一、金融資產極值行為相關文獻
目前為止有許多文獻皆發現金融資產報酬的分配型態並非服從常態分配的 假設，而有所謂極值（extreme value）行為及厚尾特性，所謂厚尾係指報酬分 配的極端值發生頻率較常態分配為高，Danielsson和de Vries (2000)指出，
RiskMetrics模型基於條件常態分配之假設並不適用於極端報酬之分析，因為在 此假設下，會低估極端事件的次數而影響風險值估計的準確性，Duffie和Pan (1997)指出，假設市場因子之機率分配為常態之模型假設與市場實際情況差距
甚遠4，特別是當市場因子之機率分配具有厚尾現象時，發生極端狀況的頻率較 常態分配為高，將使得變異數－共變異數法產生低估風險值的問題，Bollerslev (1986)亦提供實證證明在預測金融資產報酬時，即使考慮了資產報酬異質波動 的情形，以條件波動性模型來估計金融資產報酬的波動性，亦無法完全捕捉金 融資產報酬厚尾的現象，造成在高信心水準之下時會低估資產市場風險值的結 果 ， 由 此 可 見 金 融 資 產 報 酬 其 實 存 在 極 端 下 方 風 險 ， 或 稱 額 外 下 方 風 險
（additional downside risk），亦即風險在經濟蕭條或動盪較大的特別時期會變得 更大、更難以掌控，Barone-Adesi, Bourgoin和Giannopoulos (1998)亦藉由GARCH 模型來配適資產報酬分配的異質變異性，並結合歷史模擬法來估計GARCH模型 下的殘差值分配以估算風險值，雖然解決報酬隨時間變動的自我相關性與異質 變異問題，但缺點如前所述，利用歷史模擬法來推估未來損益機率分配型態，
當歷史資料不足或是無法包含極端值時，此時歷史資料所形成的機率分配就無 法反應所有的可能情況，因此必須在大樣本的情況下才能獲得準確性的估計值。
Jansen和de Vries (1991), Loretan和Phillips (1994)以及Longin (1996)皆研究 股市的極值行為，並實證發現金融資產的極值分配為具有厚尾的分配型態。許 多財務研究更進一步將金融資產的極值行為應用到風險管理議題的探討，運用 極值理論估計金融資產的極值行為並進而提升風險值估計的準確性，Neftci (2000)利用美國四種利率及匯率資料為研究對象5，實證發現不論是樣本內或是 樣本外的結果，採用極值理論風險值模型所估計的99%信心水準下風險值，皆 較一般傳統常態假設下風險值模型的估計值準確，且可獲得較小的平均失敗誤 差6，代表其所估計之風險值較接近實際報酬大小，而Huisman, Koedijk和Pownall (1998)、Pownall和Koedijk (1999)、Danielsson和de Vries (2000)等，亦比較常態
4 Duffie和Pan (1997)以S&P 500 股價指數 1986 年至 1996 年之日報酬資料為例說明此結果。
5 此四種利率資料為三個月期國庫券利率、兩年期、五年期及七年期政府公債利率；四種匯率 資料則為美元對德國馬克、法國法郎、英國英鎊及日本日圓的匯率。
6 平均失敗誤差（mean excess）的運算可參考本文後面的研究方法。
假設下風險值模型與極值理論風險值模型在風險估計上的表現，都證實極值理 論風險值模型的估計表現確實優於常態假設下的風險值模型，而後也有越來越 多的研究開始對極值理論之下的風險值模型進行探討。
二、尾部指數估計法
應用極值理論來做為風險值估計方法有一個很大的優點，即不需對資產報 酬真實分配型態配適任何假設，而是直接觀察極端值的情形來判斷真實風險狀 況，Longin (1996)指出資產報酬真實分配的尾部形狀即反應在其尾部指數（tail index）估計值上，它決定了分配函數尾部消失的速度，若原本分配函數其尾部 越厚，則消失速度越慢，尾部指數也越大，此外，尾部指數估計值的倒數又稱 為形狀參數（shape parameter），他提到極值分配中Frechet型態的形狀參數亦反 應原本分配存在有限動差的最高階次7，若形狀參數估計值越大代表原本分配存 在越高階次的動差函數，例如當形狀參數估計值等於2 即代表原本分配存在一 階及二階動差，因此極值理論可在不需了解極值的正確分配下，藉由尾部型態 的估計了解金融資產的極值分配，進而估計風險值。
在應用極值理論估計資產報酬分配尾部指數時，依據Longin (1996)的分類 可分為母數估計法與無母數估計法，Jansen和de Vries (1991)、Koedijk, Stork和 de Vries (1992)、Danielsson和de Vries (1997)指出，無母數估計法在估計尾部指 數時，由於不需假設極值是來自於何種極限分配而較母數估計法在估計上顯得 有效率，然而在無母數估計法的估計式中，Longin (1996)以及Kearns和Pagan (1997)皆證明Hill估計式為一個較好的尾部指數估計法，Longin (1996)將NYSE 股價指數由1885 至 1990 年近一世紀的日資料，藉由極端值分配來配適，並利 用母數估計法中的最大概似估計法（maximum likelihood method）、迴歸方法
7 極值分配可分成Gumbel、Frechet以及Weibull三種分配型態，本文研究方法中有詳細介紹。
（regression method）以及無母數估計法中的Hill估計式與Pickand估計式8估計極 端值分配中的尾端係數，結果顯示Hill估計式為一較有效率的尾部指數估計方 法，並發現極端報酬的近似分配為Frechet分配。
然而如同McNeil和Frey (2000)所提到的，利用Hill估計式來估計尾部指數時 會面臨到兩個問題：（1）小樣本下的Hill估計式容易產生偏誤以及（2）最適尾 部觀察數目決定不易。因此Huisman, Koedijk, Kool和Plam (2001)針對Hill估計式 的兩個問題，提出一個修正Hill尾部指數的估計式，Hill修正式除了在小樣本下 具有不偏性外，也不需在求算尾部指數時事先決定尾部觀察數目，並用分配模 擬的方式證明修正Hill估計式對資產報酬服從Burr分配9、柯西（Cauchy）分配 或是t分配（student’s t）而言，仍可得到一無偏誤的尾部指數估計值，此外在其 實證分析中，根據匯率資料的實證結果10，亦顯示修正Hill估計式在尾部指數估 計上較Hill估計式準確。Huisman, Koedijk, Kool和Palm (1998)亦利用修正Hill估 計式檢視前述之匯率資料其非條件分配（unconditional distribution）的情形，發 現匯率報酬率資料有近似於t分配的情形。
三、VaR-x 風險值模型
另一方面，Huisman, Koedijk 和 Pownall (1998)指出大部分金融資產之報酬 分配較常態分配具有厚尾的特性，而採用 t 分配來配適資產報酬分配可較常態 分配更能夠捕捉高狹峰的分配型態，因此其假設資產報酬分配服從 t 分配，並 將形狀參數，亦即反應原本分配存在的最高階次動差的概念與 t 分配結合，首 先利用修正Hill 估計式來估計尾部指數值，並依據尾部指數估計值與 t 分配自
8 Hill估計式的計算公式可參考本文後面的研究方法，Pickand估計式則參照Pickand (1975)說明。
9 Burr分配的累積分配函數為F(x) =1−(x2 +1)−2且其形狀參數等於4。
10 Huisman, Koedijk, Kool和Plam (2001)利用美元對法國法郎、德國馬克、英國英鎊、瑞士法郎 及日本日圓的匯率資料做實證。
由度大小反向的關係，求得原始報酬在 t 分配假設下之自由度估計值，進一步 估計風險值，稱之為VaR-x 風險值估計法，同時指出當運用 VaR-x 法來估計風 險值時，除了可以免除需事先決定一最適尾部觀察數目之繁雜的程序之外，對 於樣本數不足或是必須將資料切割成為小樣本時，亦提供一個良好的不偏估計 的特性，此外，他們利用美國S&P 500 與十年期政府公債的資料實證發現，使 用VaR-x 估計法在風險值估計準確性上的表現亦較常態法為佳。
四、動態極值理論模型
Jorion (2000)提到，使用極值理論估計法來估計風險值時，雖然極值法可以 捕捉資產報酬的厚尾型態，但由於極值理論假設報酬的發生過程為來自獨立且 相同的分配型態（independently and identically distributed；簡稱 ），此假設 與金融資產報酬數列普遍存在異質變異數的情況不符，由於極值理論估計法忽 略了金融資產報酬數列之異質性問題，可能會得到不正確的風險估計值。此外，
Goorbergh 和 Vlaar (1999)比較歷史模擬法、變異數－共變異數法及尾部指數等 數種估計方法，以估計荷蘭股價指數與道瓊工業指數之風險值，而由於未能處 理波動性叢聚現象，使得採用尾部指數估計方法的結果不佳。為了同時解決金 融資產具厚尾與波動異質性問題，McNeil 和 Frey (2000)提出了時間數列模型結 合極端值分配的概念，利用GARCH 模型與極值理論的結合形成動態（條件）
風險值估計模型，其方法為先利用GARCH 模型來估計資產報酬的波動性，再 以極值理論架構下的無母數Hill 估計式估計 GARCH 模型殘差項的尾部型態，
最後根據尾部極限分配計算殘差項百分位數（percentile）以求得動態（條件）
風險值，McNeil 和 Frey (2000)的實證結果顯示此模型比忽略厚尾分配或是隨機 波動的估計方法更好。Bystrom (2004)亦比較結合 GARCH 模型以及極值理論下 一般化極值分配（generalized extreme value distribution；GEV）與一般化柏拉圖 分配（generalized Pareto distribution；GPD）所形成的動態風險值估計模型，發
. . . d
i
i
現 GARCH-GEV 與 GARCH-GPD 模型在風險值估計績效表現上皆較其他非條 件及常態假設下模型佳；結合極值理論與GARCH 模型所得到的動態（條件）
風險值估計模型，一方面可以使風險估計模型動態化，事先預測下一期樣本外 波動性情況，另一方面利用GARCH 模型的樣本內波動性配適值來標準化原始 報酬率資料，使其滿足極值理論風險值估計架構下的獨立同態分配（ ）假 設。由於動態極值理論風險值模型結合了波動性模型與極值理論的優點，可用 以捕捉極端下方風險的情況，故應為一較精確的風險值估計方法。
. . . d
i i
Pownall 和 Koedijk (1999)提出結合 EWMA 模型與 VaR-x 估計法的條件 VaR-x 風險值估計模型，並實證發現此動態（條件）VaR-x 模型在風險值估計 的準確性上，較靜態（非條件）VaR-x 模型與 J. P. Morgan 所提出的 RiskMetrics
Pownall 和 Koedijk (1999)提出結合 EWMA 模型與 VaR-x 估計法的條件 VaR-x 風險值估計模型，並實證發現此動態（條件）VaR-x 模型在風險值估計 的準確性上，較靜態（非條件）VaR-x 模型與 J. P. Morgan 所提出的 RiskMetrics