以奠基活動進行七年級一元一次方程式補救教學之行動研究

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(1)國立屏東大學科普傳播學系數理教育碩士班碩士論文 Department of Science Communication National Pingtung University Master’s Thesis. 以奠基活動進行七年級一元一次方程式補救教學之行動研究 An Action Research on Using Mathematics-Grounding Activities to Implement One-Variable Linear Equation Remedial Instruction on Seventh Graders. 指導教授：徐偉民博士 Advisor: Dr. Wei-Min Hsu 研究生：蕭新雄撰 Student: Hsin-Hsiung Hsiao. 中. 華. 民國. 一. 百零. January, 2017. 六. 年一. 月.

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(3) 謝詞相信沒人會否認或懷疑！一篇研究論文是經歷層層關卡，匯集古今中外的知識結晶，絞盡許多人的腦汁才得以完成。牛頓：「如果說我看得比別人更遠，那是因為我站在巨人的肩膀上。」這經典名言表達出每個人在功成之時所要感謝的人實在太多了！我的論文完成也要感謝許多人，他們的付出和協助讓我銘記在心。回想兩年半前，研究所的第一堂課是偉民老師的教育文獻選讀，當時便被老師豐富的學養所震懾，之後，更選定老師為指導教授，而在論文的寫作過程，老師是那麼有耐心的建議和鼓勵，在老師的指導下，那懵懵懂懂、無學術基礎的我漸漸理解而能做學術研究，我常想，要把一個門外漢帶進門並使他學成下山，所付出的心力是難以估量的，偉民老師是我要感謝的第一人！在論文完成的最後一哩路，文金老師和志隆老師扮演為論文畫龍點睛的重要推手，在他們擔任口試委員時，為了使我的論文臻至完美，一字一句的閱讀，一字一句的斟酌，花費的心力使我佩服，我衷心感謝你們。最後，我要感謝我的兒子羽崴，他生來逢時，在我補救教學研究期間，他剛好小六升國一，每個教學實驗他都先嚐鮮，當然，我在他身上得到很多實驗數據，這讓我在教學時能更順利實施，而研究過程的附加效應是我們有很特別、美好的親子互動。要感謝的人、事、物太多太多了，在此一併說聲謝謝！. I.

(4) 以奠基活動進行七年級一元一次方程式補救教學之行動研究. 摘要. 本研究的目的在發展七年級一元一次方程式補救教學的奠基活動教材，並探討奠基活動在七年級一元一次方程式補救教學的實施歷程與學習成效。本研究採用行動研究法，根據一元一次方程式部分之分年細目設計奠基活動補救教材，以七年級七位低成就學生為對象進行補救教學。在補救教學的過程中，透過課堂觀察、隨堂測驗、訪談來了解學生在補救教學中的學習表現，並透過研究者的自我省思，對補救教學進行修正以提升學生的學習成效。研究結果發現，補救教學課程能提升低成就學生在一元一次方程式的學習成效、補救教學課程能提升低成就學生的數學學習興趣、PPT動畫補救教學可補奠基活動補救教學在解文字題上的不足、奠基活動在一元一次方程式補救教材設計上有侷限性。. 關鍵字：奠基活動、一元一次方程式、補救教學、行動研究. II.

(5) An Action Research on Using Mathematics-Grounding Activities to Implement One-Variable Linear Equation Remedial Instruction on Seventh Graders Abstract The purposes of this study are to develop mathematics-grounding teaching materials of one-variable linear equation remedial instruction for seventh graders and to investigate the related implementation process and learning effects. This study has adopted an action research method. The mathematics-grounding teaching materials were designed according to the grade specifications of one-variable linear equation and the remedial instruction were implemented on seven underachieving students of seventh grade. During the remedial instruction, classroom observations, quizzes and interviews were used to determine the learning performances of the students while being subjected to remedial instruction. Based on self-reflection made by the researcher, the remedial instructions were modified by the researcher to improve students' learning effects. The research results show that the remedial curriculum is able to improve the learning effects of underachieving students with respect to one-variable linear equation, and the remedial curriculum is able to increase the level of interest underachieving students have in learning mathematics, and the PPT animation materials can help the mathematics-grounding curriculum to improve the learning effects of word problems solving, and there are restrictions with the design of the remedial mathematicsgrounding teaching materials of one-variable linear equation.. Keywords: Mathematics-Grounding Activity, One-Variable Linear Equation, Remedial Instruction, Action Research III.

(6) 目次謝詞 …………………………………………………………………………………Ⅰ 中文摘要……………………………………………………………………………Ⅱ 英文摘要 …………………………………………………………………………Ⅲ 目次…………………………………………………………………………………Ⅳ 圖次…………………………………………………………………………………Ⅶ 表次…………………………………………………………………………………Ⅷ. 第一章緒論第一節研究動機 …………………………………………………………………1 第二節研究目的 …………………………………………………………………4 第三節名詞釋義 …………………………………………………………………4 第四節研究範圍及限制 …………………………………………………………6. 第二章文獻探討第一節一元一次方程式的相關研究 ……………………………………………7 第二節一元一次方程式補救教學的相關研究…………………………………31 第三節奠基活動的發展與應用…………………………………………………40. 第三章研究方法第一節研究方法…………………………………………………………………47 第二節研究對象與背景…………………………………………………………48 IV.

(7) 第三節研究流程…………………………………………………………………51 第四節研究工具…………………………………………………………………53 第五節資料蒐集與分析…………………………………………………………83. 第四章研究結果與討論第一節補救教學前的前測結果與分析…………………………………………89 第二節補救教學的實施歷程與分析 …………………………………………116 第三節補救教學的實施結果與分析 …………………………………………153. 第五章結論與建議第一節結論 ……………………………………………………………………165 第二節建議 ……………………………………………………………………167. 參考文獻中文部份…………………………………………………………………………169 英文部份…………………………………………………………………………173. 附錄附錄一前測試卷 ………………………………………………………………175 附錄二後測試卷 ………………………………………………………………178 附錄三數學學習興趣量表 ……………………………………………………181 附錄四隨堂評量單 ……………………………………………………………182 附錄五回饋意見單 ……………………………………………………………183 附錄六評量檢核表 ……………………………………………………………184 V.

(8) 附錄七奠基活動補救教材……………………………………………………185 附錄八國小代數檢測試卷……………………………………………………191. VI.

(9) 圖次圖 3-3-1 研究流程圖……………………………………………………………… 52 圖 3-4-1 前測預試卷的架構圖…………………………………………………… 61 圖 4-2-1 補救教學流程圖 ……………………………………………………… 116 圖 4-3-1 學生在解方程式的關係類型進展圖 ………………………………… 158 圖 4-3-2 學生在解文字題的關係類型進展圖 ………………………………… 160. VII.

(10) 表次表 2-1-1 文字符號概念的錯誤類型之相關研究………………………………… 10 表 2-1-2 一元一次方程式概念的錯誤類型之相關研究………………………… 13 表 2-1-3 各學者解題歷程比較表………………………………………………… 17 表 2-1-4 Mayer的解題歷程之實例說明……………………………………………18 表 2-1-5 一元一次方程式文字應用題的錯誤類型之相關研究………………… 28 表 2-2-1 一元一次方程式補救教學的相關研究………………………………… 37 表 2-3-1 奠基數學好好玩數學營全國參加人數表……………………………… 45 表 2-3-2 以奠基活動進行補救教學的相關研究………………………………… 46 表 3-2-1 數學低成就學生基本資料……………………………………………… 49 表 3-4-1 一元一次方程式歷程主題分析表……………………………………… 54 表 3-4-2 一元一次方程式關係類型分析表……………………………………… 57 表 3-4-3 前測預試卷的雙向細目表……………………………………………… 60 表 3-4-4 專家建議修改之題目…………………………………………………… 62 表 3-4-5 解題歷程訪談大綱……………………………………………………… 64 表 3-4-6 奠基活動補救教材內容說明…………………………………………… 68 表 3-5-1 資料編碼說明表………………………………………………………… 85 表 4-1-1 學生在前測試題中「歷程主題」向度的答對題數及答對率………… 90 表 4-1-2 國小代數能力檢測試卷內容架構……………………………………… 93 表 4-1-3 國小代數能力檢測結果………………………………………………… 93 表 4-1-4 前測試卷檢核表………………………………………………………… 95 表 4-1-5 學生代數能力層次表 ………………………………………………… 111 表 4-1-6 學生教學分組表 ……………………………………………………… 112 表 4-1-7 數學學習興趣量表的前測結果 ……………………………………… 114 表 4-2-1 學生在關係類型一隨堂測驗的答題情形 …………………………… 118 VIII.

(11) 表 4-2-2 學生在關係類型二隨堂測驗的答題情形 …………………………… 124 表 4-2-3 學生在關係類型三隨堂測驗的答題情形 …………………………… 132 表 4-2-4 學生在關係類型四隨堂測驗的答題情形 …………………………… 139 表 4-2-5 學生在關係類型五隨堂測驗的答題情形 …………………………… 142 表 4-2-6 補救教學實施歷程遭遇的問題與修正 ……………………………… 151 表 4-3-1 後測試卷檢核表 ……………………………………………………… 153 表 4-3-2 學生在前後測試卷的達成率比較表 ………………………………… 155 表 4-3-3 各評量細目在前後測試卷的達成率比較表 ………………………… 156 表 4-3-4 各關係類型在前後測試卷的達成率比較表 ………………………… 157 表 4-3-5 學生在解方程式的關係類型進展表 ………………………………… 158 表 4-3-6 學生在解文字題的關係類型進展表 ………………………………… 159 表 4-3-7 數學學習興趣量表的後測結果 ……………………………………… 161 表 4-3-8 學生在數學學習興趣量表的前後測結果比較表 …………………… 162. IX.

(12) X.

(13) 第一章. 緒論. 本章共分為四節，第一節為研究動機、第二節為研究目的、第三節為名詞釋義、第四節為研究範圍與限制。. 第一節. 研究動機. 九七課程綱要中數學學習領域之基本理念提及數學是人類最重要的資產之一，數學被公認為科學、技術及思想發展的基石，文明演進的指標與推手（教育部，2008）。所以，數學是自然科學、社會科學和科技文明的共同基礎，在進入21世紀這樣高度文明化的世界後，數學知識及數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力，透過數學的訓練後，可以培養一個人具備敏捷的思考能力，並且擁有縝密的邏輯推理能力，當遇到問題時，就能迅速判斷，以最佳的策略來解決問題。在數學領域的學習內容中，美國國家教師協會（The National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）在《學校數學的準則與標準》（Principles and Standards for School Mathematics）一書中指出，代數是學校數學中一個重要的部分，且有助於整合數學其他部分。不管是工作或是繼續升學，代數對於學生未來的生活相當重要，所有的學生都必須學習代數。所以，代數在數學學習領域中佔有極重要的地位。在國內數學學習領域的課程綱要中，代數為其中一個重要主題，課程綱要修訂者認為代數教學需要從小紮根，所以從不同階段的代數能力指標都可以看出代數課程已深入國小。在課程綱要的安排下，未知數的概念是銜接國小到國中代數主題的橋梁，從國小五年級引進含有未知數符號單步驟算式的求解及驗算，到六年級介紹以等量公理進行含有未知數符號單步驟算式的求解及驗算，接著升上國中後，七年級上學期第三次段考的單元內容就是較複雜的一元一次方程式相關問題。然 1.

(14) 而，很多國中七年級的學生卻在此單元遭遇極大的挫折（謝和秀、謝哲仁， 2002；王如敏，2004；楊榮達，2006；張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫， 2012；Herscovics & Linchevski, 1994; Kieran, 1992）。如此重要的代數知識，讓許多國中生感到十分頭痛，因而排斥、抗拒學習，於是產生了很多數學成就低落的學生。林碧珍（1985）認為數學概念是日常生活中所接觸的概念中最抽象的，且具有前後連貫，往往一個概念是由某些概念抽象後再抽象後而得。所以數學概念是非常具結構性的，往往先備概念沒學好，則其後續概念就難以為繼。而代數的概念更是既抽象又前後連貫，從Collis (1975)對文字符號概念層次的劃分看來，文字符號不僅可以代表未知數（unknown），也可以代表一般化的數字（generalized number）或變數（variable）。其中，未知數可謂是代數學習的初始概念，它是往後學習多項式、函數或抽象代數的基礎，而一元一次方程式的概念又是未知數概念發展的基礎，若有學生在一元一次方程式的學習產生困難或迷思，教師都必須尋找方法幫他們克服，因為任何學生都必須通過這代數學習的關鍵，否則對於後續的代數或其他數學主題的學習必會產生很大的障礙。現今教育中，公平性的議題逐漸受到關注，所訴求是「把每一位學生帶上來」，為了實現教育的公平性及幫助數學低成就學生能在後續的數學學習上能學習順利，教師必須對數學低成就學生進行一元一次方程式補救教學。研究者進入國中數學領域教學已經二十多年，在數學教學的現場，常常聽到教師們有些教學上不解的疑問，那就是為什麼已經教了許多遍了，相同題型的類題也練習過了，就是仍有一些同學在某些概念不能理解，導致某些運算不能正確和精熟，更無法應用所學解決情境問題，最後評量表現不佳未能達到教師們的標準。但教師們消極的認為學生們本身不專心、不用功，讓數學科的教師深感無奈，也使學生在每一次的學習遭受到挫敗而失去興趣，更甚者則放棄數學。其實，這些教師並未真正去探討學生的代數學習困難和形成原因，也未去尋求有效的解決策略，只是強調多做題目以增加熟練度，這種作法當然無法 2.

(15) 對症下藥，問題也就無法得到解決而日復一日的延續下去。所以，要對低成就學生進行有效的一元一次方程式補救教學，教師必須做到兩件事，一是了解學生在一元一次方程式的學習困難及形成原因，一是設計對應的補救教材和進行補救教學活動。研究者認為七年級一元一次方程式學習問題的形成原因有二：一是國中的教學缺乏具體情境的引導，就進入抽象的代數運算，導致學生無法有意義的了解，只記憶規則而產生了錯誤和迷思。Kieran (1992)就指出學生無法在解題的情境中運用代數知識，亦不瞭解代數的結構，為了掩蔽此一情形，學生訴諸於記憶代數規則與程序，從而影響其信念系統，認為代數就是記憶規則與程序；另一是過多的抽象運算讓學習變的枯燥乏味，導致學生對一元一次方程式的學習產生反感、無興趣。所以，研究者認為一元一次方程式補救教學的實施必須考量上述兩個形成原因，設計一套有效的補救教材，將學生在一元一次方程式的學習問題予以解決，提高其學習成效。研究者針對上述學習問題的原因來思考，認為對於數學低成就學生的補救教學，在實施上應該有兩個原則，那就是具象有感和活潑有趣，教師應以學習者為中心研發活動教材，讓數學的學習變得有趣，引發學習數學興趣，並從具象操作中學得重要的數學概念。目前，符合上述需求的數學教學模式就屬國立臺灣師範大學數學教育中心所推動的「奠基數學」。研究者為達補救教學目的，研擬依據奠基數學的理念，設計一套一元一次方程式奠基活動來進行補救教學，並藉由行動研究中的評鑑、反省與修正來精緻補救教學歷程，希望能提升低成就學生的學習成效。在蒐集了國內有關一元一次方程式補救教學的研究後，研究者發現這些補救教學模式大概可分為三類：一是教材的重新編輯，例如：依據教科書例題重新編製的學習單式問題題組進行數學補救教學（俞宗賢，2007；黃淑華、鄭鈐華、王又禾、吳昭容，2014）；一是藉由科技或其他媒材輔助教學，例如：以網路點選播放影片或運用漫畫進行補救教學（許宛琪，2006；謝宜芳， 3.

(16) 2014）；一是改變教學法，例如：以小組合作學習或對話式形成性評量進行數學補救教學（俞宗賢，2007；張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫，2012）。本研究屬於採用改變教學法的模式進行補救教學，而國內並無有關奠基活動進行一元一次方程式補救教學的研究，希望在本研究完成後能提供一些實證性資料以作為其他研究者參考。. 第二節. 研究目的. 基於上述研究動機，為了提升數學學習低成就學生在一元一次方程式的學習成效，本研究採研究者即行動者的立場，發展一套奠基活動的補救教學課程，採取行動研究的方法，選擇七位七年級數學低成就學生，探究低成就學生的補救教學歷程與學習成效，主要目的如下：一、發展七年級一元一次方程式補救教學的奠基活動教材。二、探討奠基活動在七年級一元一次方程式補救教學的實施歷程與學習成效。. 第三節. 名詞釋義. 一、奠基活動「奠基」是在學生學習前，先讓學生經由活潑有趣的數學活動，激發學生對數學的興趣，可引起學生的數學學習動機；同時，在進行數學活動時，養成學習數學內容的具象經驗，讓學生體會與數學單元連結的關鍵點，促使學生在關鍵點引動的好奇心驅使下，進一步探索相關問題，之後進入數學教室學習相關單元時能具象有感的學習（國立臺灣師範大學數學教育中心，2014）。本研究的補救教學奠基活動是根據「奠基」的理念所設計，具備活潑有趣且具象有感的補救教學活動。由具體物的操作讓學生形成簡單問題解決的心像為開始，再以圖像卡片的操作來表徵複雜問題並精緻學生的心像，最後在心像的輔助運思下，漸漸達到以符號表徵來解決問題為目的，並在教學活動中搭配相關數學遊戲來提升學生對數學學習的興趣。 4.

(17) 二、一元一次方程式一元一次方程式是含有一個未知數，而且未知數的次數為一次的等式。國中七年級一元一次方程式單元的學習內容主要包含以符號代表數、列一元一次方程式、一元一次式的化簡運算、解一元一次方程式及文字應用題等部分的學習。三、數學低成就學生補救教學的對象，分為三類：一為學生的實際學業表現明顯低於其應有的能力水準，即原稱之為低成就。另一為學生的實際學業表現明顯低於其班級平均水準，亦稱之為低成就。最後一類為學生學科成就不及格，且其學業成就表現明顯低於其他學生許多者，稱之為成績低落者（low-achievers）（張新仁， 2001）。本研究的對象是數學低成就學生，為段考數學成績後百分之三十五，經由學校推薦有意願參加補救教學者。四、補救教學「補救教學」（remedial instruction）一詞乃是源自於一位教師在同時面對多位學生之下，在教學上無法同時兼顧及配合每位學生的基礎知識及學習進度。因此在確認學生的學習並未達到教師所預設的教學目標或其學習成就低於其他學生時，教師必須另外再針對這些未達到學習目標的學生採取其它更有效的教學策略，以期這些學生的學習能追上其它學生的水平水準（陳惠萍， 2009）。本研究透過教學前的前測測驗，及文獻的閱讀和分析，發現數學低成就學生的學習困難和問題，根據九年一貫課程綱要分年細目及奠基理念教學策略編製一套奠基活動補救教材，進行數學低成就學生一元一次方程式的補救教學，在教學活動過程中，隨時檢測學生是否達到學習目標。五、行動研究行動研究就是將行動和研究二者合而為一，由實務工作者在實際工作情境中，根據自己實務活動中遭遇的實際問題進行研究，研擬解決問題的途徑與策略，並透過實際行動付諸執行，進而加以評鑑、反省、回饋、修正，以解決實際問題（蔡清田，2000）。 5.

(18) 本研究透過教學前的前測測驗，及文獻的閱讀和分析，發現數學低成就學生的學習困難和問題，根據九年一貫課程綱要分年細目及奠基理念教學策略編製一套奠基活動補救教材，進行數學低成就學生一元一次方程式的補救教學，並在教學活動過程中，建立評鑑、反省、修正、再實施的模式，以期能達到補救教學的成效。. 第四節. 研究範圍與限制. 本研究的研究範圍與限制如下：一、本研究的研究對象為屏東縣陽光中學七年級的數學低成就學生 7 人，因無法擴大研究對象，本研究結果不宜對其他學生、學校做推論，若要作相同的推論時，應加以分析研究對象背景是否有相似之處，否則不宜作過度的推論及引用。二、本研究由於研究時間及人力的限制，研究結論乃由研究者及數學專家討論，因此研究結論僅少數人的意見，若再能增加分析的研究群，其可信度會更佳。. 6.

(19) 第二章文獻探討. 本研究的主題是以奠基活動進行七年級一元一次方程式補救教學之行動研究。研究者先要了解七年級學生在一元一次方程式的錯誤類型，再針對錯誤類型尋求有效的教學策略，設計補救教學活動，希望透過此教學活動，而能提升數學低成就學生在一元一次方程式的學習成效。因此，本章將分成三個小節來探討，第一節探討一元一次方程式的相關研究，包含一元一次方程式中數學物件的概念和錯誤類型，以作為研究工具的設計依據，第二節探討一元一次方程式補救教學的相關研究，以作為補教教學課程設計和教學策略的採用原則，第三節探討奠基活動的相關研究，以作為補救教材及教學活動的設計依據。. 第一節一元一次方程式的相關研究. 文獻指出，七年級學生在一元一次方程式的學習困難和錯誤，可分為三類：一是文字符號，二是一元一次方程式，三是文字應用題（謝和秀、謝哲仁，2002；王如敏，2004；楊榮達，2006；張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫，2012；郭輝煌，2014）。以下就此三類來作探討。一、文字符號（一）文字符號的歷史演進一套簡潔的符號系統在代數中能夠準確、深刻地表達某種概念、方法和邏輯關係（謝和秀、謝哲仁，2002）。然而符號意義的賦予以及這些運算規則的產生並非短時間內制定而成，是透過歷史的焠鍊才逐一成形（陳維民，2010）。探討代數歷史演進的論述很多，根據 Kieran (1992)對代數歷史的研究，依西方數學不同時代的發展特徵而將代數的發展分為三大階段：一為文辭代數階段，二為簡字代數階段，三為符號代數階段。 7.

(20) 1.. 文辭代數階段（rhetorical algebra stage）文辭代數階段指的是在古代希臘數學家 Diophantus (約公元 250 年）提出運. 用符號之前，這階段的特徵是使用一般語言敘述一些特殊問題的解決方法，但缺乏對未知數的符號或特殊記號的使用。 2.. 簡字代數階段（syncopated algebra stage）從古希臘數學家 Diophantus 用文字縮寫來表示未知量至 16 世紀末左右被. 稱為簡單代數發展階段。這階段代數學已經發展至利用符號及較簡單的符號來代替文字，以表達複雜的代數關係。如文藝復興時期之使用 p 代表 plus，m 代表 minus 等，代數的發展才開始脫離文辭的階段。 3.. 符號代數階段（symbolic algebra stage）這個階段可說是始於 Viete (1544-1603)在 16 世紀用字母來替代給定量，於. 1595 年創立「符號法則」而言。在十五至十七世紀中，有不少數學家創造不同形式的符號，而慢慢發展至今日統一的代數符號系統，例如，Descartes (15961650)採用字母表中前面的字母表示已知量，用最後的一些字母表示未知量，這種記法沿用至今。從代數或文字符號的歷史演進看來，數學需要一套完整且精簡的符號系統才能快速運作並處理訊息，也才有其無限發展，因為數學的運作若停留在現實情境或具體操作上，它的運作必定是笨拙且緩慢的，且它的發展必定受到限制。基於上述的需求，數學上所使用的表徵必然越來越脫離實際物象而進入抽象的符號，且符號的形式也越來越精簡。 Collis (1975)認為學生在後來解題時之所以發生困難，是來自於學生對於文字符號缺乏有意義的了解，所以文字符號對學生是否有意義，將是問題是否困難的重要因素。張靜嚳（1999）指出學生在學習代數時，文字符號的抽象概念增加了國中生數學學習上的困擾。因為精簡的符號已無法從符號表徵看出其原有意義，所以要讓學生接受並理解文字符號的意義，實在是代數教學上的第一步，這一步沒站穩，往後必是困難重重。（二）文字符號概念的層次由於代數符號系統並不是人類與生俱來的，也沒有實物可感受，對於第一 8.

(21) 次接觸它的人而言，並不是能那麼容易接受並理解，而且在文字符號的需求和演進過程中，其所代表的意義並不盡相同，所以學生是怎麼看待文字符號的，在不同的情境中學生的文字符號概念是如何？這是每個數學教育者需要慎重去探討的。 Collis (1975)從學生的觀點，將文字符號的概念分類成六種不同的使用層次： 1.. 文字符號為可算出的值(letter evaluated)，指文字符號代表一個設定的數值。如 n+5=8 中的 n。. 2.. 文字符號可忽略而不用(letter ignored)，指文字符號雖然出現在題目中，但在解題過程中可不加以考慮。如 a+b=43，求 a+b+2=？本例中，前後兩式只在加 2 的不同，a+b 可加以忽略，而直接求出答案為 43+2=45。. 3.. 文字符號當作物體(letter as object)，即文字符號為某一代表物的簡寫或標記 (label)。如以 h 代表某一多邊形的一邊，而不是數字(邊長)。. 4.. 文字符號當作特定的未知數(letter as special unknown)，可以直接加以運算。如一多邊形有 n 個邊，而且每個邊長為 2，得周長為 2n。. 5.. 文字符號當作一般化的數字(letter as generalized number)，即視文字符號代表一組數字而非單一數值。如 c+d=10，且 c<d 中，c 代表小於 5 的數。. 6.. 文字符號當作變數(letter as variable)，即文字符號代表一未定的數值，如比較 n 和 2n 的大小。 Kuchemann (1981)的研究顯示，代數課程中雖然一直使用文字符號代表一. 個特定的未知數（一般化的數）或變數，但只有少數學生達到這個程度，多數學生都停留在以文字符號表達一個物體。謝和秀、謝哲仁（2002）也指出在上述六個層次中，一般的七年級學生，對『文字符號當作特定的未知數』這一概念，均已呈現困難，對於『文字符號當作一般化的數字』及『文字符號當作變數』這兩類概念更是無法處理。上述文獻提供兩個思考方向，到底是國一學生的形式運思能力尚未成熟，未有足夠能力接受未知數和變數概念；還是在課程的安排上或教學的實施上發生引導不足，導致國一生無法接受這幾個層次的概念。不管如何，教師應當針 9.

(22) 對學生的先備基礎上，做適當的教學引導，來幫助學生一步一步理解文字符號較高層次的概念。（三）文字符號概念的錯誤類型下表是國內多名研究者對文字符號概念的錯誤類型之相關研究：表 2-1-1 文字符號概念的錯誤類型之相關研究研究者. 研究主題. 錯誤類型. 郭汾派. 國中生文字. 1. 帶分數模式 7 . （1988）. 符號運算的錯誤型態. 1 1  7 之影響，而有 8+g=8g 之迷 2 2. 思。 2. 係數、文字分別處理。如 2a+5b=7ab， 4×(n+5)=4n+20=24n。 3. 不同類項擺在一起。如 h+h+h+h+t=4ht。 4. 不知如何使用符號。如 5×(e+2)=5e+2 或 5×e+2。. 洪有情. 青少年的代 1. 數字與符號的加、乘混用。例如:3 加 n+8 等於. （2003）. 數運算概念發展研究. 11n。 2. 不同類項隨意合併。例如:3a+5b=8ab。 3. 括號隨意省略。例如:3 乘以 n+8 等於 3n+8 或 n+24。 4. 對括號的了解不清楚。例如:4a-(b+a)=5a-b。 5. 數字與文字分開運算,且忽略係數 1。例如:3xx=3。. 王如敏. 國二學生解 1. 學生對文字符號缺乏有意義的了解，只會操作數. （2004）. 一元一次方. 學符號，但卻不懂數學實質的意義，導致文字符. 程式錯誤類. 號簡記的錯誤。. 型分析研究 2. 在式子化簡方面，當化簡的算式同時出現中括號、小括號，在去括號時，直接將小括號及中括號一次去掉。楊榮達. 國中一年級 1. 不知如何使用文字符號。. （2006）. 學生一元一 2. 不了解文字符號的意義。 10.

(23) 次方程式解 3. 不同類項隨意合併。題策略及錯 4. 不了解括號意義。誤類型之研 5. 不會作括號計算。究張景媛、. 以對話式形 1. 對於文字符號缺乏有意義的了解。. 余采玲、. 成性評量進 2. 分配律分配不完全或去括號不熟練。. 鄭章華、. 行數學補救 3. 不同類項隨意合併。. 范德鑫. 教學的方法 4. 忽略括號的必要性。. （2012）. 5. 受到算術形式的影響，一定要求出一個特定值作為答案。. 郭輝煌. 雲林縣國中 1. 有少部分的學生對於文字符號缺乏有意義的了. （2014）. 生一元一次. 解，他們對文字符號的記憶只在於他們所知的結. 方程式錯誤. 果，卻不知當時的用意為何。. 類型之研究 2. 不論是否牽涉到整數或分數的運算，只要有括號，就不知道括號的用意，更甚者有些學生認為有括號或無括號本身對答案沒有影響。. 對本研究的啟示：針對上述研究者發現的錯誤類型，可再歸納為兩點： 1.. 對於文字符號的意義不了解（王如敏，2004；楊榮達，2006；張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫，2012；郭輝煌，2014）。. 2.. 對於化簡運算的規則不了解（郭汾派，1988；洪有情，2003；王如敏， 2004；楊榮達，2006；張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫，2012）。另外，研究者認為錯誤類型的形成原因在於教師只強調化簡計算的熟練，. 也就是文字和數字的抽象操弄，缺乏抽象運算的具象基礎，學生根本不知道文字符號是甚麼？所以，在去括號和同類項合併的運算時，並沒有心像輔助其運思，其運算就是一些規則的記憶，這對學習而言是不穩固且無意義。而教師對於學生的迷思或錯誤，卻是以學生不夠用功，計算不夠熟練來對待，認為只要多做一些題目，就可以解決這樣的問題。殊不知，在概念不了解的狀況下，學 11.

(24) 習是事倍功半，即使現在記住了規則且使用無誤，但時間一長他就又忘了文字符號的意義和其運算規則是甚麼？為了讓文字符號和化簡運算有意義，教學必須從具體可操作的生活情境問題出發，逐漸發展文字符號的概念，讓學生對文字符號有感，且由此理解化簡運算的程序。二、. 一元一次方程式. （一）一元一次方程式的概念一元一次方程式所呈現的就是一個「關係」，重點在於「等號」。例如，「每罐珠子的顆數都是一樣的，袋子中先放進三罐珠子後拿走五顆珠子，則袋子中有十九顆珠子，問一罐有幾顆？」若以未知數 x 代表每罐珠子的顆數，袋子中的珠子顆數有兩種表示法：一是(3x－5)顆，一是 19 顆，這兩種都是對袋子中珠子這一定數量的不同描述，所以得到 3x－5＝19，像這種未知數與其他已知數的「關係」稱之為方程式。而方程式的確定並不意謂著未知數的數值已被確定，但此一未知數具有被確定的潛力（陳維民，2010）。但在國小數學學習過程中，這樣的等號關係並未被強調，Kieran (1989)、 Booth (1988)等學者認為部份學生受到先前算術經驗的影響，往往只注意到等號是「do something」的符號，代表的是「接下來我要做的是」、「答案是」、「結果是」….等等解題的過程，而非數學上數量的關係。這對於接下來的解方程式會發生一些錯誤，因為學生無法在等號的結構下，對等量公理和移項法則產生有意義的學習。（二）解一元一次方程式的錯誤類型許多文獻（呂玉琴，1989；Kieran, 1983；Lee & Wheeler, 1989）指出，學生在一元一次方程式的解題策略一共分成六種，有代入法、列舉評估法、還原法、隱藏法、等量公理和移項法則。在國中，解一元一次方程式時所利用的方法大部份是等量公理或移項法則，一般在教材上都還是以等量公理為主，再導入移項法則，然而大部份的學生都習慣用移項法則來解方程式，因為只要背一 12.

(25) 些口訣就能解方程式，但也因為只是背口訣，所以產生了很多的運算錯誤。許多學者指出這樣的學習迷思：Larkin (1989)指出學習者無法看到一元一次方程式的內在架構及意義，所以容易忘記規則或誤用而造成各種錯誤；Kieran (1990) 指出使用等量公理與移項法則，對初學者而言，在認知上是很不一樣的，雖然移項法則可視為等量公理之精鍊，但是多數的學生都是盲目的使用移項變號法則，對方程式並沒有等價概念。下表是國內多名研究者對一元一次方程式概念的錯誤類型之相關研究：表2-1-2 一元一次方程式概念的錯誤類型之相關研究研究者. 研究主題. 錯誤類型. 王如敏. 國二學生解. 1. 半數學生對一元一次方程式的型式認知不足，. （2004）. 一元一次方. 與多項式混淆不清。. 程式錯誤類. 2. 在解方程式時，移項變號出錯等，顯示部分學. 型分析研究. 生在解方程式時監控方面的後設認知能力不足。. 侯靜芳. 高雄市國一. （2005）. 生解一元一次方程式錯誤類型之分. 1. 學生解方程時發生錯誤原因的主要是錯誤的使用運算規則。 2. 不瞭解方程式的意義以及等量公理之錯誤使用。. 析研究楊榮達. 國中一年級. 1. 學生不了解方程式的意義。. （2006）. 學生一元一. 2. 不了解同類項的意義與合併規則以及在解方程. 次方程式解. 式時會因運算符號、未知數的位置及題目是否. 題策略及錯. 是分數而造成錯誤原因之發生。. 誤類型之研究張景媛、. 以對話式形. 1. 對於一元一次方程式的型式認知不足，知道要. 余采玲、. 成性評量進. 有未知數，但列式時容易與多項式混淆，忽略. 鄭章華、. 行數學補救. 等號的存在。 13.

(26) 范德鑫. 教學的方法. （2012）. 2. 使用移項法則時，變號出錯。 3. 不熟悉等號兩邊都有未知數的題目型態，多數學生未作答。 4. 對解的意義不清楚。. 王釋緯. 七年級學生. （2012）. 學習一元一. 1. 誤用等量公理或移項法則的錯誤。. 次方程式之錯誤類型分析-以一所都會型學校為例郭輝煌. 雲林縣國中. 1. 學生從字面上可以了解一元及一次的意義，但. （2014）. 生一元一次. 方程式也許對他們來說是陌生的，往往會忽略. 方程式錯誤. 了等號，只要有未知數的出現就認為是方程. 類型之研究. 式。 2. 學生太偏愛利用移項法則，而忽略了等量公理，所以往往在題目並非中規中矩的題型中，即使是最基本的題目，學生還是錯誤百出。. 對本研究的啟示：針對上述研究者發現的錯誤類型，可再歸納為兩點： 1.. 對於一元一次方程式的意義不了解（侯靜芳，2005；楊榮達，2006；張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫，2012；郭輝煌，2014）。. 2.. 對於解一元一次方程式的規則不了解（王如敏，2004；侯靜芳，2005；楊榮達，2006；王釋緯，2012；郭輝煌，2014）。另外，研究者認為錯誤類型的形成原因在於教師只強調解方程式過程的熟. 練，沒有引導學生理解方程式及解方程式過程的意義，導致學生根本不知道方程式的意義，也就是不知它所呈現的情境是甚麼？所以，整個解方程式的策略就無法發展和程序無法有意義的進行，最後，也是強記規則而誤用。 14.

(27) 為了讓方程式和解方程式有意義，教學必須從具體可操作的生活情境問題出發，逐漸發展一元一次方程式和解方程式的概念，讓學生對方程式有感，且理解解方程式的程序。三、. 文字應用題. （一）問題解決的相關研究九年一貫數學學習領域對能力發展做這樣的描述：學生能力的發展始於流利的基礎運算和推演、對數學概念的理解，然後懂得利用推論去解決數學問題，包括理解和解決日常問題，以及在不熟悉解答方式時，懂得自尋解決問題的途徑（教育部，2008）。二十一世紀教育的世界性目標之一，在於培育兒童善用知識，成為具有問題解決能力的公民。為因應此世界潮流並配合社會變遷的需求，在數學教育的領域中亦一致認為『問題解決是當今數學教育的主流』（謝和秀、謝哲仁，2002）。所以，數學學習其最終目的是要應用數學知識和技能來解決問題，學生如何學習問題解決或自己發展問題解決策略是教學的重點。 Sternberg (1994, 2003)對問題解決下定義：個人試著去達成的目標，在沒有立即可用的答案下，從所給定的條件狀態著手，將其轉換為應用的方法，以找出答案。所以，問題解決是一個複雜且困難的過程，其中包含了很多心理歷程和知識，我們必須清楚這歷程是甚麼？還有每個歷程所牽涉的知識是甚麼？我們才能有一套問題解決的模式來依循，在面對問題時才不會茫然不知所措！底下研究者將一些著名學者所做「問題解決」的相關理論，分述如下： Polya (1945)是最早提出「問題解決」(problem solving)概念的人。他在「如何解題」一書中，提出解決問題的四步驟。 1.. 了解問題(understanding the problem) 解題者必須了解題目的意義並看出什麼是已知，什麼是未知和條件。. 2.. 擬定計畫(devising a plan) 解題者必須找出已知數和未知數的關係，利用已有的知識與過去的經驗，. 獲得解決問題的想法並擬定計劃。 15.

(28) 3.. 執行計畫(carrying out the plan) 解題者實現解題計畫，並清楚看出每一步驟是否正確。. 4.. 回顧解題(looking back) 解題者檢驗結果，包含重新檢視自己所經歷的過程，或進一步思考是否有. 另一解題路徑，或能否把這個方法應用於其他問題。之後的研究者如Scheonfeld (1980) , Lester (1980)都是以Polya (1945）問題解決歷程為藍本各自提出對問題解決的看法，分述如下： Lester (1980) 針對解題的研究中將解題歷程區分為六大面向（引自李銘豐，2013）： 1.. 問題的察覺（problem awareness）解題者對於所面臨的情境，能察覺到這是一個問題，並且有想解決問題的. 意願。 2.. 問題的理解（problem comprehension）包含轉譯與內化部份。. (1) 轉譯：解題者將問題提供的訊息譯成自己可以了解的語句。 (2) 內化：解題者選取相關訊息，並判斷相關程度的關係。 3.. 目標分析（goal analysis）將問題變形以便應用熟悉的策略與技巧。解題者將訊息歸類，並作成細. 目，認清問題的結構，以便更進一步了解問題的成份，是否有任何子目標可幫助達成目標？ 4.. 計畫的發展（plan development）解題者在這個階段擬定一個執行計畫，包含認清可行的策略、將子目標編. 列成序、詳細的運算等。 5.. 計畫的執行（plan implementation）解題者徹底實行試驗擬好的計畫。. 6.. 程序和解答的評估（procedures and solution evaluation） 16.

(29) 此階段不僅是檢查答案是否有意義而已，從目標分析到發現解答的整個發展過程皆屬評估範圍。 Schoenfeld (1985)從認知科學的觀點研究解題策略，描述解題策略需要詳細到什麼水準才能使學生能實際去使用這些策略？提出了自己的解題步驟，將解題歷程分為六階段（引自張惠美，2013）： 1.. 閱讀（reading）：閱讀問題。. 2.. 分析（analysis）：簡化或重述問題。. 3.. 探索（exploration）：利用相關問題或類比法來找出新資訊。. 4.. 計畫（planning）: 擬定解題計畫，檢視計畫是否與問題有關及評估計劃的適當性。. 5.. 執行（implementation）：執行計畫，並了解是否有按計劃進行。. 6.. 驗證（verification）：對過程及結果的檢視。綜合以上，各學者對問題解決過程的看法不盡相同，但是不外乎(1)了解問. 題、(2)計畫解題、(3)執行計畫、(4)評估解答等步驟，研究者將上述學者的解題歷程整理如下表。表2-1-3 各學者解題歷程比較表學者. 解題歷程. Polya (1945). 了解問題. 擬定計畫. 執行計畫. 回顧解題. Lester (1980). 問題的察覺. 目標分析. 計畫的執行. 程序和解答. 問題的理解. 計畫的發展. Schoenfeld. 閱讀. 探索. (1985). 分析. 計畫. 的評估執行. 驗證. Mayer (1992) 以認知心理學的觀點分析解題者的解題步驟，並將解題者所需的解題歷程分為兩個階段、四個步驟，分述如下： 17.

(30) 1.. 問題表徵(problem representation)：即將文字或圖案轉換成心理表徵，又包含二個子步驟：。. (1) 問題轉譯(problem translation)：解題者運用「語言知識」及「事實知識」瞭解問題的意義及解題目標，將問題轉譯為內在的心理表徵。 (2) 問題整合(problem integration)：解題者運用「基模知識」，區分與解題相關或無關的訊息以及問題的類型，並將已轉譯的資訊進一步整合成連貫一致的問題表徵結構。 2.. 問題解決(problem solution)：即從問題的心理表徵進行到最後答案的過程，包含二個步驟如下：。. (1) 解題計畫及監控(solution planning and monitoring)：解題者將問題分解成較小的次目標，利用「策略性知識」提出解決問題的計畫，且能評估自己的解題過程。 (2) 解題執行(solution execution)：解題者利用「程序性知識」進行解題計畫。就Mayer (1992)的理論而言，每一個問題解決的完成，需要經歷一些複雜的心理歷程及其對應的知識，我們若能將每個問題按照這樣歷程和對應知識來解題，就比較有方向進行解題，解題成功的機率也比較大。研究者以問題「快樂旅行社舉辦北海岸三日遊，人數預定為30人，每人收費5000元。若人數超過30人時，則每增加1人，每人可減收100元。請問旅行社的最大收入為多少元？」為例說明Mayer (1992)的解題歷程如下：表2-1-4 Mayer的解題歷程之實例說明階段步驟. 對應知識. 上述問題實例說明. 問題問題. 「語言知識」及. 每人收費的意思. 表徵轉譯. 「事實知識」. 最大收入的意思. 問題. 「基模知識」. 收入=參加人數×每人收費. 整合 18.

(31) 問題解題計畫. 「策略性知識」. 求最大收入即是找二次函數的最大值. 「程序性知識」. 配方法求最大值的過程. 解決與監控解題執行. 綜合以上學者對解題歷程的看法，研究者認為他們的理論是適用於一般性問題的問題解決，但對於一元一次方程式的文字應用題，應該有它特別適用的解題歷程，因為一元一次方程式文字題有它特有的數學物件和解題策略，所以我們要針對其數學物件的出現和解題策略的運用加以描述清楚，才能在教與學上有較佳的成效。在一般的教科書中，一元一次方程式應用問題的解題歷程依序是設未知數、列方程式、解方程式、檢驗解答這四個解題步驟（南一出版社，2015），這樣的歷程無法凸顯數量關係在解題過程的重要性，以致於在教學時不能把數量關係的處理細節交代清楚，學生理解不足，導致學習成效不好。所以研究者參考上述學者的解題歷程理論，重新將一元一次方程式應用問題解題歷程分為：了解題意、察覺關係、列方程式(設未知數→以符號代表數→整合出方程式)、解方程式(化簡運算→等量公理或移項法則求解)、評析解答五個步驟，以期能將一元一次方程式文字應用題的解題歷程分析清楚，讓文字應用題的教學實施和學習檢核能更有依據進行，茲將歷程細節分述如下： 1.. 了解題意數學文字題的特點是用語言文字來敘述數學問題，所以學生必須有足夠的. 語文能力才能了解問題的含意，之後才能於題目敘述中擷取有用的解題訊息，排除干擾訊息，以利後續解題的進行。Cardelle-Elawer (1992) 認為如果要改善數學低成就學童的解題表現，必須先改善其語文能力，並且加強其知識基模，如此才能使其理解數學文字題的核心概念，並選擇正確的知識以應用。 19.

(32) 這歷程的教學策略為分句閱讀，並詢問學生是否了解每個字詞和句子的含意，並請學生指出未知數和已知數是甚麼？ 2.. 察覺關係一元一次方程式應用問題一定存在一個以上的數量關係，學生在解決問題. 時最重要的就是察覺應用問題中的數量關係，教師必須熟悉各類題目的關係型態和差異，才能引導學生去確實掌握問題中的數量關係。底下研究者做了各類題目在關係察覺上的分析： (1) 文字題中的關係有無文字敘述的差異若文字題的數量關係就呈現在題目文字敘述中，只要將題目仔細分句閱讀，就可以找出關係。例如問題「創創與家人到市立新興游泳池游泳，已知全票每張比優待票貴 18 元，而創創買 2 張全票及 3 張優待票共付 121 元，求優待票一張多少元。」中的關係就在題目文字敘述中，有「全票每張比優待票貴 18 元」和「2 張全票及 3 張優待票共付 121 元」兩個關係。若文字題的數量關係並未呈現在題目文字敘述中，例如問題「李伯伯以每公斤 60 元的價格買進 40 公斤的蘋果後，從裡面挑選出品質比較好的 30 公斤，以每公斤 80 元的價格賣出；若他打算賺 700 元，則剩下來的蘋果，每公斤必須賣多少錢？」，則解題者需從關鍵字(例如題目中的「買」、「賣」、「賺」等字)連結解題所需買賣基模知識(售價–成本=利潤)才能解題。而幾何圖形題中常常沒有幾何量的關係敘述，解題者必須靠圖形連結幾何基模知識，才能從記憶中搜尋到適合可用的數量關係。例如問題「如下圖，△ ABC 和△ADE 共用∠A，若∠B=65°，∠C=70°，∠ADE=85°，則∠AED=？」中並沒有出現數量關係的文字敘述，解題者必須靠圖形連結出△內角和=180°才能得出「∠B+∠C=∠ADE+∠AED」這個解題關係。. 20.

(33) A. D E B. C. (2) 直接關係或間接關係的差異直接關係是指此題目中的某兩個物件(二元)不需透過第三者就能建立關係，像是 y=3x+1 或 2x+3y=5 中，x 和 y 是直接關係，例如問題「已知甲、乙、丙、丁四位同學原來共有 39 本書，若甲的書本數加 1，乙的書本數減 2，丙的書本數變為原來的 3 倍，丁的書變為原來的. 1 倍，則四位同學的書本數就相 4. 等，請問︰甲、乙、丙、丁原來各有幾本書？」中甲、乙、丙、丁之間都是直接關係。而間接關係則需要第三者、第四者…為媒介才能建立關係，像是 y=3x+1，z=2y-3，所以 z=2(3x+1)-3，則 x 和 z 是透過 y 而有間接關係，例如問題「有一些巧克力，大雄先取走一半又 2 顆，小夫再取走剩餘的一半又 3 顆，則剩下 18 顆巧克力，則原來巧克力有多少顆？」中小夫取走的和大雄取走的並無直接關係，需要透過大雄取走後剩下的，小夫取走的才能和大雄取走的有關係。通常，直接關係比間接關係來的容易察覺，所以直接關係的題目比間接題目來的簡單，且透過越多層媒介才能建立間接關係的題目越難。接著，當學生在察覺關係後，為了能穩固學生對數量關係的掌握，需引導學生將數量關係確實說出來且記錄下來，這是國小學童所缺乏的訓練，因為小學的應用問題幾乎是單步驟和兩步驟的問題，其解決方法，是直接利用加減互逆關係和乘除互逆關係來解題，也就是所謂的算術的方法，並不彰顯數量關係。Steffe 等 (1989) 的觀點，所謂「算術的解題活動」是透過算式施展一些活動而朝向解答的獲得（並不彰顯量之間的關係，而是實施了關係）（引自陳維民，2010）。 21.

(34) 例如問題「每罐珠子的顆數都是一樣的，紅托盤上有四罐又五顆，藍托盤上原有兩罐之後拿走四顆，現在紅托盤上的顆數比藍托盤上的顆數多二十一顆，問一罐有幾顆？」小學生會藉由算術的方式進行解題，以21－5－4＝12，12÷2＝6或合併算式（21－5－4）÷（4－2）＝6求出答案，在解題過程中，並無關係的呈現，而每一算式是使用關係後的結果。又如雞兔同籠問題「一個籠子中，只有雞和兔子，雞和兔子共有10個頭，32 支腳，請問有幾隻雞，幾隻兔子。」小學算術方法: 假設籠子中全部是 10 隻兔子，那麼會有 40 支腳，但實際上只有 32 支腳，多出來 8 支腳，所以必須減少兔子數量而增加雞的數量，而若減少 1 隻兔子而增加 1 隻雞，則腳數減少 2 支，又 8÷2=4，換句話說減少 4 隻兔子而增加 4 隻雞，其算式為： 4×10＝40 40－32＝8 8÷2＝4 10－4＝6，所以有 6 隻兔子，4 隻雞。從上述算式來看，雞兔的關係並不彰顯，只是使用關係來運算，最後獲得解答，而每一個算式都是使用關係後的結果。所以，國小在應用問題的教學上並不強調關係的表徵，學生在數量關係上的感覺不明顯、不深刻。升上國中後，由於關係的複雜度增加使得國中很難再用算術方法解題，學生所使用的解題方法必須是代數的方法，也就是列方程式、解方程式等，這方程式就是問題中某些物件的數量關係，若不把關係表徵確實的呈現出來，則碰到以關係來操作解題為重心的代數文字題時，學生就會出現學習困難。為了使國中代數的解題活動能夠順暢進行，我們必須將題目中的關係表徵出來，且越精簡越好，例如問題「創創與家人到市立新興游泳池游泳，已知全票每張比優待票貴18元，而創創買2張全票及3張優待票共付121元，求優待票一張多少元。」，教師應引導學生用口語說出題目中「全票每張比優待票貴18元」和「2 張全票及3張優待票共付121元」兩個關係，但在紀錄上可以再精簡為簡字表徵： 22.

(35) 「全=優+18」和「2全+3優=121」，或者更進一步用x當作全票價錢，y當作優待票價錢，將上述兩關係更精簡為符號表徵：x=y+18，2x+3y=121。另外，有些問題的關係學生比較不容易表徵，例如，基準量未知的比較題，學生常有無法判斷該用加法還是減法的困擾( 黃淑華、鄭鈐華、王又禾、吳昭容，2014)。這時可以運用簡單圖示來幫助學生理解，例如「甲比乙小 5」的圖示如下，如此就可以清楚感受甲和乙的關係，學生就容易將關係表徵為甲 =乙 –5 或乙 =甲 +5。. 5 甲. 乙. 其實，在國中實際的教學上，教師通常沒有請學生將每個關係用口語敘述、圖像表徵、簡字或符號表徵出來，而一下就出現最後整合完成的方程式，導致學生不知最後的方程式是由那些關係整合而來的，於是，在沒有實實在在的經歷這表徵關係的歷程下，學生就無法了解如何解題。所以，教師一定要請學生將關係表徵出來，讓學生確實掌握了問題中的關係後，才能進行下一個歷程。這歷程的教學策略為分句閱讀，尋找關鍵字或關鍵句子，以察覺或連結解題關係，然後請學生放聲說出所察覺的關係，接著配以簡單圖示幫助學生用簡字或符號精簡的表徵數量關係，讓學生確實掌握題目中的數量關係。 3.. 列方程式當解題者將問題中有用的數量關係察覺並表徵出來後，接下來就是要整合. 數量關係而列出一元一次方程式，這歷程又分為設未知數、以符號代表數及整合出方程式三個步驟。但在列方程式的歷程中，學生通常不曉得要怎麼進行，也就是不知道要將哪一個未知數設為 x，也不知道要以哪些關係做以符號代表數，更不知道以哪一個關係整合出方程式？茲將此歷程說明如下： (1) 設未知數在列方程式時所遇到的第一個問題是：要選擇哪一個未知數當 x？通常學 23.

(36) 生的假設策略知識不足（張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫，2012），只會題目問什麼，就假設什麼為 x，於是導致以符號代表數或解題運算上的困難。例如，在「全票每張比優待票貴 18 元」中，若假設優待票為 x 元，則全票為 x+18 元，表徵較為簡單；而若假設全票為 x 元，則優待票為 x-18 元，表徵較為困難且產生負數而運算也困難。在「創創的錢是守守的 3 倍少 5 元」中，若假設守守為 x 元，則創創為 3x-5 元，不會表徵困難；而若假設創創為 x 元，則守守為. x5 元，對學生而言表徵很困難且表徵後會產生分數而運算也困難。 3. 所以讓學生嘗試不同的假設狀況，讓學生體會怎樣假設才是最好狀況之後，再歸納出假設的原則，如此才能增進學生的假設知能。 (2) 以符號代表數以符號代表數是「以一元一次式代表關係數量」，也就是將問題中的某些未知數(或已知數)以一元一次式來表示，其目的就是要為列出方程式而準備的。另外，以符號代表數也有簡化解題運算的功能，例如，y=ax+b 中 y 代換為 ax+b，則 y 這一元就不再於解題過程出現，這樣就會減少未知數個數而達到簡化運算的目的(多元聯立方程式的問題就可以簡化為少元聯立方程式的問題)。 Lewis 與 Mayer（1987）提出「一致性假說」（consistency hypothesis）：當解題時不需要將關係句中變數的關係形式轉換的題目稱為「一致性語言問題」（consistent language problem, CL problem）；需要轉換的題目稱為「不一致性語言問題」（inconsistent language problem, IL problem）。所謂關係形式轉換就是重整及轉換關係句中的主、受詞關係，如「甲比乙多 4 元」轉換成「乙比甲少 4 元」，也因為多了這樣的過程，造成學生無法轉換或轉換錯誤，使得對解題者而言，「不一致性語言問題」比「一致性語言問題」困難（林碧珍， 1998；李麗君、陳玟樺，2010）。在以符號代表數時也出現相同的狀況，敘述如下：以符號代表數的運算是將二元一次關係中的 y 以 x 來表示或 x 以 y 來表 24.

(37) 示，而二元一次關係的主要形式有二種：y=ax+c (對表徵 y 而言是順敘述、對表徵 x 是逆敘述)、ax+by=c (x 和 y 的合併敘述)，其中順敘述(一致性語言問題)對學生來說比較容易，因為學生不必轉換關係句的敘述；而逆敘述和合併敘述(不一致性語言問題)對學生來說比較困難，因為學生必須轉換關係句的敘述（黃淑華、鄭鈐華、王又禾、吳昭容，2014）。當然，在假設時就要避免產生逆敘述的表徵問題，但如果題目規定一定得做逆敘述假設時，則可以利用圖像幫助學生做以符號代表數。例如，在「創創的錢是守守的 3 倍少 5 元」中，若假設創創為 x 元，只要畫出線段圖如下，則一眼就可看出守守為. x5 元。 3. 守守守守. 守守. 守守. 創創 X. 5. 又例如，在「創創的錢的 2 倍和守守的錢的 3 倍總共 180 元」的合併敘述中，不管假設誰的錢數為 x 元都可以，但學生必須熟悉「部分—全體關係」的關係敘述轉換，也就是將「某部分+另一部分=全體」轉換為「某部分=全體–另一部分」才能成功表徵另一未知數。當然，在此利用圖像幫助學生做以符號代表數也是很好的教學策略。 (3) 整合出方程式當以符號代表未知數足夠後就可以整合出一元一次方程式 (整合策略大多是以二元關係做以符號代表數，而以多元關係或間接關係做整合出方程式)。只不過學生一開始面對較複雜的題目時是需要加以引導的。謝和秀、謝哲仁（2002）指出填充引導題組的學生在文字題之得分情形顯著優於傳統文字題的學生。所以，教師在文字應用題的教學時要設計一些填充引導題組，引導學生學習以符號代表數到列方程式的關係整合過程。例如問題「已知甲、乙、丙、丁四位同學原來共有 39 本書，若，乙的書本數減 2，丙的書本數變為原來. 25.

(38) 的 3 倍，丁的書變為原來的. 1 倍，則四位同學的書本數就相等，請問︰甲、 4. 乙、丙、丁原來各有幾本書？」中教師應設計填充引導題組:設丙有 x 本書，則 (1) ∵甲的書本數加 1 等於丙的書本數的 3 倍，∴甲有幾本書？ (2) ∵乙的書本數減 2 等於丙的書本數的 3 倍，∴乙有幾本書？ (3) ∵丁的書本數的. 1 倍等於丙的書本數的 3 倍，∴丁有幾本書？ 4. (4) ∵甲、乙、丙、丁四位同學原來共有 39 本書， ∴可列出方程式. 。. 又例如問題「有一些巧克力，大雄取走一半又 2 顆，小夫取走剩餘的一半又 3 顆，則剩下 18 顆巧克力，則原來巧克力有多少顆？」中教師應設計填充引導題組:設原有巧克力 x 顆，則 (1) ∵大雄取走一半又 2 顆，∴大雄取走？顆 (2) ∵大雄取走後剩餘的=全部–大雄取走的，∴大雄取走後剩餘？顆 (3) ∵小夫取走剩餘的一半又 3 顆，∴小夫取走？顆 (4) ∵小夫取走剩餘的=大雄取走後剩餘的–小夫取走的， ∴小夫取走後剩餘？顆 (5) ∵小夫取走後剩餘 18 顆， ∴可列出方程式. 。. 從上述我們可以發現，一個題目中隱藏了很多關係，教師若沒有引導學生把這些關係呈現出來並做關係整合的運作，中間程度以下的學生不可能知道最後這一元一次方程式是怎麼得到的，所以，教師在這歷程的教學必須有較詳細的引導，有這樣的引導之後，學生對於整合關係列方程式的歷程再也不會不知所措了。這歷程的教學策略是分析各種假設狀況，讓學生理解怎樣假設最好，利用圖像幫助學生完成以符號代表數，並設計填充引導題組，幫助學生完成整合關係列出一元一次方程式。 26.

(39) 4.. 解方程式當列出方程式後，接著就是解方程式，這歷程分為化簡運算和等量公理或. 移項法則求解兩個步驟，茲將此歷程說明如下： (1) 化簡運算列出一元一次方程式之後，要將等號兩邊的複雜代數式，透過去括號、同類項合併兩個運作將一元一次方程式化簡為 ax+b=k 或 ax+b=cx+d。在做化簡運算時分配律分配不完全、不同類項隨意合併是常見的錯誤（張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫，2012），原因是對化簡運算缺乏有意義的了解。 (2) 等量公理或移項法則求解當一元一次方程式化簡為 ax+b=k 或 ax+b=cx+d 時，就可用等量公理或移項法則來找解。在解方程式時，最常出現的問題是移項時產生錯誤（謝和秀、謝哲仁，2002），原因是對移項法則缺乏有意義的了解。這歷程的教學策略是在解方程式的學習之初，教師應多布一些可具體操作的問題，讓學生在具體操作中去感受化簡運算和移項法則的意義和規則。 5.. 評析解答大部份學生在解出文字題中的答案後，都未能去檢測答案的正確性，導致. 答案不合理（謝和秀、謝哲仁，2002）。算出的答案需經過題目情境中檢驗其合理性，並回顧解題過程的優劣，才能鞏固和發展其解題能力。這歷程的教學策略是布一個不合理解答的題目，讓學生知道解出的答案不一定合乎所求，刺激學生一定要檢驗答案的合理性，或進一步思考是否有另一解題路徑。（二）一元一次方程式文字題的錯誤類型在上小節解一元一次文字題的五個歷程中，只要有一個歷程引導不充足，或學生學習不完整，則其解題必然發生錯誤。下表是國內多名研究者對學生解一元一次方程式文字應用題的錯誤類型之相關研究：. 27.

(40) 表 2-1-5 一元一次方程式文字應用題的錯誤類型之相關研究研究者. 研究主題. 錯誤類型. 張景媛. 數學文字題. 國中生對應用問題的錯誤概念可分四部份來討論：. （1994）. 錯誤概念分. 1. 語言知識，學生在看題目時，對於題目中名詞. 析及學生建構數學概念的研究. 的忽略及不瞭解，造成學生的解題錯誤。 2. 基模知識，學生缺乏或誤用對於題目中所需用到的基模知識，導致假設或方程式的錯誤。 3. 策略知識，學生的策略知識不足，無法針對題目，採用適當的策略來解題。 4. 程序知識，最常犯的錯誤就是解方程式錯誤。. 王如敏. 國二學生解. 1. 多數學生在了解題意並用文字符號列出正確的. （2004）. 一元一次方. 方程式這一初始階段已出現很大的困難，學生. 程式錯誤類. 常未完全瞭解題意，忽略條件逕行列式，因而. 型分析研究. 影響作答的正確性。 2. 缺乏問題轉譯及問題整合的能力，無法將題目中的條件加以表徵和組織成完整的方程式。 3. 學生做假設時，通常問什麼就假設什麼，不考慮是否有其他簡易的方法。 4. 有些學生缺乏等號兩邊等值的概念，列出的方程式並未兩邊相等。. 楊榮達. 國中一年級. （2006）. 學生一元一. 1. 學生對於題幹較長且題意複雜的應用問題感到困難而放棄。. 次方程式解. 2. 不了解已知條件與未知條件之關係，. 題策略及錯. 3. 不會做假設，導至假設與式子不符，以及未根. 誤類型之研. 據題意列式，列完方程式後沒有立即去檢驗。. 究. 4. 學生無法使用正確的解題策略最主要原因應該是學生無法從具體情境中了解題目的意義，並發現其中所蘊含之已知和未知數量關係。. 張景媛、. 以對話式形. 1. 未能真正了解題意，只看到題目表面文字就直 28.

(41) 余采玲、. 成性評量進. 鄭章華、. 行數學補救. 2. 學生缺乏問題轉譯及整合的能力，無法將題目. 范德鑫. 教學的方法. 中的條件加以表徵和組織成完整的方程式。. （2012）. 接按題目文字列式。. 3. 假設策略知識不足，無法採用適當的假設列式及解題。. 王釋緯. 七年級學生. 1. 解讀題意轉譯成數學語言的錯誤。. （2012）. 學習一元一. 2. 對於所假設的未知數對象不清楚所產生的錯. 次方程式之. 誤。. 錯誤類型分析-以一所都會型學校為例郭輝煌. 雲林縣國中. 1. 學生面對較長的應用問題時，通常會找不到對. （2014）. 生一元一次. 等的關係來列出方程式，而所列出來的方程式. 方程式錯誤. 也會與解題是無關。. 類型之研究. 2. 學生對於應用問題的解題模式，通常是題目問什麼，就假設什麼，此想法在題目改變問法時，學生無法轉變應用假設其他項目為未知數來列方程式，是故該題方程式列不出來。. 對本研究的啟示：針對上述研究者發現的錯誤類型，可再歸納為三點： 1.. 無法了解題意並察覺有用的數量關係（張景媛，1994；王如敏，2004；侯靜芳，2005；楊榮達，2006；張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫，2012；郭輝煌，2014）。. 2.. 無法整合關係來列出一元一次方程式（張景媛，1994；王如敏，2004；侯靜芳，2005；楊榮達，2006；王釋緯，2012；張景媛、余采玲、鄭章華、范德鑫，2012；郭輝煌，2014）。. 3.. 無法正確做化簡運算及移項法則求解（王如敏，2004；侯靜芳，2005；楊榮達，2006；王釋緯，2012；郭輝煌，2014）。 29.