第二節 風險值估計方法
一、 靜態（非條件）風險值模型（unconditional Value-at-Risk model）
I
X X
prob( t+1 ≤ t*+1 t)=1− (19) 上式中 表示在t 時的資訊集合，若在時間 t 時，預測資產報酬在 t+1 時的累積 機率分配，並以 表示，則可以寫成：
I
t(•) F
c X
F( t*+1)=1− (20) 因此，Xt*+1亦可由累積機率分配F(•)之反函數表示，即：
) 1
1(
*
1 F c
Xt+ = − − (21) 將(21)式所得 估計值代回(18)式，即可得到風險估計值，故風險值的各種估 計方法，可視為對報酬的累積機率分配函數與反函數的估算。然而資產報酬機 率分配往往是未知的，因此有許多風險值估算方法皆建立在預期報酬機率分配 的假設上。以下將循序介紹本文實證研究中所討論之風險值估計方法，並依模 型之靜態及動態特性分開解釋。
* +1
Xt
一、靜態（非條件）風險值模型（unconditional Value-at-Risk model）
靜態風險值模型主要假設資產報酬來自於相同的機率分配－ ，且機率 分配並不隨著時間而改變。由此可知，靜態風險值模型主要的缺點是未能將隨 時間變動的波動性變數納入考慮，因此無法反應市場新舊資訊的不同。本研究 所採用的靜態風險值模型包括歷史模擬法、靜態（非條件）變異數－共變異數 法、以及極值理論架構下的VaR-x 法，其估計方法分述如下。
(•) F
（一）歷史模擬法（Historical Simulation method；HS）
歷史模擬法主要藉由投資組合價值變動的歷史資料建構實際的報酬分配，
藉以真實反應投資組合過去的風險狀況，此外並假設預期報酬之機率分配F(•)
等於其歷史報酬分配的型態，認為過去價格變化的趨勢會一再地重複，因此歷 史模擬法不需針對金融資產的分配預做任何假設，也不需估計任何的參數，故 視為無母數系統的風險值估計方法之一。至於投資組合風險估計值的求算可將 過去歷史報酬由小到大排序，獲得投資組合之歷史報酬分配，再配合所欲觀測 的信心水準（100( )%），找出在 t+1 期時相對應的分位數（quantile）即 ， 代入(18)式即可求得相對於平均報酬之風險估計值。例如有 500 筆投資組合歷 史報酬，在99%的信心水準下，預期會有 5 筆觀察值超過 ，則 估計值 將會落在依損失大小排序後的第6 筆觀察值上。
c
Xt*+1* +1
Xt Xt*+1
由於歷史模擬法的概念易懂、計算簡便且可避免模型設定的風險，故在許 多文獻上皆廣為應用，然而在使用歷史模擬法估測風險值時，必須考量資料觀 察值的樣本數目是否足夠用以模擬未來可能的價格變化，並涵蓋可能發生的極 端事件，以及投資組合風險因子之間的報酬分配是否為獨立且相同分配，這些 皆是能否準確估計風險的重要因素。
（二）靜態（非條件）變異數－共變異數法（unconditional variance-covariance method）
除了使用歷史報酬分配來推估 之外，另一種作法為事先假設 為某
特定統計分配，並利用此統計分配可被特定參數描述的特性來求算 。J. P.
Morgan 於 1994 年首先在 RiskMetrics 提出以變異數－共變異數法來計算風險 值，常態分配的假設是此作法使用的重要假設之一，即假設市場報酬率為聯合 常態分配，另一個假設為獨立性，即假設個別觀察值之間彼此獨立，讓這個模 型較容易推算，最後就是假設市場變數變動與資產價格變動呈線性關係。在估
* +1
Xt F(•)
* +1
Xt
計風險值方面，假設投資組合報酬率平均數為µ ，變異數為 ，所需要做的是 因此在本研究中將這種估計方法命名為Delta-Normal 法，即為一般傳統常態分 配估計法。
（三）靜態（非條件）VaR-x 估計法（unconditional VaR-x method）
在 Delta-Normal 法中，對於 的估計是假設報酬分配為常態下的估計值，
然而Huisman, Koedijk 和 Pownall (1998)所提出的 VaR-x 風險值估計法則是假設 資產報酬分配服從t 分配，因此在估計 之前，必須先決定t 分配的自由度（
說明VaR-x 法估計風險值的步驟：
如 Jorion (2000)所述，若極值理論估計法忽略了金融資產報酬率數列之異 質性問題時，可能會得到不正確的風險估計值，為解決此問題，本研究在使用
於1 且獨立同分配的白噪音過程（white noise process）。本研究在條件期望值
µ
t 的估計上將利用自我迴歸移動平均（autoregressive moving average；ARMA）模 型來描述資產報酬率的一階自我相關行程，稱為 ARMA(m, n)模型；然而在條 件波動性σ
t的估計上則設定兩種形式之估計模型做探討並比較其表現優劣，分 別為報酬基礎下之GARCH(p, q)模型，以及變幅基礎下之 CARR(p, q)模型。因 此結合條件均數方程式（mean equation）與條件波動性方程式（volatility equation）後可形成 ARMA(m, n)－GARCH(p, q)模型以及 ARMA(m, n)－CARR(p, q)模型，模型設定如下所示。
ARMA(m, n)－GARCH(p, q)模型：
)
ARMA(m, n)－CARR(p, q)模型：
此模型對於條件期望值
µ
t的估計與 ARMA(m, n)－GARCH(p, q)模型相 同，皆為(25)式：) 越強。然而在參數估計上，則可採用準最大概似估計法（Quasi-Maximum Likelihood Estimation method；QMLE）來進行模型係數的估計，若假設
u
t likelihood function）可表示如下13：∑
= ⎥13 Engle和Russell (1998)導出，此種分配之設定可得到具有一致性之參數估計。
在模型參數估計完成後，即可根據(25)式與(29)式求得報酬率的條件期望值數列
在本研究中，為了比較ARMA(m, n)－GARCH(p, q)模型與 ARMA(m, n)－
CARR(p, q)模型做為資產報酬標準化模型的表現優劣，將比較兩種形式的 VaR-x 風險值估計法，分別為以 ARMA(m, n)－GARCH(p, q)模型做為標準化模 型的VaR-x（GARCH 過濾後）估計法，以及以 ARMA(m, n)－CARR(p, q)模型 做為標準化模型的 VaR-x（CARR 過濾後）估計法。其風險值估計步驟大致與 前面所列相同，差別僅在步驟一中估計尾部指數值時，VaR-x（GARCH 過濾後）
估計法利用（ ）數列來估計，而 VaR-x（CARR 過濾後）估計法則