第二章 文獻探討
第三節 奠基活動的發展與應用
一、 奠基活動的理念與理論根據
（一） 奠基數學的由來
「奠基數學」一詞來自於教育部委託國立臺灣師範大學數學教育中心所承 辦「就是要學好數學(JUST DO MATH)」計畫（教育部，2014）。該計畫最重 要的特色是「奠基」，也就是輔導準備不足的學生學習數學之基本策略為「奠 基」。
其計畫目標有三: 一、藉由有趣的數學活動，對學習數學準備不足之學 生，奠立其學習數學的意願與興趣。二、經由數學義診的系統，診斷學生學習 數學的問題，給予適當的輔導，以提升學習數學準備不足之學生學習數學的成
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效。三、培養數學活動師、數學義診師，並與數學輔導團、數學亮點基地學校 結合，具體的協助學習數學準備不足之學生學習數學，以期每位學生都能成功 的學習數學。
（二） 奠基數學的理念
「奠基」是在學生學習前，先讓學生經由活潑有趣的數學活動，激發學生 對數學的興趣，可引起學生的數學學習動機；同時，在進行數學活動時，養成 學習數學內容的具象經驗，讓學生體會與數學單元連結的關鍵點，促使學生在 關鍵點引動的好奇心驅使下，進一步探索相關問題，之後進入數學教室學習相 關單元時能具象有感的學習。
台灣學生的數學學習往往太快就進入演算，缺少發展數學概念需要仰賴的 操作活動經驗，在還沒有具體感受概念內涵的共通性或不變性前，就直接告知 概念，重視計算以至於數學愈學愈沒感覺（林福來，2014）。為了奠立學習數學 必要的具體經驗，使其在教室內可以參與有意義的學習，計畫中預計發展出足 夠的數學奠基模組，以提供國中小做數學奠基教學。
任何教育工作者對於學生的數學學習一定有這樣的思考：究竟要用什麼樣 的教材？要用什麼樣的教學法？才能有效提升學習成效。奠基數學認為在數學 概念上要具象有感，在學習態度上要激發其興趣。國內一些學者也持相同的看 法，如黃志賢（2003）指出數學低成就的學生較缺乏抽象的思維能力，而「透 過活動學習數學」被認為是一個有效的方法。藉由具體操作讓學生對概念有了 深切瞭解後，才讓他們練習和鞏固所學的材料，使學生能充分掌握及記憶所學 的數學知識。游自達（2013）認為有感的數學學習應從學生熟悉的生活情境和 感興趣的事物出發讓學生透過觀察、操作、體驗等活動實際感受，強化經驗並 建立直觀理解。用遊戲、操作等方法，讓學童透過自己的體驗，來啟發誘導其 對數與量的認識，並促進其推理能力的發展。
所以，奠基數學的活動理念是以具體操作活動養成學習數學內容的具象經 驗來提升學生的數學學習成就和以活潑有趣的數學活動，激發學生對數學的興
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趣。
（三） 奠基數學的理論根據
目前，大部分的數學奠基模組是根據 Bruner 的三種學習表徵（動作、圖 像、符號）而設計的，針對數學概念選擇適當的圖像表徵來轉化成具體操作活 動，再規劃成遊戲的教學活動。以下就 Bruner 的表徵理論和數學遊戲融入的意 義做探討。
1. Bruner的表徵理論
表徵的意義是將現實外在的事物以另一種較為抽象或符號化的形式來代表 的歷程（張春興, 1994），也就是「表徵」是人類運思的材料及工具，幫助我們 簡化思考的過程。
Bruner (1966)由運思的觀點，認為表徵是指人類經由認知表徵的過程獲得 知識，並進一步將其分為三種類型（引自張春興，1994），分述如下：
(1) 動作表徵(enactive representation)
動作表徵是指靠動作來獲得知識。例如：在數學學習上，以教導「有兩堆 糖果，一堆有7 顆糖果、另一堆有5 顆糖果，請問共有幾顆糖果？」為例，在 動作表徵下，教師會教導學生實際操作7顆糖果和5顆糖果，並把他們合在一 起，點數以得知結果為12。
(2) 圖像表徵( iconic representation)
圖像表徵又稱形像表徵。指利用對物體知覺留在記憶中的心像，即可獲得 知識，當具體物消失時，兒童仍能依照腦中實物的影像，來進行內在的運思活 動。例如：在數學學習上，以教導「有兩堆糖果，一堆有7 顆糖果、另一堆有5 顆糖果，請問共有幾顆糖果？」為例，在圖像表徵下，學生以心像運思或畫圈 圈取代實際操作糖果，得知結果為12。
(3) 符號表徵(symbolic representation)
符號表徵又稱為象徵表徵。指運用符號、語言文字為依據認識外界事物，
以「有兩堆糖果，一堆有7 顆糖果、另一堆有5 顆糖果，請問共有幾顆糖
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果？」為例，在符號表徵下，學生只要在內心運算或以算式「7＋5＝12」呈現 即可。此外，在國中生學習一元一次方程式時，使用的是更抽象的文字符號來 代表數，這比數字在運思的層面上又再深了一層。
依照 Bruner 的理論，學生從具體活動中了解抽象數學表徵的意義，才能 運用符號來進行運思，不同的表徵代表的是運思的抽象程度。而 Piaget 的「兒 童智力發展理論」亦強調，兒童須藉由具體操作來認知，經由操作的結果，兒 童始能將獲得的資料在心中加以變形，形成邏輯系統，使之能被組織和利用。
Sfard 與 Linchevski ( 1994) 以知識發生的觀點檢視代數思考的成長，並 提出數學概念的過程物件（process-object）性質，將數學概念分為操作性概念
（operational conceptions）和結構性概念（structural conception），認為數學概 念的初始概念是操作性概念，而透過具體化的過程，數學物件也就是結構性概 念方得以產生（引自陳維民，2010）。
就九年一貫數學領域課程綱要能力指標而言，課程強調概念學習的方式在 不同階段的特徵分別為動作表徵、圖像表徵到符號表徵，可以看出數學課程運 用表徵來幫助學生發展概念。例如，分數的教學時，老師以實物(如餅乾、糖 果、披薩)或具體物(如花片、積木、分數板)的操作來讓學童感受分數的具體現 象，接著以圖像(如畫圓餅圖、長方形圖或線段)來表示分數的「部分/整體」關 係，最後再以符號(如
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1， )來呈現分數概念。而其概念養成的程序為動作表 徵、圖像表徵到符號表徵，這程序是不可錯亂或忽略，不然學生的學習將缺乏 意義並產生學習迷思和錯誤。
綜合以上，說明了具體操作是概念教學的基礎，沒有經過具體操作其學習 有如建造空中樓閣，無其支撐點，尤其面對數學低成就學生，其先備知識較為 不足，對數學的認知理解較為緩慢，在概念的引導和發展上，絕不可躁進，不 然會造成學生無法理解概念，接下來的運算和解題都會有問題。
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2. 數學遊戲融入教學的意義
Dewey (1938)指出遊戲在學校課程中應佔有明確地位，其目的在增進知識 及充實社會行為，缺乏遊戲活動之教育，不能得到有效的學習。所以遊戲活動 富含教育的意義，不管在知識技能的獲得和應用，或是個體在群體中的角色扮 演，都可透過遊戲來完成。
黃敏晃（2005）認為遊戲可以激發學習興趣，在競爭的遊戲中可以發展出 能力，在遊戲中嘗試錯誤雖然看來不怎麼聰明，卻可以培養思考、分析的能 力。他亦認為讓學童有充裕的時間學習如何融入社會，不要急功近利，要以培 養能力為主，而遊戲是最可能達成目標手段的。
所以遊戲在教學上有許多功能，即是可激發學習興趣、增進知識、培養能 力和充實社會行為，這也正是補救教學生所要改善的項目。
多數研究亦顯示數學遊戲結合教學不僅能有效引起學生的學習興趣與動 機，對其學習態度亦有正面影響（田興蓉，2003；劉環毓，2008；賴勤薇，
2011）。這是因為學生在遊戲中是一個主動參與的角色，不僅能表達自己的想 法，亦能自己建構知識(Burns, 2003)。因此，若能於教學中配合教材內容設計相 關的數學遊戲，讓學生可以透過數學遊戲建構數學的概念或者運用數學的知 識，解決遊戲中的問題，培養帶得走的能力，將是寓教於樂的最佳模式。
綜合以上，數學遊戲在數學教學上確實有其重要功能，可以激發學習興 趣，增進知識的理解，充實社會行為，最後一定可以提升學習成效。
二、 奠基活動的應用與相關研究
（一） 奠基數學的實施現況
奠基數學計畫內容有三： 一是數學奠基活動模組開發，二是數學活動師 培訓，三是好好玩數學研習營。以下就這三項內容，分述其實施成果(執行成果 時間為 103 年 2 月起至 104 年 2 月止）。
1. 數學奠基活動模組開發
經由台師大數學系數學教育中心主動邀請和公告徵求下，共設計數學奠基
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模組 64 個，國小中年級組 23 個，國小高年級組 22 個，國中組 19 個。
2. 數學活動師培訓
數學活動師培訓研習的最終目的在於培養教學現場教師，使之有能力對國 中小學生進行奠基模組教學。藉由有趣的數學活動，對學習數學準備不足之學 生，奠立其學習數學的知識、意願與興趣。共舉辦台北場、高雄場、花蓮場、
台中場、台東場、雲林場，參加人數分別為 149 人、76 人、86 人、307 人、56 人、147 人，總計 821 人。
3. 好好玩數學研習營
針對國中小辦理好好玩數學研習營，好好玩數學營分成三個班別：暑期 班、週末班、寒假班，分別在全台各縣市辦理。其參加總人數如下表。
表 2-3-1 奠基數學好好玩數學營全國參加人數表(103.2-104.2)
班別 國小中年級組 國小高年級組 國中組 合計 暑假班 718 167 220 1105 週末班 185 0 0 185 寒假班 3001 2615 1444 7060 合計 3904 2782 1664 8350 好好玩數學研習營，在成效方面分以下三點：
1. 部分學生一開始參加好好玩數學研習營的態度並不積極，但是參加後卻不 想中斷，要求再玩下去。
2. 對於學生的學習態度，有積極的正向影響。
3. 部分學生因學習態度改變，變的不怕數學、敢提問，因而在幾個月後的追
3. 部分學生因學習態度改變，變的不怕數學、敢提問，因而在幾個月後的追