失敗率分析

（一）靜態（非條件）風險值模型績效評比

本節內容主要在比較幾個較常被使用的風險值評估方法，包括歷史模擬法

（HS）、靜態（非條件）變異數－共變異數估計法（Delta-Normal）以及極值理 論架構之下的VaR-x 風險值估計法，表 9 即為其風險值估計結果，值得注意的 是在VaR-x 風險值估計模型架構下，依據資料標準化模型的不同，又分為兩種 估計模型，一為以GARCH(1, 1)模型做為資料過濾模型的 VaR-x 模型，另一個 則為以CARR(1, 1)模型做為資料過濾模型的 VaR-x 模型，因此本節所比較的幾 個風險值評估模型皆為靜態（非條件）的風險值模型。

表9 中的統計數字表示在 99.5%、99%、97.5%與 95%四種信心水準下，以 此四種風險值評估模型進行風險值評估的累積失敗總次數，由累積失敗總次數 與其相對應之理論失敗次數（估計期間總天數乘以信心水準之值）相比的結果 可以發現，在95%信心水準之下，不論是 S&P 500 股價指數或是十年期政府公 債報酬資料 表現最佳的風險值評估模型皆為 Delta-Normal 估計法，使用 Delta-Normal 估計法所得到累積失敗總次數最接近理論失敗次數 130 次。其次 是歷史模擬法（HS）、以GARCH(1, 1)模型為過濾模型的 VaR-x 法和以 CARR(1, 1)模型為過濾模型的 VaR-x 法，此結果顯示極值理論風險值估計模型在較低的 信心水準時，由於其累積失敗次數高於理論值很多，不僅無法獲得較傳統風險 值評估模型更準確的估計結果，反倒是傳統的風險評估方法表現相對較好，累 積失敗次數較接近理論值。而在97.5%信心水準之下則以歷史模擬法（HS）的 風險值估計表現最佳，其次依序為Delta-Normal 法、GARCH(1, 1)過濾後 VaR-x 法和CARR(1, 1)過濾後 VaR-x 法，後面三種評估方法的表現皆較理論值 65 次 高出許多。在99%信心水準之下時，S&P 500 資料中表現最佳的是 CARR(1, 1)

過濾後的VaR-x 法，十年期政府公債資料則仍以歷史模擬法最為準確，但大致 上來說極值理論架構下的 VaR-x 風險值估計法的表現已漸趨準確，甚至到了 99.5%信心水準時，其風險值估計表現已明顯優於其他模型，雖然在十年期政 府公債資料中仍以歷史模擬法所得到的估計值最接近理論值13 次，但由於歷史 模擬法是在未來與現在資產波動情形一樣的假設下運作，且其估計需要大量的 資料才能獲得正確的風險估計值，尤其是在越高信心水準之下所需要的資料越 多，因此是否能有足夠的極端歷史資料做為風險值估計資料以及未來報酬型態 是否與現在同屬相同分配，是歷史模擬法能否準確估計風險值的兩個重要因 素，所以在靜態風險值評比上我們獲得歷史模擬法仍為一不錯之風險值估計方 法的結果，但在資料效率性及合理性的考量下，此結果之正確性及穩健性仍有 待進一步驗證。

綜上所述，大致可以知道在較低信心水準時，常態假設之下的風險值模型 表現優於極值理論架構下的風險值模型，而在較高信心水準之下時則是極值理 論架構下的風險值模型表現較好，其實此結果並不令人意外。在表9 的敘述統 計數字裡，我們可以發現S&P 500 與十年期政府公債報酬原始資料中，低於距 離平均報酬 1.96 個標準差的報酬資料分別只占全部資料的 3.69%與 4%，並未 達常態分配假設下的標準值5%。而低於距離平均報酬 2.33 個標準差的報酬資 料則分別占全部資料的 2.04%與 2.27%，此值遠大於常態分配假設下的標準值 1%，代表報酬資料分配較常態分配厚尾的情形只發生在非常極端的分配兩端，

在較不極端的報酬分配兩端資料中此厚尾現象較不顯著，也就是說當使用極值 理論下的風險值估計模型VaR-x 估計法於較低信心水準之下估計風險值時，由 於在此信心水準左右兩端的原始報酬分配資料，並未較常態分配假設下資料的 發生頻率高，因此無法獲得較歷史模擬法或是常態分配假設下的風險值估計模 型準確的估計結果，相反的若是在較高信心水準之下時，由於原始報酬極端資 料發生頻率高於常態假設之下許多，因此使用極值理論下的風險值估計模型即

可發揮其善於捕捉資產報酬厚尾的優勢，而獲得較其他模型準確的風險值估計 量。此結果同時可以解釋前面的推論，亦即使用γ 值於 VaR-x 風險值估計架構 下所得到的風險值估計模型，相較於其他風險值模型由於能捕捉到極端下方風 險的情況，所以在高信心水準情形下能夠提供較準確的風險值估計結果。

此外為了探討GARCH(1, 1)及 CARR(1, 1)模型做為資料過濾模型的表現情 形，我們進一步比較VaR-x 風險值估計法架構下，用 GARCH(1, 1)與 CARR(1, 1)模型來標準化原始報酬資料所得的風險值評估績效，結果發現使用 CARR(1, 1)模型做為資料過濾模型，所得到的風險值估計結果表現並沒有比 GARCH(1, 1) 模型佳，雖然在前文中我們曾經提到CARR(1, 1)模型相較於 GARCH(1, 1)模型 過濾後資料，所得到的尾部指數估計值較GARCH(1, 1)模型的估計值來的小，

因此猜測CARR(1, 1)模型相較於 GARCH(1, 1)模型可以解決更多的異質波動或 波動群聚問題，但是在本小節的實證研究中此命題並沒有辦法得到支持，可能 的解釋是CARR(1, 1)模型的樣本內波動性配適情形並不若 GARCH(1, 1)模型配 適的好，因此造成在靜態模型底下風險值估計情形較差的結果，為了更進一步 探討此兩種波動性估計模型的樣本外表現，以下將針對動態（條件）模型底下 的風險值估計模型進行比較。

（二）動態（條件）風險值模型績效評比

在上一段分析裡已經針對文獻上幾個常見的風險值估計模型，探討其在靜 態情況的績效表現，並證實VaR-x 風險值估計法下所得到的風險值估計值，相 較於其他模型在高信心水準下能夠提供較準確的風險值估計，然而金融資產報 酬的波動情況並不是固定的，而是隨著時間變化存在波動性異質變異的情況，

幾乎在所有風險值估計模型當中波動性皆為一重要的影響因子，主要因為波動 性的大小往往也反應市場風險的大小，雖然波動性在反應資產價格未來的不確

定狀況中，包含未來價格上升與下降兩種可能性，但投資者所關心的往往只是 下方風險的部分，許多文獻顯示，當市場處於不景氣時期波動幅度也會比較大，

隱含下方風險的程度其實也反應在波動性的大小當中。因此，唯有準確的估計 市場上真實的波動情形，才能確實了解市場風險，進一步求算出下方風險。以 下分析將針對上述Delta-Normal 風險值估計法與極值理論下的 VaR-x 風險值估 計模型，在考慮報酬的異質性波動情形下所發展出的動態（條件）風險值評估 模型進行比較，探討在多個不同動態風險值估計模型中，哪一個模型的績效表 現相對較佳，並藉此比較找出適當的波動性估計模型。

底下說明可以描述資產報酬異質波動的動態風險值模型，包括（1）J. P.

Morgan的RiskMetrics法中的EWMA風險值估計模型（2）在資產報酬為常態分 配假設下，結合Delta-Normal法與GARCH(1, 1)模型所衍生出的GARCH-Normal 風險值估計模型（3）在資產報酬為常態分配假設下，結合Delta-Normal法與 CARR(1, 1)模型所衍生出的CARR-Normal風險值估計模型（4）極值理論架構下 結合VaR-x法與GARCH(1, 1)模型所衍生出的GARCH-VaR-x風險值估計模型

（5）極值理論架構下結合VaR-x法與CARR(1, 1)模型所衍生出的CARR-VaR-x 風險值估計模型。由於本文風險值模型的回溯測試乃採取移動窗口的方式進 行，因此必須將每一個窗口所使用的EWMA、GARCH與CARR模型固定，亦即 使用相同階數的模型，因為若在每一個窗口都要判斷這些模型的階數以及參數 的顯著性，在實務上並不可行；同時，如果模型是變動的，則進行回溯測試的 比較並無重大意義。表10 為此五種動態風險值模型的累積失敗次數統計表，由 表中統計數字可以看出在 95%的信心水準之下資料為S&P 500 股價指數報酬 時，表現最佳的風險評估模型是CARR-Normal風險值估計模型，所得到的累積 失敗次數137 次最接近理論穿透值的 130 次²⁵，其次依序是GARCH-Normal法、

25 穿透值的意思與累積失敗次數是一樣的，當模型預測的風險估計值大於實際資產報酬時即記 為一次穿透，整個樣本期間中全部穿透次數之和即為穿透值。

EWMA法、GARCH-VaR-x以及CARR-VaR-x，十年期政府公債風險值方面則以 RiskMetrics的EWMA法最接近理論值，而CARR-Normal與GARCH-Normal法的 績效表現亦與EWMA法差不多，都相當接近理論值的 130 次穿透，只有VaR-x 風險評估方法下的兩種估計模型GARCH-VaR-x與CARR-VaR-x表現較差，由此 可知，在95%的信心水準之下並不適合採用極值理論風險值模型來評估風險，

即使是考慮資產波動的異質性問題所發展出來的動態模型，反而以傳統常態假 設下的GARCH或CARR模型甚至是RiskMetrics所研發出來的EWMA風險估計 模型表現較好。在97.5%信心水準下時，利用S&P 500 股價指數為分析對象時，

估計的準確程度，依序是CARR-Normal法、CARR-VaR-x法、GARCH-VaR-x法、

GARCH-Normal法及EWMA法，而十年期政府公債方面則依序是CARR-Normal 法、CARR-VaR-x法、EWMA法、GARCH-VaR-x法、GARCH-Normal法，因此 不論是S&P 500 股價指數資料或者是十年期政府公債資料，皆無法簡單區分出 常態假設之下或是極值理論架構下的風險值估算模型孰優孰劣，不過當信心水 準提高到99%時，則可以明顯的發現GARCH-VaR-x法以及CARR-VaR-x法所估 計的結果逐漸証實，不論是S&P 500 或是十年期政府公債資料皆以VaR-x法下的

GARCH-Normal法及EWMA法，而十年期政府公債方面則依序是CARR-Normal 法、CARR-VaR-x法、EWMA法、GARCH-VaR-x法、GARCH-Normal法，因此 不論是S&P 500 股價指數資料或者是十年期政府公債資料，皆無法簡單區分出 常態假設之下或是極值理論架構下的風險值估算模型孰優孰劣，不過當信心水 準提高到99%時，則可以明顯的發現GARCH-VaR-x法以及CARR-VaR-x法所估 計的結果逐漸証實，不論是S&P 500 或是十年期政府公債資料皆以VaR-x法下的