學生學習歷程

整 個 教 學 實 驗 的 流 程 中，學 生 歷 經 二 次 的 數 學 軟 體 DERIVE 教 學 課 程 和 以

「 多 項 函 數 的 圖 形 」 和 「 多 項 方 程 式 」 為 單 元 主 題 的 教 學 活 動 。 本 節 研 究 者 觀 察 學 生 學 習 歷 程，將 以 學 生 對 DERIVE 的 初 體 驗、分 組 教 學 活 動 的 歷 程 二 大 方 向 來 討 論 。

一 、 學 生 對 DERIVE 的 初 體 驗

由 於 研 究 對 象 未 曾 有 使 用 DERIVE 的 經 驗，為 了 使 研 究 對 象 能 了 解 數 學 軟 體 DERIVE 的 使 用 方 法，並 讓 實 驗 階 段 之 教 學 活 動 能 順 利 進 行，研 究 者 在 教 學 活 動 前 進 行 二 次 DERIVE 教 學 課 程，並 且 以 DERIVE 操 作 手 冊 來 輔 助 操 作。第 一 次 於 2006 年 6 月 14 日 進 行 50 分 鐘 DERIVE 教 學 課 程 －「 DERIVE 之 初 探 」， 8 名 研 究 對 象 在 電 腦 教 室 每 人 使 用 一 台 電 腦 ， 此 次 為 研 究 對 象 第 一 次 接 觸 DERIVE， 研 究 者 利 用 電 腦 廣 播 系 統 ， 使 其 了 解 DERIVE 之 介 面 、 功 能 及 基 本 操 作 ， 以 實 例 示 範 繪 出 多 項 函 數 的 圖 形 及 解 多 項 方 程 式 ， 並 給 予 研 究 對 象 練 習 操 作 的 時 間。第 二 次 於 2006 年 7 月 13 日 進 行 1 小 時 DERIVE 教 學 課 程 －「 再 探 DERIVE」 」 ， 讓 8 名 研 究 對 象 能 再 次 熟 悉 DERIVE 之 操 作 。 地 點 同 樣 安 排 在 電 腦 教 室 ， 每 人 使 用 一 台 電 腦 ， 然 而 此 次 座 位 乃 是 依 組 別 來 安 排 ， 讓 組 員 之 間 培 養 默 契。這 次 除 了 使 研 究 對 象 熟 悉 DERIVE 之 介 面、功 能 及 基 本 操 作，並 新 增 以 下 操 作 實 例：數 學 式 輸 入 之 基 本 操 作、Expand 展 開、Factor 因 式 分 解 及 質 因 數 分 解、函 數 之 定 義 與 求 值、拉 霸（ Slider Bar）的 製 作 與 使 用，以 便 利 接 續 而 來 的 教 學 活 動 能 順 利 進 行 。

研 究 對 象 具 有 基 本 的 資 訊 能 力 ， 有 部 分 同 學 曾 經 瀏 覽 過 與 數 學 知 識 相 關 的 網 站 ， 但 卻 鮮 少 有 人 利 用 數 學 網 站 內 容 來 協 助 解 決 課 堂 上 遇 到 的 數 學 問 題 ， 更 別 說 是 接 觸 數 學 軟 體 ， 並 利 用 它 來 解 決 數 學 問 題 。 此 次 的 教 學 實 驗 是 研 究 對 象 第 一 次 接 觸 CAS 數 學 軟 體 DERIVE，也 是 他 們 第 一 次 使 用 數 學 軟 體 來 協 助 解 決 課 堂 上 遇 到 的 數 學 問 題 。

在 這 二 次 的 DERIVE 教 學 課 程 中 ， 觀 察 學 生 活 動 及 其 在 電 腦 上 的 操 作 情 形 ， 有 一 些 令 人 感 到 雀 躍 的 結 果 ：

(一 ) 學 生 的 專 心 投 入 學 習

學 生 第 一 次 接 觸 DERIVE， 甚 至 是 第 一 次 使 用 數 學 軟 體 ， 對 新 事 物 感 到 興 趣 ， 希 望 知 道 它 有 什 麼 功 能 ， 可 以 怎 麼 用 。 在 電 腦 教 學 的 過 程 中 ， 以 操 作 手 冊 為 輔 助 ， 在 教 師 廣 播 示 範 時 能 集 中 注 意 力 、 全 神 貫 於 觀 看 教 師 的 動 作 ， 全 程 專 心 投 入 學 習 ， 了 解 並 應 用 之 。

原 本 會 很 擔 心 在 電 腦 教 室 軟 體 教 學 會 有 些 枯 燥 乏 味 ， 但 同 學 的 專 心 投 入 著 實 讓 教 師 驚 訝 ， 或 許 是 第 一 次 接 觸 數 學 軟 體 ， 雖 然 學 生 不 至 於 有 極 大 的 好 奇 心 ， 但 就 好 像 是 面 對 新 鮮 事 物 ， 想 知 道 它 到 底 有 什 麼 功 用 。 «060614_教 學 日 誌 »

圖 4-1-1 學 生 專 心 投 入 學 習 DERIVE， 並 一 起 討 論 (二 ) 顯 示 利 用 DERIVE 來 學 習 之 長 處

1. 輸 入 方 便 ， 容 易 上 手

對 高 中 生 而 言 ， 當 他 們 碰 到 較 專 業 的 軟 體 ， 總 是 需 要 時 間 練 習 才 能 上 手 。 關 於 數 學 軟 體 ， 研 究 者 在 1997 年 首 次 接 觸 Mathematica、 2005 年 首 次 接 觸 Maple， 對 研 究 者 而 言 ， 要 熟 悉 這 二 種 軟 體 要 花 一 些 時 間 才 能 上 手 ， 而 使 用 軟 體 時 需 要 熟 悉 指 令 與 規 則，甚 至 在 大 學 時 代 研 究 者 很 熟 悉 Mathematica，但 如 今 多 已 不 復 記 憶，需 要 重 新 再 來 過。當 研 究 者 接 觸 到 DERIVE 時，發 現 它 有 別 於 前 述 二 種 CAS 軟 體，相 較 之 下，甚 至 對 高 中 生 來 說 都 能 很 快 學 會，且 容 易 上 手。

使 用 CAS 軟 體，學 生 第 一 個 就 是 要 面 對 輸 入 的 工 作。在 此，學 生 可 以 直 觀

電 腦 來 協 助 學 習 者 觀 察 所 欲 觀 察 的 現 象 ； 換 句 話 說 ， 節 省 人 工 計 算 可 能 耗 費 的

老 師 ： 你 可 以 很 快 地 去 觀 察 ， 對 不 對 ？

老 師：所 以 就 是 說，你 在 寫 代 數，然 後 再 來 你 在 看 圖 的 時 候，在 這 之 間，就 是 你 寫 出 來 的 東 西 不 確 定 在 哪 邊 ， 所 以 你 要 去 找 是 這 樣 子 嗎 ？

阿 全：可 是 後 面 的 話，就 是 多 做 幾 次 就 很 習 慣，他 讓 我 的 感 覺 說 不 會 很 難 操 控，也 許 你 第 一 次 碰 到 會 覺 得 很 難，可 是 多 試 幾 次 就 會 發 現 到 說，就 會 慢 慢 的 愈 來 愈 順 手 。

«070115_訪 談 _阿 全 »

3. 若 是 學 生 對 DERIVE 操 作 的 熟 練 度 不 夠，可 能 誤 取 不 恰 當 的 表 示 式 來 進 行 學 生 想 要 做 的 動 作。如 圖 4-1-2 所 示，學 生 如 果 想 畫 y=(x+1)(x+ 的圖形，2) 選 取 y=(x+1)(x+2)或 執 行 展 開 的 y=x²+3x+ 時，皆能順利作圖；但學生2 開 剛 始 對 DERIVE 的 操 作 很 陌 生，可 能 會 有 這 樣 的 情 形，不 小 心 選 擇 到 指 令 的 表 示 式 EXPAND(y = (x + 1) (x + 2), Rational, x)⋅ ， 致 使 沒 有 辦 法 畫 出 自 己 想 要 的 函 數 圖 形。所 幸 在 本 研 究 中 這 樣 的 情 形 只 出 現 在 初 始 DERIVE 的 電 腦 教 學 課 程 中 ， 一 旦 學 生 對 操 作 較 熟 悉 、 使 用 上 較 有 概 念 時 ， 這 些 狀 況 出 現 次 數 相 當 地 減 少 很 多 。

圖 4-1-2 學 生 誤 取 代 數 視 窗 之 指 令 表 示 式 ， 導 致 無 法 成 圖

4. 若 是 學 生 信 心 不 足 ， 可 能 會 中 止 進 一 步 的 探 究 。 例 如 畫 一 個 二 次 函 數 的 圖 形 ， 學 生 能 成 功 地 於 代 數 視 窗 輸 入 代 數 式 ， 在 二 維 畫 圖 視 窗 中 也 成 功 繪 製 函 數 圖 形 ， 但 坐 標 系 統 的 觀 察 範 圍 若 未 選 擇 恰 當 ， 可 能 會 在 第 一 時 間 於 電 腦 螢 幕 上 看 不 到 函 數 圖 形 的 成 像。這 樣 的 結 果，學 生 在 缺 乏 自 信 的 狀 況 下，

可 能 會 覺 得 自 己 沒 把 圖 畫 出 來 ， 覺 得 自 己 有 錯 誤 的 動 作 產 生 ， 進 而 放 棄 進 一 步 的 嘗 試 ， 放 棄 利 用 拉 近 或 放 遠 的 方 法 來 找 出 函 數 圖 形 的 原 像 ， 中 止 接 續 可 能 有 的 探 索 。

然 而，在 這 二 次 的 DERIVE 體 驗，研 究 者 亦 發 現 以 DERIVE 來 輔 助 教 學 時

信 心 ， 引 發 他 們 的 學 習 興 趣 ， 繼 續 做 其 他 可 能 幫 助 解 題 的 嘗 試 ， 合 作 規 劃 其 他 的 解 題 策 略 。 最 明 顯 的 是 第 三 組 的 學 生 ， 他 們 初 始 參 與 度 不 大 ， 以 很 快 的 速 度 完 成 活 動 ， 對 學 習 單 的 指 引 觀 察 也 僅 是 淺 嘗 輒 止 ， 研 究 者 一 度 感 到 挫 折 。 在 研 究 者 的 鼓 勵 及 引 導 下 ， 他 們 的 學 習 態 度 有 正 向 的 改 變 ， 願 意 多 花 時 間 嘗 試 、 接 受 新 刺 激 ， 努 力 達 到 學 習 目 標 。

(三 ) 教 師 應 注 意 教 學 秩 序 的 管 理 。

1. 從 傳 統 教 室 到 電 腦 教 室 學 習 數 學 ， 這 對 學 生 來 說 是 新 體 驗 。 然 而 ， 教 師 所 要 面 對 的 第 一 問 題 ， 便 是 要 收 拾 學 生 玩 樂 之 心 ， 讓 學 生 可 以 馬 上 進 入 學 習 狀 況 。 利 用 教 師 電 腦 廣 播 系 統 的 功 能 ， 先 將 學 生 使 用 電 腦 的 權 利 收 起 ， 可 以 讓 學 生 有 警 覺 心 ， 進 而 集 中 注 意 力 ， 專 注 於 觀 看 教 師 在 電 腦 螢 幕 上 的 示 範 。

2. 教 師 活 動 不 該 只 是 教 師 的 示 範 ， 學 生 的 演 練 與 自 主 學 習 亦 是 重 點 ， 所 以 教 師 一 定 要 提 供 恰 當 的 時 間 給 予 學 生 演 練 及 自 主 學 習 的 機 會 。 不 過 ， 對 於 高 中 生 而 言 ， 上 網 玩 遊 戲 或 是 利 用 即 時 通 訊 和 其 他 人 聊 天 都 是 教 師 於 電 腦 教 室 教 學 可 能 遇 到 的 情 形 ， 如 此 當 然 會 降 低 學 生 學 習 的 效 果 。 若 要 做 好 教 學 秩 序 的 管 理 ， 教 師 除 了 可 以 透 過 教 師 電 腦 來 監 控 ， 亦 可 增 加 教 室 巡 視 的 頻 率 ， 讓 學 生 可 以 減 少 分 心 的 機 會 ， 也 可 以 檢 視 和 協 助 學 生 的 數 學 學 習 。

二 、 分 組 教 學 活 動 的 歷 程

為 了 要 降 低 研 究 對 象 個 體 可 能 因 不 熟 稔 軟 體 的 操 作 而 導 致 教 學 實 驗 的 延 宕 ， 因 此 採 取 分 組 的 方 法 ， 將 學 生 兩 兩 分 成 一 組 ， 在 小 組 的 合 作 下 可 彌 補 軟 體 操 作 生 疏 之 問 題 。 此 外 ， 將 學 生 分 成 四 組 後 ， 依 組 別 逐 次 進 行 教 學 活 動 ， 進 行 反 思 與 回 饋，逐 次 修 正 教 學 活 動 的 設 計，以 找 出 使 用 DERIVE 教 學 的 可 行 性 模 式 。

依 據 學 習 成 就 測 驗 之 前 測 結 果 ， 研 究 者 將 8 名 研 究 對 象 分 成 四 組 ： 第 一 組 為 差 異 最 大 的 異 質 組 － 阿 斌、欣 欣（ 來 自 不 同 班 級 ）；第 二 組 為 差 異 次 大 的 異 質 組

－ 萱 萱 、 小 琳（ 來 自 不 同 班 級 ）；第 三 組 為 同 質 組 － 小 真 、 小 穎（ 來 自 同 一 班 級 ）；

第 四 組 為 同 質 組 － 阿 全、綾 綾（ 來 自 不 同 班 級 ）。優 先 考 慮 讓 異 質 組 先 進 行 教 學 活 動 的 原 因 乃 是 研 究 者 希 望 能 及 早 發 現 學 生 利 用 電 腦 輔 助 學 習 時 所 引 發 之 即 時 問 題 及 其 差 異 ， 以 做 為 修 訂 下 一 次 教 學 活 動 之 考 量 。 此 外 ， 研 究 者 亦 會 擔 心 來 自 不 同 班 級 所 形 成 的 小 組 是 否 會 因 默 契 不 足 而 影 響 教 學 實 驗 ， 因 此 利 用 教 學 活 動 前 的 電 腦 教 學 課 程 讓 小 組 先 培 養 默 契 。

(一 ) 第 一 組 教 學 活 動 的 歷 程 及 教 學 活 動 修 正

第 一 組 的 組 合 來 自 不 同 班 級 的 阿 斌 和 欣 欣 ， 雖 然 二 人 的 學 習 成 就 差 異 大 ， 但 由 於 二 人 資 訊 能 力 皆 可 ， 整 個 過 程 由 二 個 人 來 共 同 操 作 、 討 論 。 欣 欣 較 為 細 膩，對 圖 形 有 較 細 微 之 觀 察；阿 斌 的 數 學 能 力 較 強，若 有 數 學 概 念 之 澄 清 狀 況，

幾 乎 由 阿 斌 主 導 。

在 單 元 一 的 活 動 一 ， 學 生 需 要 時 間 來 熟 悉 DERIVE 中 對 函 數 的 定 義 方 式，

由 於 此 活 動 主 題 為 常 數 函 數 ， 學 生 很 快 熟 悉 操 作 並 進 入 狀 況 ， 而 且 花 費 時 間 比 研 究 者 所 預 計 的 時 間 來 得 少。如 圖 4-1-3，欣 欣 在 與 同 伴 討 論 後，在 描 述 常 數 函 數 時 ， 雖 知 自 變 數 的 次 數 為 零 次 ， 但 仍 與 零 多 項 式 混 淆 。

圖 4-1-3 欣 欣 對 常 數 函 數 與 零 多 項 式 的 混 淆

另 外 ， 欣 欣 對 「 一 般 式 」 的 意 義 較 無 法 理 解 ， 研 究 者 當 下 立 即 說 明 並 加 強 「 一 般 式 」 的 概 念 ， 阿 斌 能 立 即 了 解 ， 欣 欣 則 尚 未 完 全 釐 清 ， 如 圖 4-1-4 所 示 。 不 過 ， 在 接 續 的 三 個 活 動 中 兩 人 皆 能 清 楚 地 了 解 一 般 式 的 意 義 。

（ 欣 欣 ）

（ 阿 斌 ）

圖 4-1-4 欣 欣 和 阿 斌 對 一 般 式 的 了 解

單 元 一 活 動 二 有 許 多 活 動 和 活 動 一 相 似 ， 學 生 很 快 上 手 並 完 成 學 習 單 ， 兩 人 比 較 不 同 的 是 欣 欣 會 以 「 斜 直 線 」 來 描 述 一 次 函 數 的 圖 形 ， 而 阿 斌 在 寫 一 次 函 數 的 一 般 式 時 能 注 意 到 領 導 係 數 不 能 為 0。 在 這 個 活 動 中 ， 學 生 嘗 試 製 作 拉 霸 來 分 別 代 表 一 次 函 數 ( )f x =ax b+ 中的 a、b。當改變 a 時，兩人皆能對圖形的 改 變 有 正 確 的 描 述 ； 但 是 ， 在 改 變 b 的 時 候 ， 兩 人 卻 有 不 同 的 迷 思 概 念 解 讀 。 如 圖 4-1-5 和 圖 4-1-6 所 示，欣 欣 認 為 b 的 變 動 會 移 動 y 軸 上 的 點，而 阿 斌 卻 認 為 當 b>0 時 直 線 會 往 右 ， b<0 時 直 線 會 往 左 。 當 然 就 函 數 的 改 變 對 圖 形 的 平 移 影 響 的 觀 點 來 看 ， 這 些 都 是 不 恰 當 的 認 知 ， 必 須 對 學 生 引 導 即 時 性 的 修 正 。

單 元 一 活 動 二 有 許 多 活 動 和 活 動 一 相 似 ， 學 生 很 快 上 手 並 完 成 學 習 單 ， 兩 人 比 較 不 同 的 是 欣 欣 會 以 「 斜 直 線 」 來 描 述 一 次 函 數 的 圖 形 ， 而 阿 斌 在 寫 一 次 函 數 的 一 般 式 時 能 注 意 到 領 導 係 數 不 能 為 0。 在 這 個 活 動 中 ， 學 生 嘗 試 製 作 拉 霸 來 分 別 代 表 一 次 函 數 ( )f x =ax b+ 中的 a、b。當改變 a 時，兩人皆能對圖形的 改 變 有 正 確 的 描 述 ； 但 是 ， 在 改 變 b 的 時 候 ， 兩 人 卻 有 不 同 的 迷 思 概 念 解 讀 。 如 圖 4-1-5 和 圖 4-1-6 所 示，欣 欣 認 為 b 的 變 動 會 移 動 y 軸 上 的 點，而 阿 斌 卻 認 為 當 b>0 時 直 線 會 往 右 ， b<0 時 直 線 會 往 左 。 當 然 就 函 數 的 改 變 對 圖 形 的 平 移 影 響 的 觀 點 來 看 ， 這 些 都 是 不 恰 當 的 認 知 ， 必 須 對 學 生 引 導 即 時 性 的 修 正 。