立意取樣之個案分析

依據立意抽樣（purposeful sampling）中的分層立意抽樣（Stratified purposeful sampling）方式選取七年級上學期三次數學段考成績平均在班上前、中、後各一位 有補習學生及一位沒補習學生，因此甲、乙兩班總共選取甲、乙、丙、丁、戊、

己六位學生，做例題 A、B、C、D 之思考現象的資料分析。

一、學生甲

（一）學生描述

甲生在班上數學成績前段，有補習；選取這位學生的主要原因是因其數學學 習態度主動，往往很積極解題且會將解題程序很詳細的寫下，能讓研究者從該生 寫下的內容中探究其心理思維，本研究因而能針對成績前段、有補習的學生，觀 察他們詳細的思考現象。

此位學生對課業十分有責任心，教師交代的作業，不論是靜態或動態均會絞 盡腦汁勉力完成，藝能科作業如美術、表演等報告均有令人驚艷的表現。課業成 績在班上數一數二，不會因成績好而起高傲之心，平時和同學相處融洽，也樂於 解答同學在課業上的疑難，是班上公認的開心果。上課態度專注而認真，會盡量 在課堂上聽懂教師的授課內容，但較不會舉一反三，是個中規中矩又深具責任感 的學生。

（二）研究結果與詮釋

卷時無法完整回想；而例題 D 可能因為題目複雜較高，且思緒由題目情境轉到抽 象計算，因而忘記最初題目。

該生的回饋問卷如下：

每次老師唸完題目後，我就可以自己列出式子了，總是可以超越同學解題的速度，只要知道怎麼

列式，就可以把未知數解出來，且非常迅速~

如果老師請同學上來寫算式，希望可以再解釋一次，讓不會的同學了解。

由上可知程度好的學生不論思考時間 10 秒或 30 秒。因此課堂中研究者可讓甲生 擔任小老師的角色，個別指導一~二位跟不上教學步調的學生，而甲生亦能藉由個 別指導中，反芻所習得的概念及能力。

二、學生乙（71023）

（一）學生描述

乙生在班上數學成績前段，沒補習。選取這位學生的主要原因是因該生之數 學學習態度十分腳踏實地，會跟著教師的教學步調進行學習，數學解題過程按部 就班一步步推陳。平日數學考卷研究者自行批閱，從計算題推導過程發現該生的 數學學習是一步一腳印的進行。平日數學課堂上，研究者在計算步驟若以跳躍方 式進行，該生會出現皺眉情形，因此該生的理解能力並不突出，但其具有實事求 是、問題不過夜的精神，常利用課餘時間和同學、父母討論不懂之處，得以保持 優異數學成績。能讓研究者從該生寫下的內容中探究其心理思維，本研究因而能 針對成績前段、沒補習的學生，觀察他們詳細的思考現象。

該位學生成績十分優異，每次段考成績均在校榜前五名，理解能力並不十分 突出，但實事求是、問題不過夜的精神，使該生得以保持優異的成績。該生做事 細心負責，心思細膩觀察入微，寫出的抒情文章屢屢獲得國文教師激賞。上課態 度認真而專注，會盡量跟著教師的教學步調進行思考、理解，不懂處會利用課後 時間想辦法獲致解答。

（二）研究結果與詮釋

觸過的題型較常運用研究者在當堂課所強調的概念去思考，思考的主體為「如何

出來

們詳細的思考現象。

到例題 B，該生明瞭從一個未知數推論另一個未知數，並能將題目物件寫成關係式 接著再轉譯成數學式；而例題 C 到例題 D 則是知道要在題目中選取某一數量來設 為未知數。另一個不好的影響是，研究者在例題講解活動時沒有善用括號，黑板 上演算的數學式都沒有括號，導致該生原本在例題 A 是有使用括號的，而後面兩 題則都沒有出現。

該生頭腦反應快，但也想較多，因此例題 B 中的大數表示成「3x＋3」而非「2x

＋3」，應是將代表小數的 x 也考慮進去了。該生孩子氣重，較愛表現，因此當研 究者表明這是個研究時，他的上課態度變得十分專注，問卷填寫紀錄也盡量貼近 研究者上課強調的重點，而該生在回饋問卷中寫下的想法：「老師上課在教我們算題 目的時候會叫我們先想一想在叫同學回答，不但培養出同學與老師的互動也可幫助那些不會的同 學。」也表達出對於此研究的支持，顯示該生可能是想表現給研究者看他在數學課 堂的努力表現。

五、學生戊

（一）學生描述

戊生在班上數學成績後段，有補習。選取這位學生的主要原因是雖然該生數 學學習態度不積極，且理解力不佳，但在平時的數學小考中，通常會寫下該生所 理解的數學內容或算式，能讓研究者從該生寫下的內容中探究其心理思維，本研 究因而能針對成績後段、有補習的學生，觀察他們詳細的思考現象。

該生沒有自信、個性較愛計較，對於同學間的玩笑常憤怒以對，同儕間的人 緣不佳，與師長亦較少互動。由於理解力不佳，學習常遇困難，再加上耐心不足、

少有同儕願意與之切磋，因此該生不好學業，成績低落，上課時常分心，對於學 習內容也常一知半解。

（二）研究結果與詮釋

例題敘述單

段、沒補習的學生，觀察他們詳細的思考現象。

前段學生大致能依據題目的要求及研究者的指導語進行思考，多半以達成題目 要求為目標；而情意問卷中亦顯示留有思考時間對前段學生而言是需要的，他們 能利用這段時間讀題、辨識題目中的物件關係，並透過抽象化與類化擴展數學概 念的範圍，以期增加成功解題經驗。但即使是前段學生，也需要類似題型的練習

（不論在補習班或在學校），以強化由該題型所發展出來的數學概念與解題能力。

2、中段學生

對中段學生而言，從填寫的內容來看有無補習差別不大，重要的是學生的學習 個性，較有自信心的學生會多做解題的嘗試，而較無自信心的學生多持保留的態 度，只寫出有把握的答案。

3、後段學生

後段學生會仿造題意或研究者講解過的算式進行思考，但需要較長的時間，此 外，在研究者例題講解的部份也需要較長的理解時間，若無法全盤理解時，會試 著以數字進行推算，將題目中的物件關係轉化為數學式。

進行教學並收集資料後，研究者整理學生的思考內容，發現除了事前取樣的 學生外，尚有一些學生有令人驚豔的表現，以下分別從例題 A、B、C、D 四題中 擷取這些學生的思考內容，並加以分析。

一、例題 A

研究者整理學生的思考內容時，發現有兩位學生在例題 A 之思考內容讓研究 者雙眼為之ㄧ亮：甲 23、乙 11。

y×15 （甲 23 A）

分析：若班上學生依數學成績分成前、中、後三部份，該生屬於班上後段的學生

（兩次數學段考成績平均為 35 分），對於從應用題中找出物件關係的能力薄弱；

例題 A 為列出一元一次方程式之教學例題中的第一題，該生在教師尚未講解前，

先觀察出 y 與 15 二個數學物件間的關係，顯示用文字符號列式的教學中，該生對

於將觀察到的數量關係轉化為數學式之印象深刻，再加上此題的文字敘述與數學 語言相當接近，因此在這段思考時間內該生可將觀察到 y 與 15 的關係轉化為 y×15。

3540-240=3300 15y=3300

15y=3300 (3300÷15=220 的直式算式)

÷15 ÷15

=1y=220 （乙 11A）

分析：若班上學生依數學成績分成前、中、後三段，該生屬於班上中間偏後段的 學生（兩次數學段考成績平均為 56.5 分），對於數學題目常無法舉一反三，計算過 程常出現粗心現象；例題 A 為列出一元一次方程式之教學例題中的第一題，該生 在教師尚未講解前，一步步將觀察到的關係轉化為數學式，還利用等量公理算出 文字符號代表的數值，顯示該生對於用文字符號列式、算式的四則運算、等量公 理解方程式等之教學有相當程度的了解，再加上此題需要計算的資料是依次列出 的，且沒有無關的資料夾雜其中，因此在這段思考時間內該生不僅達成題目任務，

還超越題目任務－算出文字符號代表的數值。

二、例題 B

例題 B 是列出一元一次方程式之教學例題的第五題，學生累積了四題列出一 元一次方程式的學習經驗，在例題 B 的思考內容中，有兩位學生的表現讓研究者 十分驚喜：甲 28、乙 26。

小數:x 大數:x×2+3 2x+3 2x+3-x=17 （甲 28B）

分析：以數學成績而言，該生屬於班上後段的學生（兩次數學段考成績平均為 34

間內該生不僅能觀察出大小兩數的兩層關係，還能依據關係表示出大數及寫出等 式。比較表 4-1-1 及表 4-1-2 可發現例題 B 難度比例題 A 高，而該生可以成功達成 題目任務，顯示用文字符號列式、算式的四則運算之教學及例題的學習經驗在她 腦中已成為可以進一步推廣運作的系統，透過思考時間將這套系統運用在例題 B 上，幫助她正確列出一元一次方程式。而該生也表達出思考時間對於她的助益：「這 樣我們可以好好想一想這題的答案是什麼，我的成績應該也可以變好一點吧。」（甲 28 饋）。

2x+3-17（乙 26B）

分析：以數學成績而言，該生屬於班上後部份的學生（兩次數學段考成績平均為 20 分），對於抓取題目中的數學物件及物件間關係的能力很薄弱。在例題 B 的思考 時間內該生能觀察到大小兩數的兩層關係，並將關係轉化為數學式，顯示經過每 一例題的思考時間及研究者的例題講解，用文字符號列式、算式的四則運算之教 學及例題的學習經驗已累積在她的腦中，雖然例題 B 的難度比例題 A 高，但透過 這段思考時間她還是能一步步將觀察到的關係轉化為數學式。

分析：以數學成績而言，該生屬於班上後部份的學生（兩次數學段考成績平均為 20 分），對於抓取題目中的數學物件及物件間關係的能力很薄弱。在例題 B 的思考 時間內該生能觀察到大小兩數的兩層關係，並將關係轉化為數學式，顯示經過每 一例題的思考時間及研究者的例題講解，用文字符號列式、算式的四則運算之教 學及例題的學習經驗已累積在她的腦中，雖然例題 B 的難度比例題 A 高，但透過 這段思考時間她還是能一步步將觀察到的關係轉化為數學式。