學生數學能力之差異情形

本 節 利 用 隨 機 效 果 單 因 子 變 異 數 分 析 模 式(one-way ANOVA with random effects )進行分析，此模式又稱為零模式，其特點為階層一與階層二 方程式中都不具有預測變項，在此模式下，可分析PISA2006 參與國，各國 之間學生的數學能力是否有差異存在，則此次模式方程式表示如下：

階層一

Y

_ij  _oj 

r

_ij ,

^r

ij

^{~ N}   ^{0 ,}

^2 (4-1) 階層二 _0j



₀₀

 u

_0j (4-2)

其中，

Y

_ij代表第

j

國第

i

個學生的數學能力， 代表第_0j

j

國的平均數學 能力，

r

_ij代表學生之間的隨機誤差項(階層一)，即第

j

國第

i

個學生誤差分

數，且

r

_ij服從常態分配， 為各國學生平均數學能力的平均數，即全體總₀₀ 平均數學能力，

u

_0j代表國家之間的隨機誤差項(階層二)，即第

j

國誤差分數。

表4-12 隨機效果單因子變異數分析模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p 值

各國學生平均數學

能力之平均數(

r )

₀₀ 488.657 7.310 <0.000 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值

階層二之隨機

效果(

u

_0j) 40.708 1657.121 29 56187.399 <0.000 階層一之隨機

效果(

r )

_ij 90.308 8155.583

由表4-12 可知，檢定各國學生平均數學能力的平均數(

r

₀₀)是否為零時，

發現檢定結果達顯著(p<.05)，表示全體總平均數學能力不為零，其值為 488.657(低於 OECD 國家的平均分數)。接著，檢定隨機效果，發現階層二隨 機效果

u

_0j之檢定結果達.001 顯著，表示在階層二的方程式中，無法用全體 總平均數學能力來代表各國的平均數學能力，即各國之間的平均數學能力是 有所差異的。數學能力的總變異量為1657.121+8155.583= 9812.704，內在組 別 相 關 係 數 ρ(interclass correlation coefficient) 為 1657.121/9812.704=

0.168875，表示數學能力的總變異量中，國家所造成的變異占 16.89%。由於 國家階層變項會對學生的數學能力造成影響，則可試著於階層二的方程式中 加入預測變項，加以解釋各國之間的差異。接著，將形成其他的次模式做進 一步的研究，並以零模型所提供資訊做為比較的基礎。

第三節 學生數學能力與學生數學背景變項之 HLM 分析

根據零模型分析結果，發現PISA2006 參與國之間的平均數學能力是有

差異存在的，其中，國家變項所占變異為 16.89%，試著在國家階層或學生 階層加入一個預測變項，形成新的次模式加以探討。

一、隨機效果單因子共變數分析模式

首先就學生階層加入一個預測變項於模式中進行分析，本研究所挑選的 學生數學背景變項有家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間以及對於數 學的想法等，主要想了解這些學生數學背景變項是否足以解釋各國學生之間 數學能力的差異情形，為了便於解釋與比較，階層二中_1j先不加入誤差項，

故形成以下的階層線性模式：

階層一

Y

_ij _oj _1j

X

_ij 

r

_ij,

^r

ij

^{~ N}   ^{0 ,}

^2 (4-3) 階層二 _0j



₀₀

 u

_0j (4-4) _1j ₁₀ (4-5)

其中，

Y

_ij代表第

j

國第

i

個學生的數學能力，

X

_ij代表第

j

國第

i

個學生數 學背景變項(如：家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、對於數學的 想法)， 和0j  分別為階層一的截距項和斜率項，_1j

r

_ij為階層一的隨機誤差項 (學生階層)，且

r

_ij服從常態分配， 和₀₀ ₁₀為階層二的係數，

u

_0j為階層二的 隨機誤差項(國家階層)。

(一)家庭資源對學生數學能力之影響

表4-13 中， 達.001 顯著水準，表示家庭資源變項對學生數學能力具₁₀ 有影響力，即在各國學生的家庭資源變項對該國學生數學能力影響程度固定 之下，各國的學生家庭資源變項能有效解釋該國學生之間數學能力的差異情 形。家庭資源變項之數值越高，表示家中擁有的家庭資源越多。由於

 =8.668，其估計係數值大於零，表示家中擁有越多的家庭資源，其數學能10

力越好。接著，檢定隨機效果，發現

u

_0j檢定結果達.001 顯著，表示家庭資 源對數學能力影響程度固定之下，各國之間在數學能力上是有所差異的，可 試著加入預測變項以解釋其差異。

表4-13 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p 值

r

00 385.202 7.874 <0.000

r

10 8.668 0.526 <0.000

隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值

u

₀j 33.485 1121.272 29 34548.522 <0.000

r

ij 85.893 7377.670

(二)家中藏書量對學生數學能力之影響

表4-14 顯示 達.001 顯著水準，表示家中藏書量變項對學生數學能力₁₀ 具有影響力，即在各國學生的家中藏書量變項對該國學生數學能力影響程度 固定之下，各國的學生家中藏書量變項能有效解釋該國學生之間數學能力的 差異情形。家中藏書量變項之數值越高，表示家中藏書量越豐富。由於

 =23.949，其估計值為正，表示家中藏書量越豐富，其數學能力越好。隨10

機效果

u

_0j檢定達.001 顯著水準，表示家中藏書量對數學能力影響程度固定 之下，各國之間在數學能力上是有所差異的，尚待預測變項加以解釋各國之 間的差異情形。

表4-14 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p 值

r

00 410.176 5.400 <0.000

r

10 23.949 0.988 <0.000

隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值

u

₀j 32.348 1046.364 29 35761.523 <0.000

r

ij 84.022 7059.619

(三)每週學習數學時間

1.學校規律數學課對學生數學能力之影響

表4-15 中，檢定 達.001 顯著，表示每週在學校規律上數學課的時間₁₀ 對學生數學能力具有影響力，即各國學生每週在學校規律上數學課的時間變 項對該國學生數學能力影響程度固定之下，各國的學生每週在學校規律上數 學課的時間能有效解釋該國學生之間數學能力的差異情形。 =22.880 >0，₁₀ 表示每週在學校規律上數學課的時間越多，其數學能力越好。在隨機效果方 面，

u

_0j達.001 顯著，表示每週在學校規律上數學課的時間對數學能力影響 程度固定之下，各國之間在數學能力上是有所差異的，可嘗試於階層二中加 入預測變項，以探討其差異之因素。

表4-15 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p 值

r

00 413.913 9.429 <0.000

r

10 22.880 1.769 <0.000

隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值

u

₀j 39.242 1539.926 29 56632.920 <0.000

r

ij 86.565 7493.563

2.課後學數學對學生數學能力之影響

由表 4-16 可知， 達.001 顯著水準，表示每週在課後學習數學的時間₁₀ 變項對學生數學能力具有影響力，即各國學生每週在課後學習數學的時間變 項對該國學生數學能力影響程度固定之下，各國的學生每週在課後學習數學 的時間能有效解釋該國學生之間數學能力的差異情形。 = -11.139 <0，表₁₀ 示每週在課後學習數學的時間越多，其數學能力反而越差。檢定隨機效果 達.001 顯著，表示每週在課後學習數學的時間對數學能力影響程度固定之 下，各國之間在數學能力上是有所差異的，其差異原因尚待加入預測變項以 解釋其差異。

表4-16 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p 值

r

00 510.973 9.694 <0.000

r

10 -11.139 2.715 <0.000 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值

u

₀j 39.412 1553.278 29 53204.325 <0.000

r

ij 88.571 7844.735

3.自己學習數學或做數學功課對學生數學能力之影響

在表4-17 中， 達.001 顯著水準，表示每週自己學習數學或做數學功₁₀ 課的時間變項對學生數學能力具有影響力，即各國學生每週自己學習數學或 做數學功課的時間變項對該國學生數學能力影響程度固定之下，各國的學生 每週自己學習數學或做數學功課的時間能有效解釋該國學生之間數學能力 的差異情形。 =9.375 >0，表示每週自己學習數學或做數學功課的時間越₁₀ 多，其數學能力越好。接著，

u

_0j檢定結果達.001 顯著，表示每週自己學習 數學或做數學功課的時間對數學能力影響程度固定之下，各國之間在數學能 力上是有所差異的，可試著加入預測變項以解釋其差異。

表4-17 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p 值

r

00 468.598 7.855 <0.000

r

10 9.375 1.837 <0.000

隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值

u

₀j 41.124 1691.171 29 57345.348 <0.000

r

ij 88.752 7876.992

(四)對於數學的想法對學生數學能力之影響

由表 4-18 發現， 達.001 顯著水準，表示對於數學的想法變項對學生₁₀ 數學能力具有影響力，即在各國學生對於數學的想法變項對該國學生數學能 力影響程度固定之下，各國的學生對於數學的想法變項能有效解釋該國學生 之間數學能力的差異情形。對於數學的想法之數值越高，則對於數學的想法

越正面。由於 =17.441 >0，表示對於數學的想法越正面，其數學能力越好。₁₀ 在隨機效果之檢定上，發現

u

_0j達.001 顯著，表示對於數學的想法對數學能 力影響程度固定之下，各國之間在數學能力上是有所差異的，可於階層一中 試著再加入預測變項以解釋其差異。

表4-18 隨機效果單因子共變數分析模式之結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤 p 值

r

00 431.539 10.730 <0.000

r

10 17.441 2.238 <0.000 隨機效果 標準差 變異數 自由度 Chi-square p 值

u

₀j 42.258 1785.776 29 60175.303 <0.000

r

ij 88.432 7820.140

二、隨機係數迴歸模式

此模式的特點為在階層一方程式中加入預測變項，在階層二方程式中沒 有預測變項，此模式與隨機效果單因子共變數分析模式最大的差異，就在於 階層二每一個方程式皆具有誤差項。在此模式下，想了解家庭資源、家中藏 書量、每週學習數學時間以及對於數學的想法等學生數學背景變項是否能夠 解釋各國學生之間數學能力的差異情形，以及各國的學生數學背景變項對該 國學生數學能力的影響在各國之間是否有差異存在，形成以下的階層線性模 式：

階層一

Y

_ij _oj _1j

X

_ij 

r

_ij,

^r

ij

^{~ N}   ^{0 ,}

^2 (4-14) 階層二 _0j



₀₀

 u

_0j (4-15) _1j



₁₀

 u

_1j (4-16)

其中，

Y

_ij代表第

j

國第

i

個學生的數學能力，

X

_ij代表第

j

國第

i

個學生數 學背景變項(如：家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、對於數學的

想法)， 為階層一的截距項，0j  代表第_1j

j

國的學生數學背景變項對該國學 生數學能力的影響程度，

r

_ij為階層一的隨機誤差項(學生階層)，且

r

_ij服從常 態分配， 和₀₀ ₁₀為階層二的係數，

u

_0j和

u

_1j為階層二的隨機誤差項(國家階 層)。

(一)家庭資源對學生數學能力之影響

表4-19 顯示， 達.001 顯著水準，則各國學生的家庭資源變項對該國₁₀ 學生數學能力影響程度之平均數不為零， 之估計值為 9.492，表示家庭資₁₀

表4-19 顯示， 達.001 顯著水準，則各國學生的家庭資源變項對該國₁₀ 學生數學能力影響程度之平均數不為零， 之估計值為 9.492，表示家庭資₁₀

在文檔中 PISA2006數學評量之學生變項與國家變項階層線性模式分析探討 (頁 61-0)