電腦代數系統

在 資 訊 科 技 的 輔 助 下 ， 可 以 讓 我 們 頭 腦 中 的 數 學 實 驗 更 具 體 地 呈 現 ： 對 艱 深 的 數 學 概 念 、 問 題 解 決 過 程 進 行 類 比 ； 遇 到 困 難 的 計 算 、 複 雜 的 方 程 式 ， 只 要 給 出 算 法 ， 就 能 獲 得 解 決 ； 多 變 的 幾 何 關 係 ， 利 用 電 腦 動 態 的 作 圖 功 能 即 可 得 到 圖 形 的 顯 示。然 而 資 訊 科 技 不 僅 是 輔 助 教 學 或 輔 助 學 習 的 工 具，亦 是 啟 發、

促 進 學 生 自 主 學 習 的 認 知 工 具 和 情 感 激 勵 工 具 ， 增 進 學 生 的 參 與 感 及 學 習 興 趣 。 本 節 將 介 紹 電 腦 代 數 系 統 及 其 在 教 學 上 的 應 用 。

一 、 電 腦 代 數 系 統

電 腦 代 數 系 統（ Computer Algebra System, CAS）是 可 以 提 供 使 用 者 進 行 符 號 運 算 、 數 值 計 算 和 圖 形 顯 示 的 電 腦 軟 體 。 數 值 計 算 的 涵 義 不 僅 是 基 本 的 算 術 計 算 ， 還 包 括 其 他 較 複 雜 的 計 算 ， 如 ： 函 數 的 求 值 、 方 程 式 的 數 值 解 、 矩 陣 的 計 算、矩 陣 特 徵 值 的 計 算 等。符 號 運 算 是 CAS在 所 有 數 學 軟 體 中 最 重 要 的 特 色，

也 就 是 對 代 表 數 學 對 象 的 符 號 進 行 運 算 ， 這 些 符 號 可 以 代 表 整 數 、 有 理 數 、 實 數 、 複 數 或 代 數 式 ， 也 可 以 代 表 其 他 的 數 學 對 象 如 多 項 式 、 有 理 函 數 、 矩 陣 、 方 程 組 ， 或 其 他 抽 象 的 數 學 對 象 如 群 、 環 、 域 等 等 。 傳 統 模 式 通 常 是 以 手 工 紙 筆 進 行 符 號 運 算 ， 隨 著 資 訊 科 技 的 發 展 及 對 符 號 算 法 的 深 入 研 究 ， 用 電 腦 代 替 人 工 進 行 符 號 運 算 已 經 成 為 可 能 。

從 成 都 理 工 大 學 信 息 管 理 學 院 數 學 實 驗 室 的 網 頁 中 ， 可 以 獲 得 符 號 運 算 軟 體 發 展 歷 程 的 重 要 訊 息 （ http://www.mathlab.cdut.edu.cn/jpkc/ index.html）。 西 元 1960 年 以 來，符 號 運 算 這 個 領 域 有 極 大 的 發 展，一 系 列 符 號 運 算 算 法 的 提 出 為 現 代 電 腦 代 數 系 統 奠 定 了 理 論 基 礎 。 比 較 著 名 的 算 法 包 括 ： 計 算 多 項 式 理 想

的 Grobner 基 算 法、多 項 式 分 解 的 Berlekamp 算 法、計 算 有 理 函 數 積 分 的 Risch

4. 參 與 軟 體 開 發 和 應 用 的 人 員 的 數 量 在 不 斷 增 加 ， 而 且 日 趨 國 際 化 。 隨 著 網 際 網 路 的 普 及 ， 使 用 者 可 以 很 方 便 地 與 軟 體 開 發 者 進 行 溝 通 ， 反 應 軟 體 中 存 在 的 問 題 ， 也 把 新 的 應 用 情 況 和 好 的 程 式 提 供 給 軟 體 的 開 發 者 。 數 學 軟 體 的 開 發 不 再 只 是 軟 體 開 發 者 的 事 情 ， 也 是 廣 大 使 用 者 的 事 情 。

二 、 CAS 的 功 能 及 表 徵

CAS透 過 電 腦 利 用 數 學 演 算 法 解 決 代 數 的 微 分 、 積 分 、 線 性 、 非 線 性 方 程 式、多 項 式 系 統 的 求 解，以 及 利 用 數 值 方 法 來 作 2D、3D圖 形 的 繪 製。使 用 在數 學 的 實 驗 與 學 習 可 藉 由 數 值 的 改 變 來 觀 察 代 數 系 統 的 圖 形 變 化。黃 誌 偉（ 2006）

有 鑒 於 CAS能 提 供 數 值 計 算 、 符 號 運 算 、 圖 形 顯 示 ， 以 「 CAS表 徵 」 表 示 透 過 CAS呈 現 數 學 概 念 之 各 種 表 徵 形 式，認 為 CAS表 徵 涉 及 到 數 值 計 算、圖 形 呈 現、

動 態 展 示 和 代 數 運 算。以 本 研 究 所 探 討 之 多 項 函 數 及 多 項 方 程 式 為 例，來 看 CAS 表 徵 的 四 種 模 式 ：

1. 數 值 模 式 （ numerical model）：

CAS可 以 提 供 快 速 的 數 值 運 算 ， 讓 學 習 者 可 檢 驗 自 己 所 求 的 函 數 值 是 否 正 確 ； 利 用 指 令 可 以 一 次 求 得 多 組 自 變 數 與 應 變 數 的 對 應 ， 大 量 的 數 值 供 應 可 讓 學 習 者 便 於 進 行 觀 察 及 猜 想 函 數 變 化 趨 勢 。

2. 圖 形 模 式 （ graphical model）：

經 由 學 習 者 給 予 函 數 的 定 義 ， CAS可 以 提 供 函 數 圖 形 ， 讓 學 習 者 可 檢 驗 自 己 所 描 繪 的 圖 形 是 否 正 確 ； 藉 由 快 速 的 函 數 圖 形 供 給 ， 可 讓 學 習 者 同 時 觀 察 比 較 不 同 函 數 圖 形 的 共 同 特 徵 及 相 異 處 。

3. 動 態 模 式 （ dynamic model）：

函 數 各 項 係 數 的 連 續 改 變 ， 可 即 時 對 應 到 圖 形 的 改 變 ； 圖 形 視 窗 可 拉 近 來 觀 察 圖 形 的 細 微 變 化，亦 可 放 遠 來 觀 察 圖 形 的 延 伸 狀 況；利 用 追 踪（ Trace）

的 功 能 由 函 數 圖 形 上 的 點 的 坐 標 表 示 亦 能 明 白 函 數 值 的 增 減 變 化 及 極 值 的 產 生 處，也 可 以 協 助 學 習 者 建 構 多 項 函 數 的 zero與 多 項 方 程 式 的 解 的 關 係。

4. 代 數 模 式 （ algebraic model）：

利 用 CAS可 進 行 符 號 運 算 的 特 色 ， 對 多 項 式 可 進 行 因 式 分 解 或 多 項 式 展 開 的 工 作 ， 多 項 方 程 式 的 求 解 亦 可 以 代 數 解 的 方 式 呈 現 。

CAS 的 優 越 性 主 要 在 於 它 能 夠 進 行 大 規 模 的 符 號 運 算。平 時 我 們 利 用 紙 筆 進 行 符 號 運 算 只 能 處 理 符 號 較 少 、 過 程 較 不 複 雜 的 算 式 ； 一 旦 所 涉 及 的 符 號 較 多 、 過 程 較 複 雜 時 ， 人 工 的 紙 筆 計 算 便 成 為 可 能 而 不 可 行 的 事 ， 主 要 原 因 是 在

做 大 量 符 號 運 算 時 ， 我 們 很 容 易 出 錯 ， 並 且 缺 乏 足 夠 的 耐 心 。 當 算 式 中 的 符 號 個 數 上 升 到 四 位 數 後，紙 筆 計 算 便 成 為 不 可 行 的 事，此 時，使 用 CAS 進 行 運 算 可 以 做 到 準 確 、 快 速 、 有 效 。

CAS 提 供 學 習 者 進 行 數 學 實 驗 的 空 間，除 了 可 以 協 助 學 習 者 驗 證 答 案，免 除 繁 雜 的 計 算，節 省 計 算 時 間 並 轉 移 於 思 考，也 可 以 從 上 述 的 CAS 表 徵 的 各個 模 式 中 獲 得 觀 察 、 歸 納 、 建 構 知 識 的 機 會 ， 此 外 ， 學 習 者 平 時 礙 於 紙 筆 計 算 的 麻 煩 或 能 力 不 足 等 因 素 而 停 頓 的 問 題，也 可 以 利 用 CAS 依 自 己 所 欲 進 行 之 歷 程 繼 續 完 成 問 題 解 決 ， 增 加 了 學 習 者 探 索 數 學 知 識 之 可 能 性 。

CAS 包 含 大 量 的 數 學 知 識，但 僅 是 數 學 的 一 小 部 分，有 許 多 數 學 領 域 還 未 能 涉 及。雖 然 CAS 在 代 替 使 用 者 進 行 繁 瑣 的 符 號 運 算 上 有 強 大 的 優 越 性，可是 CAS 數 學 軟 體 都 有 一 定 的 局 限 ， 畢 竟 電 腦 是 個 機 器 ， 只 能 執 行 人 們 給 它 的 指 令。多 數 CAS 對 電 腦 硬 體 有 較 高 的 要 求，在 進 行 符 號 運 算 時，通 常 需 要 很 大 的 容 量 和 較 長 的 計 算 時 間 ， 而 精 確 的 代 數 運 算 須 以 時 間 和 空 間 為 代 價 ， 這 一 點 在 資 訊 科 技 成 長 快 速 的 現 代 是 可 以 被 克 服 的；使 用 CAS 數 學 軟 體 所 遇 到 的 另 一 個 問 題 是 解 決 問 題 時 所 得 的 計 算 結 果 有 時 會 很 長 ， 使 用 者 有 時 可 能 會 很 難 從 結 果 中 看 到 問 題 的 要 義 。

三 、 使 用 CAS 的 整 合 教 學 環 境 與 教 學 模 式

傳 統 的 教 學 系 統 只 有 教 師 、 學 生 和 教 材 三 個 要 素 ， 在 資 訊 科 技 進 步 的 現 代 則 是 多 了 一 個 要 素 －「 教 學 媒 體 」。周 琦（ 2005）認 為 這 四 個 要 素 不 是 孤 立 地 、 簡 單 地 組 合 在 一 起 ， 而 是 相 互 聯 繫 、 相 互 作 用 的 有 機 整 體 。 將 資 訊 科 技 與 學 科 課 程 作 有 效 的 整 合，可 以 建 構 出 一 種 理 想 的 學 習 環 境，可 支 援 真 實 的 情 境 假 設、

不 受 時 空 限 制 的 資 源 分 享 、 快 速 靈 活 的 訊 息 獲 取 、 豐 富 多 樣 的 交 互 模 式 、 打 破 地 區 界 限 的 合 作 交 流 ， 以 及 有 利 培 養 學 習 者 的 自 主 發 現 和 自 主 探 索 。

資 訊 科 技 在 與 學 科 內 容 整 合 的 環 境 下 ， 不 僅 是 輔 助 教 學 或 輔 助 學 習 的 工 具 ， 亦 是 啟 發 、 促 進 學 生 自 主 學 習 的 認 知 工 具 和 情 感 激 勵 工 具 。 由 於 數 學 的 知 識 是 抽 象 的，所 用 的 術 語 也 很 抽 象，如 "對 稱 "、"極 限 "、"軌 跡 "等 概 念、關 係 、 及 動 態 的 變 化 過 程 較 讓 人 難 以 直 接 想 像 ， 而 在 資 訊 科 技 的 輔 助 下 能 讓 人 心 振 奮 ， 其 運 用 可 幫 助 教 師 和 學 生 解 決 這 些 難 處 ， 激 發 學 生 探 究 的 興 趣 ， 幫 助 學 生 更 快 速 、 更 高 品 質 地 完 成 數 學 問 題 的 探 索 。

在 此 整 合 的 教 學 環 境 下 ， 提 供 學 生 自 主 探 索 、 自 我 省 思 、 同 儕 合 作 學 習 等 機 會 ， 除 了 讓 學 生 能 主 動 、 積 極 地 "動 "起 來 ， 更 是 使 學 生 的 創 新 思 維 與 實 踐 能 力 在 學 習 過 程 中 得 到 有 效 的 鍛 鍊 。 而 在 利 用 資 訊 科 技 整 合 之 數 學 教 學 環 境 中 ， 學 生 學 習 知 識 時 所 經 歷 的 操 作、觀 察、測 試（ 試 驗 ）、猜 想、發 現 等 過 程 變 得 更 具 體、清 晰，嘗 試 錯 誤 的 成 分 減 少（ 比 手 算 時 較 少 不 必 要 的 嘗 試 及 計 算 錯 誤 ），

數 學 思 維 的 目 的 性 增 強 ， 數 學 推 理 的 邏 輯 基 礎 更 為 穩 固 ， 數 學 思 考 更 具 有 程 序 性 ； 因 此 ， 相 對 提 高 了 學 生 透 過 自 主 積 極 的 數 學 思 維 而 成 功 建 構 數 學 概 念 、 解 決 數 學 問 題 的 可 能 性。Jonassen（ 1996）提 到 學 習 者 若 將 電 腦 科 技 當 作 認 知 學 習 環 境 的 工 具 ， 可 以 提 升 解 決 問 題 能 力 與 擴 展 思 考 力 ， 進 而 提 升 學 習 者 知 識 建 構 與 認 知 的 能 力 。

教 師 的 教 學 模 式 以 學 生 的 學 習 發 展 做 為 根 本 目 的 和 出 發 點 ， 使 所 教 知 識 能 學 生 的 生 活 世 界 連 繫 ， 幫 助 學 生 發 現 知 識 之 笿 中 意 義 ， 激 勵 學 生 完 成 富 有 挑 戰 性 的 學 習 任 務 ； 引 導 學 生 創 設 和 諧 融 洽 的 學 習 氣 氛 以 利 於 小 組 合 作 學 習 與 溝 通 。 資 訊 科 技 與 課 程 之 整 合 須 以 數 學 的 具 體 任 務 為 完 成 目 的 ， 使 學 生 的 數 學 學 習 能 自 主 地 處 於 發 現 問 題 、 用 數 學 的 模 式 提 出 問 題 、 探 索 解 決 方 法 、 解 決 問 題 的 學 習 過 程 。

而 以 資 訊 科 技 為 主 ， 有 兩 種 教 學 模 式 值 得 我 們 深 入 探 索 ： 探 究 性 學 習 模 式 和 合 作 式 學 習 模 式 ， 根 據 數 學 教 學 本 身 的 特 點 ， 從 數 學 課 堂 教 學 和 數 學 實 踐 教 學 尋 找 切 入 點 ， 創 設 具 有 豐 富 性 、 挑 戰 性 和 開 放 性 的 教 學 環 境 ， 為 學 生 的 發 展 提 供 更 為 寬 廣 、 彈 性 、 具 創 意 的 學 習 空 間 ， 讓 學 生 在 運 用 資 訊 科 技 中 培 養 學 生 觀 察、猜 想、類 比 等 數 學 思 維。CAS能 夠 使 學 生 以 任 何 傳 統 的 表 徵 形 式 來 定 義 、 結 合、轉 換、比 較、或 直 觀 操 作 函 數 與 關 係，可 以 在 代 數 與 幾 何 之 間 搭 起 橋 樑 ， 而 教 師 惟 有 理 解 和 掌 握 CAS的 功 能 及 其 教 學 意 義 ， 才 能 真 正 實 現 資 訊 科 技 與 數 學 課 程 的 有 效 整 合 。

四 、 使 用 CAS 時 所 產 生 的 圖 形 誤 解

黃 誌 偉 （ 2006） 指 出 在 使 用 CAS時 有 相 當 多 的 微 妙 技 巧 ， 選 擇 適 當 的 定 義 域 與 值 域 才 能 呈 現 合 適 的 圖 形 。 由 於 在 CAS整 合 環 境 下 的 數 學 學 習 ， 著 重 學 生 的 自 主 學 習 ， 因 此 ， 螢 幕 上 所 呈 現 的 圖 形 ， 可 能 在 學 生 知 識 的 建 構 過 程 給 予 不 同 的 讀 解 ， 造 成 意 義 上 的 嚴 重 誤 解 。 Goldenberg（ 1988） 提 出 在 學 生 自 主 學 習 的 情 境 下 ， 探 索 係 數 對 函 數 圖 形 的 影 響 ， 可 能 建 構 出 錯 綜 複 雜 的 數 學 概 念 。 舉 例 如 下 ：

1. x軸 和 y軸 保 持 不 變 ， 常 數 項 的 改 變 所 引 發 觀 察 線 型 函 數 圖 形 的 錯 覺

學 生 從 操 作 經 驗 中 觀 察 圖 形 的 移 動 方 向 ， 但 有 時 並 非 是 教 師 所 預 期 的 學 習

學 生 從 操 作 經 驗 中 觀 察 圖 形 的 移 動 方 向 ， 但 有 時 並 非 是 教 師 所 預 期 的 學 習