階層線性模式

當資料蒐集完成後，常常會使用傳統的統計方法進行分析，往往忽略了 資料本身具有階層的特性，又稱為巢套(nested)結構關係，尤其是社會科學 研究或教育領域的資料。具有階層特性的資料，以最基層單位進行分析，此 時，忽略了同一階層的同質性；若改以較高階層為單位，則忽略了不同階層 的異質性，故須將階層的關係考量進來，才不會造成估計誤差。

圖2-1 三階層結構關係之舉例

例如，想研究影響學生數學成績的因素，蒐集了全臺灣各縣市的學生數 學成績，並且具有學生的性別、學校的型態(如：公立或私立)及縣市的教育 經費等資料變項，此時，學生隸屬於學校，學校又隸屬於縣市，形成一個三 階層的資料型態，如圖2-1 所示，假設這三個階層變項都對學生的數學成績 具有影響，表示學生的性別對數學成績具有影響，而其影響程度在各校都不 同，主要受到學校型態的影響，而且學校型態(公立或私立)對於學生性別影 響數學成績的影響程度在各縣市也不同，主要受到縣市教育經費的影響。

當資料間具有階層的屬性，用傳統的迴歸分析方法，易造成迴歸係數的 誤估，型I 誤差(Type I Error)過於膨脹，且資料本身違反了獨立性，形成分 析結果及解釋的誤差(林原宏，1997；溫福星，2006)。此類型資料適合用階

縣市

學校

學生

教育經費

學校型態

性別 數學成績

層線性模式(Hierarchical Linear Model, HLM)進行分析，能處理資料獨立性不 存在的問題，且能將不同階層的特性，以數值形式清楚的描述出來(高新建，

1997；高新建、吳幼吾，1997)，呈現出更深一層的意義與訊息。

階層線性模式又稱為多層次模式(Multilevel Modeling, MLM)，理論上可 以具有無限多階層，但以目前科技的發展與解釋分析結果的可行性來看，仍 以二階與三階的模式應用居多，在本研究中，以二階層的階層線性模式進行 PISA2006 資料庫分析，利用五個次模式及完整模式進行探究，瞭解學生數 學背景變項與國家變項對學生數學能力的影響，以數學方程式描述完整階層 線性模式，其公式如下：

階層一

Y

_ij



_0j



_1j

X

_ij

 r

_ij,

^r

ij

^{~ N}   ^{0 ,}

^2 (2-1) 階層二 _0j ₀₀₀₁

W

_j 

u

_0j (2-2) _1j



₁₀



₁₁

W

_j

 u

_1j (2-3)

其中，

Y

ij為階層一的依變項，

X

ij為階層一的預測變項， 和0j  分別1j

為階層一的截距項和斜率項，

r

ij為階層一的隨機誤差項，且

r

ij服從常態分 配，

W

j為階層二的預測變項， 、₀₀  、₀₁  和₁₀  為階層二的係數，₁₁

u

₀j和

u

₁j

為階層二的隨機誤差項。將公式2-1 至公式 2-3 合併後，可得出混和模式如 下：

Y

_ij ₀₀ ₁₀

X

_ij ₀₁

W

_j ₁₁

X

_ij

W

_j 

u

_0j 

u

_1j

X

_ij 

r

_ij ( 2 - 4 )

在公式 2-4 中，

Y

_ij為階層一的依變項，

X

_ij為階層一的預測變項，

W

_j為 階層二的預測變項，在等號右邊之前四項稱為固定效果，後三項稱為隨機效 果。此二階層完整模式之基本假設有(Raudenbush & Bryk, 2002)：

0 ) (

r

_ij 

E

,

Var ( r

_ij

) 

²

 

階層一

Y

_ij



_oj



_1j

X

_ij

 r

_ij,

^r

ij

^{~ N}   ^{0 ,}

^2 (2-7) 階層二 _0j



₀₀

 u

_0j (2-8) 1_j



10 (2-9)

其中，

Y

_ij代表第

j

國第

i

個學生的數學能力，

X

_ij代表第

j

國第

i

個學生數 學背景變項(如：家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、對於數學的 想法)， 和_0j  分別為階層一的截距項和斜率項，_1j

r

_ij為階層一的隨機誤差項 (學生階層)，且

r

_ij服從常態分配， 和₀₀  為階層二的係數，₁₀

u

_0j為階層二的 隨機誤差項(國家階層)。

三、隨機係數迴歸模式

在此模式下，想了解家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間以及對 於數學的想法等學生數學背景變項是否能夠解釋各國學生之間數學能力的 差異情形，以及各國的學生數學背景變項對該國學生數學能力的影響在各國 之間是否有差異存在，形成以下的階層線性模式：

階層一

Y

_ij _oj _1j

X

_ij 

r

_ij,

^r

ij

^{~ N}   ^{0 ,}

^2 (2-10) 階層二 _0j



₀₀

 u

_0j (2-11) _1j



₁₀

 u

_1j (2-12) 其中，

Y

_ij代表第

j

國第

i

個學生的數學能力，

X

_ij代表第

j

國第

i

個學生數 學背景變項(如：家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、對於數學的 想法)， 為階層一的截距項，_0j  代表第_1j

j

國的學生數學背景變項對該國學 生數學能力的影響程度，

r

_ij為階層一的隨機誤差項(學生階層)，且

r

ij服從常 態分配， 和₀₀  為階層二的係數，₁₀

u

_0j和

u

_1j為階層二的隨機誤差項(國家階 層)。

四、以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式 將GCI、NRI、GDP、EI、班級規模等國家變項各別加入模式中進行分 析，在此模式下，主要想了解各國學生數學能力之差異情形，是否能夠用這 些國家變項加以解釋，故形成以下的階層線性模式：

階層一

Y

_ij _oj 

r

_ij,

^r

ij

^{~ N}   ^{0 ,}

^2 (2-13) 階層二 _0j



₀₀



₀₁

W

_j

 u

_0j (2-14)

其中，

Y

_ij代表第

j

國第

i

個學生的數學能力， 代表第_0j

j

國的平均數學 能力，

r

_ij為階層一的隨機誤差項(學生階層)，且

r

_ij服從常態分配，

W

_j代表第

j

國的國家變項(如：GCI、NRI、GDP、EI、班級規模)， 為階層二的截距₀₀ 項， 代表第₀₁

j

國的國家變項對該國的平均數學能力之影響程度，

u

_0j為階 層二的隨機誤差項(國家階層)。

五、斜率非隨機變化的模式

探討「各國學生數學背景變項影響該國學生數學能力」之差異情形，是 否能夠以 GCI、NRI、GDP、EI、班級規模等國家變項加以解釋，故形成以 下的階層線性模式：

階層一

Y

_ij _oj _1j

X

_ij 

r

_ij,

^r

ij

^{~ N}   ^{0 ,}

^2 (2-15) 階層二 ₀j ₀₀ ₀₁

W

j 

u

₀j (2-16) _1j



₁₀



₁₁

W

_j (2-17)

其中，

Y

_ij代表第

j

國第

i

個學生的數學能力，

X

_ij代表第

j

國第

i

個學生數 學背景變項(如：家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、對於數學的 想法)， 和0j  分別為階層一的截距項和斜率項，_1j

r

_ij為階層一的隨機誤差項 (學生階層)，且

r

服從常態分配，

W

代表第

j

國的國家變項(如：GCI、NRI、

GDP、EI、班級規模)， 、₀₀  、₀₁  和₁₀ ₁₁為階層二的係數，

u

_0j為階層二的 隨機誤差項(國家階層)。

六、完整模式

探討「各國學生數學背景變項影響該國學生數學能力」之差異情形，是 否能夠以 GCI、NRI、GDP、EI、班級規模等國家變項加以解釋，以及是否 還有其他國家變項會造成影響，故形成以下的階層線性模式：

階層一

Y

_ij



_oj



_1j

X

_ij

 r

_ij,

^r

ij

^{~ N}   ^{0 ,}

^2 (2-18) 階層二 _0j



₀₀



₀₁

W

_j

 u

_0j (2-19) _1j



₁₀



₁₁

W

_j

 u

_1j (2-20)

其中，

Y

_ij代表第

j

國第

i

個學生的數學能力，

X

_ij代表第

j

國第

i

個學生數 學背景變項(如：家庭資源、家中藏書量、每週學習數學時間、對於數學的 想法)， 和_0j  分別為階層一的截距項和斜率項，_1j

r

_ij為階層一的隨機誤差項 (學生階層)，且

r

ij服從常態分配，

W

_j代表第

j

國的國家變項(如：GCI、NRI、

GDP、EI、班級規模)， 、₀₀  、₀₁  和₁₀ ₁₁為階層二的係數，

u

_0j和

u

_1j為階層 二的隨機誤差項(國家階層)。

本研究在初步了解PISA 2006 的資料型態後，利用由簡至繁的階層線性 模式，循序漸進探究學生數學背景變項與國家變項影響學生數學能力之差異 情形。圖3-3 列出各模式之間的結構關係，其與研究目的相呼應。圖 3-3 亦 從零模式開始探討，陸續於階層一和階層二方程式中，各別加入預測變項，

最後同時加入兩階層的預測變項，依序形成各個次模式與完整模式。

越來越多的PISA 研究中，考慮到資料具有階層的特性、巢套的關係，

而採用階層線性模式進行分析。例如：針對PISA2003 資料庫，挑選數學觀 點和數學想法做為學生階層變項，NRI 做為國家階層變項，結果顯示，學生 變項與國家變項均能有效地解釋數學能力的差異(Lin, Chang, Lin, & Wu,

2007)。同樣針對 PISA2003 及 HLM 進行分析，而階層一變項改成對於數學

第四節 學生數學背景變項及國家變項之探討

影響學生數學能力的階層變項分兩層次，學生層次變項跟國家層次變 項。以下就本研究所挑選的學生數學背景變項和國家變項，進行各個變項之 相關研究探討。

一、學生數學背景變項 (一) 家庭資源

在許多家庭因素中，個人獲取教育機會與教育成就的重要前置因素之 一，即為家庭資源(黃朗文，2000)，家庭資源可粗略的畫分成無形的與有形 的兩種，父母的社經地位較偏向無形的家庭資源，其會造成父母對子女學習 的影響(陳麗如，2003)；有形的家庭資源包含家庭的實質設備與教育的物質 設備部分，如洗碗機、彩色電視、書桌、電腦、字典…等，本研究中所指的 家庭資源是屬於有形的部分，這與部分學者(陳建志，1998；Wong, 1998)所 指的Coleman (1988)財務資本間接測量指標內涵相近。從 Wong (1998)的研 究可知，當家庭財務資本越高，子女受教育程度越高。而其他研究也指出，

家庭中與教育相關的物質資源部分對於教育成就具有正向影響(Teachman, 1987；孫清山、黃毅志，1996)。因此，父母所能提供的家庭資源，對於子 女的學習成就具有一定的影響力，所以本研究想利用此變項，探討其對學生 數學能力的影響情形。

(二)家中藏書量

家庭裡藏書量豐富的學生，其學業成就比沒有藏書量的學生高(李美 月，2003)，Greve (1974)針對圖書館圖書取用的方便性，對於學生學業成就 之影響，進行研究，發現圖書取得越方便，課外讀物閱讀的越多，則學生學 業成績越好。同理，家中的圖書越多，代表孩童接觸書本與取得書本越容易，

可培養學生自習與閱讀的習慣，對學生在學習上或許有所影響，故本研究選 擇此變項以探究對學生學習數學成就之影響。

(三)每週學習數學時間

除了課堂學習之外，家庭作業經常被認為課堂練習的延伸，並且是影響 學習成就的要素之一，研究指出學業成就與家庭作業之間的關係，尚未有明 確定論(Trautwein & Köller, 2003)，然而在針對小學三到六年級有額外接受補 習班、安親班或是家教等形式的課外學習學生時，這三種課外學習的方式對 於學生的數學能力皆具有正向的影響(Hsieh, 2001)；而張芳全(2006)研究 TIMSS 2003 資料庫時，欲找出影響學生數學成就的因素有哪些，結果發現 學生回家做數學功課時間愈多和課外補習情形愈多，則學生的數學成就會越 好。

(四)對於數學的想法

學生的數學態度較樂觀時，其學習成就通常會較高(譚寧君，1992)；Paul (1991)指出假如想要學好數學，則學生必須建立正確的數學觀念；在數學態 度方面，態度積極者比消極者擁有較高的數學成就(黃德祥，1990)。本研究 挑選之問卷題目：「對你自己而言，你認為在數學科目上表現好有多重 要？」，想看看學生對於數學科目表現好這件事的想法，對於數學成就是否 有影響，當其認為重要性越高時，數學的表現是否也會跟著變高呢？亦或是

學生的數學態度較樂觀時，其學習成就通常會較高(譚寧君，1992)；Paul (1991)指出假如想要學好數學，則學生必須建立正確的數學觀念；在數學態 度方面，態度積極者比消極者擁有較高的數學成就(黃德祥，1990)。本研究 挑選之問卷題目：「對你自己而言，你認為在數學科目上表現好有多重 要？」，想看看學生對於數學科目表現好這件事的想法，對於數學成就是否 有影響，當其認為重要性越高時，數學的表現是否也會跟著變高呢？亦或是

在文檔中 PISA2006數學評量之學生變項與國家變項階層線性模式分析探討 (頁 26-0)