學生的思考現象

第一節從教學及一些學生的例子中發現：留時間給學生思考的教學處理是可 以幫助學生的數學學習。接下來，本節要從四個教學例題收集而來的學生思考內 容中，探討學生的思考現象，資料收集有效份數甲班 29 份，乙班 27 份，共 224 個題次；並從時間長短、題目難易及不同時間點來分析比較學生的思考現象。

講解教學例題是數學課堂經常進行的教學活動，研究者在講解數學例題時先 不自己講解，而是安排時間給學生思考，以開放、無限制的指導語讓學生進行思 考，學生思考之後再開始講解。在這個歷程中收集學生思考內容的資料進行觀察、

分析。從有寫出思考內容的資料中發現學生們有不同的思考品質、不同的關注焦 點及不同的觀察能力，因此研究者從資料中歸納出八類的思考現象，詳述如下：

一、關注到數學物件

這類是指學生呈現出的思考內容是題目中的數學物件或情境物件，而不是物件 間的關係，即指出現一個個看不出關聯的英文、數字，並未呈現這些英文或數字 間的關係；或直接將題目敘述按順序寫出。本研究所稱的「數學物件」，乃指數字 符號（如：3540、15、240）、英文符號（如：x、y）、數學詞彙（如：差、倍）及 量（如：一、每）。

出現這類思考內容的學生，通常會抓取出現於題目中的數學物件：

13。（乙 01D）

205。(乙 03D）

我剛剛想有 15 個。（甲 07D）

有的學生則是抓取情境物件（即數學物件在情境中的角色）：

曉明買點心，買 6 個紅豆，付 100 元，找 22 元。（甲 32C）

第一類的學生其思考開始關注於題目之上，先注意題目中的數字符號與英文符 號，或將題目訊息做重點整理，而這些數學物件在這類學生的思考中仍是獨立存

在的個體，尚未抽象出物件在題目中所代表的意義；四個教學例題共 224 個題次 中，有 5 個題次呈現這類思考現象。

二、思考數學物件在題目情境中的角色

這類是指學生呈現出的思考內容為數學物件相當於哪些題目情境中的物件。

到達此層次的學生，不只注意到數學物件，也開始思考數學物件在題目中扮演的 角色。因此學生的書寫內容出現數學物件，亦出現數學物件在題目中所代表的意 義，但未察覺物件間彼此的關係。

3540 工資 y 元。（乙 03A）

總共 15 個麵包。（乙 33D）

第二類的學生進一步將物件在題目中代表的意義抽象出來，賦予物件意義；

但因賦予意義的同時也會開始察覺物件關係，因此四個教學例題共 224 個題次中，

只有 2 個題次單純呈現這類思考現象，數量並不多。

三、關注到物件間的關係

這類是指學生呈現出的思考內容為觀察題目中物件間的關係。即指學生的書 寫內容開始出現數學物件間、題目中的情境物件間或兩者之間的關係，以文字敘 述來呈現，如：「一天 y 元，15 天就等於 15y 元」關注點在於一和 y 的關係。

有的學生觀察到部份的關係

3540 元=15 天。（乙 27A）

把花了錢減掉麵(包)的錢。（乙 22D）

紅：13 波：15 共花了 205 元。（甲 26D）

第三類的學生找出了物件，也瞭解物件代表的意義，開始察覺題目中的物件 關係，也有學生開始嘗試利用數學語言表達所察覺到的關係。乙 22 從例題 C「付 出－找回」的敘述中，帶進「減掉」這個數學語言來表達花了錢和麵包的錢之間 的關係；而乙 27 則利用「＝」的符號陳述 3540 元和 15 天之間的關係，然而例題

將題目情境中單位為「元」的題目情境物件列出，嘗試找出這些情境物件間的關 係。由此可知，學生會利用數學語言或數學符號表達所觀察到的關係，而其所表 達的關係，有些是題目直接陳述，有些則是學生依所理解的題意另行推論出來。

此類學生開始能觀察或推論物件關係，但尚未將關係抽象成數學式；四個教學例 題共 224 個題次中，有 10 個題次呈現這類思考現象。

四、 將物件（包含題目情境中的物件與數學物件）關係轉化為數學式：

這類學生呈現出的思考內容為將題目中觀察到的物件關係利用數學物件表達 成數學式。有些學生將部份的數學物件關係轉化為數學式，有些學生則把題目需 要的全部關係，重整轉化為數學式，為了區分兩者的不同，因此再細分成兩個子 類：

（一）將部份物件關係轉化為數學式

此子類學生將觀察到的部份物件關係轉化為數學式。

y×15。（甲 23A）

2x+3。（乙 27B）

紅豆麵包為 x 個 波蘿麵包為 15－x 個。（甲 24D）

此子類學生有些將題目直接給的關係進行轉化，有些則利用察覺到的關係將 必要的隱含條件推論出來；四個教學例題共 224 個題次中，直接將題目中的物件 關係進行轉化且轉化正確的有 10 個題次，錯誤的有 8 個題次；利用察覺到的關係 推論隱含條件且推論正確的有 5 個題次，推論錯誤的有 4 個題次。

（二）將題目所需之全部的物件關係統整轉化為數學式

此子類的學生將物件關係統整轉化為數學式的表達方式較為多樣。

有的學生將察覺到的關係，利用包含題目敘述的物件轉化為數學式。

6 個紅豆麵包＝100－22。（乙 02C）

有的學生先將題目中的物件轉化為數學物件，再利用轉化後的數學物件將物 件關係表徵成數學式。

3540－15y=240。（甲 05A）

x＋17＝2x＋3。（乙 03B）

設紅豆麵包一個 x 元 100－6x＝22。（乙 04C）

設紅豆麵包＝x 波 15－x 13x＋15（15－x）＝205。（甲 04D）

此子類學生已能察覺出題目所給的所有關係，不論是直接給出的，或是需要 推論的都能一步步抽象轉化成數學式；四個教學例題共 224 個題次中，全部轉化 且均正確的有 79 個題次，轉化中有出現錯誤的有 3 個題次。

第四類的學生腦中接收的題目訊息更多，包括：物件、物件意義、物件關係，

並能利用察覺到的關係，選擇適當的數學物件（如：＋、－、×、÷、( )、＝）進行 表徵或推論。這類學生不侷限於題目所給訊息，能融合學習經驗及已有的數學知 識，自行帶入適當的數學物件，以符合題目所需。

五、數學式的運算

這類學生呈現出的思考內容為將轉化後的數學式進行運算或進行運算後得到 結果。

例題 A 及例題 B 中有部分學生進入此層次，這部份的學生不僅達成題目任務，

更是超越題目任務進一步算出未知數。

15y+240=3540

=15y=3540-240

=15y=3300 y=3300/15 y=220。 （乙 06A）

命:大數為 2x+3 小數為 x 大－小=17 2x+3-x=17

=>x+3=17

=>x=14 。（甲 31B）

這部分學生在思考時間內經歷了關注物件、察覺關係、轉化為數學式等，並

此部分的學生來說是綽綽有餘的；二個教學例題共 112 個題次中，正確運算的有 5 個題次，錯誤運算的有 1 個題次。

例題 C、D 的思考內容中，有些學生以數值推算的方式解出未知數，有些學生 是以運算方程式解出未知數，有些學生則還是停留在方程式的運算。

100-22=78 78÷6=13。 （乙 03C）

設一個=x 元 100-6x=22 -6x=-78 6x=78 x=13 A:13 元。 （甲 10C）

設紅豆麵包 x 個 菠蘿麵包 15-x 個 13x+15(15-x)=205

13x+225-15x=205 -2x=-20 x=10

A:10 個。 （甲 30D）

設紅豆麵包=x 波蘿麵包=15-x 13x+15(15-x)=205 13x+225-15x=205。（甲 10D）

這部分學生在思考時間內同樣經歷了關注物件、察覺關係、轉化為數學式等，

並已開始進行解題，二個教學例題 112 個題次中，正確算出未知數的有 14 個題次，

已算出未知數但錯誤的有 1 個題次，尚未算出未知數的有 3 個題次。

第五類學生像是集前四類之大成，不僅接收到題目的所有訊息，且能將這些 訊息加以組織、運用，規劃並進行解題。

六、其他

這層次是指學生的思考內容未包含數學物件或物件間的關係。

我在想數學的題目。（乙 14B）

在想數數怎麼算和如何解出來。（乙 14C）

設。（甲 12D）

四個教學例題共 224 個題次中，有 11 個題次的思考內容未包含數學物件或物 件間的關係。

七、空白

本研究所指的「空白」，乃指學生未寫出任何思考內容；四個教學例題共 224 個題次中，有 53 個題次未寫出任何思考內容。

A 、將題目中的物件轉化為數學物件

這層次是指學生呈現出的思考內容為解題所需的題目情境物件以數學物件來 表示，即指數學解題中「設未知數」這一步驟。

設紅豆麵包一個 x 元。（甲 27D）

y 個紅豆 x 個波蘿。（乙 27D）

設紅豆麵包 x 個。（乙 13D）

設紅麵 x 個。（甲 34D）

此類的學生已開始進行轉化。學生可以只看題目的最後一句便進行此動作，

此動作雖然有可能被視為”機械性動作”，然而引動此動作需有一支撐思維，即「設 欲求為未知數」及「欲求為何」。在此類的學生不一定經過前五類任何一類（關注 數學物件、思考數學物件在情境中的角色、關注數學物件關係、將物件關係轉化 為數學式、數學式運算），因此 A 類是一個獨立的類別，學生能經由此類再繼續進 行更抽象化的思考活動。

學生通常在解未知數的教學例題時需要將題目中的物件轉化成數學物件，因 此例題 C、D 中經過此類思考的學生較多，二個教學例題 112 個題次中，有 54 個

下表為學生思考內容與思考類別之總整理表：

表 4-2-1：學生的思考內容之現象整理表

人 數 思考類別

甲班 乙班

A B C D A B C D

一、關注到數學物件 0 0 1 0 0 0 0 4 二、思考數學物件在題目

情境中的角色

0 0 0 1 1 0 0 0

三、關注 到數學物件間的 關係

0 2 1 2 1 1 1 2

四、將物件（包含題目情 境中的物件與數學物件）

關係轉化為數學式

14 20 1 3 10 18 2 0

五、數學式的運算 2 2 2 0 2 1 5 0 四+A 0 0 13 8 0 0 9 7 五+A 0 0 5 3 0 0 3 1 A、將題目情境物件轉化

為數學物件 1 1 0 5 0 0 1 4 六、其他 0 0 0 2 1 2 2 4

七、空白 12 4 6 5 12 5 4 5 班

級 題目

思考現象特性

一、前一~五類具有層次性

第一類關注數學物件，是留意題目中的數字符號、英文符號等數學物件；

第二類思考數學物件在題目中的角色，開始留意題目中賦予這些數學物件的 意義；第三類關注到數學物件間的關係，開始觀察或推論這些物件間的關係；

第四類轉化為數學式，運用數學知識將物件關係表達成數學式；第五類數學 式的運算，對表徵出來的式子進行運算；由此可知，這五類是一步步察覺題 目訊息，將觀察到的題目訊息或關係，運用自己的所學抽象為數學式，再進

第四類轉化為數學式，運用數學知識將物件關係表達成數學式；第五類數學 式的運算，對表徵出來的式子進行運算；由此可知，這五類是一步步察覺題 目訊息，將觀察到的題目訊息或關係，運用自己的所學抽象為數學式，再進