實驗組與控制組學生學習歷程分析

本研究中的控制組為使用實體教具之教學環境，實驗組為使用 AMA 簡報系統 2008 和 NLVM 的 Tessellations 虛擬教具輔助之教學環境，本研究欲透過教室內教學者行為 和學習者行為的歷程描述，以期了解並分析不同教學環境對於相同學習課程所產生的影 響。以下內容將分別針對每ㄧ節課堂及主題，分別描述控制組與實驗組內教學者和學習 者的行為，並做綜合分析。

4.2.1 第一節展示日常生活中常見的美麗鑲嵌圖形與探討規則鑲嵌的種類 1.控制組的學習歷程描述

（1）教學者行為

教師使用事先準備好的海報，介紹生活中的鑲嵌圖形，讓每ㄧ位同學皆能清楚看到 各式各樣圖形，因為大張海報張貼不易，需要數位學生協助花費一些時間。教師以生活 中常見的六角形地磚與人行道圖案引入，並依序展示由八邊形、四邊形與三角形構成的 中國圖案、四角形構成的埃及與龐貝圖案、六角形、正方形與三角形構成的拜占庭圖案，

詢問學生看到哪些正多邊形，是不是有拼在一起等。接下來教師介紹由非正多邊形構成 的阿罕布拉宮的鑲嵌圖案，引導學生思考似乎不是正多邊形的其他多邊形也可以拼在一 起。之後教師繼續展示荷蘭版畫家 Escher 的作品蜥蜴、鳥、魚與飛馬，讓學生了解非 多邊形的圖形仍然可以是鑲嵌圖案。如圖 4-2-1、圖 4-2-2。

以生活中的各式圖案引發學生學習動機後，教師更換上正多邊形每ㄧ個內角度數的 圖4-2-1 教師以海報介紹鑲嵌圖形 圖4-2-2 教師介紹 Escher 圖案

示計算結果。另外，因為正多邊形邊數愈大後會趨近圓形，所以從正二十邊形後，僅列 出正二十四、三十、三十六、四十、四十二邊形，並要求學生將度數填寫在學習單上，

以利於之後活動的進行。如圖 4-2-3、圖 4-2-4。

複習結束後，教師發放教具袋給每ㄧ位學生，教具袋內有各式教學所須用到的正多 邊形和裝有不規則圖形的信封袋，教師說明教具的使用，並要求學生以同一種正多邊形 嘗試鑲嵌，將結果填寫在鑲嵌學習單 1 的部份。可以的圖形填寫邊數並且畫出圖形於學 習單 1 的第二頁，不能鑲嵌的圖形填寫邊數並列舉部份於第三頁。確認學生了解如何操 作後讓學生實際操作，教師則開始巡視觀察學生的操作情形。在學生操作完畢後，要求 學生寫下以何種方法嘗試，並思考可以鑲嵌的理由，進行討論與分享哪些正多邊形可以 鑲嵌，完成第一堂規則鑲嵌的課程。如圖 4-2-5、圖 4-2-6。

（2）學習者行為

控制組學生在教室內上數學反應和平常差不多，當教師使用事先準備好的海報介紹 圖4-2-3 教師以黑板復習內角度數 圖4-2-4 教師以海報復習概念

圖4-2-5 教師發給每位學生教具袋 圖4-2-6 教師巡視並指導學生

生活中的鑲嵌圖形時，因為大張海報張貼不易，有數位學生上台協助張貼。雖然海報已 將圖形盡量放大，但是對於遠處的學生來說，複雜的圖形仍較不易觀察，如圖 4-2-7、

圖4-2-8。當老師詢問是否看過這些地磚時，學生們陸續回答：「有在地板、人行道看過。」

教師開始依序展示圖片並詢問有哪些形狀時，學生會依序討論圖片中包含哪些形狀。而 當介紹拜占庭圖案時，學生除了能指出每ㄧ個圖案外，也回答拼好的形狀像圓形。隨著 阿罕布拉宮的不規則鑲嵌圖案出現，學生立刻有人說：「不規則。」，並發現即使不是正 多邊形，但是每ㄧ個圖案是相同的。之後當教師展示荷蘭版畫家 Escher 的作品蜥蜴，

詢問圖形有沒有相同時，遠處少部分學生因為無法很快看仔細，ㄧ開始認為圖形應該是 不同的，所以出現了不同的回答。陸續展示了 Escher 的鳥、魚與飛馬，學生的驚訝聲 此起彼落，對於這些圖形有許多不同的看法與想像。

接下來教師利用黑板複習正多邊形的每ㄧ個內角度數的概念。此部份為複習，因此 正六邊形之後的正多邊形僅以表格顯示計算結果，學生將度數填寫在學習單上，作為之 後操作的參考以及分析哪些種類的正多邊形能夠鑲嵌。因為使用海報，所以資訊是全部 呈現的，因此教師需要逐一說明，讓學生能夠跟著教師的教學程序，而不被其他多餘資 訊干擾。複習結束後，教師發放教具袋給每ㄧ位學生，教具袋內有各式教學所需用到的 正多邊形和裝有不規則圖形的信封袋，教師說明教具的使用，並要求學生以同一種正多 邊形嘗試鑲嵌，將結果填寫在鑲嵌學習單 1 的部份。因為教具袋內的圖形種類繁多，因 此可以看見部分學生在教師示範與說明過程中，對於教具袋內各式圖形感到好奇，會分 心玩弄教具，甚至想將所有圖形分類。雖然每ㄧ種圖形已準備許多個數，但學生仍必須 在教具袋中翻找需要的圖形，因此學生仍ㄧ再發問圖形種類是否足夠，並不時和同學交

圖4-2-7 學生上課反應和平常差不多 圖4-2-8 複雜圖形遠處學生不易觀察

控制組學生在整個操作過程中，因為教具袋中圖形種類繁多，有的學生由最小的開 始ㄧ個一個嘗試，部分學生則任意從教具袋中取出哪一種正多邊形就拿來嘗試，較無次 序性，有些甚至將正六邊形無限向四方延伸並表示圖形跟蜂窩ㄧ樣，甚至未專心操弄自 己的教具，而是圍在一起無限拼湊圖形。有部分學生僅考慮邊密合，忽略了需要密貼鋪 成 360 度，圖形僅完成部份。而且大多數同學對於自己拼貼的圖形似乎沒有信心，不停 的彼此詢問哪些圖形可以，哪些圖形不行。

由於傳統教具在拿取上較不便利，而且在拼貼過程中會任意位移，學生必須ㄧ再調 整，無法很迅速看出圖形是否能鑲嵌，所以學生在操作過程中時間拉長，延誤下課十分 鐘才完成。另一方面因為桌面空間不夠，所以學生僅能保留部分拼好的圖形，無法保留 所有嘗試過的圖形，也會影響學習單的書寫，造成控制組學生較無充分時間自己思考，

所以是藉由彼此討論，逐漸溝通了何謂鑲嵌的條件，哪些正多邊形可以構成規則鑲嵌，

並了解和正多邊形每ㄧ個內角度數是有關係的。最後討論出只有正三角形、正四邊形、

正六邊形三種可以構成規則鑲嵌，因為它們的每ㄧ個內角度數是 360 度的因數，所以它 們能合成 360 度，而正七邊形以上是不可能的，拼貼會出現縫以致於無法構成 360 度。

如圖4-2-11 到圖 4-2-16。

圖4-2-11 學生由最小圖形開始嘗試 圖4-2-12 學生任意嘗試，無次序性 圖4-2-9 學生打算將所有圖形分類 圖4-2-10 不時和同學交頭接耳討論

2.實驗組的學習歷程描述 （1）教學者行為

教師使用事先以 AMA 簡報系統 2008 設計好的簡報，介紹生活中的鑲嵌圖形，利用 教學廣播系統傳送至每ㄧ位同學面前的螢幕，讓每ㄧ位同學皆可清楚看到詳細的教學步 驟與圖片，並聆聽老師的解說。教師以生活中常見的六角形地磚與人行道圖案引入，並 依序展示由八邊形、四邊形與三角形構成的中國圖案、四角形構成的埃及與龐貝圖案、

六角形、正方形與三角形構成的拜占庭圖案，詢問學生看到哪些正多邊形，是不是有拼 在一起等。接下來教師介紹由非正多邊形構成的阿罕布拉宮的鑲嵌圖案，引導學生思考 似乎不是正多邊形的其他多邊形也可以拼在一起。之後教師繼續展示荷蘭版畫家 Escher 的作品蜥蜴、鳥、魚與飛馬，讓學生了解非多邊形的圖形仍然可以是鑲嵌圖案。如圖

圖4-2-15 學生桌面空間不夠，無法 保留所有圖形

圖4-2-16 傳統教具拼貼上容易位 移，學生需ㄧ再調整

圖4-2-14 學生圍在一起拼湊圖形 圖4-2-13 部分圖形未拼貼成 360 度

以生活中的各式圖案引發學生學習動機後，教師使用 AMA 簡報系統 2008 的激發式 動態學習功能進行教學，依序利用按鈕複習正多邊形的每ㄧ個內角度數的概念。此部份 為複習，因此正六邊形之後的正多邊形僅以表格顯示計算結果。另外，因為正多邊形邊 數愈大後會趨近圓形，所以從正二十邊形後，僅列出正二十四、三十、三十六、四十、

四十二邊形，並要求學生將度數填寫在學習單上，以利於之後活動的進行。如圖 4-2-21、

圖4-2-22。

圖4-2-21 教師復習每ㄧ個內角度數 圖4-2-22 教師以按鈕依序復習概念 圖4-2-17 教師以教學廣播介紹鑲嵌圖形 圖4-2-18 教師介紹中國圖案

圖4-2-19 教師介紹埃及、龐貝圖案 圖4-2-20 教師介紹 Escher 圖案

複習結束後，教師示範虛擬教具的使用，如何以滑鼠移動、旋轉與拼接，並要求學 生以同一種正多邊形嘗試鑲嵌，將結果填寫在鑲嵌學習單 1 的部份。可以的圖形填寫邊 數並且畫出圖形於學習單 1 的第二頁，不能鑲嵌的圖形填寫邊數並列舉部份於第三頁。

確認學生了解如何操作後，將畫面切換讓學生實際操作，教師則開始巡視觀察學生的操 作情形。在學生操作完畢後，要求學生寫下以何種方法嘗試，並思考可以鑲嵌的理由，

進行討論與分享哪些正多邊形可以鑲嵌，完成第一堂規則鑲嵌的課程。如圖 4-2-23、圖 4-2-24。

（2）學習者行為

實驗組學生對於進電腦教室上數學十分興奮，當教師以廣播系統切換畫面，並請同 學關閉燈光後，學生們皆專注看畫面與聆聽老師介紹。當老師詢問是否看過這些地磚時 與是不是有拼在一起時，學生們異口同聲回答：「有。」教師開始依序展示圖片並詢問 有哪些形狀時，學生會依序討論圖片中包含哪些形狀。在介紹埃及圖案時，有學生還回

實驗組學生對於進電腦教室上數學十分興奮，當教師以廣播系統切換畫面，並請同 學關閉燈光後，學生們皆專注看畫面與聆聽老師介紹。當老師詢問是否看過這些地磚時 與是不是有拼在一起時，學生們異口同聲回答：「有。」教師開始依序展示圖片並詢問 有哪些形狀時，學生會依序討論圖片中包含哪些形狀。在介紹埃及圖案時，有學生還回