國中七年級學生在代數課堂中思考如何解例題的現象

全文

(1)國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：謝豐瑞. 博士. 國中七年級學生在代數課堂中思考如何解例題的現象. 研究生：魏姿玟. 中華民國九十九年七月十七日.

(2) 誌謝時光飛逝，歲月如梭，轉眼間碩士班的生活即將結束。回想在這一路的挫折與艱辛，感謝許多人的幫助，才能順利完成此論文，在此，向曾經幫助過我的人們誠摯地說聲謝謝。首先，我最要感謝指導教授謝豐瑞老師，在研究的過程中不斷悉心指導與鼓勵，並竭盡所能地提供資源，及源源不絕的關心，這份恩情令我永難忘懷。同時也要感謝三位口試委員—邱守榕老師、施皓耀老師與羅昭強老師，不厭其煩的花費時間與我討論，以不同的角度思索與分析問題，並在論文架構與撰寫方法上提供許多寶貴的意見，使得論文內容更加充實；感謝所長及系所其他的教授這幾年的教導與無私的分享，為我撰寫論文打下厚實的基礎。其次，我要感謝土城國中的陶道毓校長及中山國中的李月娥校長，感謝您們讓我有機會進入數學教育的殿堂，一窺廟堂之美。再者，我要感謝陪我走過的同門師兄姐，不斷的給予我寶貴意見，尤其是婷瑩學姐和國亨學長，您們提點的意見常使文思枯竭的我又再度靈感泉湧起來；而在撰寫論文的期間和春男、玉如的相互討論、扶持與提供學習經驗，使我在研究過程中不覺無助與孤單，這也是一直砥勵我不放棄的重要支柱。最後，我要感謝我的家人—爸爸、媽媽、先生和肚子裡即將見面的小寶貝，謝謝爸媽教育我珍惜能求知的幸福；感謝先生勝政在我就讀期間的全心體諒與全力支持，讓我能夠挺著肚子無後顧之憂致力於論文；謝謝肚子裡的小生命在我致力於論文的期間，仍非常努力的健康長大，尤其他不時的踢動，彷彿在告訴我：「媽咪，你要加油喔!｣是堅定我要努力的甜美動力；。還有大學好友怡伶，在研究過程中不時傾聽我對論文的煩憂，並與我討論內容，提供解決之道。謹將本論文獻給最摯愛的你們。魏姿玟謹誌中華民國九十九年七月.

(3) 摘. 要. 本文探究國中七年級學生在代數的數學課堂中，教師講解教學例題前先留時間讓學生思考，學生的思考現象與情意現象。本研究針對兩個教學主題：將情境轉譯成數學式及解一元一次方程式，規畫 13 個教學例題，在每一個教學例題均進行「教師講解例題前先留時間讓學生思考」的教學處理下，選定其中的題目做資料收集，並依據思考時間長短、題目難易及不同時間點進行學生思考現象的歸納與分析。本研究的主要結果如下：研究者並未要求學生解題，但學生在這段時間內的思考傾向解題，且學生的思考內容會形成具有層次性的思考類別。時間長短方面，10 秒可開始掌握題目訊息，30 秒可趨近成功解題層次；而 10 秒能讓學生確定是否能掌握題目的解題方向。題目難易方面，思考意願與思考時間能降低學生程度及題目難度的影響。不同時間點方面，留時間思考不論在起始題或中繼題對於學生的例題學習都是有幫助的。多數的學生對於講解例題前先留時間思考是持正面意見，且不論達到任何思考層次的學生皆認為留時間思考對其學習是有幫助的。.

(4) 目第一章. 錄. 緒論. 第一節研究動機 ................................................. 1 第二節研究目的與研究問題 ....................................... 3 第三節名詞解釋 ................................................. 4. 第二章. 文獻探討. 第一節建構主義 ................................................. 5 第二節主動學習 ................................................ 10 第三節解題思考 ................................................ 15 第四節數學情意 ................................................ 20. 第三章第一節第二節第三節第四節第五節第六節. 第四章第一節第二節第三節第四節第五節第六節. 研究方法與設計研究設計 ................................................ 研究場域與樣本 .......................................... 研究工具 ................................................ 研究流程 ................................................ 資料分析處理 ............................................ 研究限制 ................................................. 22 24 26 32 36 39. 研究結果與討論教學脈絡現象 ............................................ 40 學生的思考現象 .......................................... 56 時間長短、題目難易與不同時間點對思考內容的影響 .......... 66 立意取樣之個案分析 ...................................... 96 學生本身的經驗對思考內容的影響 ......................... 111 學生情意面的想法 ....................................... 114. i.

(5) 第五章. 研究結論與建議. 第一節研究結論 ............................................... 127 第二節研究建議 ............................................... 131. 參考文獻…………………………………………………………………………132. ii.

(6) 附錄附錄一：學習單……………………………………………………………………136 附錄二：資料收集題目……………………………………………………………138 附錄三：回饋問卷…………………………………………………………………139. 表目錄表 3-1-1：資料收集的樣本數……………………………………………………… 24 表 3-2-2：教學例題之數學物件分析表…………………………………………… 27 表 3-2-3：資料收集之題目的規劃詳述表………………………………………… 30 表 3-4-1：資料收集之研究設計表………………………………………………… 32 表 3-4-2：應用問題教學設計表…………………………………………………… 34 表 3-5-1：資料編碼表……………………………………………………………… 36 表 4-1-1：例題 A 之題目分析表…………………………………………………… 43 表 4-1-2：例題 B 之題目分析表…………………………………………………… 45 表 4-1-3：例題 C 之題目分析表…………………………………………………… 48 表 4-1-4：例題 D 之題目分析表…………………………………………………… 51 表 4-2-1：學生的思考內容之現象整理表………………………………………… 62 表 4-2-2：正確達成解題任務之學生人數表……………………………………… 65 表 4-3-1：時間與思考現象層次整理表…………………………………………… 66 表 4-3-2：有想且朝數學解題方向的各題總人數………………………………… 77 表 4-3-3：達到成功解題的各題總人數…………………………………………… 78 表 4-3-4：10 秒與 30 秒的思考層次整理表……………………………………… 80 表4-3-5：難題與易題的分析表…………………………………………………… 82 表4-3-6：學生程度分布情形……………………………………………………… 83 表 4-3-7：甲乙兩班在各思考層次的人數與思考層次的加權處理表…………… 89 表 4-3-8：甲乙兩班思考層次平均人數表………………………………………… 90 iii.

(7) 表 4-3-9：甲乙兩班學生不同時間點的思考現象整理…………………………… 92 表 4-3-10：甲乙兩班不同時間點之加權處理表………………………………… 93 表 4-3-11：起始題與中繼題之成對樣本 t 檢定………………………………… 94 表4-3-12：起始題與中繼題之層次分布的Chi-square檢定……………………… 94 表4-5-1：甲乙兩班學生補習人數一覽表…………………………………………111 表4-5-2：補習與思考現象類別整理表……………………………………………111 表4-5-3：補習與例題AB之思考現象整理表………………………………………113 表4-6-1：甲班之Spearman的相關分析……………………………………………126 表4-6-2：乙班的Spearman的相關分析……………………………………………126. 圖目錄圖4-3-1：起始題與中繼題之層次分布的長條圖…………………………………94. iv.

(8) 第一章. 第一章第一節. 緒論. 緒論研究動機. 一次偶然的機會，翻閱波蘭學者 Polya 所著的《How to solve it》一書，他認為學生應被要求去解決問題及觀察別人解決問題，且強調要看問題解決的過程而不是最後答案。Polya 在書中還提到 heuristic（啟發法），他提到的策略是：找出你能解決的相關問題，把問題分解成幾個較小的部份，畫圖畫表示這一個問題（Richard E. Mayer 著 ; 林清山譯，1997）。初任教職時，研究者會利用提問法進行教學，或許由於緊張，或趕課的壓力，常等不及讓學生回答便自問自答的繼續往下講，例如：「紅豆麵包一個 13 元，波蘿麵包一個 15 元。曉明買了一大袋的紅豆麵包及波蘿麵包，只知總共有 15 個麵包，花了 205 元。請問她買了幾個紅豆麵包?」研究者會提問：「看到這題你會想先做什麼？」停留約 3 秒中發現沒有學生回應，就繼續往下講；這樣的教學方式遇到很困擾的情形是：研究者很努力的將教材內容解釋的清楚明白，為什麼學生還是不懂？但發現「言者諄諄，聽者邈邈」，此研究引發了研究者研究這個議題的動機。「老師，等一下再講，我還沒想好！」這是研究者調整教法以來，課堂中常出現的一句話。有這樣需求的學生，約占班級人數的一半，其他學生則是「好整以暇」的坐在位子上轉筆或發呆，這時研究者面臨天人交戰的抉擇：要顧及等著往下講的學生？還是等待思考中的學生？研究者思索：加強學生計算能力時，會增加題目讓學生熟練；那麼，要加快學生的思考速度是否也可以透過增加思考機會來達到？國外學者的論點讓這個研究有了最初的基石：Steele & Arth (1998)認為讓學生寫下個人解題內容,可以使個人清楚地解釋其思考歷程。Shimizu & Lambdin(1997)亦認為學生寫下解題思考歷程是有益學習的,因為他們藉此可清楚地組織思路,有機會深思並評估自己的思考。適逢宋玉如（宋玉如，2008）配合謝. -1-.

(9) 第一章. 緒論. 豐瑞教授國科會計畫行的研究結果有一個現象：有八成以上的中學學生希望教師在解題前留時間給他們思考，激發了研究者的想法：「在解題前留時間給學生思考，他們到底想了什麼？」，在教學中做些小改變，會有什麼樣的不同呢？就這樣，開始了這個研究。. -2-.

(10) 第一章. 緒論. 第二節研究目的與研究問題. 研究目的：本研究的目的在於探討國中數學教師在講解例題時先留時間給學生思考該例題的教學處理下，學生於該段時間的思考內容，以及學生對於此教學處理的情意現象。研究問題：一、教師先留時間給學生思考例題再講解該例題的教學處理下，（1）學生的思考內容為何？（2）思考時間長度不同時，學生的思考內容有何差異？（3）例題的難度不同時，學生的思考內容有何差異？（4）經歷例題次數不同時，學生的思考內容有何差異？二、學生對於講解例題時先留時間給學生思考的教學處理之情意現象為何？. -3-.

(11) 第一章. 緒論. 第三節名詞解釋. 數學物件 P. W. Thompson（1985）指出：數學物件（mathematical objects）包含數字（numbers）、變數（variables）與函數（functions），而過程（processes）是由這些物件的操作（operations）所構成（compose）。學習概念時，能將物件的操作過程了然於心，且在心中形成運算思維，便能將這些操作過程物化成一種靜態的物件。根據 Thompson 的論點，像『差』這個概念就是一個數學物件。本研究中的數學物件乃指數、文字符號、單位及數學概念等等。題目物件本研究中的題目物件乃指例題情境中之物件，例如︰紅豆麵包。數學式本研究所指數學式乃指以加、減、乘、除或等號將數學物件連接起來的式子。經歷例題次數在一開始尚未教學時的例題，到單元教學最後的例題下，學生在聽講第一個例題時的經歷或數個例題時的經歷。. -4-.

(12) 第二章. 第二章. 文獻探討. 文獻探討. 一直以來，教育界相當重視數學的發展，從世界各國對其不斷改革看來，力求發展出良好的學習與教學。一直是各國教育改革主要追求的目標。Ausubel （1968）曾說，影響學習的最重要的一個因素是學生已經知道的知識，,也就是說學生既有的概念是他（她）後來學習的最重要因素。教師在教學前，應先了解學生的先備知識，再運用適當的方法引導學生學習。Dewey 也認為教學應該把學科知識和學生的經驗連結在一起。美國數學教師協會（NCTM）於 2000 年發表「學校數學原則與標準」（Principle and Standards for School Mathematics）中提到，有效的數學教學必須先了解學生已經知道什麼、需要學習什麼，而後再激發、協助學生學得更好。而日本的數學教育趨勢也逐漸走向強調個別學生的發展，學生的數學思維、數學觀點和教學發展的整合促成了日本近年來的數學教育研究。因此，現今數學教學發展趨勢已逐漸對學生個體的重視，將獲得知識的過程透明化，強調學習者不再被動的學習，而是要主動建構知識。周筱亭（1994）提出教師教學的進行必須以學生為主體，而學習的內容應嘗試與數學內部及其他學科相連結，期學生能應用和創造數學知識；現今教師的數師教學已不再是單一講述型態的使用，已逐漸趨向多樣及多變的樣貌呈現。第一節先從建構主義探討知識建構的過程；第二節再從建構主義中個體主動建構知識的精神出發，探討主動學習的特徵；第三節先以數學能力的觀點來探討思考在數學上的地位，再透過數學知識的形成與認知過程以了解解題思考的特性；第四節從情意面的角度探討學生在數學學習過程中所引發的態度、信念及情緒。. 第一節建構主義建構主義有其深厚的哲學淵源，但因為不同學者對知識本質的看法和對知識 5.

(13) 第二章. 文獻探討. 建構過程的觀點不同，因而形成不同的派別，但不同派別間的共通點在於認為必須由學習者主動建構，並且所建構的知識與學習者的先備經驗有關。楊龍立（1997）整理各派主張，有三個共同的觀點：（1）人們知識的形成是主動建構而產生、非被動接受。（2）人們的知識並非說明世界真理而是個人經驗的合理化。（3）人們的知識有其發展性、演化性，並非一成不變。然而對整個數學教育而言建構主義對知識的看法有其哲學淵源，至於學習者如何獲得知識的觀點則有心理學和社會學的背景。因此，教師在教學時所持之建構理念均受到哲學、心理學、社會學的影響，故欲了解建構主義應用於數學教學的理論基礎，必定要對這三方面的內涵予以了解。以下將分別從建構主義之哲學、心理學及社會學淵源加以探討。建構主義之哲學淵源從西方哲學思想來看，知識論的探究已成為哲學思想的研究核心（李其維， 1995），而知識論是知識理論的同義詞，關注知識的邏輯分類和正當化基礎，包含單一知者的主觀知識和約定成熟的傳統知識（游家政，1998）。Kant 的批判主義中強調認知的個體其內在心智具有主動建構知識的作用，並賦予認知者在知識論中的主體地位，因而常被認為是建構主義的起源（朱則剛，83）；Von Glaser 曾於 1990 年歸納出建構主義的原則：（1）知識不是被動承受，或由感覺或經由溝通而得到，知識認知主體主動建造起來的；（2）認知的功能是為了適應（adaptive），以生物的意義來說是適者生存；（3）認知的功能適用以組織認知主體的經驗世界（experiential world），而不在發現客觀的本體世界（林生傳，1998）。傳統的知識論哲學，有些哲學家重視被知的一端，認為外在世界就在那兒，我們因接觸這世界而認識它；另一些哲學家則重視知者的一端，強調人類的認知能力，認為是我們的認知能力建構了知識。如此不同的見解，因而出現經驗主義和理性主義的對立。經驗主義認為我們有觀念才能思考，而觀念是外來的；理性主義則認為經驗所得的只是感覺印象，而感覺印象是不穩定的、變動不居的，唯有心靈的給予才是永恆（劉秋木，1996）。皮亞傑則致力於讓傳統知識論成為嚴謹 6.

(14) 第二章. 文獻探討. 上掉下來的（客觀唯心主義），也不是人腦對現實事物機械的和照相般的反映（機械唯物主義），而是介乎於兩者之間的第三種東西－主體（認識論）和客體（被認識者）相互作用的一種結果。認識是主體與客體交互作用的一種過程，知識（智力，智慧）是這種過程的結果（引自杜聲鋒，1991）。建構主義之心理學淵源建構主義主要是探討有關個體如何獲得知識及知識如何成長的理論，因此我們從二十世紀著名的心理學家 Piaget 及 Vygotsky 的認知發展論來探索建構主義的心理學淵源。 Piaget 將知識分為物理、邏輯數學和社會傳統的知識，這三個知識中他最強調邏輯數學的知識，認為邏輯數學的知識才是成熟的知識、科學的知識（引自陳淑敏，1998）。Piaget 認為影響個體知識成長或認知發展的條件有四：1、成熟：指大腦神經系統的成熟，這是遺傳與環境互動的結果。2、經驗：個體作用於外物所獲得的經驗，包括物理的直接經驗與邏輯數學的間接經驗，這些經驗不因社會環境而有所不同。3、社會互動與傳遞：因社會與時代的不同而有所不同。4、平衡作用：將前面三個概念加以統合，這是 Piaget 理論的中心概念。成熟和社會互動與傳遞是認知發展的必要條件而非充分條件，具備這兩個條件中的任何一個，個體的認知發展仍無法完成，還是必須透過個體的同化與調適作用（平衡化）而達成（陳淑敏，1998）。簡言之，Piaget 認為思想的發生與發展透過兩個途徑：一是個體本身的同化與調適作用，二是受社會因素影響，再經過本身的同化與調適作用完成。 Vygotsky 從歷史、社會和文化的角度探究心理現象的發生與發展。他較重視高層次心理能力之發展，因為這是人類所獨具。高層次的心理能力包括主動注意（voluntary attention）及邏輯記憶（logical-memory）。要獲得高層次心理能力，語言發展佔重要角色。從 Vygotsky 的觀點：符號系統的發明，影響了人類思想發展；語言的獲得，使個體的心理發展得到更深遠的影響。人類能有異於動物的高層次心理歷程之發展，主因於抽象符號系統的發明。語言符號是使心理能力的 7.

(15) 第二章. 文獻探討. 發展從自然的歷程提升到高級心理歷程的工具。當語言成為調整行為的主要心理工具時，個體的知覺能力就會全然改變，新的記憶方法與思考歷程也隨之產生。 Vygotsky 認為符號重構人們的意識，再去影響他人的意識；語言符號也是個體參與社會活動及與他人建立關係的主要工具，個體利用語言符號與他人溝通，產生觀點上的互動辯證，這些觀點進而內化（internalization）為個體內在思想體系的一部。因此，隨著能力與社會經驗的增加，邏輯思考能力也會不斷提升。建構主義之社會學淵源過去有關建構主義應用於數學教育上的研究，大多偏重於學習者個別數學知識就夠的歷程，較少注意到學生在數學教學與學習活動中，人際互動或社會文化層面的影響（Cobb et al. 1991a）亦即缺少加入社會學領域的建構主義主張。在社會學方面，相當著名的學者 Berger 和 Luckmann（1966）所著作的「實體的社會建構」（The Social Construction of Reality），即揭示了知識社會建構的主張。另外，在科學史上有相當研究的 Kuhn（1970），也曾描述科學社群（community）透過成員對話（discourse）和辯證的歷程，產生了大家所共同接受的一個新典範（paradigm）的歷程。社會建構論者基本上在於闡釋人類如何描述或解釋他們所存在的世界歷程，並懷疑這個被視為所當然的世界（Gergen，1985）。換句話說，Piget 從生物觀點使用有機體適應環境的比喻比較強調個體在認知發展的歷程中個體主動的角色；而社會建構的觀點，則比較強調已經成形的社會文化對個體學習歷程的影響（柯登淵，1996）。然而，Cobb（1994）認為數學學習的過程中，個人建構與社會文化傳承的關係是互相依賴的。建構主義的學習觀 Bruner 指出建構主義始於 Kant 的批判主義（criticism），Kant 的批判主義強調認知個體心靈的主動建構知識作用（Jonassen，1991）。Von Glasersfeld（1985）雖認同 Kant 思想對建構主義的貢獻，但卻認為 Vico 才是第一個建構主義者，Vico 認為我們對現有事物的認識，完全基於過去所建構的知識與經驗。建構主義的哲 8.

(16) 第二章. 文獻探討. 學觀與心理學的結合始自 Mark Baldwin，再由 Piaget 發揚光大。Piaget 認為智力就是通過生命的各種適應形式在生命的總體運動與成長過程中產生發展的；其中，把環境因素整合到生物機體的結構中，叫做同化（assimilation），而隨著環境的變化生物體自身也產生了改變，叫做順化（accommodation）；當同化及順化達到平衡時，適應就達到一個穩固的系統。而生物機體結構，即指基模（scheme）就是適應過程中能重複被使用，也可以被改變及調整以使生物體適應新的環境（杜聲鋒，1991）。因此 Piaget 主張認知可視為一種適應功能，認知的作用並非一定要產生一個與真實世界完全相配的實體，而是在於增進認知主體對其自身建構之經驗的了解與處理（楊坤原，1996）。Rumelhart（1980）認為基模是所有訊息處理時的基本成分，是人們用來了解事物、獲取知識和經驗的基本結構而人再解決問題的過程中都有一套自己的思考方式，也就是心智模式，人們以人的基模和心智模式來建構自己的知識。建構主義的教學基本理念是希望教學策略能反映出「以學生的學習為中心｣、考慮「注重學生原有的想法｣、「能使新舊概念達到一概念改變｣的學習。(郭重吉，1992)在學習上，教師透過各種語言符號進行講解，但因教師和學生不具有相同的知識與經驗，對於相同的符號教師和學生的解是很難完全相同，所以當學生說他們聽懂老師的講解時，其實是學生憑個人的經驗對老師的訊號做一番合理的解釋，並非與老師的領悟完全相同（張世忠，2000）。因此建構主義的學習是主張教師應提供學生機會去發現或應用知識，並教導學生應用策略來獲得知識。而本研究中「講解例題時先留時間讓學生思考」的教學處理便是以建構主義的學習觀作為立論的基礎而設計的。. 9.

(17) 第二章. 文獻探討. 第二節主動學習二十世紀後半崛起的認知心理（cognitive psychology）學主張學習者應被視為訊息的主動處理者（active processors）；認知論者認為學習的產生乃是個體對整個情境的認識、理解、領悟的結果，因此知識乃是學習者主動的建構，而不是被動的由施教者來傳輸（Boudourides，1998；Mayer，2002；Schunk，1996）；就建構主義者的觀點，學習者在學習過程中必需能夠將所學的知識加以理解、分析、組織、並能夠有效的運用這些知識（Novak & Gowin，1984；Ausubel，1963）。建構主義的學者認為學習應當重視學習過程，而非表面上的學習成果，這也意味著應當幫助學生發展自我調整的學習策略，一切教學活動應以促進學生思考和做自我導向學習為目標。因此，研究者先從認知心理學及建構主義的觀點來探討讓學生在學習中成為主動角色的理論架構，接著從文獻資料中分析主動學習的本質，最後歸納出主動學習的特徵。一、讓學生在學習中成為主動角色的理論架構（一）以認知心理學觀點來探討人的認知結構以腦的記憶系統為主，分成感覺記憶、短期記憶和長期記憶三個部份。他們各有不同的構造和功能，而且互相聯繫。在訊息處理的歷程方面，感覺記憶的工作是接受訊息做短暫的儲存，接著將訊息送至短期記憶做統整，最後訊息被送到長期記憶儲存。換言之，記憶系統三部份的主要功能是接收、統整和儲存。而人不是被動的訊息接受者，不會將訊息照單全收，因此在訊息處理的過程中是根據舊有經驗主義來選取訊息的，並在短期記憶中執行不同的心理運作，將訊息做組織與聯結（精緻化）的工作，並以較佳的方式（編碼），整合於長期記憶中儲存，以供下一次訊息處理的依據（檢索和提取）。學習的發生不是單純的刺激和反應的結果，而是學習者主動將新接受的訊息與原先的先前知識做某種程度的聯繫，並產生意義。因此有意義學習之發生必須具備三種認知條件：接受（選擇性助益）、主動統整（組織和精緻化）和儲存（檢. 10.

(18) 第二章. 文獻探討. 索和提取）；學習中，若缺少第一個條件將學不到任何知識，若缺少第二或第三個條件學習者將只有機械性記憶，無法理解學習的內容，則學習無法產生意義。只有三個認知條件均齊備的情形下，學習者才能夠有完整的知識，了解整體的內容，並將知識運用於其他情境之中（引自蔡秀芳，1999）。 Osborne 和 Wittrock(1985)指出由學生主動做出對意義的建構，並將其與長期記憶和感官經驗互相驗證與比較。因此，學習者主動建構外來訊息之意義過程，具有舉足輕重的地位。當學生認為他們在學校的學習成敗決定於自己，而非教師、家長或其他因素，他們的學習動機和肯為學習付出心力的意願也隨之增加。（二）以建構主義的觀點來探討建構主義有三個主張：「知識論認知個體主動的建構而不是被動的接受」、「認知的功能在適應，認知是用來組織經驗的世界，而不是用來發現本體的現實」、「知識是個人和別人磋商與和解的社會建構」。Von Gllaserfeld 認為只有同時接受第一和第二個主張才能根本解釋知識與學習的本質，而第三個主張主要是強調個人建構之知識在社會文化的環境下建構的，因此所建構的知識與社會文化脫不了關係。上述兩種理論架構均顯示知識須由學習者主動建構，才能產生意義，因此學習者須在學習中扮演主動角色，方能真正理解學習內容，將知識納入長期記憶區。二、主動學習的本質主動學習源自兩種基本的假設：（1）學習是一種自然的主動性的努力（active endeavor），也就是「做中學」的意思；（2）不同的人用不同的方法學習（Mayers & Jones，1993）。 Kyriacou & Marshall（1989）將主動學習的本質分為兩種用法，一種是將主動學習視為一種學生可以自主、控制，組織、管理及領導學習活動；另一種是指學生主動致力參與學習，經由教師或觀察者的不斷洞察所特徵化的學生心理經驗本質，說明如下：（1）把主動學習視為主動學習活動 11.

(19) 第二章. 文獻探討. 主動學習活動是建立在學生參與解題或調查活動，和個別或小組工作等工作基礎上。已經被確定的主動學習活動有：探索式學習、學生中心學習、發現式學習、調查工作、解題、合作學習、經驗學習、電腦輔助學習、個別化的工作計畫等。主動學習是由三種相關因素所組成：基本元素（聽、說、讀、寫和反省）、學習策略和教學資源，其主動學習的結構如下圖：（Mayers & Jones，1993）. Elements talking and listening、writing、reading、reflection. Learning Strategies small groups、cooperative work、case studies、 simulations、discussion teaching 、problem solving、. Teaching Resources reading、homework assignments、outside speakers、 teaching technology、prepared materials、（圖 2-1，摘錄自 Mayerseducational & Jones，1993） commercial and educational television. （2）把主動學習當作學生主動智力參與的心理經驗主動心理經驗的品質大概可用「學習經驗的被動參與」來做對照，這種心理經驗的特徵經由記憶和練習來吸收新知識；所洞察出的心理經驗特徵是嘗試把新知識連結到舊知識以導致認知的再建構。學生心理經驗的元素有：關於心智努力的觀念（the notion of mental effort）、意圖學習（intention toward learning）、有意義學習（meaningful learning）及後設認知學習策略（meta-cognitive learning strategies）。三、主動學習的特徵 Kane 將主動學習（active learning）等同於參與學習（participatory learning），並歸納出幾點特徵： 12.

(20) 第二章. 文獻探討. （一）促進學習者獨立、批判性思考。（二）促進學習者對其所學能夠負起責任。（三）學習者在參與各種開放性活動時，其為學習的主角，而非以往只是接收知識的被動角色，換言之，過程（process）也是學習的重要產物（product）。（四）主動學習雖可促使學生探索、發展其知識與思考，但他不是教育者組織學生活動的唯一方法。（Bonwell & Eison，1991）而常華鋒等從課堂教學的角度出發，結合影響學生學習的因素，將主動學習歸納出五點特徵（常華峰等，2004）：（一）師生關係：從教師為中心，轉變成師生平等互動。（二）教師角色：從傳統教學中的講解者轉變為學生學習的指導者、諮詢者、促進者。（三）學生地位：從傳統教學中的接受者轉變為有機會主動參與、發現探究的主體。（四）教學媒介：部分教學媒介從教師手中轉移到學生手中，使媒介從教的媒介轉為學生學的媒介。（五）教學過程的轉變：教學過程由傳統邏輯分析、講解說明式的過程，轉變為利用教學資源，為學生建立教學情境，使學生參與操作，發現並理解知識，並通過意義建構，形成自己的知識結構從而獲得知識、掌握知識。過去傳統的學習方式，老師以講解說明的方式提供訊息，學生則以聽講或記筆記的方式接收，往往無法讓學生了解真正的知識意義所在。主動學習是強調學生以結合聽、說、讀、寫的學習活動為主，鼓勵思考與討論；在這種學習中，學生能更積極的釐清問題，建立自己的思考模式及對事情態度與價值觀（Dabbour， 1997 & Sivan etc.，2000）。而主動學習並非新觀念，主要是讓學生有更多互動的機會，而非只有被動的吸收訊息而已。營造主動學習的教學環境，必須先將學習 13.

(21) 第二章. 文獻探討. 的主體找回來，讓學生在課堂上發展學科的概念與技巧，能分析、思考與評論，並進一步運用所學（江文慈，2006）。學生在學習中扮演主動的角色，積極的思考與討論，將有助於其發展及運用學科的知識與概念。本研究在自然場域的教學中加入「留有思考時間」的教學處理，且不限制其思考方向，便是希望學生在課堂中有練習思考的機會，研究者並從中以問卷法進行資料收集後，歸納並分析學生的思考現象。. 14.

(22) 第二章. 文獻探討. 第三節解題思考上一小節我們瞭解了主動學習能讓學生以適合自己的方式獲得更多的學習；這一小節我們先從數學能力的觀點來探討思考在數學上的地位，再透過數學知識的形成與認知過程以了解解題思考的特性。數學能力丹麥數學家 Mogens Niss（2003）認為精熟數學就是擁有數學能力，而數學能力是指能瞭解、判斷、實做，及能在各種不同數學情境與脈絡的內外使用數學。由 Niss 主持的一項研究計畫「能力與數學學習」，目的是為丹麥數學教育改革創造一個平台，研究結果將數學能力結構分成兩群：解題及工具，摘錄如下（Mogens 2003，謝豐瑞摘譯）一、ability to ask answer questions in and with mathematics （一）數學思維 1、能提問有數學意義的問題，並能辨識何種答案為數學答案。 2、對於給定的概念，能清楚掌握其適用範疇。 3、透過抽象化與類化擴展數學概念的範圍。 4、辨識各類數學敘述（條件、定義、定理、假設、臆測、數量值的敘述、案例）。（二）擬題與解題 1、確認、提出及詳細說明不同類型的數學問題（純數的或應數的；開放的或封閉的）。 2、能解自己或別人提問的不同類型數學問題。 3、如果合適，能以不同方法解題。（三）分析與發展數學模式 1、分析既存模式的基礎與屬性 2、轉化與解讀既存模式在現實世界中的意義，並評估該模式適用的範疇。 3、在給定情境中，發展適當的數學模式，並解決情境中的問題。. 15.

(23) 第二章. 文獻探討. （四）數學推理 1、能理解別人論證的條理，並能評估該論證是否有效。 2、知道什麼是數學證明，並能區分數學證明與直觀的不同。 3、能從論證的條理中找到基本的想法。 4、能將直觀論證轉化成有效的証明。. 二、ability to deal with and manage mathematical language and tools （一）數學表徵 1、能解讀、詮釋及辨識數學物件、現象、情境的各類表徵。 2、了解相同數學物件不同表徵間的關係，並掌握不同表徵的優勢與限制。 3、可以在表徵之間進行選擇與轉化。（二）符號化與形式化 1、解讀與詮釋符號的形式數學語言，並了解他們與日常語言的關係。 2、了解數學語言的語意及語法。 3、日常語言與數學正式/符號語言間的關係。 4、處理和操弄包含符號與公式的敘述與表示式。（二）數學溝通 1、了解別人以書寫、視覺及口語所傳達的數學資訊。 2、能使用精確的數學語言表達自己的意思（口語、視覺或書寫的）。（三）工具的使用 1、知道已存的數學活動工具或輔具的性質，並清楚其功能與限制。 2、能反思的使用這些工具或輔具。. 而蘇聯克魯切茨基則依據數學思維的基本特徵而確定的數學能力組成成分如下：一、使數學材料形式化 16.

(24) 第二章. 文獻探討. （一）從內容中抽出形式。（二）運用形式結構（即關係和聯繫的結構）進行運算。二、概括數學材料的能力（一）能從不同的材料中抽出最重要的東西。（二）從外表不同的材料中看出共同點的能力。三、運用數字和其他符號進行運算的能力四、連續而有節奏的邏輯推理能力五、縮短推理過程的能力（一）用縮短了的結構進行推理的能力六、逆轉心理過程的能力七、思維的靈活性（從一種心理運算轉向另一種心理運算的能力）（一）從平凡而陳腐的影響束縛下解脫出來的能力。八、數學記憶（一）對概括內容、形式化結構和邏輯模式的記憶九、空間概念的能力. Niss 從學生的數學學習歸納出數學能力的結構，而克魯切茨基則透過解題以顯現數學活動時所特有的心理活動特點，歸納出數學能力的組成成分。接下來從數學知識的形成來探討思考活動在數學解題與數學學習中的角色。. 思考的特性 Thompson（1985）提出一個理論模式，認為數學知識是以過程和對象為特徵。此理論建立在 Piaget 的反思抽象概念上，並做了推廣（引自 Deryfus，1990）。 Sfard（1991，1994）也提出類似的理論，認為數學概念具有對偶性。Gary 和 Tall （1994）稱他為過程-對象對偶體（procept），這是經由過程（process）和作為對象的概念（concept）這兩個詞進行整合而得出的新詞。這種數學思考中過程-對 17.

(25) 第二章. 文獻探討. 象對偶的特性，意指在數學中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，然而它們最終又轉化成一種對象；這些對象被關係連繫著，它們是對象結構的部份。我們不僅可以研究這些對象的性質，也可對此施行某些新的數學運作。因此過程可說是由對象運作組成，他們使對象發生改變，在這些變換下，結構也可能發生變化。例如函數的概念在學校數學中最初是作為一種對應法則得到引進的，它是聯繫定義域中之元素和值域中之元素的一個過程；然而隨著學習深入，函數不再僅僅被看成一個過程，也被認為是一個特定的數學對象，所以我們可具體指出函數所具有的各種性質（如單調性、奇偶性、週期性等），也可以函數為對象去實施各種新的數學運作（如微分運算、積分運算等），進而出現新的性質（如可微性、可積性）、新的結構（如 Banach 空間、Hilbert 空間）（林冠群、葉明達， 2002）。「過程」與「對象」之間的轉化不應被看成一種單向的運動，這兩者構成了同一數學概念心理的不同側面，而這正是數學思考的一個重要特點。即我們應依據不同的情景在這兩者間做出必要的轉換。例如在求解代數方程時，必須將相應的表達式看成單一對象，而非一個具體計算過程；一旦求得方程的解，作為一種檢驗，又必須將其代入於原來的表達式中實行具體的運算，此時所採取的是「過程」的觀點（鄭毓信，1999）。要尋求過程與對象之間關係的意義，是需要充分的工作記憶空間，一些捷徑或機械記憶可降低認知負荷，有助意義的尋求。而熟練、正確、穩固的運算基礎應該是過程與對象之間轉化的一個必要條件。對偶體的特性與數學學習 Dreyfus（1990）認為數學知識複雜的原因之ㄧ是大多數數學概念會根據問題情境及學習者對概念的理解起著過程或對象的作用。學習一個概念可以分成許多階段，開始時進行具體條件下的過程運算，學習者熟悉了所給的過程後，這過程就變成可在腦中進行的一系列運算形式，此時學習者已達到這個概念的思維運算。再進一步，該過程的思維意象結晶成一個新的對象。一旦達到這階段，學生可把這個概念看成動態的過程或靜態的對象。這能使學生考多種可能性：實施或 18.

(26) 第二章. 文獻探討. 不實施某種運算會產生什麼情況？由此，學習數學的最基本手段之ㄧ就是對象化：從過程中抽象出對象。課程的主要目的是發展運算思維，思考與施加在對象上的運算有關的過程。 Wong（1994）以理論分析說明了數學規則和運算規則之教學不能沒有涉及概念理解。他指出不少數學教師認為學生必先有穩固的運算或處理數式的基礎，才能進而掌握有關之數學概念及關係，因此他們傾向教授運算規則而不涉及概念理解。這種「規則先於理解」的信念，在小學或成績低下的班級中尤其明顯。但抽離意義的教學方式，長期來說只會帶來更多的學習問題和困難。Wong（1994）從心理學角度考察進行或重複運算程序時的認知過程，及信息加工時記憶容量的限制等，認為符號及相關程序的意義可以引導程序的進行或讓處理程序流暢。另一方面，他又從哲學角度藉著「物體-符號-概念」的數學認知三角關係，來說明數學知識的獨特性及其與意義溝通的關係。由此可知，僅從算法規則或符號操作出發的數學課程，會將學習者的經驗完全限制在「符號」面向，而使學習者將努力嘗試掌握當成約定的程序，而不依靠它們的意義。因此 Wong（1994）認為只有當概念面向分別與「物體」和「符號」面向建立適合的關係，從而在張力中保持必要的區別時，數學的概念性知識可以完全發展起來。可見機械式練習是不能保證能進行過程-對象對偶的思考，傳統教學方式的弊端就是它剝奪了學生的反思機會，使得靠著重複操練凝固下來的對象與對象之間無法形成有意義的關係，這些對象極易遺忘；而轉化的過程也非有意義（機械式練習），使得過程只能在有練習過的條件下運作，一旦問題超出常軌，過程便無法運作，也無法進行轉化。因此將捷徑意義化，讓已凝固的過程成為對偶體，是需要學生自覺得反思，我們在教學情境中要給學生機會。由上可知，思考在數學學習的過程中占有舉足輕重的地位，本研究在代數課堂中留時間讓學生思考教學例題，將參考文獻中思考的特性及數學能力的成分，對學生的思考內容進行解讀與詮釋。. 19.

(27) 第二章. 文獻探討. 第四節數學情意學生在數學學習過程所獲得的學習成就，會影響其往後學習數學課程的情意現象。一般而言，能夠學好各種數學知識的學生，通常願意繼續學習新知，也樂於解決數學問題的工作，若學生對於基礎的數學知識無法有效學習掌握時，這些學生便容易對自我、對學習數學與解決數學問題失去信心與學習動機，也影響其學習數學的態度與興趣，而學生所反映出來的種種情意現象，也會影響其學習數學的自我觀感與學習意願，近而影響了其在學習過程中的學習行為與最終獲得的學習成就，這點從許多研究中可窺知。 Silver（1979,1982）、Schoenfeld（1980）、Norman（1981）在有關數學解題的研究中，不論是考慮到後設認知（metacognition）或超越純認知（going beyond the purly cognitive）的解題因子，都發現情意有其重要的影響地位，例如學生的信念系統、情緒或態度都不可忽視的影響著解題的進行（Mcleod，1985）。Boekaerts （1996）認為學生對自己的信念包括自我概念（self - concept）、自我效能（self efficiacy）、成功或失敗的因果歸因（causal attributions）。就學習的社會脈絡（social context）與信念而言，Mcleod（1992）指出特定教室環境中的社會常模（social norms）會鼓勵學生熱情參與數學解題，且解題會影響學生解題的信念，正面的成果會增加學生的自信。認知與情意是相互關聯不可分割的，但在數學學習中，Mcleod（1989）指出這兩者所呈現的影響力並不是都相等。若將焦點從認知轉向數學教育中的情意研究，Mcleod（1989）認為情意研究至今仍缺乏一個較強的理論基礎，並需要更多元的研究方法，他整理出以下四家的研究方向：（1）Mandler（1984）以建構觀點將情意研究帶入認知心理學及認知科學的主流；（2）Meichenbaum（1977）提出配合認知心理學之主導範例的理論架構；（3）Skemp（1979）將情意納入他的學習理論發展中，和數學教育心理學較相關；（4）Weiner（1986）將其理論建立在社會心理學的研究基礎上，這也成為許多成功研究的理論依據。. 20.

(28) 第二章. 文獻探討. 總而言之，不論用什麼研究方法或觀點分析情意，對促進學習的目的都是有價值的，Mcleod（1992）建議，數學除了教導高階思考技巧與非常規的解題之外，更應該注意教學的情意互動，同時注意情意在數學家生活所扮演的角色，例如美學的考量對數學家的研究有著重要的影響；另外，尚須強化並擴展情意影響和性別關係的研究。Snow（1996）等人則強調，學校教育中教師不僅須了解不同學生的學習情緒，更應進一步探索每位學生在不同課程、不同教師、不同學習任務的正向與負向情緒上。如此而言，學生的種種情意現象之於學習歷程與結果的重要性不容小覷。唐書志（1999）在其研究中發現，學生對於數學的主要印象不在於學科學習與學科知識上，反而出現許多負面心理情緒、以及從小數學學習歷程與數學學習環境當中種種不好回憶。本研究希望在教學過程中引發學生的正面情意，提升學生數學學習的信念、態度或情緒，上述探討亦作為研究者觀察、分析時的參考依據。. 21.

(29) 第三章. 第三章. 研究方法. 第一節. 研究設計. 研究方法. 本研究的主要目的在於探測國中學生在上數學課時教師講解完教學主題後，說明並講解例題時先留時間給學生思考，這段時間內學生的思考內容。本研究選取的教學主題為：1、將情境轉譯成數學式；2、解一元一次方程式。在這兩個主題中，第一個主題又含有二個子主題，其一為於已给定文字符號在情境中所代表的數量下，將情境轉譯成含該文字符號的數學式，本研究簡稱此主題為「列數學式」；其二為，在情境中選出某數量以文字符號表示之，本研究簡稱此主題為「設未知數」。此二主題並非相互獨立，能力較強的學生會先設想該如何列成數學式，再決定如何設未知數，而能力較弱的學生則先隨選情境中某個數量關係設為未知數，再試著列出數學式；因此選擇哪個數量關係設為文字符號時會牽涉到能力問題。而在進行這二個教學主題前，學生已發展完成解一元一次方程式的能力，要開始發展設未知數及轉譯成數學式的能力。本研究選擇北縣一所國民中學七年級兩個研究者之任課班級的學生將近 60 人，在七年級上學期數學課程進行至「解一元一次方程式」這一章時，於解一元一次方程式的能力發展完成後，開始進行本研究。本研究在自然的教學場域中進行，研究者以粉筆在黑板講解教學主題，接著安排教學例題的示範演練。在研究者進行例題的示範演練之前讓學生就教學例題先思考一下，接著請學生填寫問卷以收集當下的思考內容，填寫完問卷後研究者便進行該例題的講解，如此便完成一個例題的資料收集與示範演練。本研究中教學例題安排了 13 題，依據研究目的選擇其中 4 題進行資料收集。此研究的設計方式是在例題講解時先讓學生思考一下，在這樣的設計下教師必須作時間的配合及學步調掌控，若在正式教學時這樣的教學處理不需花太多時. 22.

(30) 第三章. 研究方法. 間，但研究者需收集資料，需要學生填寫問卷，這樣的情形下會需要花一些時間，擔心其他教師不一定能配合問卷的填寫時間，需要選取自己的班級做研究，因此本研究樣本的選取方式為便利性抽樣（Convenience sampling）。在質性研究中，詮釋性研究法（Interpretative study）提供了一個有效的工具，使研究者可以針對關心的特定主題做深入了解。李玉貞認為：詮釋性研究法的基礎就是特定、詳實和描述性的觀察，再將觀察結果意義化，雖然研究的樣本數量很少，但對教師本身而言，所關心的正是數量不多、自己所教的學生，以及自己的教材教法、思想、信念、價值觀和所活動的數學教室中種種的互動情形，這些對象都存在著個別性，所以詮釋性研究可以讓我們了解教師如何將數學教室建構成為具有社會性和文化性的學習環境，在這些學習環境中教師的教學本質以及經由教師和學生們之間的互動，如何將每個過程中重要的因素意義化。而詮釋性研究的一項優點是能捕捉教育的人性面，要能了解人性必須要建立良好的關係，研究者並不只是在收集資料，還要能親身參與保持良好的關係以利研究進行，因此本研究採用「研究者即教學者」之研究方法，將學生當成研究的夥伴，讓學生在沒有心理負擔的情形下，表現出真實的一面，所以研究者和學生的關係好比合作研究，研究的最後結果是為了發展更好的教學品質，有助於學生的學習。預計收集學生對於4個教學例題的思考內容及全部教學例題進行結束後的回饋問卷，以進行最後的資料分析。. 23.

(31) 第三章. 研究方法. 第二節研究場域與研究樣本質性研究著重對情境（situation）與脈絡（context）的掌握與理解。因此本節主要描述此研究發生場所的概況與研究對象的背景，以對研究的環境與背景有所了解。一、研究場域研究者是一位在職國中數學教師，在國中任教滿 11 年。任教學校是一所位於台北縣南區的國民中學，全校有 47 個班，學生約有 1600 多人，學生入學時以常態編班的方式編入各班就讀，教職員約有 110 人，屬於中型學校。本校數學教師有 13 人，平均年齡約 41 歲，教學上多以課本為主的傳統講述法，並輔以坊間講義、測驗卷、自編教材來加強學生的學科知識。在數學領域的專業對話時間裡，討論議題多為行政事務，較少有學科教學上的交流。本校鄰近工業區及荒廢礦區，新住民及原住民學生的比例較同區學校略高一些，全校學生中約有五分之ㄧ是單親或隔代教養，學生的學習穩定度較低。本校在「七年級數學能力檢測」中的成績表現低於全北縣的平均成績，在同區學校（歷年來本區平均成績表現均為北縣前三名）中的表現相對較差。二、研究樣本本研究選取台北縣某國中七年級兩個班的學生作為研究樣本，七年級有 15 個班，兩班的段考數學成績排名均在全年級前二分之ㄧ。因研究中部分學生病假或忙於學校事務，不克參與，實際研究樣本如下表：表 3-1-1：資料收集的樣本數題班. 目. A. B. C. D. 甲. 29. 29. 29. 29. 乙. 27. 27. 27. 27. 級. 甲班學生上課氣氛較為熱絡，願意配合教學活動，在美術、表演、寫作等方面. 24.

(32) 第三章. 研究方法. 均各有人才，這些人才創意點子豐富，常讓藝能科任課教師為之驚豔。而班上學生的家庭背景為單親或父母再婚的比例高達三分之ㄧ，因此學生的學習穩定度不佳，學科表現差強人意。平日學生之間的相處尚稱融洽，雖有爭吵、衝突，在導師開導及班級幹部的努力下亦能大事化小、小事化無。平日上數學課的氣氛活絡但不失規矩，對於研究者的口頭提問幾乎有問必答，雖然不一定都是正確的。乙班學生上課氣氛較為沉靜，除非任課教師刻意和學生聊天，氣氛才略顯活絡。班上有數位田徑、籃球的人才，在運動場上表現亮眼。班上大多數學生頗有自己想法，在課堂上不會輕易表達，可從下課時三三兩兩群聚成小團體及進行班級活動時常無法形成班級共識而得知。因此上數學課時常需多花心力及時間引導學生回答研究者的口頭提問，此班學生資質較佳，引導後多有令人驚豔或不同形式的答案出現，甚至有些學生的提問會成為研究者下一步教學活動的敲門磚。學科表現在同年級中均屬亮眼。. 25.

(33) 第三章. 研究方法. 第三節研究工具. 一、一元一次方程式的教材地位分析代數的課程安排是數學能力指標之四大主題（數與量、代數、幾何、統計與機率）之一，謝豐瑞、羅昭強、施皓耀（2003）在九年一貫數學能力指標中認為代數的學習可分為幾個層次：第一個層次是認識與察覺生活周遭中之數量關係、樣式或情境，第二個層次是學習表徵這些數量關係、樣式或情境；第三層次是能將表徵的方式加以類化及系統化，以展現出這些數量關係、樣式或情境的數學結構。其中文字符號是學習代數的一個難關。綱要中已注意到從算術到代數的銜接過程。為了處理銜接問題，代數在第三階段的部分指標在國小、國中階段重複被使用。國中部份的銜接點正好落在一元一次方程式。因此本研究設計以一元一次方程式之教材內容為主軸，在應用問題的教學中搭配「解題前留時間給學生思考」的方式，進行資料收集。. 二、教學例題的教材分析本研究是在自然的教學場域中進行，研究中所使用的教學例題為研究者參考教材內容及學生程度所設計安排。每個教學例題所包含之數學物件整理如下表：. 26.

(34) 第三章. 研究方法. 表 3-2-2：教學例題之數學物件分析表題目. 題目. 是否收. 順序. 集資料阿土為了買一套定價 3540 元的遊戲光碟，決定打工賺錢。若每天工資 y 元，打工 15 天還差 240 元，則依題意可列出一元一次方程式為何? 數學物件. 是. 1 數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 單位量. 3540、15、240、. y、. 差、一元一次方程式. ㄧ（一套、每天）. 早餐店裡，一個飯糰比一個饅頭的兩倍少 5 元，若一個饅頭 y 元，飯糰和饅頭各買一個共需 40 元，則依題意可列出的一元一次方程式為何？數學物件. 2 數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 單位量. 2、5、40、. y. 倍、一元一次方程式. 一（一個）. 阿媽的店一杯奶茶比一杯汽水多 5 元，若ㄧ杯汽水 x 元，奶茶與汽水各買一杯共需 35 元，則依題意可列出的一元一次方程式為何？數學物件. 3 數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 單位量. 5、35、. x. 一元一次方程式. 一（一杯）. 奶茶比紅茶貴，一杯奶茶和一杯紅茶差 5 元，奶茶一杯的價錢是紅茶一杯的 2 倍少 1 元，若紅茶一杯 x 元，則依題意可列出的一元一次方程式為何？ 4 數學物件數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 27. 單位量.

(35) 第三章. 5、2、1. 差、倍、一元一次方程式. x. 研究方法. 一（一杯）. 已知大小兩數的差為 17，且大數比小數的 2 倍多 3，若小數為 x ，則依題意可列出一元一次方程式為何？是. 數學物件. 5 數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 17、2、3. x. 差、倍、一元一次方程式. 單位量. 阿弟的店一杯奶茶比一杯汽水的 2 倍多 3 元，若ㄧ杯汽水 a 元，小美買了 2 杯奶茶及 5 杯汽水，共花了 168 元，則依題意可列出的一元一次方程式為何？ 6 數學物件數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 單位量. 2、3、5、168. a. 倍、一元一次方程式. 一（一杯）. 1 個肉鬆麵包比 1 個紅豆麵包貴 3 元，買 4 個肉鬆麵包與 5 個紅豆麵包，共花了 129 元；若ㄧ個肉鬆麵包 y 元，則依題意可列出的一元一次方程式為何？ 7 數學物件數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 單位量. 3、4、5、129. y. 一元一次方程式. 一（一個）. 曉明到好好吃麵包店買大家的點心，她買了 6 個紅豆麵包，付了 100 元，店員找給她 22 元。請問紅豆麵包一個多少元？. 數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 單位量一（一個）. 6、100、22. 9. 是. 數學物件. 8. 守守買了 4 杯可樂，付 1000 元後，找回 924 元，請問可樂一杯多少元？. 28.

(36) 第三章. 研究方法. 數學物件數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 單位量一（一杯）. 4、1000、924. 紅豆麵包一個 13 元，波蘿麵包一個 15 元。曉明買了一大袋的紅豆麵包及波蘿麵包，只知總共有 15 個麵包，花了 205 元。請問她買了幾個紅豆麵包？是. 10 數學物件數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 單位量一（一個）. 13、15、205. 安安與家人到游泳池游泳，買了 5 張票，共付了 350 元。若全票每張 100 元，學生票每張 50 元，請問安安家買了幾張學生票？數學物件. 11 數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 單位量一（每張）. 5、350、100、50. 紅豆麵包一個 13 元，曉明某天匆忙地抓了一把零錢到麵包店採買，她數數手中的零錢，心裡盤算著：「如果買紅豆麵包，剛好夠買 10 個；如果買波蘿麵包，只能買 8 個，還剩下 10 元」，請問波蘿麵包一個多少元？數學物件. 12 數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 13、10（個、元）、. 單位量一（一個）. 8. 好好吃麵包店推出一款限量麵包，曉明盤算一下口袋的錢，發現買 9 個會 13. 多 10 元，買 10 個會不夠 8 元。請問限量麵包一個多少元？數學物件. 29.

(37) 第三章. 數字. 英文字母. 包含數學概念的文字敘述. 9、10（元、個）、8. 研究方法. 單位量一（一個）. 三、問卷題目說明（一）探測學生思考內容為何之問卷此次應用問題教學分為兩個階段教學，第一階段教學僅列出一元一次方程式，第二階段教學列出一元一次方程式並解出所求。規劃 2~3 堂課進行，在實際教學中搭配「講解例題時先留時間給學生思考」的教學處理，每一題給予 10 秒或 30 秒的思考時間，以及 30 秒的問卷填寫時間。下表為以問卷進行資料收集的題目及詳細規劃。表 3-2-3：資料收集之題目的規劃詳述表思考時間題目題目&目的. 甲. 乙. 班. 班. 編碼阿土為了買一套定價 3540 元的遊戲光碟，決定打工賺錢。若每天工資 y 元，打工 15 天還差 240 元，則依題意可列出一元一次方程式為何? 這是應用問題中的第一個教學例題，屬於第一階段教學，即七個 A. 30. 10. 10. 30. 列式例題教學中的第一個。難易度屬簡單。題目中數學物件的排列方式可使學生隨著閱讀題目依序串起。，這些物件的關係可隨著閱讀題目依序串起。資料收集的目的是想探測學生在未接受應用問題教學前，解題前的思考內容是什麼。已知大小兩數的差為 17，且大數比小數的 2 倍多 3，若小數為 x， B 則依題意可列出一元一次方程式為何？. 30.

(38) 第三章. 研究方法. 這是應用問題中的第五個教學例題，屬於第一階段教學，即七個列式例題教學中的第五個。難易度屬困難。經過教師教學，學生對於利用物件關係列出一元一次方程式有一定程度的熟練此題資料收集的目的是想探測學生在列出一元一次方程式有一定程度的熟練後，解題前的思考內容是什麼。曉明到好好吃麵包店買大家的點心，她買了 6 個紅豆麵包，付了 100 元，店員找給她 22 元。請問紅豆麵包一個多少元？這是應用問題中的第八個教學例題，屬於第二階段教學，即六個 C. 解出未知數例題教學中的第一個。難易度屬簡單。題中含有一個. 10. 30. 30. 10. 未知數但未設好。在進行應用問題教學前曾提過應用問題的解題步驟。資料收集的目的是想探測學生在未接受解出所求的教學前，解題前的思考內容是什麼紅豆麵包一個 13 元，波蘿麵包一個 15 元。曉明買了一大袋的紅豆麵包及波蘿麵包，只知總共有 15 個麵包，花了 205 元。請問她買了幾個紅豆麵包？這是應用問題中的第十個教學例題，屬於第二階段教學，即六個 D 列式解出未知數教學中的第三個。難易度屬困難。此題隱含兩個未知數，即紅豆麵包個數與波蘿麵包個數。資料收集目的是想探測學生在接受解出所求的教學後，第一次面對隱含兩個未知數的題目，解題前的思考內容是什麼。. （二）回饋問卷資料收集結束後的一週，請學生填寫回饋問卷，主要探討學生對於「講解例題時先留時間思考」的想法（詳見附錄一）. 31.

(39) 第三章. 研究方法. 第四節研究流程一、資料收集之規劃（一）問卷的編製在問卷編製的過程中，本研究為了確立問卷的恰當性及教學與收集資料過程的可行性，研究者以研究樣本以外的班級進行預試。其間曾發現當思考時間為 40 秒時，時間未結束就有學生出現轉筆及左顧右盼的現象，並發現問卷需修改之處；因此，修改問卷後，對另一個不是研究樣本的班級進行前置研究，思考時間 30 秒，依據學生的答題時之反應，與專家及焦點團體討論後，將本研究的思考時間定為 10 秒及 30 秒，並修改問卷中部分敘述，完成問卷的編製。（二）題目與時間的安排為探測學生的思考內容是否受到思考時間、解題技能成熟度、例題難度等的影響，因此在進行資料收集時，分成兩班，教材版本是康軒版國中數學第一冊，教學內容為一元一次方程式之應用問題，以表 3-4-1 之研究設計方式進行問卷施測。問卷填寫時間控制在 30 秒。（三）難易度的判準研究者根據台北縣數學輔導團及北縣某公立國中四位資深數學教師的意見，認為題目的難易度有以下幾個判別準則：生活化用語、題目所含未知數的個數、解題所需的運算等，第一個準則和難度成反比，其他兩個均和難度成正比。綜合資深教師的看法，本研究所使用的四個題目中，題目 A 及題目 C 在例題難易程度上屬於簡易題（研究中簡稱易題），題目 B 及題目 D 在例題難易程度上屬於困難（研究中簡稱難題）。表 3-4-1：資料收集之研究設計表題目甲. 題目 A. 時間長度例題難易時間點 30 秒. 易. 教學例題第一題（應用問題之列出方程式的. 32.

(40) 第三章. 班. 研究方法. 第一題）教學例題第五題（應用問題之列出方程式的題目 B. 10 秒. 難第五題）教學例題第八題（應用問題之解出未知數的. 題目 C. 10 秒. 易第一題）教學例題第十題（應用問題之解出未知數的. 題目 D. 30 秒. 難第三題）教學例題第一題（應用問題之列出方程式的. 題目 A. 10 秒. 易第一題）教學例題第五題（應用問題之列出方程式的. 題目 B. 30 秒. 難. 乙. 第五題）. 班. 教學例題第八題（應用問題之解出未知數的題目 C. 30 秒. 易第一題）教學例題第十題（應用問題之解出未知數的. 題目 D. 10 秒. 難第三題）. 為了詳細而深入的探尋學生在想些什麼，並貼近學生的真實反應，本研究在自然的教學場域中進行，實際進入教師講解一元一次方程式概念的課堂中，在講解完概念而進行例題之教學的歷程中，使用問卷調查法方式收集資料。本研究為描述性研究，在歸納分析時，無先決的假設條件，任何發現皆來自於學生的想法與回饋，奠基於資料之上，期能獲得所研究現象的本質。二、進行資料收集（一）一元一次方程式課程規劃本研究選取的教學主題為：1、將情境轉譯成數學式；2、解一元一次方程式。在這兩個主題中，第一個主題又含有二個子主題，其一為「列數學式」；其二為「設. 33.

(41) 第三章. 研究方法. 未知數」。在學生進行「講解例題時先留時間思考」前，已讓學生經歷了與一元一次方程式相關的教學活動，學生曾經歷過的教學活動簡述如下：表 3-4-2：應用問題教學設計表例題與教學活動 1、說明「一元一次方程式」的意義：什麼是元？什麼是次？什麼是方程式？ 2、教師任意寫出數個數學式，請學生判斷哪些是一元一方程式進行資料 3、教師列出數個課本、習作中的一元一次方程式，說明等量公理的應用及移收集前，項法則的應用學生經歷 4、介紹應用問題的解題步驟：過的教學設未知數. 列出一元一次方程式. 解決一元一次方程式. 檢驗答案. 活動 5、利用第一冊數學課本例題，練習如何以文字符號代表數及列出一元一次方程式 6、安排「應用問題」之教學例題（進行資料收集）進行資料 1~7 題：將情境轉譯成數學式，共七道題目收集 8~13 題：解一元一次方程式，共六道題目（二）資料收集之過程 1、準備工作研究者平日上數學課時有讓學生抄筆記的習慣，進行研究時為了節省學生抄寫題目的時間，研究者先將 13 道教學例題製作成學習單，方便學生貼在筆記本上；並另外將進行資料收集的 4 道題目，一題製作成一張例題單，並搭配一張問卷，成為一式二份的資料收集格式，總共有 4 份。為了不讓學生先看到資料收集的題目，將學習單裁剪成適當大小，並將 4 份資料及裁剪好的學習單按照學生會使用到的順序蓋放在透明資料夾中，另外每人各準備一個空的透明資料夾以回收學生填寫的問卷及例題單。在教學前讓學生將這兩份資料夾分放在課桌的左上角及右上角，並將個人文具及筆記本準備好，便開始進行教學及資料收集。 34.

(42) 第三章. 研究方法. 2、正式開始學生課桌椅的安排一如往常，全部個個獨立並面向黑板；研究者亦保持原樣以粉筆及黑板進行教學活動。開始應用題例題的教學活動前，研究者先說明：「各位同學，L型夾中是老師想要收集的資料。什麼樣的資料呢？是因為學生對於數學解題都會怕怕的，老師想要透過裡面的一些題目，了解你們的想法。資料內的東西現在先不要動。收集到的資料可以讓老師知道怎麼幫助你們將數學學習的更好！待會填寫的時候，不用擔心對與錯的問題，老師不是要看你們寫的正確與否，只要你將想到的寫出來就可以了。」其後，開. 始進行資料收集的指導語：「來，同學，我們現在翻開編號一的題目，這張（例題單）是要給你們貼在筆記本上的。…（研究者帶唸題目，不做任何題目說明）…好，現在老師留時間讓你們想一想。」此時讓學生進行思考，在思考時間內研究者做行間巡視，一次. 巡視二~四行，邊巡視邊說：「加油！努力動腦想一想！」當思考時間結束時，研究者再度發聲：「好，現在將編號一蓋著放進右上角的資料夾中，並請翻開編號二的這張紙，老師給你 30 秒的時間，請把你剛剛想的內容寫在編號二的紙上，寫剛剛在想什麼！剛剛在想的喔！老師只需要你剛剛在想的就好了！」當學生努力寫下思考內容時，研究者邊行間巡. 視邊強調：「只需要你剛剛在想的就好了！」問卷填寫時間結束後，請學生將問卷蓋著放進資料夾，研究者便開始進行例題的教學活動。除了資料收集的例題外，每一題的教學例題均由研究者帶領唸完題目後，以「請大家想一想」或「請大家想一想這題」來邀請學生一同思考該題，並在學生思考過後以口頭提問的方式探查學生對於題目的思考情形，再依據學生的回答，研究者搭配題目進行講解活動。在資料收集全部進行結束後，研究者依然維持「講解例題時先留時間讓學生思考一下」，並在資料收集結束後的一週，發下回饋問卷請學生寫下對於解題時先留時間思考的想法，此時並不限填寫時間，先寫完的學生可以先交給研究者。本研究的資料收集在七年級上學期進行，二班學生進行同樣的教學活動、學習單、例題單、問卷及回饋問卷。. 35.

(43) 第三章. 第五節. 研究方法. 資料分析處理. 本研究在 2008 年 12 月取得研究資料後，開始從事資料的分析與處理，分述如下：一、資料編碼在自然教學場域取得資料後，除盡可能呈現原貌、保持資料完整性外，也將資料分類並加以編碼，以方便將來的分析與歸納。資料的統整與編碼如下：表 3-5-1：資料編碼表名稱. 代碼班別. 基本資料數字. 代表意義甲：705 班、乙：710 班數字：學生在該班的座號 A：表示資料收集第一題（教學例題：1） B：表示資料收集第二題（教學例題：3 類）. 問卷題目分類. C：表示資料收集第三題（教學例題：5） D：表示資料收集第四題（教學例題：6）情：表示情意問卷的資料. 依據問卷調查所得之資料的編碼方式如：「甲 1A」即指 705 班 1 號教學例題第一題的思考內容。二、資料分析與歸納根據 Michael, Q. P.（1995）在《質的評鑑與研究》中指出質的研究之目的在於發現。蒐集資料的過程本身並非終極目的，質的研究之終極活動是分析、詮釋及呈現發現結果。因此研究者將採用以下方式，歸納與分析現場所收集的資料：（一）反覆的閱讀資料將研究所收集的資料，一再的反覆閱讀，並與焦點團體多次討論，思索其間. 36.

(44) 第三章. 研究方法. 的關係。例如將學生各題的答題情形反覆對應，以求學生在教師講解前的思考現象。（二）歸納分類將類似、相近的各種資料歸為一類(依據思考現象的分類)，在集中相關資料後，再從中找到其間關係的發展，並做進一步的分析，從中探討出所欲呈現資料的架構。（三）以理論及文獻探討與現場所得資料作探討將歸類分析後的資料與 Krutetskii、Niss 等人之相關研究、文獻作融合、呼應之探討，以期藉此能提出不同的見解。例如關於數學解題思考，Krutetskii、Niss 皆提出數學思考的重要性，也認為學生擁有數學解題思考能力，但對於教學現場的實際狀況，卻因教師因素而無法有效實行此概念。（四）質性資料的詮釋 Miles & Huberman（1985）曾說：「在對質的資料分析上，我們很少有能夠被一致接受的規準像是如何從共同認可的基本規則得出結論，並證實結論的確定性。」（引自 Michael, Q. P.，1995），因此研究者秉持全面性及真實性的原則，檢視與分析學生思考內容的資料，並依據研究目的與問題，將資料中的現象做盡可能完整的真實呈現。 Michael, Q. P.（1995）認為：「詮釋學的研究者應用質的方法，為人們所做之事建立脈絡關係和意義。…所以一個人必須要同時知道有關研究者與被研究者，以便將質的研究至於一適當的、詮釋學的脈絡關係中。」而本研究採用「研究者即教學者」的方式進行，以研究者對研究樣本之學生背景、人格特質的了解，易於選擇資訊豐富的個案來探討學生思考內容的一般性與特殊性。 1、對於學生的思考內容先從學生的思考內容中歸納兩班學生所呈現出的思考現象，再以立意抽樣（purposeful sampling）中的分層立意抽樣（Stratified purposeful sampling）方式選. 37.