時間長短、題目難易與不同時間點對思考內容的影響

（一）例題 A 1、10 秒的思考時間

（1）是否有想數學：

以表 4-3-1 來看，有 13 位學生的思考現象屬於第E類及第N類，這些學生可能 尚未適應資料收集的模式或沒聽清楚研究者要他們做什麼事，以至於思考內容不 屬於數學的範疇。這種情形易發生於下列二種學生身上：○¹ 程度不佳，

思考現象在第一類~第五類的學生共有 14 位，這些學生思考的對象為問卷上 的題目，屬於數學的範疇。

○² 程度不 錯但上課不專心，不論哪一種學生，都可望從教學及例題學習中獲得知識與能力 的提升，只要學生願意。

（2）往數學解題的方向思考

例題 A 是列出一元一次方程式的教學例題，因此題目的要求是列出一元一次 方程式，往題目要求方向思考的有 12 位學生，往求解方向思考的有 2 位學生，分 成下列兩種情形詳述：

○

15y+240=3540 （乙 23A）

往題目要求方向思考的 12 位學生中，達成題目要求的有 10 位，其中有 1 位是 粗心筆誤，而那位學生的思考內容中已經寫出一元一次方程式了。這 10 位學生寫 出的方程式表達方式不外乎以下三種：

15y=3540-240 （乙 25A）

3540-15y=240 （乙 05A）

顯示在這段思考時間內，這 10 位學生均已關注過物件、察覺出物件間的關係，並 能將關係轉化為數學式；而研究者在例題之前的教學中開始培育學生察覺物件、

察覺關係、轉化數學式等的能力，但尚未開始解題；這 10 位學生中，有 9 位的數 學成績屬於班上的前段（其中有 5 位沒補習），有 1 位的數學成績屬於班上的中段

（沒補習），由此可知中上程度的學生能將察覺物件、察覺關係、轉化數學式等的 能力形成基模，幫助自己面對新的問題情境，並盡可能完成題目任務。

有寫出思考內容但沒達成題目要求的有 2 位，這二位學生雖未列出一元一次 方程式，但都關注於題目中數學物件的角色或物件關係上：

3540 工資 y 元 （乙 03A） 3540 元=15 天 （乙 27A）

○

例題 A 中有兩位學生往求解的方向思考，且成功解出未知數，顯示這段思考 時間內這 2 位學生已歷經察覺物件、察覺關係、轉化數學式、運算數學式等歷程，

而且正確無誤的解出未知數；而這 2 位學生的數學成績在班上屬於中段，且沒有 補習，由此可知研究者先前的教學及小學解應用題的相關學習經驗，讓他們得以 應付例題 A 這個新的問題情境。

往求解方向思考

15y+240=3540

=15y=3540-240

=15y=3300 y=3300/15 y=220 （乙 06A）

3540-240=3300 15y=3300

15y÷15=3300÷15

=1y=220 （乙 11A）

2、30 秒的思考時間

（1）是否有想數學：

以表 4-3-1 來看，有 12 位學生的思考現象屬於第 E 類及第 N 類，思考現象在 第一類~第五類的學生共有 16 位，第 A 類的學生有 1 位，因此有在想數學的學生 共有 17 位。

（2）往數學解題的方向思考

例題 A 是列出一元一次方程式的教學例題，因此題目的要求是列出一元一次

方程式，往題目要求方向思考的有 14 位學生，往求解方向思考的有 2 位學生，分 成下列三種情形詳述：

○

15y+240=3540 （甲 30A）

達成題目要求的有 11 位，這 11 位學生寫出的方程式表達方式不外乎以下三種：

3540-15y=240 （甲 05A）

3540-y×15=240 （甲 02A）

顯示在這段思考時間內，這 11 位學生均已關注過物件、察覺出物件間的關係，並 能將關係轉化為數學式；而研究者在例題之前的教學中開始培育學生察覺物件、

察覺關係、轉化數學式等的能力，但尚未開始解題；這 11 位學生中，有 8 位的數 學成績屬於班上的前段（其中 2 位沒補習），有 3 位的數學成績屬於班上的中段（均 沒補習），由此可知中上程度的學生能將察覺物件、察覺關係、轉化數學式等的能 力形成基模，幫助自己面對新的問題情境，並盡可能完成題目任務。

○

3540-(15y-240) （甲 06A）

有寫出思考內容但沒達成題目要求的有 3 位，這 3 位學生雖未列出一元一次方 程式，但都已開始利用數學式表達所觀察到的物件關係：

3540y×15=240 （甲 14A）

y×15 （甲 23A）

○3

例題 A 中有 2 位學生（均沒補習）往求解的方向思考，且成功解出未知數（但 其中 1 位有粗心現象），顯示這段思考時間內這 2 位學生已歷經察覺物件、察覺關 係、轉化數學式、運算數學式等歷程，而且正確無誤的解出未知數；而這 2 位學 生的數學成績在班上屬於前段，且沒有補習，由此可知研究者先前的教學及小學 解應用題的相關學習經驗，讓他們得以應付例題 A 這個新的問題情境。

往求解方向思考

15y+240=3540 15y+240=3540

=>15y=3540-240

=>15y=3300

=>y=220 （甲 31A）

15y=3540-240 15y=3300 y=260 （甲 13A）

（二）例題 B

1、10 秒的思考時間

（1）是否有想數學：

以表 4-3-1 來看，有 4 位學生的思考現象屬於第 E 類及第 N 類，思考現象在 第一類~第五類的學生共有 24 位，第 A 類的學生有 1 位，因此有在想數學的學生 共有 25 位。

（2）往數學解題的方向思考

例題 B 是列出一元一次方程式的教學例題，因此題目的要求是列出一元一次 方程式，往題目要求方向思考的有 24 位學生，往求解方向思考的有 2 位學生，分 成下列三種情形詳述：

○

x×2+3=x+17 （甲 02C）

達成題目要求的有 12 位，這 12 位學生在 10 秒的思考時間內，呈現出的數學 式有 3 種，舉例如下：

小數:x 大數:x×2+3 2x+3

2x+3-x=17 （甲 28C）

大數 x+17 x+17=2x+3 （甲 30C）

顯示在這段思考時間內，這 12 位學生均已關注過物件、察覺出物件間的關係，並 能將關係轉化為數學式；例題 B 所給的題目訊息為兩個未知數之間的關係，要達

成題目要求必須利用其中已假設好的一個未知數用數學式表達出另一個未知數，

且須將數學式物化成另一個新的物件，才易於找出等價關係，研究者在之前的教 學例題曾說過：「…兩種關係講的是同一種物品，所以利用關係也可以寫等式喔，不是只有數

字才可以寫等式喔!」，因此這 12 位學生更另外發展出物化的能力；這 12 位學生中，

有 9 位的數學成績屬於班上的前段（其中有 3 位沒補習），有 2 位的數學成績屬於 班上的中段（2 位均沒補習），有 1 位的數學成績屬於班上的後段（沒補習），由此 可知中上程度的學生能將察覺物件、察覺關係、轉化數學式等的能力形成基模，

幫助自己面對新的問題情境，並盡可能完成題目任務。

○

2x+3=17 （甲 14B）

有寫出思考內容但沒達成題目要求的有 12 位，這 12 位學生雖未列出一元一次 方程式，但都已開始利用數學式表達所觀察到的物件關係，以 3 位學生的思考內 容為例：

大:2x+3 （甲 26B）

大-小=17 大=小×2+3

小=x 2x+3-x （甲 24B）

○3

大:2x+3 小:x

例題B中有 2 位學生（其中 1 位沒補習）往求解的方向思考，且成功解出未知數，

顯示這段思考時間內這 2 位學生已歷經察覺物件、察覺關係、轉化數學式、將數 學式物化成物件等歷程，而且正確無誤的解出未知數；而這 2 位學生的數學成績 在班上屬於前段，由此可知研究者先前的教學及教學例題的鋪陳，讓他們得以應 付例題B這個新的問題情境。

大-小=17 小是 x

(2x+3)-x=17 x+3=17 x=14 （甲 31B）

大=小×2+3 2x+3-x=17

x=14 （甲 10B）

2、30 秒的思考時間

（1）是否有想數學：

以表 4-3-1 來看，有 7 位學生的思考現象屬於第 E 類及第 N 類，思考現象在 第一類~第五類的學生共有 20 位，因此有在想數學的學生共有 20 位。

（2）往數學解題的方向思考

往題目要求方向思考的有 19 位學生，往求解的方向思考的有 1 位學生，分成 下列三種情形詳述：

○

(2x+3)-x=17 （乙 04B）

達成題目要求的有 14 位，這 14 位學生在 30 秒的思考時間內，呈現出的數學 式有下列三種：

x+17=2x+3 （乙 06B）

x+17=2x+3 (2x+3)-17=x （乙 25B）

顯示在這段思考時間內，這 14 位學生均已關注過物件、察覺出物件間的關係，並 能將關係轉化為數學式；例題 B 所給的題目訊息為兩個未知數之間的關係，要達 成題目要求必須利用其中已假設好的一個未知數用數學式表達出另一個未知數，

且須將數學式物化成另一個新的物件，才易於找出等價關係，研究者在之前的教 學例題曾說過：「…兩種關係講的是同一種物品，所以利用關係也可以寫等式喔，不是只有數 字才可以寫等式喔!」，因此這 14 位學生更發展出物化的能力；這 14 位學生中，有 10 位的數學成績屬於班上的前段（其中有 6 位沒補習），有 4 位的數學成績屬於班上

的中段（4 位均沒補習），由此可知中上程度的學生能將察覺物件、察覺關係、轉 化數學式等的能力形成基模，幫助自己面對新的問題情境，並盡可能完成題目任 務。

○

先把小數的 2 倍多 3 先寫出來 （乙 01B）

有寫出思考內容但沒達成題目要求的有 5 位，這 5 位學生雖未列出一元一次方 程式，但已開始關注於題目中的數學物件或利用數學式表達所觀察到的物件關 係，以 3 位學生的思考內容為例：

2x+3- （乙 03B）

大數:2x+3 小數:x （乙 24B）

○3

2x+3-x=17 => x+3=17 => x=14 （乙 10B）

例題B中有 1 位學生（沒補習）往求解的方向思考，且成功解出未知數，顯示這 段思考時間內這 1 位學生已歷經察覺物件、察覺關係、轉化數學式、將數學式物 化成物件等歷程，而且正確無誤的解出未知數；而這 1 位學生的數學成績在班上 屬於前段，由此可知研究者先前的教學及教學例題的鋪陳，讓他得以應付例題B這 個新的問題情境。

（三）例題 C 1、10 秒思考時間

（1）是否有想數學：

以表 4-3-1 來看，有 6 位學生的思考現象屬於第 E 類及第 N 類，思考現象在 第一類~第五類的學生共有 23 位，因此有在想數學的學生共有 23 位。

（2）往數學解題的方向思考

例題 C 是解出未知數的教學例題，因此題目的要求是解出題目中的未知數，

往題目要求方向思考的有 23 位學生，分成下列兩種情形詳述：

○

100-22=78

達成題目要求的有 7 位（其中 1 位出現粗心現象），這 7 位學生中有 3 位是運 用算術思維推算而得，舉例如下：

78÷6=13

A:13 元 （甲 03C）

這 3 位學生中，數學成績屬於班上前、中、後段的分別各有 1 位（中段及後段均 沒補習）；而另 4 位學生運用代數思維解出未知數，舉例如下：

設紅豆 x 元 6x=100-22 6x=78

x=13 （甲 30C）

這 4 位學生的數學成績均屬於班上的前段（其中 1 位沒補習）。由此顯示學生在遇 到新的問題情境時，成績屬於前段的學生會嘗試利用教師新敎過的概念與知識來

這 4 位學生的數學成績均屬於班上的前段（其中 1 位沒補習）。由此顯示學生在遇 到新的問題情境時，成績屬於前段的學生會嘗試利用教師新敎過的概念與知識來