補救教學的實施歷程與分析

本節就各關係類型和數學遊戲的教學實施，予以觀察並檢測，然後從觀察 和檢測的結果做問題反省和教學修正。下圖是補救教學流程圖4-2-1：

圖4-2-1 補救教學流程圖

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一、關係類型一：ax+b=k的實施歷程分析 (一) 教學實施與觀察

1. 教學實施

教學內容是學習單一：由具體物物操作理解未知數、等量公理、移項法 則、解的概念及方程式ax+b=k的問題解決。

教學方式是先由老師舉例示範「等量公理」操作，再由學生按照學習單的 問題，小組討論解決策略並執行操作，最後記錄於紀錄單中，教師則於小組討 論操作期間，觀察並指導各組。

2. 教學觀察

一開始，雖然學習單中對任務的說明及教師對操作示範已經很清楚了，但 層次二、三學生一來可能是自信心不足，深怕做錯了，二來不清楚教材設計的 用意，所以，學生不太敢操作，經老師不斷鼓勵，才比較放得開。

張福松(2010)指出低成就學生的注意力不夠集中，常無法專心完成一道題 目、無法從事多步驟的計算、缺乏耐心、無法有效的集中和保持注意力。在補 救教學的過程中，因為能力層次二、三的學生閱讀能力差、記憶力差、理解力 差及抓不到重點，所以得不厭其煩地說明、示範和重點提示，這樣教學活動才 能順利的進行。但對於層次一的學生而言，問題又過於簡單，學生顯現出不耐 煩的樣子。

此類型問題中，單步驟問題最容易操作，也只需畫圖像而已，所以操作和 紀錄都進行的不錯。但兩步驟問題就難以進行，需做檢討修正。

(二) 隨堂測驗結果分析

在關係類型 ax+b=k 的補救教學後，實施該類型的隨堂測驗，其結果如下 表：

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表 4-2-1 學生在關係類型一隨堂測驗的答題情形

層次 學生 解方程式情形 解文字題情形

一

S1 能解方程式。 能解文字題。

S2 能解方程式。 能解文字題。

S3 能解方程式。 能解文字題。

二

S4 能解方程式。 能解文字題，但缺乏假設。

S5 能解方程式，但代數的解題紀 錄有瑕疵。

能解文字題，但缺乏假設。

三

S6 能解方程式，S6所用的是珠子 模式來思考解方程式，但用算 術的解題紀錄。

無法解文字題。

S7 能解方程式。 無法解文字題。

從上表得知，如同前測的檢測結果一樣，能力層次一、二的學生都可以解 決關係類型 ax+b=k 的問題，而層次三的 S6、S7 之前對於兩步驟文字題的基模 知識是完全缺乏的，如今卻會解 3x+5=50 方程式，可見只要賦予代數式珠子罐 子情境，他們就能由操作的心像找出方程式的解，但在解文字題時，他們還是 無法從文字題中掌握正確的數量關係並列方程式，需要再尋求其他補救策略。

接下來是研究者依據學生的作答情形對 S6、S7 所做的訪談，目的是釐清 問題原因並嘗試解決，茲將訪談情形分述如下。

1. 穩固S6的代數紀錄格式

S6在解方程式時，雖然是用的是珠子模式來思考解方程式，但用算術的解 題紀錄，研究者希望他能用代數的解題紀錄。

T：請你用珠子罐子畫出 4x-5=15 的情境。

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S6 畫出如下左圖。

T：你要怎麼做才能找出一罐有幾顆珠子。

S6：先補回 5 顆，然後再平分成四等分。(S5 邊說邊畫)

T：好，你把剛剛的操作(也就是畫圖)，用 x 的方程式表示出來。

S6 對應圖像的解方程式記錄如下右圖

T：所以，你以後解方程式時，就心中想著珠子罐子，再對應寫出代數符號就 行。

(S6評一訪050705) 從以上訪談得知，只要穩固操作的心像，就能穩固 S6 的解方程式紀錄。

2. 引導S6、S7解文字題

S6、S7 無法解此類型的文字題，原因可能在於列方程式這歷程出現問 題，研究者希望釐清原因並引導他們學會此類型的解文字題。

T：問題中有甚麼未知數？

S6、S7：守守有多少元。

T：那要假設甚麼為 x 呢？

S6、S7：假設守守有 x 元。

T：問題中的數量關係是什麼？

S6、S7：不會。

T：問題中有哪些東西？

S6：創創和守守。

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S7：應該是創創和守守的錢。(S7 比較有數量概念) T：S7 說的對，那創創和守守的錢有甚麼關係？

S7：創創的錢是守守的 3 倍少 5 元。

T：所以，創創的錢可用 x 表示為多少？

S7：3x-5 元。

T：可列出方程式是什麼？

S7：3x-5=100。

T：你們把答案算出來？

下圖是他們的解題紀錄

(S6、7評一訪050705) 從以上訪談得知，S6、S7的數量關係的概念很薄弱，在列方程式的教學 上，要慢慢引導學生將題目中所有的數量和數量關係察覺出來，並請他用代數 符號表徵出來。

(三) 問題反省與教學修正

研究者根據教學實施的觀察和隨堂測驗的結果所發現的問題，進行問題的 反省，然後提出解決策略並修正補救教學，其情形分述如下：

1. 學生程度差異過大的問題

對於層次二、三的學生而言，形成心像需要較多時間，所以在教學時務必 有充足的時間讓他們確實反覆操作，當然這會花掉很多時間，但在奠基的初期 應力求形成心像，才能有好的後續發展。

對於層次一這些已經會的學生需要給予心理建設，也就是說請他們等還不 會的同學一下，並且要給他們一個光榮的任務，那就是幫忙老師教導那些不會

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的同學。

不管在一般教學還是補救教學，學生的程度差異是相當困擾的事，學生程 度不同其需求也就不同，其解決方式就是小組合作學習，當教學內容不管是適 合低層次還是高層次學生，盡量在活動中小組成員都要有角色，例如，在操作 活動中，有人是指導，有人操作，有人紀錄，工作要分配好。

2. 兩步驟教材的教學問題

探究此問題的原因是過多的文字敘述造成認知負荷過大，學生較難自行閱 讀指示而操作。在教材設計之初，研究者的想法是要學生從裝填珠子去感受一 罐珠子的未知數概念，但可能失焦了。因為，學習單一、二的問題主要是讓學 生理解等量公理解方程式的概念，並熟練移項法則，其形成數量關係的操作過 程並不是重點，只要口述或文字說明數量相等即可，必須再將問題的敘述簡 化，所以研究者再將學習單一、二的問題敘述做第二次修改，去掉「操作變 化」描述，全部改為「數量相等」描述，底下舉學習單一第 5 題為例說明：

原來教材:

操作 1

1. 桌上有兩盤裝有相同魔法蛋數(以珠子呈現)的托盤，將左邊托盤中一堆魔法 蛋裝滿 3 個罐子(裝到滿，不必數)，再數數看剩下多少顆?

2. 若假設每罐魔法蛋是 x 顆，則原來左邊托盤中的魔法蛋可以表示為多少(以 x 表示)?

操作 2

3. 再數數看右邊托盤有多少顆?

關係與找解

4. 由操作 1 和操作 2 的結果，可以得出甚麼數量關係式(畫圖並以 x 表示)?

5. 最後，請經由等量操作，找出一罐魔法蛋有幾顆?

修正教材：

若左盤放置 3 罐又 5 顆珠子，而右盤放置 23 顆珠子，這時候左右兩托盤 的珠子數量相等，則一罐珠子有幾顆?

在修正教材實施時，學生對題意較為清楚，學生就容易操作，但層次三的 學生面對珠子罐子仍是無法獨立操作，最後研究者才發現自己有個教學迷思，

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那就是認為只要學生理解「等量公理」就能應用「等量公理解題」，其實這兩者 的概念是不同的，前者是個性質，而後者是解題策略，研究者只示範等量公理 操作而已，而該組小組長雖會操作但卻無法教會他們，以致於層次三的學生對 於解題的目標沒有掌握，而無法進行往目標前進的步驟。在經過研究者的引 導，他們終於了解找出一罐珠子的步驟。

另外，從修正補救教學實施的觀察，兩步驟問題中以拿走、等分的等量操 作比較好運思，如3x+5=23；而補回、倍數的等量操作比較難運思，如x÷2-3=4，需要多花時間說明，在教學實施時要注意學生是否真正理解。

3. 列方程式的問題

由訪談得知S6、S7解文字題的困難發生在列方程式的歷程上，這當中包含 察覺關係、假設知能、以符號代表數及整合出方程式，一般學生也普遍缺乏這 樣的能力，研究者必須設計一套完整的教學，一步一步的導引學生學會列方程 式的歷程，也為後來的更複雜的關係類型教學奠定基礎。最後，研究者將隨堂 測驗文字題的列方程式歷程設計成PPT動畫，在上課時播放並口述引導。動畫 有四個主要步驟：

(1) 分句閱讀並標示數量關係。

(2) 假設未知數。

(3) 簡單圖示並以符號代表數。

(4) 列出方程式 。

PPT的教學如下圖。

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註：教學實施時，PPT呈現9個動畫一步一步播放出來，因礙於版面的關係，只 呈現最終結果的畫面。

在 PPT 教學後，所有的學生認為這樣的教學很清楚、容易懂、容易學(如 下圖)。S6、S7 終於更進一步學會了兩步驟問題的代數解題方法。

(S4 回 050706)

(S7 回 050706) 二、關係類型二：ax+b=cx+d的實施歷程分析

(一) 教學實施與觀察 1. 教學實施

教學內容是學習單二：由具體物的操作理解未知數、等量公理、移項法 則、解的概念及方程式ax+b=cx+d的問題解決。

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教學方式是先由老師舉例示範「等量公理解題」操作，再由學生按照學習 單的問題，小組討論解決策略並執行操作，最後將圖像及轉換的符號記錄於紀 錄單中，教師則於小組討論操作期間，觀察並指導各組。

2. 教學觀察

由於之前已有學習單一的操作經驗，學生在學習單二的操作底較能進入狀 況，也能體會研究者的用意，學生能自行討論畫出正確圖像並轉換為符號表 徵，表示其具體操作心像已建立，對於代數符號及運算已有意義的了解。不 過，研究者在教學時發現一個問題待解決：學生從圖像轉換為等量公理代數運 算紀錄時較為容易，但要再轉換為移項法則代數運算紀錄時卻有點困難。

另外，學生中以 B 組的討論氣氛和認真度較好，因為 B 組長較為穩重踏 實、認真面對任務；而 A 組的組長對事不積極，所以整組也不怎麼積極。由此

另外，學生中以 B 組的討論氣氛和認真度較好，因為 B 組長較為穩重踏 實、認真面對任務；而 A 組的組長對事不積極，所以整組也不怎麼積極。由此