極值理論

風險值估計模型的主要精神在於估計投資組合在最壞的狀況下，可能的最 大損失金額，因此如何將報酬機率分配的尾端特性真實的呈現出來，才是風險 值估計模型所應該考量之最重要的問題。許多金融資產報酬率的分配已被驗證 存在較常態分配厚尾的現象，因此使用平均數與變異數將無法正確描繪出報酬 分配的機率特性，而藉由觀察樣本值尾部分配厚尾的程度，將能夠捕捉預期極 端事件發生的機率。極值理論便是在探討分配的尾部特性，由於極值理論不需 對原始報酬做任何分配上的假設，特別著重於機率分配尾端的描述，有助於正 確估計資產報酬分配厚尾的程度。此外，Longin (1996)指出極值理論中重要的 參數估計值－尾部指數，亦即反應此一機率分配厚尾的程度，也是極值理論研 究中一個相當重要的發現及良好的特性。以下前兩段分析將依序介紹極值理論 目前為止較廣為探討的兩種概念Block Maxima 模型與 POT 模型，第三段分析 則介紹Huisman, Koedijk, Kool 和 Plam (2001)所提出的修正 Hill 尾部指數估計 式，其具有小樣本下不偏以及不需事先決定尾部觀察數目的優點，為一估計相 當準確且簡便的尾部指數估計式，亦為本研究主要採用之尾部指數估計方法。

一、Block Maxima 模型

Block Maxima 模型主要探討時間資料隨機變數中，每段期間（如：每年或

每月）極端值的分配。假設有一平穩的隨機數列 （例如：每日的 小值的漸近分配（asymptotic distribution）型態的研究。依據 Fisher 和 Tippett 在 1928 年的研究，可知經過標準化的極大值統計量

（weakly converge）的傾向，其中

α

_n為規模參數（scale parameter），

α

_n >0， 相當於標準差；

β

_n為位置參數（location parameter），相當於平均數，且其漸進 分配趨近於一個非退化極限分配（non-degenerate limiting distribution）H，以數 學式表現如下：

H 稱為極值分配（extreme value distribution），它必須是以下三種標準極值分配 的其中一種，分別為Gumbel 分配、Frechet 分配以及 Weibull 分配：

型一：Gumbel 分配 述三種分配的一般化極值分配（generalized extreme value distribution；GEV）。

令標準化極大值統計量之極限分配定義為： 配、指數分配、Gamma 分配、Lognormal 分配等屬之，這類分配稱為中等尾部

（medium-tailed）的分配，分配尾端消失是以指數（exponential）的形式遞減。

當γ >0時，表示GEV 屬於第二類型 Frechet 分配，例如柏拉圖（Pareto）分配、

t 分配、柯西分配、Burr 分配和 Loggamma 分配等屬之，此類分配為厚尾或長 尾（long-tailed）分配，尾部以次冪（power）的形式衰退，故衰退的速度比常 態分配慢。由於多數財務資料都屬於厚尾分配，因此在財務領域上這個分配特

別受到矚目與探討。當γ <0時，表示 GEV 屬於第三類型 Weibull 分配，例如 均勻（uniform）分配及 Beta 分配等都包含在內，此類分配屬於薄尾或短尾

（short-tailed）分配，尾部衰退速度比前兩類更快。此外，第一與第三類型分

Gumbel Frechet Weibull ℜ 配，可以用一般化柏拉圖分配（generalized Pareto distribution；GPD）來描述。

GPD 分配是比 GEV 分配發展較晚的模型，主要觀念在考慮資料超過某一個門

檻值以上的情況，以期能夠了解這些極端值的狀況，進而避免在估算風險值時，

遺漏了這些重要的訊息。

假設有一平穩的隨機數列 _n，皆服從某一累積機率分配 且彼 此統計獨立，我們有興趣的是 大於某一個高的門檻值 u 的分配情況，稱為餘 額分配（excess distribution），可以得到餘額分配函數 如下：

X

de Haan (1974)以及 Pickands (1975)提出理論，指出連續分配函數 中，當選取 的門檻值 u 逐漸增加，則餘額分配函數 會向GPD 收斂，可以數學式表示：

F 尾部呈現次冪消失，屬於厚尾分配，如柏拉圖分配、Loggamma 分配、柯西

X

Gumbel Frechet Weibull ℜ

數尾部接近零的速度就越快，所求得的尾部指數值也就越小。由此可知，欲清 偏性極為重要，Dacorogna, Muller, Pictet 和 de Vries (1995)提出 Hill 尾部指數估 計偏誤值（bias）之漸近分配函數為： 當 時，Hill 尾部指數估計值均存在偏誤的現象。Dacorogna, Muller, Pictet 和de Vries (1995)利用模擬方式指出尾部指數估計值並不受

>0

k

β 之選擇的影響，所

以即使β 的假設值產生偏誤並不會對

α

估計值造成很大的影響。

根據上述分析，Huisman, Koedijk, Kool 和 Plam (2001)提出修正式解決 Hill 估計式的 k 值選擇問題，作法為在(12)式中加入α =β限制式，使得漸近偏誤與

k 存在一線性關係，則(10)式可進一步轉換如下：

κ ε

β β

γ(k)= ₀ + ₁k+ (k) , k =1,L, (14)

其中，

β

₀與

β

₁為迴歸參數，ε(k)為迴歸殘差項。根據(14)式，當 k 值接近於 0 時，可以得到一個具不偏性的尾部指數估計值，所以(14)式不需選擇最適尾部 觀察數目來估計尾部指數，而是透過輸入不同的 k 值產生不同的尾部指數估計 值γ 的過程，來解決偏誤與有效性的抵換關係，進而得到一個小樣本下具有不 偏性的尾部指數估計值

β

₀，因此(14)式可以普通最小平方法（ordinary least squares；OLS）進行估計，所得到的截距項參數估計值 即為小樣本下的尾部 指數不偏估計值。Huisman, Koedijk, Kool 和 Plam (2001)透過模擬過程發現，尾 部觀察值個數

ˆ0

β

κ 的選擇並不影響修正後 Hill 尾部指數的估計，建議採用

κ

=

n

2 即可以獲得準確的估計結果。

相較於僅使用單一的Hill估計值，修正Hill估計值乃使用許多（在不同的k 下）傳統Hill估計值計算而得的加權平均值，以推估尾部的型態。因此修正Hill 估計值可視為一組傳統Hill估計值的加權平均，權重乃是使用普通最小平方法 所求得。¹¹

在文檔中 風險值衡量：變幅DCC模型的應用 (頁 26-33)