解題思考

上一小節我們瞭解了主動學習能讓學生以適合自己的方式獲得更多的學 習；這一小節我們先從數學能力的觀點來探討思考在數學上的地位，再透過數學 知識的形成與認知過程以了解解題思考的特性。

數學能力

丹麥數學家 Mogens Niss（2003）認為精熟數學就是擁有數學能力，而數學 能力是指能瞭解、判斷、實做，及能在各種不同數學情境與脈絡的內外使用數學。

由 Niss 主持的一項研究計畫「能力與數學學習」，目的是為丹麥數學教育改革創 造一個平台，研究結果將數學能力結構分成兩群：解題及工具，摘錄如下（Mogens 2003，謝豐瑞摘譯）

一、ability to ask answer questions in and with mathematics

（一）數學思維

1、能提問有數學意義的問題，並能辨識何種答案為數學答案。

2、對於給定的概念，能清楚掌握其適用範疇。

3、透過抽象化與類化擴展數學概念的範圍。

4、辨識各類數學敘述（條件、定義、定理、假設、臆測、數量值的敘述 、案例）。

（二）擬題與解題

1、確認、提出及詳細說明不同類型的數學問題（純數的或應數的；開放的或封 閉的）。

2、能解自己或別人提問的不同類型數學問題。

3、如果合適，能以不同方法解題。

（三）分析與發展數學模式 1、分析既存模式的基礎與屬性

2、轉化與解讀既存模式在現實世界中的意義，並評估該模式適用的範疇。

1、能理解別人論證的條理，並能評估該論證是否有效。

2、知道什麼是數學證明，並能區分數學證明與直觀的不同。

3、能從論證的條理中找到基本的想法。

4、能將直觀論證轉化成有效的証明。

二、ability to deal with and manage mathematical language and tools

（一）數學表徵

1、能解讀、詮釋及辨識數學物件、現象、情境的各類表徵。

2、了解相同數學物件不同表徵間的關係，並掌握不同表徵的優勢與限制。

3、可以在表徵之間進行選擇與轉化。

（二）符號化與形式化

1、解讀與詮釋符號的形式數學語言，並了解他們與日常語言的關係。

2、了解數學語言的語意及語法。

3、日常語言與數學正式/符號語言間的關係。

4、處理和操弄包含符號與公式的敘述與表示式。

（二）數學溝通

1、了解別人以書寫、視覺及口語所傳達的數學資訊。

2、能使用精確的數學語言表達自己的意思（口語、視覺或書寫的）。

（三）工具的使用

1、知道已存的數學活動工具或輔具的性質，並清楚其功能與限制。

2、能反思的使用這些工具或輔具。

而蘇聯克魯切茨基則依據數學思維的基本特徵而確定的數學能力組成成分如 下：

（二）運用形式結構（即關係和聯繫的結構）進行運算。

二、概括數學材料的能力

（一）能從不同的材料中抽出最重要的東西。

（二）從外表不同的材料中看出共同點的能力。

三、運用數字和其他符號進行運算的能力 四、連續而有節奏的邏輯推理能力

五、縮短推理過程的能力

（一）用縮短了的結構進行推理的能力 六、逆轉心理過程的能力

七、思維的靈活性（從一種心理運算轉向另一種心理運算的能力）

（一）從平凡而陳腐的影響束縛下解脫出來的能力。

八、數學記憶

（一）對概括內容、形式化結構和邏輯模式的記憶 九、空間概念的能力

Niss 從學生的數學學習歸納出數學能力的結構，而克魯切茨基則透過解題以 顯現數學活動時所特有的心理活動特點，歸納出數學能力的組成成分。接下來從 數學知識的形成來探討思考活動在數學解題與數學學習中的角色。

思考的特性

Thompson（1985）提出一個理論模式，認為數學知識是以過程和對象為特 徵。此理論建立在 Piaget 的反思抽象概念上，並做了推廣（引自 Deryfus，1990）。 Sfard（1991，1994）也提出類似的理論，認為數學概念具有對偶性。Gary 和 Tall

（1994）稱他為過程-對象對偶體（procept），這是經由過程（process）和作為對

而它們最終又轉化成一種對象；這些對象被關係連繫著，它們是對象結構的部 份。我們不僅可以研究這些對象的性質，也可對此施行某些新的數學運作。因此 過程可說是由對象運作組成，他們使對象發生改變，在這些變換下，結構也可能 發生變化。例如函數的概念在學校數學中最初是作為一種對應法則得到引進的，

它是聯繫定義域中之元素和值域中之元素的一個過程；然而隨著學習深入，函數 不再僅僅被看成一個過程，也被認為是一個特定的數學對象，所以我們可具體指 出函數所具有的各種性質（如單調性、奇偶性、週期性等），也可以函數為對象 去實施各種新的數學運作（如微分運算、積分運算等），進而出現新的性質（如 可微性、可積性）、新的結構（如 Banach 空間、Hilbert 空間）（林冠群、葉明達，

2002）。

「過程」與「對象」之間的轉化不應被看成一種單向的運動，這兩者構成 了同一數學概念心理的不同側面，而這正是數學思考的一個重要特點。即我們應 依據不同的情景在這兩者間做出必要的轉換。例如在求解代數方程時，必須將相 應的表達式看成單一對象，而非一個具體計算過程；一旦求得方程的解，作為一 種檢驗，又必須將其代入於原來的表達式中實行具體的運算，此時所採取的是「過 程」的觀點（鄭毓信，1999）。要尋求過程與對象之間關係的意義，是需要充分 的工作記憶空間，一些捷徑或機械記憶可降低認知負荷，有助意義的尋求。而熟 練、正確、穩固的運算基礎應該是過程與對象之間轉化的一個必要條件。

對偶體的特性與數學學習

Dreyfus（1990）認為數學知識複雜的原因之ㄧ是大多數數學概念會根據問 題情境及學習者對概念的理解起著過程或對象的作用。學習一個概念可以分成許 多階段，開始時進行具體條件下的過程運算，學習者熟悉了所給的過程後，這過 程就變成可在腦中進行的一系列運算形式，此時學習者已達到這個概念的思維運 算。再進一步，該過程的思維意象結晶成一個新的對象。一旦達到這階段，學生

化：從過程中抽象出對象。課程的主要目的是發展運算思維，思考與施加在對象 上的運算有關的過程。

Wong（1994）以理論分析說明了數學規則和運算規則之教學不能沒有涉及 概念理解。他指出不少數學教師認為學生必先有穩固的運算或處理數式的基礎，

才能進而掌握有關之數學概念及關係，因此他們傾向教授運算規則而不涉及概念 理解。這種「規則先於理解」的信念，在小學或成績低下的班級中尤其明顯。但 抽離意義的教學方式，長期來說只會帶來更多的學習問題和困難。Wong（1994）

從心理學角度考察進行或重複運算程序時的認知過程，及信息加工時記憶容量的 限制等，認為符號及相關程序的意義可以引導程序的進行或讓處理程序流暢。另 一方面，他又從哲學角度藉著「物體-符號-概念」的數學認知三角關係，來說明 數學知識的獨特性及其與意義溝通的關係。由此可知，僅從算法規則或符號操作 出發的數學課程，會將學習者的經驗完全限制在「符號」面向，而使學習者將努 力嘗試掌握當成約定的程序，而不依靠它們的意義。因此 Wong（1994）認為只 有當概念面向分別與「物體」和「符號」面向建立適合的關係，從而在張力中保 持必要的區別時，數學的概念性知識可以完全發展起來。可見機械式練習是不能 保證能進行過程-對象對偶的思考，傳統教學方式的弊端就是它剝奪了學生的反 思機會，使得靠著重複操練凝固下來的對象與對象之間無法形成有意義的關係，

這些對象極易遺忘；而轉化的過程也非有意義（機械式練習），使得過程只能在 有練習過的條件下運作，一旦問題超出常軌，過程便無法運作，也無法進行轉化。

因此將捷徑意義化，讓已凝固的過程成為對偶體，是需要學生自覺得反思，我們 在教學情境中要給學生機會。

由上可知，思考在數學學習的過程中占有舉足輕重的地位，本研究在代數課 堂中留時間讓學生思考教學例題，將參考文獻中思考的特性及數學能力的成分，

對學生的思考內容進行解讀與詮釋。