形趨勢是否有相同或相異之處嗎？
試著用自己的話寫出來。
7. 以你的觀察，三次函數的圖形是否連續？是否必為嚴格遞增函數？
請寫下你推論的結論。
觀察二 利用下列 3 個三次函數，觀察領導係數的改變對函數圖形的影響。
3 2
1( ) 1
g x =x +x + +x 、 g x2( )=2x3+x2+ +x 1 、
3 2
3( ) 2 1
g x = − x +x + + x
1. 請你將 Derive 的代數視窗和 2D 視窗並排顯示。
2. 依序將上列 3 個三次函數的圖形畫出。
3. 使用 2D 視窗中 Trace 的功能，依序追蹤這 3 個函數圖形上的點，當自變數 x 由小變大時，其函數值（y 坐標）之增減變化情形是如何？函數是否連續不 斷？……請記錄下你的觀察。
提示：若不易觀察，可將 2D 視窗放大，或將圖形放大、縮小以方便觀察。
另外，追蹤函數圖形上的點時，其點坐標呈現於視窗左下角。
4. 這 3 個三次函數的圖形趨勢是否有相同或相異之處嗎？
試著用自己的話寫出來。
5. 以上 3 個函數是否有共有的特性？
如果有，請你寫下此特性，並記錄你何以得知。
如果沒有，請你記錄你如何嘗試去尋找他們共有的特性之方法。
6. 以你的觀察，你覺得函數的領導係數對圖形是否有影響？
請寫下你推論的結論。
1( ) y=g x
2( ) y=g x
3( ) y=g x
觀察三 利用下列 3 個多次函數，觀察函數次數的改變對函數圖形的影響。
h x1( )=x x( −1)(x− 2) h x2( )=x x( −1)(x−2)(x− 3)
h x3( )=x x( −1)(x−2)(x−3)(x− 4)
1. 請你先在功能選單中先勾選 Windows Display Tabs，再陸續新增幾個 2D 視 窗。依序將上列 3 個多次函數的圖形畫出。
2. 觀察函數h x1( )=x x( −1)(x− 的圖形 2) (1) 函數圖形是不是連續不斷？
(2) 請你描述函數遞增、遞減的情形。
(3) 觀察圖形的特徵及現象，如：與 x 軸之交點、與 y 軸之交點、圖形的連
續性及遞增或遞減性質…等，你還有其他發現嗎？
請你記錄下來。
如果你有方法驗證你觀察到的情形，請寫下您的方法。
3. 觀察函數h x2( )=x x( −1)(x−2)(x− 的圖形 3) (1) 函數圖形是不是連續不斷？
(2) 請你描述函數遞增、遞減的情形。
(3) 觀察圖形的特徵及現象，如：與 x 軸之交點、與 y 軸之交點、圖形的連
續性及遞增或遞減性質…等，你還有其他發現嗎？
請你記錄下來。
如果你有方法驗證你觀察到的情形，請寫下您的方法。
4. 觀察函數h x3( )=x x( −1)(x−2)(x−3)(x− 的圖形 4) (1) 函數圖形是不是連續不斷？
(2) 請你描述函數遞增、遞減的情形。
(3) 觀察圖形的特徵及現象，如：與 x 軸之交點、與 y 軸之交點、圖形的連
續性及遞增或遞減性質…等，你還有其他發現嗎？
請你記錄下來。
如果你有方法驗證你觀察到的情形，請寫下您的方法。
5. 以你的觀察，你覺得函數次數的改變對圖形是否有影響？
請寫下你推論的結論。
進階
雖然課本中所提到的多項函數其最高次數總是不超過 4 次，但是讓我們來試 試看，現在有一個五次函數 f x( )= − −x5 2x4+21x3+22x2−40x，請你用手描繪出 此函數圖形。可以使用 Derive 來協助你做計算的工作，但請勿在第一時間便用電 腦繪圖喲！請你寫下你的想法及解題過程，倘若解題階段有以 Derive 輔助，亦請 你特別註明！☺
進階
現在有一個多次函數 ( )f x 的函數圖形如下，請你去猜猜看， ( )f x = ？
單元二：多項方程式
平常當我們遇到有關數學的問題時，常用這樣的解題模式：用 文字符號代表未知量，依據問題所給予的條件，建立方程式，然後 去解方程式，求出未知量的值以完成解題工作。這個單元我們將討 論多項式方程式的求解。回想一下，以往當我們在解方程式的過程 中，曾經使用什麼數學概念，或者曾經遭受什麼挫折～
接下來的活動，請同學詳細寫下您的回答與想法，活動中將使 用 CAS 軟體 Derive 來輔助教學活動，亦請同學依活動開始時之提示 將你操作使用的檔案存檔，或者依提示開啟檔案來操作使用。活動 進行中，倘若對教學活動或軟體操作有所疑問，歡迎隨時提問！