虛擬教具對於國中學生學習鑲嵌圖形之影響

國

立

交

通

大

學

理學院網路學習學程

碩

碩

碩

碩

士

士

士

士

論

論

論

論

文

文

文

文

虛擬教具對於國中學生學習鑲嵌圖形之影響

The Impact of Virtual Manipulatives

on Junior High School

Students’ Learning of Tessellations

研 究 生：張玉琪

指導教授：袁 媛 教授

陳永富 教授

虛擬教具對於國中學生學習鑲嵌圖形之影響

The Impact of Virtual Manipulatives

on Junior High School

Students’ Learning of Tessellations

研 究 生：張玉琪 Student：Yu-Chi Chang

指導教授：袁 媛 Advisor：Yuan Yuan

陳永富 Yu-Fung Chen

國 立 交 通 大 學

理學院網路學習學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Degree Program of E-Learning

June 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

虛擬教具對於國中學生學習鑲嵌圖形之影響

學生：張玉琪 指導教授：袁 媛 教授

陳永富 教授

國立交通大學理學院網路學習學程碩士班

摘 要

本研究利用系統化教學設計模式，以 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 為教學輔具設計國中二年級鑲嵌圖形教材，並進一步研究將此教材應用於教學的 成效。 本研究採不等組前後測準實驗研究設計，以新竹市一所國中的兩個班級學生 為研究樣本，隨機抽取一班為實驗組，一班為控制組。實驗組學生接受以 AMA 簡 報系統和 NLVM 的 Tessellations 作為教學輔具的教學，而控制組學生接受以傳 統實體教具作為輔具的教學，並以研究者自編的鑲嵌測驗、學習單、心得及感想 問卷、教學過程中的觀察紀錄與影片為工具進行學習成效資料之收集。實驗結果 主要發現如下： 一、使用 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 為虛擬教具教學和傳統教具教 學對於學生學習的效果是一樣的。 二、使用 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 為虛擬教具教學對於高分組學 生的學習比傳統教具教學效果好。 三、使用 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 為虛擬教具教學和傳統教具教 學對於低分組學生學習的效果是一樣的。 四、使用 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 為虛擬教具教學對於不同性別 學生學習的效果是一樣的。 五、使用 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 虛擬教具為學習環境或教學， 有利於學生減少錯誤並產生新的數學思維與策略。 六、使用 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 為虛擬教具教學比使用傳統教 具在次規則鑲嵌作業上表現好。 七、使用 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 為虛擬教具教學可以提升學生 的學習興趣。

The Impact of Virtual Manipulatives

on Junior High School

Students’ Learning of Tessellations

Student：Yu-Chi Chang Advisor：Dr. Yuan Yuan

Dr. Yu-Fung Chen

Degree Program of E-Learning College of Science

National Chiao Tung University

Abstract

This study applied the ADDIE model, and used Web-based virtual manipulatives, Activate Mind Attention and Tessellations of NLVM, as aids to design instructional materials for the use of teaching junior high school students tessellations. The effect of applying the

instructional materials on students’ learning was also explored in this study.

A pretest-posttest quasi-experimental design was used. The study involved 72 students in two different classes of a junior high school in Hsinchu city of Taiwan. The classes were randomly assigned to two methods of instruction; a virtual manipulative group and a traditional group. A researcher developed posttest was conducted to measure effect. For an in-depth comparison between the two groups, the classroom climate and interactions among students and teachers were also investigated.

Research results were as following:

1. The learning effect in virtual manipulative group is as effective as in the traditional group. 2. The high-achieving students ofvirtual manipulative groupoutperformed the

high-achieving students of traditional group.

3. The learning effect of the low-achieving students invirtual manipulative group is as effective as that of the low-achieving students in traditional group.

4. In virtual manipulative group, the learning effect of female students is as effective as that of male students.

5. Activate Mind Attention and Tessellations of NLVM can help students learn mathematics. The students’ new mathematical thinking and policies grow.

6. The virtual manipulative groupoutperformed the traditional group on demi-regular tessellations’ homework.

7. By utilizing the virtual manipulatives, the students raise their interest in mathematical learning.

Based on research results and findings, future suggestions were included for reference. Keywords: mathematics, virtual manipulatives, tessellations, Activate Mind Attention

誌 謝

碩士論文終於完成，這過程中要感謝許多人的協助，第一個要感謝的

就是指導教授－袁媛老師。從一下開始構思討論題目，提供了許多中肯的

建議和方向，到暑假中更是不辭辛勞的與我們討論各項細節，耐心協助我

們修改研究設計，進而逐步完成整個論文。也感謝專班主任－陳永富教授，

願意擔任共同指導教授，讓我們能順利完成論文。

再來要感謝專班的導師－陳明璋教授，開發了 AMA2008 簡報系統，讓

本研究能以 AMA2008 簡報系統的功能設計虛擬教具進行教學研究，並在過

程中提供了許多專業的建議，同時感謝陳教授的學生－蕭慶利老師提供了

AMA2008 簡報系統設計上的專業指導，讓研究更趨嚴謹與完整。

由於在論文研究期間內懷孕了，經歷了安胎等辛苦的過程，更加感謝

學校同事們的協助，包括實驗組和控制組配合調課的各科任課老師、幫忙

拍攝和錄影的教師、安排教學教學場地和廣播系統設定的資訊組長、協助

智力測驗施測的輔導處。因為他們的鼎力協助，研究才能順利進行。

最後，要感謝家人的關心與協助分擔家務，肚子裡的寶寶也乖巧陪伴

我讀書與研究，他們的精神支持也是我能順利的完成學業重要力量。

張玉琪 謹致

目

錄

中文摘要

………

i

英文摘要

………

ii

誌謝

……… iii

目錄

……… iv

表目錄

………

v

圖目錄

……… vi

一、

緒論………

1

1.1

研究動機………

1

1.2

研究目的………

3

1.3

研究問題………

4

1.4

名詞釋義………

5

1.5

研究限制………

7

二、

文獻探討………

8

2.1

鑲嵌(Tessellation)的探討………

8

2.2

虛擬教具和傳統教具的探討……… 22

2.3

教學系統設計理論……… 28

三、

研究設計與方法……… 34

3.1

研究對象……… 34

3.2

研究架構……… 35

3.3

研究設計……… 36

3.4

研究工具……… 39

3.5

資料分析……… 41

3.6

虛擬教具設計……… 43

四、

研究結果與討論……… 48

4.1

使用 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 教學後對學

生的影響………

48

4.2

實驗組與控制組學生學習歷程分析……… 53

4.3

學生在學習單與心得及感想問卷的質化分析……… 90

五、

結論與建議……… 110

5.1

結論……… 110

5.2

建議……… 115

參考文獻

……… 119

附錄

……… 128

表 目 錄

表 2-1-1 鑲嵌研究整理………

18

表 2-2-1 使用虛擬教具的部份研究結果………

26

表 2-3-1 ADDIE 模式各過程任務內容………

33

表 3-1-1 研究樣本人數統計表………

34

表 3-3-1 不等組前後測準實驗………

36

表 3-3-2 實驗組與控制組教學環境比較………

37

表 3-4-1 鑲嵌測驗內容與計分方式………

40

表 3-4-2 給分標準示例………

40

表 3-5-1 實驗研究假設的統計方法………

42

表 4-1-1 實驗組與控制組在「鑲嵌測驗」後測表現統計量及差異分

析………

49

表 4-1-2 實驗組與控制組高分組學生在「鑲嵌測驗」後測表現統計

量及差異分析………

49

表 4-1-3 實驗組與控制組低分組學生在「鑲嵌測驗」後測表現統計

量及差異分析………

50

表 4-1-4 實驗組不同性別的學生在「鑲嵌測驗」後測表現統計量及

差異分析………

51

表 4-3-1 教師於展示各式美麗鑲嵌圖形後，學生對於鑲嵌的看法

90

表 4

-3-2 學生找出三種可以鑲嵌的圖形，但沒將圖形密鋪成 360 度 90

表 4-3-3 學生找出可以鑲嵌的正多邊形數目（共有三種）………

91

表 4-3-4 學生列出不能鑲嵌的正多邊形………

91

表 4-3-5 學生操作過程使用的策略………

91

表 4-3-6 學生在半規則鑲嵌圖形的命名及畫圖狀況………

93

表 4-3-7 學生找出正確的半規則鑲嵌種類………

94

表 4-3-8 學生找出錯誤的半規則鑲嵌種類………

94

表 4-3-9 學生在半規則鑲嵌操作過程使用的策略………

96

表 4-3-10 學生找出的不規則鑲嵌圖形………

98

表 4

-3-11 學生找出的次規則鑲嵌種類……… 101

圖 目 錄

圖 2-1-1 圖案的分類………

8

圖 2-1-2 二方連續（帶狀圖案）………

9

圖 2-1-3 四方連續（壁紙圖案）………

9

圖 2-1-4 具有封閉外形的圖形………

9

圖 2-1-5 不具有封閉外形的圖形………

9

圖 2-1-6 鑲嵌圖案的分類………

12

圖 2-1-7 多邊形鑲嵌圖形命名………

12

圖 2-1-8 規則鑲嵌的種類………

14

圖 2-1-9 半規則鑲嵌的種類………

14

圖 2-1-10 次規則鑲嵌的種類………

15

圖 2-1-11 不規則鑲嵌………

16

圖 2-1-12 非多邊形的鑲嵌………

17

圖 2-3-1 ADDIE 教學模式………

29

圖 2-3-2 Dick & Carey 教學設計模式………

29

圖 2-3-3 ASSURE 教學模式………

30

圖 2-3-4 MRK 模式………

31

圖 2-3-5 ADDIE 模式的系統化教學設計………

32

圖 3-2-1 研究架構………

35

圖 3-3-1 教學流程簡示………

38

圖 3-6-1 Tessellations 介面………

43

圖 3-6-2 Tessellations 旋轉功能介紹………

44

圖 3-6-3 AMA 簡報系統 2008 開發的虛擬教具-正三角形到正十二邊

形………

45

圖 3-6-4 AMA 簡報系統 2008 開發的虛擬教具-正十三邊形到正四十

二邉形………

45

圖 3-6-5 AMA 簡報系統 2008 開發的虛擬教具-不規則鑲嵌………

46

圖 3-6-6 AMA 簡報系統 2008 設計的教學投影片………

46

圖 3-6-7 AMA 簡報系統 2008 設計的教學投影片-動態激發式呈現功

能………

47

圖 4-2-1 教師以海報介紹鑲嵌圖形………

53

圖 4

-2-2 教師介紹 Escher 圖案……… 53

圖 4-2-3 教師以黑板復習內角度數………

54

圖 4-2-4 教師以海報復習概念………

54

圖 4-2-5 教師發給每位學生教具袋………

54

圖 4-2-6 教師巡視並指導學生………

54

圖 4-2-7 學生上課反應和平常差不多………

55

圖 4-2-8 複雜圖形遠處學生不易觀察………

55

圖 4-2-9 學生打算將所有圖形分類………

56

圖 4-2-10 不時和同學交頭接耳討論………

56

圖 4-2-11 學生由最小圖形開始嘗試………

56

圖 4-2-12 學生任意嘗試，無次序性………

56

圖 4-2-13 部分圖形未拼貼成 360 度………

57

圖 4-2-14 學生圍在一起拼湊圖形………

57

圖 4-2-15 學生桌面空間不夠，無法保留所有圖形………

57

圖 4-2-16 傳統教具拼貼上容易位移，學生需ㄧ再調整………

57

圖 4-2-17 教師以教學廣播介紹鑲嵌圖形………

58

圖 4-2-18 教師介紹中國圖案………

58

圖 4-2-19 教師介紹埃及、龐貝圖案………

58

圖 4-2-20 教師介紹 Escher 圖案………

58

圖 4-2-21 教師復習每ㄧ個內角度數………

58

圖 4-2-22 教師以按鈕依序復習概念………

58

圖 4-2-23 教師示範如何操作拼貼………

59

圖 4-2-24 教師巡視並指導學生………

59

圖 4-2-25 教師示範如何旋轉………

60

圖 4-2-26 學生專注聆聽示範………

60

圖 4-2-27 學生從最小的開始嘗試………

60

圖 4-2-28 學生挑選部分圖形嘗試………

60

圖 4-2-29 學生將正六邊形無限延伸………

61

圖 4-2-30 部分圖形未拼貼成 360 度………

61

圖 4-2-31 虛擬教具拼貼不易位移………

61

圖 4-2-32 學生自行嘗試半規則鑲嵌………

61

圖 4-2-33 教師講解圖形命名原則………

63

圖 4-2-34 教師講解錯誤的例子………

63

圖 4-2-35 教師說明半規則鑲嵌只有一種方式………

64

圖 4-2-36 教師說明次規則鑲嵌共有二種方式………

64

圖 4-2-37 教師講解黃色部份命名………

64

圖 4-2-38 教師講解藍色部份命名………

64

圖 4-2-39 學生聆聽教師講解少回應………

65

圖 4-2-40 學生ㄧ邊聆聽一邊操作………

65

圖 4-2-41 學生任意取出圖形嘗試………

65

圖 4-2-42 排出教師舉例的次規則鑲嵌………

65

圖 4-2-43 學生排出（3,4,6,4）和次規則鑲嵌（3,4,3,12/3,12,12） 66

圖 4-2-46 學生排人形、次規則鑲嵌（3,3,3,4,4/3,3,4,3,4）、亂

拼湊和（4,6,12）………

66

圖 4-2-47 學生抄襲同學的圖形………

66

圖 4-2-48 學生離開位子與同學討論………

66

圖 4

-2-49 學生排出（4,6,12）和錯誤的（5,6,8）……… 67

圖 4-2-50 學生排出（3,4,6,4）和錯誤的（3,12,15）………

67

圖 4

-2-51 學生排錯誤的（3,12,13）……… 67

圖 4-2-52 學生排出錯誤的（3,9,19）………

67

圖 4-2-53 學生排出（4,6,12），但桌面雜亂，書寫不便…………

68

圖 4

-2-54 學生排出（3,4,6,4）和亂拼接的圖形……… 68

圖 4-2-55 學生排出（3,12,12）……… 68

圖 4-2-56 學 生 排 出 （ 3,4,6,4 ） 、 （ 4,8,8 ） 和 次 規 則 鑲 嵌 的

（3,4,3,12/3,12,12）………

68

圖 4-2-57 教師講解圖形命名原則………

69

圖 4-2-58 教師講解錯誤的例子………

69

圖 4-2-59 教師說明半規則鑲嵌只有一種方式………

70

圖 4-2-60 教師說明次規則鑲嵌共有二種方式………

70

圖 4-2-61 教師講解黃色部份命名………

70

圖 4-2-62 教師講解藍色部份命名………

70

圖 4-2-63 極少數拼出次規則鑲嵌（3,4,3,12/3,12,12）…………

71

圖 4

-2-64 極少數拼出次規則鑲嵌（3,3,6,6/6,6,6）……… 71

圖 4-2-65 學生使用每ㄧ內角度數進行計算再操作驗證………

72

圖 4-2-66 學生專注操作自己的教具，未任意走動……… 72

圖 4-2-67 一位學生排出（5,5,12）不能組合成 360 度的圖形………… 72

圖 4

-2-68 一位學生排出（3,4,3,11）不能組合成 360 度的圖形……… 72

圖 4

-2-69 部分學生排出（5,5,10）無法延伸的圖形……… 72

圖 4

-2-70 部分學生排出（3,3,4,12）無法延伸的圖形……… 72

圖 4

-2-71 學生排出（3,6,3,6）、（3,12,12）、（4,8,8）……… 73

圖 4

-2-72 學生排出（3,4,6,4）、（4,6,12）……… 73

圖 4-2-73 學生排出（3,3,3,3,6）

、

（3,3,3,4,4）……… 73

圖 4

-2-74 學生排出（3,3,4,3,4）……… 73

圖 4

-2-75 學生沒有密鋪成 360 度……… 76

圖 4-2-76 教師以矩形說明需 360 度……… 76

圖 4-2-77 教師以海報說明如何將曲線平移至對邊………

76

圖 4-2-78 教師將另一邊曲線也平移到對邊………

76

圖 4-2-79 教師以泡棉教具示範平移的方法………

77

圖 4-2-80 教師完成基本圖案，加上設計並繪製出連續圖形………

77

圖 4

-2-81 教師說明以平移方法設計出 Escher 的飛馬……… 77

圖 4-2-82 教師示範如何使用描圖紙複製曲線後平移………

77

圖 4-2-83 教師以海報說明如何將曲線旋轉到鄰邊………

78

圖 4-2-84 教師以泡棉教具示範旋轉的方法………

78

圖 4

-2-85 教師說明以旋轉的方法設計出 Escher 的蜥蜴……… 78

圖 4-2-86 教師示範如何使用描圖紙複製曲線後旋轉………

78

圖 4-2-87 部分學生在詢問後將圖形分類以利於分辨………

79

圖 4-2-88 多數學生沒有分類，直接拼湊………

79

圖 4-2-89 學生關門防止教具被風吹亂………

80

圖 4-2-90 學生將三角形相同角拼在一起………

80

圖 4-2-91 教具容易位移，學生在操作時重複調整圖形………

80

圖 4-2-92 學生放棄操作在位置上發呆………

80

圖 4-2-93 學生將箏形相同角拼在一起，不能無限延伸………

80

圖 4-2-94 學生離開自己的位置任意走動………

80

圖 4-2-95 海報張貼不易且耗時，影響學生創作時間……… 81

圖 4-2-96 學生很專注但創作時間不足………

81

圖 4-2-97 教師介紹不規則鑲嵌的各式圖形………

82

圖 4-2-98 教師到台下巡視學生操作不規則鑲嵌………

82

圖 4-2-99 教師使用動態功能自動畫出曲線………

82

圖 4-2-100 使用動態功能將另一邊曲線平移到對邊………

82

圖 4-2-101 教師示範如何畫出曲線………

83

圖 4-2-102 教師示範如何調整曲線………

83

圖 4-2-103 教師示範如何將曲線複製平移到對邊………

83

圖 4-2-104 教師將完成的曲線組成基本圖案後移動………

83

圖 4-2-105 教師用動態功能說明如何設計 Escher 的飛馬……… 83

圖 4

-2-106 教師以平移方法完成 Escher 的飛馬……… 83

圖 4-2-107 教師使用動態功能自動畫出曲線並旋轉到鄰邊…………

84

圖 4-2-108 使用動態功能將另一邊曲線也旋轉到鄰邊………

84

圖 4-2-109 教師示範如何畫出曲線並複製旋轉到鄰邊………

84

圖 4-2-110 教師完成基本圖案後添加眼睛等設計………

84

圖 4-2-111 教師用動態功能說明如何設計 Escher 的蜥蜴……… 85

圖 4

-2-112 教師以旋轉方法完成 Escher 的蜥蜴……… 85

圖 4-2-113 等腰三角形拼成 360 度，沒有誤差………

85

圖 4-2-114 除了梯形以外，其他都只拼成 180 度………

85

圖 4-2-115 直角三角形以內角和拼成 360 度………

86

圖 4-2-116 直角三角形以四個直角密鋪成 360 度………

86

圖 4-2-117 學生將矩形拼成 360 度………

86

圖 4-2-120 學生添加眼睛等設計豐富圖案………

87

圖 4-2-121 學生利用元件豐富創作的圖形………

87

圖 4-2-122 學生使用旋轉方法設計的圖形………

87

圖 4-3-1 圖形沒有密鋪成 360 度………

92

圖 4-3-2 學生找到的三種規則鑲嵌圖形………

92

圖 4-3-3 不能構成規則鑲嵌的正多邊形………

92

圖 4-3-4 實驗組大多數學生能寫出名稱和畫出圖形………

96

圖 4-3-5 控制組大多數學生只寫出名稱，沒畫圖形………

96

圖 4-3-6 控制組學生的錯誤圖形………

97

圖 4-3-7 控制組少數學生拼出次規則鑲嵌………

97

圖 4-3-8 實驗組大多數學生能找出不規則圖形………

99

圖 4-3-9 控制組學生會以同一個角去拼成一圈，錯誤圖形也較多

99

圖 4-3-10 次規則鑲嵌的種類………

99

圖 4-3-11 實驗組學生找出的次規則鑲嵌圖形……… 102

圖 4

-3-12 控制組學生找出的次規則鑲嵌圖形但名稱皆錯誤……… 102

圖 4-3-13 控制組學生認為合併兩個半規則鑲嵌圖形即是次規則鑲

嵌圖形………

103

圖 4

-3-14 實驗組學生創作的鑲嵌圖形……… 104

圖 4

-3-15 控制組學生創作的鑲嵌圖形……… 105

一、緒論

1.1 研究動機

隨著科技日新月異，身處數位化的時代，迎向知識爆炸的未來，科學之影響力更是 與日俱增，而數學為科學之母，重要性更不可小覷。教育部在「九年一貫數學領域課程 綱要」中表示，數學是人類最重要的資產之一，數學能力是國民素質的一個重要指標。 美國加州教育部門（California Department of Education）1997年在其文件中，也認 為數學可以訓練我們的分析能力，而這樣的能力正是智慧和精確思考的基礎。儘管學生 普遍了解數學的重要性，卻對數學存著恐懼感。大多數的小學生都喜歡數學，且一般在 小學六年級前學生均維持樂觀的數學態度，但學生在六年級之後，特別是進入中學之 後，學習成功的經驗逐年降低，害怕數學的程度也逐年升高（Suydam, 1984; Aiken, 1986）_{。Granger（2000）也提及身為教師，感受到學生對於學校的感覺是負面的，尤其} 是數學課，新學年開始的熱忱往往很快地被大量憂慮所取代。因此，數學向來是各國政 府重視且投注極大心力研究的一門學科，數學教育的嶄新嘗試和改革步履未曾停歇（林 瑞蘭，2008）。 在九年一貫課程數學學習領域綱要中，「幾何」為五大主題之一（教育部，2003）。

美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）2000年在 其出版文件中，強調在學校數學課程初期，幾何和空間感的技巧和概念更具有重要性， 並在其提出的《學校數學的原則和標準》中，將五項內容標準之一的幾何，從測量中抽 離出來，成為獨立的一部份。Clements and Battista（1992）也指出幾何提供我們如 何去闡釋與反映外在物理環境的一種方法，並且可作為學習其他數學和科學題材的工 具，若能加強幾何的空間思考，將有助於高層次數學的創造思考。因此，國內外基礎數 學教育的潮流，有逐漸重視幾何教育的趨勢。然而隨著時代進步，傳統歐氏幾何的樣式 與公式演繹已逐漸不能滿足現代學習上的需求，也許更重要的是直觀的、可視的圖形變 換所帶來的幾何觀念（沙雷金，2001）。Granger（2000）也認為應該向學生展現數學 之美，數學也可以是藝術，從美麗的藝術中發現數學的樣式與空間推理。 鑲嵌在歷史上從古至今一直扮演著藝術角色，從蘇美人、埃及人、非洲摩爾人、波

蹤跡，在數學上能探究鑲嵌圖案如何形成以及尋找樣式的規則性。因此，一些數學教師 在幾何單元教學時，尤其是教導多邊形概念或是生活化數學主題時，會考慮進行鑲嵌主 題的教學，讓學生去建立發展他們的藝術創造力並能夠加強他們數學上的空間概念 （Giganti & Cittadino, 1990； Johnson & Kashef, 1996； Granger, 2000； Peterson, 2000； Hale, 2003； Furner, Goodman, & Meeks, 2004）。另一個原因是藉由和藝術 的結合以及創造，能增加數學課程的趣味性。Giganti and Cittadino（1990）也指出 學生應該去實踐經驗和領略數學之美，而鑲嵌就是結合幾何與藝術的計畫。 國內的數學教育改革，從民國八十二年版的數學課程，到九十二年的九年一貫數學 領域課程正式綱要，不再只偏重公理的演繹計算，而是藉著具體運用不同的實物表徵、 符號表徵、圖形表徵幫助孩子建立概念，強調數學概念的抽象化過程。實體教具ㄧ直是 表徵數學概念的重要工具，教師藉由實體教具的操作幫助學生理解抽象概念。Parham （1983）的研究結果顯示教具的使用確實幫助了學生數學概念的學習。但大量使用教具 於數學教學上的狀況並不如預期，其中可能的原因是教具的欠缺及使用者的專業知能的 不足（Dorward, 2002）。部份教師對於使用教具是恐懼的，因為很少使用教具或不知 如何使用，擔心讓學生自由使用教具時會遺失或損壞、課堂上秩序會變得混亂（Moyer & Jones, 2004）。另外的原因在於老師們擔心沒有足夠的教具分配給學生，課後清理收 拾教具很費時，以及高年級或中學生會覺得傳統教具是給小孩子玩的（Moyer, Bolyard & Spikell, 2002）。而Char（1989）也認為不同學生需要不同的協助，單一種類的教 具無法適用於每一個小孩。所幸，隨著科技的進步，數學教具也有了新的變革（張漢宜， 2002）。 近年來電腦軟體的開發技術日新月異，網際網路的普及，電腦的個人化，許多研究 者開始將電腦科技運用於教學。大多學者肯定教具可以操作以及利用其他表徵來教授數 學的功用，結合目前新資訊科技的運用，於是有虛擬教具的產生。這是一種結合具體教 具和電腦技術且適合國中小學生使用於數學學習的科技輔具（袁媛，2007）。虛擬教具 是一種電腦技術產生的數位影像，看得到但無法實際觸摸，可以幫助學生建構抽象的數 學概念的學習工具，且能呈現傳統教具能呈現或不能呈現的概念，在運用上比傳統教具

更有彈性（王智弘，2006）。Steen, Brooks, and Lyon（2006）的研究顯示，使用電腦

當作虛擬教具和傳統教具進行幾何教學時，虛擬教具更能深化學生學習，方便學生操 弄。目前NCTM正致力於虛擬教具的研發，網站上也有許多豐富的成果，然而國內虛擬教 具相關的研究仍屈指可數，有待更多的教學實證研究。

不同多媒體學習中，好的教學設計方法可跨越不同媒介（Mayer, 2003）。而在數位

教學設計者一個具體的架構，有效地發展建置課程，ADDIE 模式即分析（Analysis）、設 計（Design）、發展（Development）、實施（Implementation）與評鑑（Evaluation） 五個步驟，是可循環反覆的，能說明教學和效能改善間的聯繫，在教學設計上更具有彈 性，所以教學活動設計可藉由 ADDIE 過程創造。 基於以上研究動機，研究者擬於國中二年級的數學幾何課程中，將基本的多邊形外 角和、內角和觀念加以延伸，將日常生活中瓷磚的鑲嵌概念融入並加以設計成鑲嵌設計 活動，採取 ADDIE 模式設計課程，以豐富幾何課程的內涵。本實驗將採取不等組前後測 準實驗設計，探討在進行鑲嵌圖形教學時，使用虛擬教具和傳統教具不同的教學環境 下，兩組學生在學習態度與過程上的差異性，以及觀察不同教具輔助教學對學生的影 響，並進一步提出可能的教學建議，期望在實驗結束後能透過評鑑修正過程，使課程發 展更完備，作為日後教學使用。

1.2 研究目的

本研究的主要目的是利用 AMA 簡報系統 2008（Activate Mind Attention，簡稱 AMA） 和國家虛擬教具圖書館（National Library of Virtual Manipulatives，簡稱 NLVM） 的鑲嵌教具（Tessellations）作為教學輔具設計鑲嵌教學活動，比較「操作虛擬教具 的教學」與「操作傳統教具的教學」對國二學生學習「鑲嵌圖形」之成效。綜 合 以 上 所 述 ， 茲 將 本 研 究 目 的 分 述 如 下 ： 1. 分析在鑲嵌圖形單元中，使用虛 擬 教 具 的 教 學 環 境 和 傳 統 實 體 教 具 的 教 學 環 境 之 異 同 。 2. 比較使用虛 擬 教 具 的 教 學 環 境 和 傳 統 實 體 教 具 的 教 學 環 境 ，對於國中 二年級學生學習鑲嵌圖形之影響。 3. 比較使用虛擬教具的教學環境，對於不同性別的學生學習鑲嵌圖形之影響。 4. 比較使用虛 擬 教 具 的 教 學 環 境 和 傳 統 實 體 教 具 的 教 學 環 境 ，對於國中 二年級學生學習態度之影響。

1.3 研究問題

根 據 上 述 的 研 究 目 的 ， 提 出 下 列 六 個 研 究 問 題 。 1. 使用虛 擬 教 具 的 教 學 環 境 和 傳 統 實 體 教 具 的 教 學 環 境 有 何 差 異 ? 2. 使用虛 擬 教 具 教 學 的學生在後測「鑲嵌測驗」的得分是否顯著優於使用傳 統實體教具教學的學生？ 3. 使用虛 擬 教 具 教 學 高分組的學生在後測「鑲嵌測驗」的得分是否顯著優於 使用傳統實體教具教學高分組的學生? 4. 使用虛 擬 教 具 教 學 低分組的學生在後測「鑲嵌測驗」的得分是否顯著優於 使用傳統實體教具教學低分組的學生? 5. 使用虛 擬 教 具 教 學 不同性別的學生在「鑲嵌測驗」後測上得分是否有顯著 的差異? 6. 使用虛 擬 教 具 教 學 的學生和使用傳統實體教具教學的學生在態度上有何差 異？

1.4 名詞釋義

為了使研究更具體明確，本節針對此研究所涉及到的重要名詞說明如下： 1.4.1 國中學生 本 研 究 之 國 民 中 學 學 生，是 指 97學 年 度 就 讀 於 新 竹 市 某 國 民 中 學 的 二 年 級 學 生 。 1.4.2 鑲嵌（Tessellations） 平面上的鑲嵌是數個平面圖形，以邊相鄰拼接後，不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平 面，可以無限的向四方延展。 1.4.3 K律鑲嵌（K-uniform tessellations） 由正多邊形構成的鑲嵌圖形，K是圖形內頂點構成方式的種類，若只有一種則稱為 一律鑲嵌，又稱為阿基米德鑲嵌；有二種則稱為二律鑲嵌，又稱為次規則鑲嵌、多形鑲 嵌。以相同的命名法，可類推至高律鑲嵌。 1.4.4 規則鑲嵌（Regular tessellations） 是指由相同的數個正多邊形以邊相鄰拼接後，不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平面， 可以無限的向四方延展，是一律鑲嵌中的一種。 1.4.5 半規則鑲嵌（Semi-regular tessellations） 是指由兩種或兩種以上的數個正多邊形以邊相鄰拼接後，每個頂點的組成方式只有 一種，不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平面，可以無限的向四方延展。 1.4.6 次規則鑲嵌（Demi-regular tessellations） 是指由兩種或兩種以上的數個正多邊形以邊相鄰拼接後，頂點的組成方式共有兩 種，不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平面，可以無限的向四方延展。 1.4.7 不規則鑲嵌（Non-regular tessellations）

面，可以無限的向四方延展。 1.4.8 非多邊形鑲嵌（Nonpolygonal tessellations） 是指由數個任意的非多邊形，可以是曲線，相鄰拼接後，不重疊且沒有空隙密鋪滿 整個平面，可以無限的向四方延展。非多邊形鑲嵌可以由多邊形變化而來。 1.4.9 傳統實體教具（Physical manipulatives） 傳統實體教具是實體的物件，看得到也觸摸得到，可以被實際操作的真實物件，分 為平面和立體兩大類，學生可以藉由具體物的操作來了解抽象性的概念。 1.4.10 虛擬教具（Virtual manipulatives） 虛擬教具是一種新的教具形式，可以看作是一套電腦的程式，利用互動的視覺呈 現，看得到但無法實際觸摸，學生可以從電腦環境學習進行虛擬操作模擬真實環境中的 操作，如傳統教具般建構數學知識，並可呈現一般傳統實體教具不易做到的操作。認為 能提供發現及建構數學原理和關聯的機會，才是真正的虛擬教具（Moyer, Bolyard, & Spikell, 2002）。使用是否有互動性存在是虛擬教具和非虛擬教具之間最大的差異點， 所以除了靜態視覺呈現外，例如：點擊以後出現事先設好的答案和播出已設定好的動 畫，只要不允許使用者直接操作或涉入，無法讓使用者扮演主動創造數學意義的角色， 都不能納入虛擬教具（Suh & Moyer, 2005）。

1.4.11 ADDIE模式（ADDIE model）

一個系統化的教學設計程序。ADDIE模式包含分析（Analysis）、設計（Design）、 發展（Develop）、實施（Implementation）、評鑑（Evaluation）五個階段。提供教 學設計者一個具體的架構，有效地發展建置課程。

1.4.12 國家虛擬教具圖書館（National Library of Virtual Manipulatives，簡稱NLVM） 是美國猶他大學的研究團隊爲國科會（NSF）贊助的計畫，從1999年起設立的虛擬 教具圖書館（http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html），提供許多以Java Applet 程式撰寫的互動性網路虛擬教具與概念教學任務，讓從幼稚園到高中三年級的學生都能 使用這些輔具去學習與理解數學。

一個以PowerPoint為平台，外掛增益集所發展的一個媒體設計及展演的環境，兩個 主要的功能為激發式動態呈現（Trigger-based Animation, TA）及結構式複製繪圖法 （Structural Cloning Method, SCM）。AMA系統是以數學概念所發展出來的教材設計 及教學軟體，是一種新的繪圖法，能解決設計教材時定位不易的問題，繪製仿自然山水 畫、複雜的對稱構圖以及光點系列等。此系統與PowerPoint結合可以成為一個數位內容 設計及展演、繪本寫作及創意的平台。

1.5 研究限制

本研究乃是研究者在教學領域上的實驗研究，取樣採方便樣本，對象為研究者任教 學校的國二學生。接受教學的學生就讀之學校採常態編班，入學編班依據入學時的測驗 成績做 S 型編排，故研究結果不宜過度推論到其他地區，但研究結果可供日後從事其他 地區研究之參考。另外，考量學校教學進度安排無法任意更動，本研究為延伸課程，旨 在將數學融入日常生活中，並非正式課堂必教課程，為了避免壓縮正式課程的教學時 間，僅安排三堂課程，因此本實驗教學對於學習成效的結果論定可能造成影響。

二、文獻探討

本章分為三節探討本研究的相關文獻，做為研究的理論基礎，以建立本研究的架 構。第一節為鑲嵌（Tessellation）的探討，第二節為虛擬教具（Virtual manipulatives） 和傳統教具的探討，第三節為教學系統設計理論。

2.1 鑲嵌(Tessellation) 的探討

本節將分別就「鑲嵌的圖案性質」、「鑲嵌圖案的分類與構成」、「鑲嵌的文獻研究」 三個部份來說明探討。 2.1.1 鑲嵌的圖案性質 很早以前人類就懂得利用鑲嵌來裝飾日常生活，例如鋪磚、教堂的花窗玻璃等等， 或在數學上探究鑲嵌圖案如何形成，尋找規則性。因此鑲嵌一詞常廣泛出現在生活中， 在藝術，歷史，數學，建築上皆可見其蹤跡。 我們先探討鑲嵌在圖案中的分類。丘永福（1990）提出圖案的構成可以分為單獨圖 案構成法、二方連續圖案構成法、四方連續圖案構成法。如圖 2-1-1 所示，凌春玉（1998） 提出圖案種類可以分為平面圖案和立體圖案兩大類，而平面圖案又可以分為單獨模樣、 連續模樣、繪畫模樣，其中連續模樣指的是以連續排列方式展開或是向四方延展的圖 案，依方向分為二方連續和四方連續，二方連續圖案因呈現帶狀，也稱為帶狀圖案（Strip pattern），如圖 2-1-2。四方連續圖案在生活中常見，也稱之為壁紙圖案（Wallpaper pattern），如圖 2-1-3。 圖案 平面圖案 立體圖案 單獨模樣 連續模樣 繪畫模樣 二方連續 （帶狀圖案） 四方連續 （壁紙圖案） 圖2-1-1 圖案的分類 資料來源：“圖案”，凌春玉，1998，藝術家雜誌藝術家雜誌藝術家雜誌藝術家雜誌，273273273273，371 頁。

所以，鑲嵌圖案是一種四方連續(壁紙圖案)的其中一種，除此之外，和普通圖案的 區別在於鑲嵌圖案還需具有封閉外形，外形有明確的內側和外側，如圖2-1-4。而普通 圖案則不一定具有封閉外形，如圖2-1-5。

圖2-1-3 四方連續（壁紙圖案）

資料來源：Totally Tessellated 網站 http://library.advanced.org/16661/

圖2-1-2 二方連續（帶狀圖案） 圖2-1-5 不具有封閉外形的圖形 資料來源：自行繪製 圖2-1-4 具有封閉外形的圖形 資料來源：Totally Tessellated 網站 http://library.advanced.org/16661/

我們還可以發現，這些美麗的圖案，皆被稱為鑲嵌圖案、磚瓦圖飾或馬賽克圖案。 除了以鑲嵌（tessellation）這個詞彙出現外，在類似的圖案領域中，亦常見到鋪磚 （tiling）和馬賽克（mosaic）這兩個詞彙，這幾個名詞常被混合使用，尤其在中文翻 譯下，更常常是混淆不清的，因此探究這些名詞的字義、起源，將有助於我們去釐清研 究範圍。 王士彥（1979）譯：「mosaic為眾多藝術表現形式的一種，是指利用細碎材料，如 紙張、天然或人造石材、玻璃片等所組合而成的圖畫而言。」大英百科全書指出馬賽克 （mosaic）通常是用各種顏色的小塊材料如石塊、礦石、玻璃、瓷片、貝殼等緊密地拼 集成各種圖案的裝飾工藝。而維基百科亦指出馬賽克（mosaic）是一種裝飾藝術，通常 使用許多小石塊或有色玻璃碎片拼成圖案，在教堂中的玻璃藝品，又稱為花窗玻璃 （stained glass）。在拜占庭帝國時代，馬賽克隨著基督教興起而發展為教堂及宮殿中 的壁畫形式，現今馬賽克泛指這種類型五彩斑斕的視覺效果。所以，馬賽克一詞多用在 藝術、建築上，而較少使用在數學上。 維基百科指出鋪磚（tiling）有以下幾個意思:實際去鋪磚的行動、數學上的鑲嵌 （tessellation）、迴路編譯器的最佳化。鋪磚（tiling）在字典的解釋也是蓋瓦、貼 磚、瓦面、磚面。曹亮吉(2003)認為平面鋪磚，廣義的說法就是鋪滿整個平面，磚可以 任意形狀的。 而鑲嵌（tessellation）在字典上解釋為棋盤形嵌石飾，張瑜軒（2002）認為它的 意思是「任何由不會相互重疊或留下空隙，而覆蓋平面的外形所構成的反覆性圖案」。 維基百科認為鑲嵌（tessellation）來自於數學上的鋪磚（tiling），平面上的鑲嵌或 鋪磚是指大量的平面圖形不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平面，也可以是指平面或表面的 部分鑲嵌，可以推展到高維度。這名詞常出現在 M. C. Escher.的藝術裡，也遍及歷史、 從古代建築學到現代的藝術。在拉丁文裡，”tessella”是指一塊小的用來做馬賽克的 泥塊、石頭或玻璃的立方體。這個字意思就是小方塊，從”tessera”轉化而來，在希 臘文中的意思是”數字四”。日常使用的鋪磚（tiling）是鑲嵌的應用，也與之相符。 由以上所述，鑲嵌和鋪磚似乎是相同。 根據以下幾位學者的看法，他們認為鑲嵌和鋪磚是相同的字彙。Giganti and Cittadino（1990）認為鑲嵌（tessellation）就是鋪磚（tiling），由多邊形和其他曲 面形狀的重覆使用組成一個沒有縫隙和重疊的平面，就像是廚房或浴室地板的磁磚。 Clauss（1991）認為鑲嵌（tessellation）這個字來自於一個拉丁的字義：密鋪磚瓦（to pave with tiles）或組成馬賽克（make a mosaic of）。他認為當多邊形恰好覆蓋滿 整個平面，沒有空隙和重疊時，那個模式（pattern）構成就叫做鑲嵌（tessellation）。

Cassidy（1998）也認為鑲嵌（tessellation）就是磚瓦以重複模式（pattern）連結。 但張瑜軒（2002）認為鋪磚（tiling）和馬賽克（mosaic）這兩個詞彙和鑲嵌 （tessellation）雖易混淆但仍是有區別的，她認為鋪磚（tiling）和馬賽克（mosaic） 通常是指多邊形所構成的圖案，多邊形是由直線段所構成封閉平面外形，而沒有曲線。 但是，鑲嵌（tessellation）沒有受限於多邊形，任何有機、不規則、彎曲的線條皆可 成立。 綜合以上所述，可以界定所謂平面上的鑲嵌是指數個平面圖形，以邊相鄰拼接後， 不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平面，可以無限的向四方延展。另外，可以發現鑲嵌 （tessellation）和鋪磚（tiling）都是很常用的字詞，大多數會混用並沒有很明顯的 區別，但是馬賽克（mosaic）較少使用在數學方面去探討圖形的性質，而偏向藝術和建 築方面。正因鑲嵌（tessellation）一詞在數學上的使用較為廣泛，多邊形及非多邊形 組成皆包含在內，涵蓋較廣未有爭議性，且本研究將讓學生先探討多邊形性質後延伸至 非多邊形的創作，因此，本研究將使用鑲嵌（tessellation）一詞，之後論述也將以鑲 嵌（tessellation）來統一稱呼。 2.1.2 鑲嵌圖案的分類與構成 平面上的鑲嵌簡單分為兩大類，多邊形鑲嵌（Polygonal tessellations）和非多 邊形鑲嵌（Nonpolygonal tessellations）。Grunbaum and Shephard（1986）將鑲嵌完 整分類如下所述，多邊形鑲嵌的可分為不是正多邊形構成的不規則鑲嵌（Non-regular tessellations），以及由正多邊形構成的 K 律鑲嵌（K-uniform tessellations），K 是 圖形內頂點構成方式的種類，若只有一種則稱為一律鑲嵌，有二種則稱為二律鑲嵌，以 相同的命名法，可類推至高律鑲嵌。K 律鑲嵌（k-uniform tessellations）中最常探討 是一律鑲嵌（1-uniform tessellations）和二律鑲嵌（2-uniform tessellations），

這兩種。常見的一律鑲嵌，又稱為阿基米德鑲嵌（Archimedean tessellations），包含

規則鑲嵌（Regular tessellations）圖案、半規則鑲嵌（Semi-regular tessellations） 圖案兩種。而二律鑲嵌（2-uniform tessellations）即次規則鑲嵌（Demi-regular tessellations），又稱為多形鑲嵌（Polymorph tessellations）。林壽福（2006）認為 半規則鑲嵌中有不只一類頂點的，就是不完全鑲嵌。而有兩類頂點的就是二律不完全鑲 嵌，應是將”demi”也翻譯為”半”，而和”semi”的”半”產生混淆。所以研究者 將”k-uniform tessellations”直接翻成”K 律鑲嵌”，而有兩種頂點稱為二律鑲嵌，

的鑲嵌圖案分類如圖 2-1-6 所示： 因為非多邊形的的圖案也是來自於多邊形所組成的鑲嵌為骨格（lattice）發展而 來，像常見的荷蘭畫家 Escher 擅長利用這不規則的線條創作的作品，所以多邊形鑲嵌 是重要的基礎。 多邊形鑲嵌要沒有縫隙且不重疊，所以多邊形以頂點相接，以此頂點為中心相鄰每 個內角加起來需滿足360度。另外，為了標示以及敘述方便，鑲嵌圖案有一定的命名方 式，它的原則是任意選擇一個頂點，由與這個頂點接觸的多邊形中邊數最少的開始繞一 圈，將所有的多邊形邊數記下，直到回到最先的那個多邊形。如下圖2-1-7所示。 圖2-1-6 鑲嵌圖案的分類 鑲 嵌 多邊形鑲嵌 Polygonal tessellations 非多邊形鑲嵌 Nonpolygonal tessellations 規則鑲嵌 Regular tessellations 次規則鑲嵌 Demi----regular tessellations 不規則鑲嵌 Non----regular tessellations K 律鑲嵌 K----uniform tessellations 一律鑲嵌 1----uniform tessellations 二律鑲嵌 2----uniform tessellations 半規則鑲嵌 Semi----regular tessellations 高律鑲嵌 （3,3,3,3,3,3） 圖2-1-7 多邊形鑲嵌圖形命名 （6,6,6） （3,4,6,4）

若圖形為正多邊形，邊數為

n

i ，則其任一內角為 i i n n ₂₎π ( − ，π _{= 180}°_。假定有

_r

_個 正多邊形（其邊數分別為

n

1

, n

2

,…, n

r），將這

r

個正多邊形的邊數以序列（

n

1

, n

2

, …,

n

r）來表示，由於這

r

個正多邊形可以接在同一點，角度和為360度，我們可以列出式 子（1）： π π π π 2 ) 2 ( ... ) 2 ( ) 2 ( 2 2 1 1 − ₊ − _{+ +} − ₌ r r n n n n n n （1） 化簡後，可以得到式子（2）： 2 ) 2 ( ... ) 2 ( ) 2 ( 2 2 1 1 − ₊ − _{+ +} − ₌ r r n n n n n n （2） 可以得到（3,3,3,3,3,3）、（3,3,3,3,6）、（3,3,3,4,4）、（3,3,4,12）、（3,3,6,6）、 （3,4,4,6）、（3,7,42）、（3,8,24）、（3,9,18）、（3,10,15）、（3,12,12）、 （4,4,4,4）、（4,5,20）、（4,6,12）、（4,8,8）、（5,5,10）、（6,6,6）這17種 組合。 將這17種組合，整理後可以得到，（3,3,3,3,3,3）、（3,3,3,3,6）、（3,3,3,4,4）、 （3,3,4,3,4）、（3,3,4,12）、（3,4,3,12）、（3,3,6,6）、（3,6,3,6）、（3,4,4,6）、 （3,4,6,4）、（3,7,42）、（3,8,24）、（3,9,18）、（3,10,15）、（3,12,12）、 （4,4,4,4）、（4,5,20）、（4,6,12）、（4,8,8）、（5,5,10）、（6,6,6）這21組 排列。 不過經由實際繪製後，可以發現只有（3,3,3,3,3,3）、（3,3,3,3,6）、（3,3,3,4,4）、 （3,3,4,3,4）、（3,6,3,6）、（3,4,6,4）、（3,12,12）、（4,4,4,4）、（4,6,12）、 （4,8,8）、（6,6,6），這十一種能繪製成不同且連續的鑲嵌圖形。這十一種由正多邊 形構成的鑲嵌圖形，且每個頂點的組成方式只有單純一種，稱為一律鑲嵌（1-uniform tessellations）。又可以分為規則鑲嵌（Regular tessellations）和半規則鑲嵌 （Semi-regular tessellations）兩種。 規則鑲嵌（Regular tessellations），是指由相同的數個正多邊形以邊相鄰拼接後， 不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平面，可以無限的向四方延展。這邊的正多邊形，指的是 每邊長度相同、每個角度數相同的多邊形。所以有（3,3,3,3,3,3）、（4,4,4,4）、（6,6,6）

半規則鑲嵌（Semi-regular tessellations），是指由兩種或兩種以上的數個正多 邊形以邊相鄰拼接後，每個頂點的組成方式只有一種，不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平 面，可以無限的向四方延展。有（3,3,3,3,6）、（3,3,3,4,4）、（3,3,4,3,4）、（3,6,3,6）、 （3,4,6,4）、（3,12,12）、（4,6,12）、（4,8,8）這八種，如圖2-1-9所示。 （3,3,3,3,6） （3,3,3,4,4） （3,3,4,3,4） （3,6,3,6） （3,12,12） （4,6,12） （4,8,8） （3,4,6,4） 圖2-1-9 半規則鑲嵌的種類 資料來源：運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究（頁17），蕭慶利，2007， 國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文，新竹市。 圖2-1-8 規則鑲嵌的種類 資料來源：運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究（頁17），蕭慶利，2007， 國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文，新竹市。 。 （3,3,3,3,3,3） （4,4,4,4） （6,6,6）

二律鑲嵌（2-uniform tessellations）即是次規則鑲嵌（Demi-regular tessellations），是指由兩種或兩種以上的數個正多邊形以邊相鄰拼接後，頂點的組成 方式共有兩種，不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平面，可以無限的向四方延展。有 （3,3,3,3,3,3/3,3,3,3,6）、（3,3,3,3,3,3/3,3,3,3,6）、（3,3,3,3,3,3/3,3,4,12）、 （3,4,4,6/3,4,6,4）、（3,3,3,3,3,3/3,3,6,6）、（3,3,3,4,4/3,4,6,4）、 （3,3,3,3,6/3,3,6,6）、（3,3,4,3,4/3,4,6,4）、（3,3,3,4,4/3,3,4,3,4）、 （3,3,3,4,4/3,3,4,3,4）、（3,3,3,3,3,3/3,3,4,3,4）、（3,4,6,4/4,6,12）、 （3,4,3,12/3,12,12）、（3,4,4,6/3,6,3,6）、（3,4,4,6/3,6,3,6）、（3,3,6,6/3,6,3,6）、 （3,3,3,4,4/4,4,4,4）、（3,3,3,4,4/4,4,4,4）、（3,3,3,3,3,3/3,3,3,4,4）、 （3,3,3,3,3,3/3,3,3,4,4）這二十種，如圖 2-1-10 所示。 (3,3,3,3,3,3/3,3,3,3,6) (3,3,3,3,3,3/3,3,3,3,6) (3,3,3,3,3,3/3,3,4,12) (3,4,4,6/3,4,6,4) (3,3,3,3,3,3/3,3,6,6) (3,3,3,4,4/3,4,6,4) (3,3,3,3,6/3,3,6,6) (3,3,4,3,4/3,4,6,4)

（接上頁） 不規則鑲嵌（Non-regular tessellations），是指由數個任意的不規則多邊形以邊 相鄰拼接後，不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平面，可以無限的向四方延展。因不規則鑲 嵌的圖形很多，無法一一列舉，僅舉幾個例子，如圖 2-1-11 所示。 圖2-1-11 不規則鑲嵌 圖2-1-10 次規則鑲嵌的種類

資料來源：Uniform Tilings_, by Dutch, S. , 1999, http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/uniftil.htm.

(3,4,3,12/3,12,12) (3,4,4,6/3,6,3,6) (3,4,4,6/3,6,3,6) (3,3,6,6/3,6,3,6)

非多邊形鑲嵌（Nonpolygonal tessellations），是指由數個任意的非多邊形，可 以是曲線，相鄰拼接後，不重疊且沒有空隙密鋪滿整個平面，可以無限的向四方延展。 非多邊形鑲嵌可以由多邊形變化而來，如圖 2-1-12 所示。 2.1.3 鑲嵌的文獻研究 鑲嵌在歷史上從古至今一直扮演著藝術角色，從蘇美人、埃及人、非洲摩爾人、波 斯人、希臘人、羅馬人、拜占庭人、阿拉伯人、中國人，都可在他們的文化中發現幾何 裝飾藝術。最具代表性的是位於西班牙的伊斯蘭回教建築－阿罕布拉（Alhambra）宮殿， 是十四世紀時非洲摩爾人佔據西班牙後留下的阿拉伯式宮殿遺跡，全殿天花板、地板、 牆壁都用這些鑲嵌圖案來裝飾。荷蘭版畫家 Escher 正是造訪了阿罕布拉後，受啟發而 利用錯視原理及數學概念，創作出數千幅平面規則分割圖案。其作品文獻相當豐富，其 中鑲嵌畫除了在藝術領域外，在數學方面也常被提及，成為平面鑲嵌圖案領域著名的代 表人物。在數學領域上，學者提出以群論作為 Escher 鑲嵌圖案構成的理論依據（Coxeter,

Emmer, Penrose, & Teuber, 1986； Grunbaum & Shephard, 1986）。但其複雜的數學

專業術語，較不易被普通大眾所理解，因而資料有限（張瑜軒，2002）。 近年來，正因為鑲嵌在藝術、歷史、數學、建築上廣泛地出現，生活中處處皆可見 其蹤跡。而探究鑲嵌圖案如何形成，也能尋找數學上的樣式、對稱性和規則性。因此， 一些數學教師在幾何單元教學時，尤其是教導多邊形概念或是生活化數學，會進行鑲嵌 教學，讓學生去建立發展他們的藝術創造力並能夠加強他們數學上的空間概念。另一個 原因是藉由和藝術的結合以及創造，能增加數學課程的趣味性。Granger（2000）提及 身為一位小學教師，感受到學生對於學校的感覺是負面的，尤其是數學課，新學年開始 的熱忱往往很快地被大量憂慮所取代，因此，應該向學生展現數學之美，數學也可以是 圖2-1-12 非多邊形的鑲嵌

而鑲嵌就是結合數學與藝術的計畫。基於這些理由，鑲嵌開始出現在數學教學活動中， 鑲嵌的教學研究整理如下，如表 2-1-1。 研究者 教學對象 教學內容結果 Giganti & Cittadino (1990) 小學三年 級 讓學生使用正方形、菱形、三角形、六角形、矩形教具，闡 明鑲嵌概念，舉生活實例說明，介紹邊、反射、旋轉等數學 術語，並操作驗證五邊形、各種四邊形和正三角形是否能鑲 嵌，展示 Escher 作品，並讓學生親自利用平移、旋轉、中點 旋轉技巧創造鑲嵌圖形。鑲嵌是任務導向的數學，涵蓋許多 數學課程，能協助學生了解多邊形、多邊形的關係以及密鋪 平面的的概念和過程。 Clauss (1991) 中小學生 探索非正五邊形鑲嵌，讓學生將各種五邊形鑲嵌好，讓他們 測量角度發現規則，學生可以塗色，展示 Escher 作品，讓學 生創作設計。學生能從其中發現鑲嵌的點和角度關係，以及 覺得數學是有趣的。 Johnson & Kashef (1996) 任何年級 簡單介紹規則鑲嵌、半規則鑲嵌的意義後，利用正三角形、 正方形、正六邊形，利用平移和旋轉技巧創作鑲嵌圖形，甚 至可以同時反射和旋轉，學生可以用手或電腦繪圖，並加上 藝術性。鑲嵌可以提供有趣的課堂活動，讓學生了解對稱性 和樣式，結合數學與問題解決技巧，能整合學校課程、數學、 藝術和科學課。 Cassidy (1998) 小學六年 級 學生在美術課以正方形利用平移技巧創作鑲嵌圖形後，可利 用彩色鉛筆在圖形上塗色與作圖。要求學生模仿 Escher 做二 維到三維的轉換。學生的美術作品不只建立視覺和良好的動 作技巧，且有能力去做機智的連結，產生創造性的問題解決。 Granger (2000) 小學五年 級 介紹 Escher 作品引起動機，讓學生看到其中的樣式 （pattern），介紹利用平移、旋轉創造簡單的鑲嵌，讓孩子 動手做，並應用電腦科技設計複雜的鑲嵌，並將作品轉印在 衣服上。能提升學生興趣，正向看待數學，不再只是演算， 而是認知的一部份。學到不同角度特性、對稱性、鑲嵌條件。 （續下頁） 表 2-1-1 鑲嵌研究整理

（接上頁） Peterson (2000) 中學生 從足球場地引起動機，提供正三角形到正十二邊形，讓學生進 行規則鑲嵌、半規則鑲嵌、讓學生討論鑲嵌和內角角度的關 係，並探討有哪些種類，近一步探索多面體種類。這些活動探 討正多邊形內角的測量，連結了鑲嵌，多面體和實際的應用。 不需特別計算，結果會引領學生進行討論，可以獲得數學上的 概念。 Hale (2003) 小學四 年級和 五年級 學生以正方形利用平移技巧創作鑲嵌圖形，在不同色紙上複 製，並貼在白紙上。藉由鑲嵌他們可以探索對比、維度、錯誤 觀念、重複性、變化以及無窮性。 Furner, Goodman & Meeks (2004) 小學二 年級和 四年級 課程配合四年級程度，但方法變化以適合兩個年級，先看影片 介紹日常生活鑲嵌，讓學生探索樣式和如何生成，以影片解釋 教學，讓學生動手密鋪平面，父母協助以正方形利用移動技巧 創造鑲嵌。之後兩人一組將圖案用粉筆畫在學校人行道上。學 生能具體操作抽象概念，教師和孩童對於使用教具、合作學 習、問題解決更有自信。 以上關於鑲嵌教學研究其實並不多，而且並非完整的教學實驗，亦不嚴謹，而幾乎 只是教學活動的設計，部分研究有實際進行教學並簡單記錄下學生的反應以及老師的回 饋和感想，部分研究甚至沒有提及是否有實際進行教學。而所有研究的量化數據也未呈 現，質化的資料分析也很薄弱，甚至教學設計部分的細節沒有完整。而這些活動設計幾 乎是國小階段，認為鑲嵌不是非常需要依賴數字技巧，所有學生都有能力創造美麗的鑲 嵌藝術，所以大多以創造性的活動為主，將鑲嵌簡化用淺顯的基礎數學，落實於數學教 學實務中。然而如 Johnson and Kashef（1996）所說的鑲嵌以最簡單的樣式對於年輕的 孩童可以當一個應用的數學活動；以最複雜的樣式可以提供數學家和藝術家挑戰。所以 Peterson（2000）的研究亦顯示，鑲嵌對於中學生而言，可以引入更深入的數學概念， 如多邊形的內角和鑲嵌需要的幾何條件、探討樣式規則、規則鑲嵌和不規則鑲嵌的種 類，也能建構幾何的觀念。 正因鑲嵌活動能夠提升學生數學上的概念和啟發創造性，鑲嵌教學活動也常於國外 課堂進行。但完整的研究確實少之又少，通常只著重於最後創造性的活動，這是非常可

關於多邊形的介紹，往往如數學部編版教科書第四冊第二章第二節所述，僅簡短介紹規 則鑲嵌的部分，探討正多邊形地磚能否鋪滿地面，甚至也沒提及鑲嵌這個名詞。研究者 在教學上也發現這樣的教學內容導致學生易產生只有正多邊形才能鑲嵌，以及大多認為 要同一種正多邊形才能鑲嵌的迷思。所幸，林壽福（2006）設計了一個內容較完整的鑲 嵌圖形教案，引領學生探索磚瓦（鑲嵌）飾的奧妙。 林壽福（2006）進行兩次實驗教學，第一次在學期中教學，班級組成由各班遴選出 入學測驗英數成績優異者、入班測驗優異者或家長推薦數學能力佳者，每週僅一節課， 又因各班放學時間不一，大多數常遲到十五分鐘以上，學生心態鬆散，教師不易掌握進 度，且人數多達 48 位以致於討論不易，因此在國一上教學並未成功，也沒有學生將八 種半規則鑲嵌完整拼出。且紙板製作很花時間，容易有誤差，所以安排了第二次為期一 天半的教學。第二次以國一升國二的學生在暑假實施實驗教學，一組 12 人利用紙板為 具體教具，另一組 24 人利用電腦上 GSP 軟體的模板，進行五個活動共十一節課的教學。 第一個活動由欣賞圖片引起動機，熟習軟體後，引入規則鑲嵌進行正多邊形的鑲嵌，讓 學生能找出規律並說明鑲嵌的理由。第二個活動利用因數倍數概念，透過不定方程式求 解，並以模板驗證，找出所有半規則鑲嵌的解。第三個活動辨識與操弄半規則鑲嵌和不 完全規則鑲嵌的圖形，作出幾何上的解釋，並進行對偶圖形和頂點圖形的探索和分析。 第四個活動利用一筆畫原理解決校園步道問題，嘗試可以排出的五邊形和六邊形鑲嵌， 利用模版探索任意三角形和四角形鑲嵌的原理。第五個活動嘗試運用平移、旋轉等技 巧，創造自己的鑲嵌圖形。但實際上只實驗了前四個活動共九節課，且 GSP 組有兩位學 生第二天即請假出國旅遊。 這兩次實驗教學涵蓋國中程度的鑲嵌內容，內容相當多也很豐富，雖然已將第一次 活動的缺失修改並進行第二次活動，但仍美中不足，如林壽福（2006）提到原本有意做 教學成效分析，但這份教材份量多且深，學生需要較長時間思考蘊釀，而上課時間不足， 課程規劃也有些倉卒，又在暑假中進行，來不及收回學生作業與個別晤談，因此無法深 入分析。且第五個活動來不及完成，僅稍加介紹平移的鑲嵌作品，其餘當回家作業，課 程中設計一個機器人的畫面來進行平移教學，但裝飾過多學生無法發現是利用平移概 念。除此之外，尚有可改進之處，我們將整理如下： 1. _{樣本選擇非一般班級：課程設計針對數學程度較佳的學生，無法了解到一般程度學} 生的學習狀況。 2. 反應性問題：由於第二次實驗對象，在學期中已用紙板上過課，在暑假才又分為兩 組以不同教具上同樣單元，若以準實驗設計探討兩種教具成效時，可能會影響實驗 結果。

3. 實驗組和控制組人數不一：用 GSP 操作教學組 24 人，用紙板操作教學組 12 人，人 數差距大且未說明用什麼方法將學生分為實驗組和控制組。 4. _{選取樣本不等：未做前測，無法知道實驗組和控制組兩組學生程度是否一致。} 5. 活動中學生自由分組，每組程度可能不一。 6. 製作及熟悉教具耗時：前兩節僅進行正則鑲嵌，雖然紙板操作組，已準備部份智慧 片，但當場製作紙板教具仍然耗費時間；GSP 操作教學組，讓學生自行畫出正多邊 形因有難度也耗費時間。 7. _{實施課程時間不佳：在課後第八節或是暑假時間實施，易出現學生不積極、遲到或} 學生無法配合的問題，例如出國旅遊等。 8. 課程內容過多：教案課程設計堂數較多，時間過長不易實施，所以後面創作部份未 完成，很可惜。 9. GSP 創作教學侷限於多邊形鑲嵌：弧線部份以事先做好的動畫為主，親自動手做部 分是拉點改變基本圖形的邊，因此侷限於多邊形鑲嵌，而沒有弧線，無法像紙板組 可以讓學生畫弧線。 鑲嵌教學活動能引發學生興趣，結合日常生活經驗，探索數學的幾何奧妙，能讓學 生由操作中培養數學概念。由以上的文獻可知，鑲嵌教學可深可淺，只要課程內容設計 妥當，應可以在國中普通班進行教學，並在學期中實施，而不再只是國小學生的數學創 作遊戲或是國中資優生的專利。可以調整授課內容，事先準備好教具以縮短時間，安排 讓學生探索規則鑲嵌、半規則鑲嵌、不規則鑲嵌的種類，了解內角和及鑲嵌的條件，再 進行創造活動。另外，進行實驗研究應以嚴謹的教學實驗研究設計，兩組人數應該相近， 進行前測與後測，控制兩組的教學內容及流程一致，以檢驗使用不同教具的成效，並觀 察收集質化資料，讓結果分析更完整，以供日後從事相關內容的研究者參考。

2.2 虛擬教具和傳統教具的探討

本節將分別就「傳統教具（Physical manipulatives）的探討」、「虛擬教具（Virtual manipulatives）的探討」兩個部份來說明探討。 2.2.1 傳統教具（Physical manipulatives）的探討 傳統教具的使用在數學的敎與學上已有長遠的歷史，我們將在此節探討什麼是傳統 教具。Terry（1995）認為傳統教具是能被學生和教師操作和安排的物體，促進抽象數 學概念的理解。Perl（1990）認為傳統教具是可以被拿起、旋轉、重新排列，被收集的 真實物件。因此，我們可以定義所謂傳統教具是能被學生和教師作拿起、旋轉、重新排 列、收集等實際操弄，幫助學生理解抽象的數學概念的真實物件。王智弘（2006）更進 一步將傳統教具分類為平面教具和立體教具兩種。 國中常見的平面教具有圖卡、圖表、掛圖等，用於幾何圖形、直角座標、統計圖表 和機率的教學上，教師通常使用這些平面教具來展示圖形、佈題、標示方位、節省畫圖 的時間等，例如教師使用幾何圖形的圖卡來介紹各種四邊形的對角線性質。而常見立體 教具有各種立體模型、圓規、三角板、因式分解的拼版、骰子等，用於幾何圖形、尺規 作圖、因式分解和機率的教學上，教師通常使用這些立體教具來介紹立體圖形及展開 圖、繪製圖形、理解因式分解、實際操作等，例如教師使用圓規繪製任一三角形的全等 圖形。 Sobol（1998）相信課堂經驗應以孩童的主動經驗為基礎，從具體到抽象，從特殊 性到一般化的歷程。而教具能透過表徵樣式以簡化抽象理解幫助學生從具體過渡到符號 （Kim, 1993）。Drickey（2000）也指出教具的使用能幫助學生建構數學抽象世界的意 義及提供不同的情境以連結學生已知及未知的知識。因此，在學生學習數學的過程中教 具便扮演了重要的角色。許多研究顯示，在數學課室中使用教具學習數學的學生比未使 用教具者表現得更好（Raphael & Wahlstorm, 1989; Sowell, 1989）。

Fennema（1972）比較十六個關於傳統教具之使用效能的研究後，建議雖然教具不 是萬靈藥，但是需要包含在數學教學內，因為教具可以幫助建構有意義的數學抽象世 界、提供多種協助知識轉換的情境、增進積極性、協助教師洞察孩童的思考。Parham （1983）也對六十四個探討小學階段傳統教具使用在成就上之影響的調查研究做過分 析，發現使用教具的學生在加州成就測驗上的得分大概是第八十五個百分位數，而沒使 用教具的學生大概是第五十個百分位數。這些結果皆支持數學課堂上應使用教具，而且

教具的使用對於學生的學習成就分數有正面的影響。但部分研究者認為單純使用教具並 不ㄧ定有助於學習（Moyer, 2001）。

過去有些研究結果指出學生成就水準和老師使用教具上的經驗有關（Raphael & Wahlstrom, 1989; Sowell, 1989）。Moyer and Jones（2004）觀察師生在數學課堂上 使用教具的方式，結果也顯示教師教具使用經驗、環境安排和控制方式會影響到學生。 Mayer（2003）的研究也顯示，加了動畫或圖等多媒體教具，不ㄧ定有助於學習，應該 根據如何學習的認知理論設計，才能產生有意義的學習。因此，綜合以上所述，具有經 驗和知能的教師若能妥善使用教具去指引學生，應該有助於學生學習數學概念。但大量 使用教具於數學教學上的狀況並不如預期，其中可能的原因是教具的欠缺及使用者的專 業知能的不足（Dorward, 2002）。部份教師對於使用教具是恐懼的，因為很少使用教 具或不知如何使用，擔心讓學生自由使用教具時會遺失或損壞、課堂上秩序會變得混亂 （Moyer & Jones, 2004）。另外的原因在於老師們擔心沒有足夠的教具分配給學生， 課後清理收拾教具很費時，以及高年級或中學生會覺得傳統教具是給小孩子玩的（Moyer, Bolyard, & Spikell, 2002）。所幸，隨著科技的進步，數學教具也有了新的變革（張 漢宜，2002）。 2.2.2 虛擬教具（Virtual manipulatives）的探討 隨著近年來資訊科技的進步，電腦軟體的開發技術日新月異，網際網路的普及，電 腦的個人化，許多研究者開始將電腦科技運用於教學。Char（1989）指出不同學生需要 不同的協助，單一種類的教具無法適用於每一個小孩。且大多學者肯定教具可以操作以 及利用其他表徵來教授數學的功用，並結合目前新資訊科技的運用，於是有虛擬教具的 產生。這是一種結合具體教具和電腦技術且適合國中小學生使用於數學學習的科技輔具 （袁媛，2007）。虛擬教具是一種電腦技術產生的數位影像，看得到但無法實際觸摸， 可以幫助學生建構抽象的數學概念的學習工具，且能呈現傳統教具能呈現或不能呈現的 概念，在運用上比傳統教具更有彈性（王智弘，2006）。 是否電腦技術產生的數位影像即是虛擬教具? Spicer（2000）提出網際網路上有兩 種呈現被稱為虛擬教具，一種是具體教具的靜態視覺呈現，另一種是具體教具的動態視 覺呈現。靜態視覺呈現是將傳統圖片由電腦技術繪製出來的虛擬影像，被投射在投影布 幕或是繪製於黑板上，本質上就是圖片，雖然類似於具體教具，但學生無法以具體教具 的方式操作。而動態視覺呈現是在電腦上的視覺圖像，雖然像被投射在投影布幕或是繪