學生在學習單與心得及感想問卷的質化分析

研究者欲透過學生的學習單、作業和心得及感想問卷的描述，以期了解並分析不同 教學環境對於學生學習相同課程內容所產生的影響。以下內容將分別探討使用虛擬教具 的教學環境與傳統教具的教學環境下，對於學生解題策略、行為和學習態度的影響。爲 了研究方便記錄與描述，並保護個人隱私，學生姓名均以化名呈現。

4.3.1 學生的學習單分析

1.第一節展示日常生活中常見的美麗鑲嵌圖形與探討規則鑲嵌的種類

尚未實際操作教具前，教師展示日常生活常見的美麗鑲嵌圖案引起學生的學習動 機，實驗組與控制組學生對於圖形怎樣安排才是鑲嵌圖案有初步的了解，其看法整理如 表 4-3-1。之後分別讓兩組學生使用虛擬教具和傳統教具找出規則鑲嵌圖形，要求學生 在學習單上列出可以鑲嵌的正多邊形並畫出鑲嵌結果、不能鑲嵌的正多邊形，以及操作 過程中使用的策略。將結果分別整理如表 4-3-2 到表 4-3-5，並加以進行比較。

項目 實驗組（36 人） 控制組（36 人） 總人數

圖形沒有空隙向四邊延伸 13 10 23

合起來要拼成 360 度 8 2 10

不同形狀的圖案排列 2 5 7

角對角連接在一起 2 2 4

要有規律性 0 3 3

圖形要簡單、相同 0 2 2

不知道 11 12 23

項目 實驗組（36 人） 控制組（36 人） 總人數

正三角形、正四邊形呈帶狀 7 9 16

每一種只畫出單個圖形 2 0 2

表 4-3-1 教師於展示各式美麗鑲嵌圖形後，學生對於鑲嵌的看法

表 4-3-2 學生找出三種可以鑲嵌的圖形，但沒將圖形密鋪成 360 度

項目 實驗組（36 人） 控制組（36 人） 總人數

三種全找出 33 30 63

只找出兩種 0 1 1

只找出一種 0 1 1

找出其他錯誤的正多邊形 1 1 2

找不出來 2 3 5

項目 實驗組（36 人） 控制組（36 人） 總人數

將不能鑲嵌的全列出 31 30 61

只列了一種不能鑲嵌的 0 4 4

列不出來 5 2 7

項目 實驗組（36 人） 控制組（36 人） 總人數

一個一個操作 23 28 51

計算完後進行操作檢驗 6 2 8

直接計算找360 度的因數 3 4 7

策略不明 4 2 6

由表 4-3-1 可以知道在展示各式圖形後，實驗組學生認為鑲嵌圖形沒有空隙向四邊 延伸及合起來要拼成 360 度的人數共有 21 人，無法精準描述的（不同形狀的圖案排列 和角對角連接在一起）有 4 人，不知道的人數有 11 人。控制組學生認為鑲嵌圖形沒有 空隙向四邊延伸及合起來要拼成 360 度的人數共有 12 人，無法精準描述的（不同形狀 的圖案排列、角對角連接在一起和要有規律性）有 10 人，想法不正確的（圖形要簡單、

相同）有 2 人，不知道的人數有 12 人。可以發現不了解鑲嵌圖形意義的兩組學生都接 表 4-3-3 學生找出可以鑲嵌的正多邊形數目（共有三種）

表 4-3-4 學生列出不能鑲嵌的正多邊形

表 4-3-5 學生操作過程使用的策略

示各式鑲嵌圖形時，就觀察出來鑲嵌圖案的基本條件，無法精準描述的學生接近三分之 ㄧ，甚至有極少數想法不正確的。因為實驗組採用虛擬教具，以廣播系統使用 AMA 簡報 系統2008 進行教學，學生不受限於教室的位置，皆能夠清楚看見所有的圖形。而控制 組採用傳統實體教具進行教學，使用大型的海報，對於後面的學生而言，清晰度還是略 顯不足。這似乎也反應了 Izydorczak（2003）所認為的虛擬教具在操作上比傳統實體教 具更適合大團體教學，因為實體教具的尺寸無法讓遠距離的學習者看得十分清楚。因 此，在教師展示各式圖形後，實驗組的學生比控制組的學生更能觀察出產生鑲嵌圖形的 條件。

表 4-3-2 顯示實驗組和控制組都有四分之ㄧ的學生找到三種可以鑲嵌的正多邊形，

但沒有密鋪成 360 度，一種是畫成帶狀圖案（圖 4-3-1），另一種是三種正多邊形都各畫 了一個，可見部分學生觀念仍不夠完整。然而整體而言，表 4-3-3 可以知道操作後，實 驗組學生和控制組學生幾乎都能找到三種規則鑲嵌的圖形（圖 4-3-2），僅有極少數學生 沒有辦法找齊或找出錯誤的圖形。另外，表 4-3-4 也顯示實驗組和控制組學生幾乎都能 判斷哪些正多邊形無法構成規則鑲嵌（圖 4-3-3），也是只有少數學生無法完成。因此，

雖然兩組分別使用虛擬教具和傳統教具進行教學，但是找出正確規則鑲嵌圖形的能力沒 有差異性。

由表 4-3-5 可以知道實驗組學生採取一個一個操作策略的有 23 人，採取計算完後 進行操作檢驗的有 6 人，直接計算找 360 的因數的有 3 人，策略不明的有 4 人。而控制

圖4-3-1 圖形沒有密鋪成 360 度 圖4-3-2 學生找到的三種規則鑲嵌圖形

圖4-3-3 不能構成規則鑲嵌的正多邊形

組學生，採取一個一個操作策略的有 28 人，採取計算完後進行操作檢驗的有 2 人，直

圖形命名 實驗組（36 人） 控制組（36 人） 總人數

（接上頁）

項目 實驗組（36 人） 控制組（36 人） 總人數

一個一個操作 16 25 41

計算完後進行操作檢驗 12 7 19

直接計算找360 度的因數 2 1 3

策略不明 6 3 9

由表 4-3-6 可以知道在經由實際操作後，實驗組學生寫出鑲嵌圖形名稱及畫出圖形 的有 32 人，而控制組僅有 7 人寫出名稱及畫出圖形，寫出名稱但只畫出兩個以下的圖 形有9 人，只有名稱但沒畫出圖形有 16 人，如圖 4-3-4、圖 4-3-5。可以發現實驗組的 學生寫出鑲嵌圖形名稱及畫出圖形的人數明顯多於控制組的學生。推測造成這些表現差 異的原因，是實驗組學生使用虛擬教具畫面清晰不易位移，較能具體化成平面圖形畫 出，而控制組學生使用傳統教具圖形易位移，較無法將圖形具體化成平面圖形畫出。由 表 4-3-7 顯示實驗組和控制組較多學生找出（4,8,8）、（4,6,12）、（3,12,12）這三種圖 形，而較少學生找出（3,3,3,4,4）和（3,3,3,3,6），推測使用圖形數目只有三種的比 較容易找到，而數目需要五種且能排列成延伸的圖形，則較有難度，因此學生較不易找 到。另外，也可發現實驗組學生找齊了八種半規則鑲嵌圖形，而控制組學生僅找到五種。

且實驗組的學生共找到了 114 個正確圖形，平均每人找到了 3.17 個圖形，控制組的學 生共找到了 87 個正確圖形，平均每人找到了 2.42 個圖形，可以發現實驗組的學生找到 的正確圖形數目略多於控制組的學生。

圖4-3-4 實驗組大多數學生能寫 出名稱和畫出圖形

圖4-3-5 控制組大多數學生只寫 出名稱，沒畫圖形 表 4-3-9 學生在半規則鑲嵌操作過程使用的策略

由表 4-3-8 可以發現，實驗組的學生共出現 27 個錯誤圖形，平均每人 0.75 個，然 而控制組的學生共出現 119 個錯誤圖形，平均每人 3.31 個。可以推測使用虛擬教具操 作較便利且不易位移，容易發現圖形是否能鑲嵌，以及有充分時間檢查是否能延伸，所 以實驗組學生的錯誤圖形較少。而使用傳統教具操作較麻煩且易位移，不易發現圖形是 否能鑲嵌及較無心力檢查是否能延伸，所以控制組學生的錯誤圖形較多，出現了無法拼 成 360 度的圖形、無法無限延伸的圖形，甚至少數的次規則鑲嵌，如圖 4-3-6、圖 4-3-7。

由表 4-3-9 可以知道實驗組學生使用一個一個操作策略的有 16 人，使用計算再用 虛擬教具進行檢驗的有 12 人，有 2 人直接計算，使用猜想等策略不明的有 6 人。控制 組學生使用一個一個操作策略的有 25 人，使用計算再用傳統教具進行檢驗的有 7 人，

有1 人直接計算，使用猜想等策略不明的有 3 人。相較於第一堂所進行的規則鑲嵌活動，

在第二堂課所進行的半規則鑲嵌活動中，實驗組使用基本一個一個操作策略的學生同樣 比控制組少外，實驗組有更多的學生採取計算後再操作的策略，來輔助自己找出較複雜 的半規則鑲嵌圖形。而控制組學生仍大多使用一個一個的操作策略，和第一堂規則鑲嵌 活動的使用策略差異不大。可推測是實驗組採用虛擬教具分類清楚，且操作上較便利，

因此學生較能聚焦思考，除了最基本的一個一個嘗試策略外，部分學生能建構出鑲嵌的 數學概念，彈性使用虛擬教具當做檢驗的工具。而控制組使用傳統教具，受限於教具種 類眾多和容易位移的影響，學生較容易出現干擾而無法專注思考，因此大多數採取最基

圖4-3-6 控制組學生的錯誤圖形 圖4-3-7 控制組少數學生拼出次 規則鑲嵌

綜合以上所述，兩組分別使用虛擬教具和傳統教具進行教學，在半規則鑲嵌的操作

數目比使用傳統教具的控制組學生多，而實驗組學生也較不會出現像控制組學生使用圖 形的同一個角去拼一圈的行為。

4.3.2 學生的作業分析

1.次規則鑲嵌圖形作業單

實驗教學結束後，將次規則鑲嵌當作業讓學生回家挑戰，並輔以作業單確保學生完 成。實驗組學生以教師設計的 AMA 虛擬教具或以 NLVM 的 Tessellations 當做虛擬教具

（http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_163_g_1_t_3.html）。而控制組則讓學生 直接帶回紙做的正多邊形教具包，在家使用傳統教具完成作業。圖 4-3-10 為二十種次 規則鑲嵌圖形，而表 4-3-11 為兩組學生的作業單上找出的次規則鑲嵌種類。

圖4-3-8 實驗組大多數學生能找 出不規則圖形

圖4-3-9 控制組學生會以同一個 角去拼成一圈，錯誤圖形也較多

(3,3,3,3,3,3/3,3,3,3,6) (3,3,3,3,3,3/3,3,3,3,6) (3,3,3,3,3,3/3,3,4,12) (3,4,4,6/3,4,6,4)

（接上頁）

(3,3,3,3,3,3/3,3,6,6) (3,3,3,4,4/3,4,6,4) (3,3,3,3,6/3,3,6,6) (3,3,4,3,4/3,4,6,4)

( 3,3,3,4,4/3,3,4,3,4) (3,3,3,4,4/3,3,4,3,4) (3,3,3,3,3,3/3,3,4,3,4) (3,4,6,4/4,6,12)

(3,4,3,12/3,12,12) (3,4,4,6/3,6,3,6) (3,4,4,6/3,6,3,6) (3,3,6,6/3,6,3,6)

圖4-3-10 次規則鑲嵌的種類 資料來源：Uniform Tilings, by Dutch, S. , 1999,

http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/uniftil.htm.

(3,3,3,4,4/4,4,4,4) (3,3,3,4,4/4,4,4,4) (3,3,3,3,3,3/3,3,3,4,4) (3,3,3,3,3,3/3,3,3,4,4)

次規則鑲嵌圖形，在作業單上直接寫出名稱而沒有畫出圖形，因此沒考慮無限延伸的問 題，而無法找到正確的次規則鑲嵌圖形，如圖 4-3-13。

整體而言，在次規則鑲嵌的作業中，使用虛擬教具的實驗組學生找到次規則鑲嵌總 數目為 51 個，而傳統教具的控制組學生找到總數目僅有 3 個。而實驗組學生比控制組 學生較少找出半規則鑲嵌圖形，也較少出現將兩個半規則鑲嵌圖形直接當作次規則鑲嵌

整體而言，在次規則鑲嵌的作業中，使用虛擬教具的實驗組學生找到次規則鑲嵌總 數目為 51 個，而傳統教具的控制組學生找到總數目僅有 3 個。而實驗組學生比控制組 學生較少找出半規則鑲嵌圖形，也較少出現將兩個半規則鑲嵌圖形直接當作次規則鑲嵌