第四章 結果與討論
第一節 比例問題表現之描述性分析
本節主要分析全體受試者、不同性別受試者在比例問題中，各試題之 通過率表現以及各問題類型之通過率比較。
各試題之編製參酌 Noelting (1980a, 1980b)、劉祥通 (2004) 和陳竹村 等人(2002)之研究，將比例關係式「a b: c x: 」依數字之比值關係可分為 以下四種型式：
(一) 試題類型 A(b和 c 是 a 的整數倍)：1、5、11、17、20 題。
(二) 試題類型 B (只有b是 a 的整數倍)：3、7、10、12、18 題。
(三) 試題類型 C (只有 c 是 a 的整數倍)：2、6、13、15、19 題。
(四) 試題類型 D (b、 c 與 a 之間為非整數倍)：4、8、9、14、16 題。
今將各試題之通過率及各問題類型之平均通過率分別整理為表 4-1 與 表 4-2，如下所示：
表 4-1 全體與男、女生在比例問題測驗之各試題通過率
試題編號 全體 男生 女生
1 .91 .90 .92
2 .87 .88 .87
3 .88 .90 .87
4 .84 .84 .84
5 .93 .94 .92
6 .86 .86 .87
7 .86 .89 .83
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表 4-1 全體與男、女生在比例問題測驗之各試題通過率(續)
8 .78 .78 .78
9 .76 .76 .76
10 .85 .87 .83
11 .90 .91 .89
12 .83 .86 .80
13 .87 .87 .86
14 .80 .78 .82
15 .86 .86 .86
16 .79 .77 .82
17 .88 .87 .90
18 .84 .86 .83
19 .88 .89 .87
20 .90 .90 .91
人數 308 166 142
本研究之比例問題測驗共計四種試題類型，由表 4-2 可知全體受試者 在各類型試題通過率均在.79 以上，其中試題類型 A 之通過率為.91，試題 類型 B 之通過率為.85，試題類型 C 之通過率為.87，試題類型 D 之通過率 為.79。
男生在各類型試題平均通過率均在.79 以上，其中試題類型 A 之試題 通過率為.90，試題類型 B 之試題通過率為.87，試題類型 C 之試題通過率 為.87，試題類型 D 之試題通過率為.79。
而女生在各類型試題之平均通過率均在.80 以上，其中試題類型 A 之 試題通過率為.91，試題類型 B 之試題通過率為.83，試題類型 C 之試題通 過率為.87，試題類型 D 之試題通過率為.80。
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單，而 a、b、c 三數相互都沒有倍數關係的問題最為困難，是相符合的；
與其他學者之研究，學生較擅長解決整數比的問題，對於非整數比的問題 感到較困難(Hart, 1981; Lo & Watanabe, 1997; Noelting, 1980a)，亦是相符合 的。
貳、 不同性別受試者在各試題類型之平均通過率
圖 4-2 男、女生在各試題類型之通過率
本研究之比例問題測驗共計四種試題類型，將各試題類型之通過率進 行比較，可知男、女生皆在試題類型 A 表現最佳，其平均通過率分別為.90 和.91；其次皆為試題類型 C，其平均通過率皆為.87；接著為試題類型 B，
其平均通過率分別為.87 和.83；表現最差為試題類型 D，其平均通過率分 別為.79 和.80。
参、不同性別受試者在各試題類型表現之差異
表 4-3 以獨立樣本 t 檢定分析不同受試者在各試題類型表現之差異情 形，本研究分四類試題類型進行分析，其分析說明如下。
.00 .20 .40 .60 .80 1.00
類型A 類型B 類型C 類型D
.90 .87 .87
.79
.91 .83 .87 .80
男生 女生
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表 4-3 男、女生在各試題類型之獨立樣本 t 檢定分析摘要表 試題類型 性別 個數 平均數 標準差 t 試題類型 A 男 166 4.518 1.189 -.175
女 142 4.542 1.230
試題類型 B 男 166 4.367 1.368 1.222 女 142 4.162 1.583
試題類型 C 男 166 4.355 1.493 .145 女 142 4.331 1.457
試題類型 D 男 166 3.934 1.830 -.423 女 142 4.021 1.784
n.s.
由表 4-3 可知，不同性別受試者在各試題類型表現之差異，整理如下：
一、在試題類型 A 中，發現女生的平均分數高於男生，但並未達顯著差異 (p<.05)，表示男、女生在試題類型 A 中的表現無太大差異。
二、在試題類型 B 中，發現男生的平均分數高於女生，但並未達顯著差異 (p<.05)，表示男、女生在試題類型 B 中的表現無太大差異。
三、在試題類型 C 中，發現男生的平均分數高於女生，但並未達顯著差異 (p<.05)，表示男、女生在試題類型 C 中的表現無太大差異。
四、在試題類型 D 中，發現女生的平均分數高於男生，但並未達顯著差異 (p<.05)，表示男、女生在試題類型 D 中的表現無太大差異。
綜合以上分析，可知不同性別受試者在各試題類型的表現之差異，均 未達顯著差異(p< .05)，表示不同性別受試者在各試題類型表現上均無太大 差異。此結果與 Karplus 等人(1983)的研究結果相符合，也顯示在數值型態 為整數之比例問題上，男、女生的比例推理能力無差異。
第二節 比例問題之解題規則分析
本節主要依據受試者在各類型試題之得分，我們將受試者進行分群，
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並進行分析。
各試題之編製參酌 Noelting (1980a, 1980b)、劉祥通 (2004) 和陳竹村 等人(2002)之研究，將比例關係式「a b: c x: 」依數字之比值關係可分為 以下四種型式：
(一) 試題類型 A (b和 c 是 a 的整數倍)：1、5、11、17、20 題。
(二) 試題類型 B (只有b是 a 的整數倍)：3、7、10、12、18 題。
(三) 試題類型 C (只有 c 是 a 的整數倍)：2、6、13、15、19 題。
(四) 試題類型 D (b、 c 與 a 之間為非整數倍)：4、8、9、14、16 題。
今將依照以上四種試題類型分別進行分群及分析，而為尋找合適的分 群組數，我們分別檢視資料在 2、3、4、5、6 個不同潛在類別的組數下之 AIC、BIC 及 CAIC 值。如下所示：
壹、試題類型 A 之潛在類別分析
由表 4-4 可知此試題類型下，各分群數之 AIC、BIC 和 CAIC 值。又 當這三個數值最小時，為最佳分群數。其結果顯示將受試者分為 3 群時，
AIC 值為最小，但若分為 2 群時，其 BIC 和 CAIC 值為最小，且其 AIC 值 也僅略高於分為 3 群之 AIC 數值，故本研究以分成 2 群為最佳分群數。
表 4-4 試題類型 A 不同潛在類別組數下之 AIC、BIC 和 CAIC 值
組別數目 AIC BIC CAIC
2 633.69 674.72 685.72 3 631.80 695.21 712.21 4 643.79 729.58 752.58 5 643.91 752.08 781.08 6 655.90 786.45 821.45 根據潛在類別分析結果，學生依此類別各試題的得分下最適合分成 2 群，其中不同的 2 群樣本在各試題的通過率和佔總人數之比例如表 4-5 所
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示。各群的解題特性分述如下：
(一) 第ⅠA群的人數佔全體 92.5%，共 285 人，是人數較多的一群。而第
ⅠA群受試者在此類別各試題的通過率均達.95 以上，在第 5 題的試題 通過率甚至高達 .99，綜合而言，此群受試者在此試題類型各題表現 皆很不錯，因此可以將此群命名為試題類型 A 精熟群。
(二) 第ⅡA群的人數佔全體 7.5%，共 23 人，是人數較少的一群。第ⅡA 群受試者在此類別的通過率最高為.35，其餘皆未達.20，在第 11 題甚 至無人答對，此群受試者在各試題的表現均較第ⅠA群不佳，綜合而 言，此群受試者在此試題類型各題表現皆不理想，因此可將此群命名 為試題類型 A 不精熟群。
表 4-5 試題類型 A 之二群樣本在各題的通過率
題號 二群樣本在此類型各題的通過率
試題類型 A 精熟群(92.5%) 試題類型 A 不精熟群(7.5%)
1 .96 .35
5 .99 .17
11 .97 .00
17 .95 .04
20 .97 .04
根據試題類型 A 之二群樣本在各試題的通過率，其試題類型 A 之二群 樣本在各試題的通過率長條圖，如圖 4-3 所示。
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(二) 主要採用正確解題規則的第ⅠA群在此試題類型之通過率較高，每題 均達.95 以上，反之，主要採用規則八的第ⅡA群，因為使用錯誤的解 題規則解題，通過率明顯較差。此結果與樊雪春(1999)的研究結果是 相符合的，不同能力值的學生，所傾向使用的規則並不一致。
貳、試題類型 B 之潛在類別分析
由表 4-7 可知此試題類型下，各分群數之 AIC、BIC 和 CAIC 值。又 當這三個數值最小時，為最佳分群數。其結果顯示將受試者分為 3 群時，
AIC 值為最小，但若分為 2 群時，其 BIC 和 CAIC 值為最小，且其 AIC 值 也僅略高於分為 3 群之 AIC 數值，故本研究以分成 2 群為最佳分群數。
表 4-7 試題類型 B 不同潛在類別組數下之 AIC、BIC 和 CAIC 值
組別數目 AIC BIC CAIC
2 849.38 890.41 901.41 3 837.19 900.60 917.60 4 846.60 932.39 955.39 5 855.23 963.41 992.41 6 865.06 995.61 1030.61 根據潛在類別分析結果，學生依此類別各試題的得分下最適合分成 2 群，其中不同的 2 群樣本在各試題的通過率及佔總人數之比例如表 4-8 所 示。各群的解題特性分述如下：
(一) 第ⅠB群的人數佔全體 87.7%，共 270 人，是人數較多的一群。而第
ⅠB群在此類別各試題的通過率均達.95 以上，此群受試者在此試題類 型各題的表現皆很不錯，因此可將此群命名為試題類型 B 精熟群。
(二) 第ⅡB群則是佔全體 12.3%，共 38 人，是人數較少的一群。第ⅡB群 在此類別的通過率最高為.32，其餘皆未達.20，在第 12 題甚至無人答 對，此群受試者在各題表現均較第ⅠB群不佳，綜合而言，此群受試 者在此試題類型各題表現皆不理想，因此可將此群命名為試題類型 B
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不精熟群。
表 4-8 試題類型 B 之二群樣本在各題的通過率
題號 2 群樣本在各題的得分機率
試題類型 B 精熟群(87.7%) 試題類型 B 不精熟群(12.3%)
3 .96 .32
7 .96 .16
10 .96 .11
12 .95 .00
18 .96 .05
根據試題類型 B 之二群樣本在各試題的通過率，其試題類型 B 之二群 樣本在各試題的通過率長條圖，如圖 4-5 所示。
圖 4-5 試題類型 B 之二群樣本在各題的通過率長條圖
由圖 4-5 可知，第ⅠB群和第ⅡB群受試者在第 3 題的試題通過率分別 為.96 和.32；第 7 題的試題通過率分別為.96 和.16；第 10 題的試題通過率 分別為.96 和.11；第 12 題的試題通過率分別為.95 和.00；第 18 題的試題
.00 .10 .20 .30 .40 .50 .60 .70 .80 .90 1.00
第3題 第7題 第10題 第12題 第18題
.96 .96 .96 .95 .96
.32
.16 .11
.00 .05
第 IB 群 ⅠB 第 IIB 群 ⅡB
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通過率分別為.96 和.05。在此試題類型中，第ⅠB群受試者在各題表現均較 第ⅡB群受試者佳。
由表 4-9 及圖 4-6 觀察可知，第ⅠB群受試者面對此試題類型，採用規 則四(公式法)之比例最高，佔此群的比例約 63.7%，其次依序為規則三(單 價法)約 23.0%，規則一(倍數法)約 6.6%，規則十一(計算錯誤)約 2.4%，規 則五(數量分解法)約 1.3%，規則八(加法策略)和規則九(無規則)分別約 0.7%，
規則六(公因數法)約 0.5%，規則七(公倍數法)和規則十(比例項錯置)分別約 0.4%，最後為規則二(累加法)約 0.1%。
而第ⅡB群受試者在面對此試題類型，採用規則八(加法策略)之比例最 高，佔此群的比例約 61.1%，其次依序為規則九(無規則)約 14.2%，規則十 一(計算錯誤)約 7.9%，規則三(單價法)約 6.8%，規則四(公式法)約 3.7%，
規則十(比例項錯置)約 3.2%，規則一(單價法)約 1.6%，規則二(累加法)、
規則五(數量分解法)和規則六(公因數法)分別約 0.5%，無人使用規則七(公 倍數法)解題。
表 4-9 試題類型 B 之二群樣本所採用解題規則之比例 解題規則 二群樣本所採用解題規則之比例
第ⅠB群 第ⅡB群
規則一(倍數法) .066 .016
規則二(累加法) .001 .005
規則三(單價法) .230 .068
規則四(公式法) .637 .037
規則五(數量分解法) .013 .005 規則六(公因數法) .005 .005 規則七(公倍數法) .004 .000 規則八(加法策略) .007 .611
規則九(無規則) .007 .142
規則十(比例項錯置) .004 .032 規則十一(計算錯誤) .024 .079
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表 4-10 試題類型 C 不同潛在類別組數下之 AIC、BIC 和 CAIC 值
組別數目 AIC BIC CAIC
2 704.41 745.44 756.44 3 703.85 767.26 784.26 4 712.73 798.52 821.52 5 713.33 821.50 850.50 6 724.61 855.17 890.17
根據潛在類別分析結果，學生依此類別各試題的得分下最適合分成 2 群，其中不同的 2 群樣本在各試題的通過率及佔總人數之比例如表 4-11 所 示。各群的解題特性分述如下：
(一) 第ⅠC群的人數佔全體 88.6%，共 273 人，是人數較多的一群。第ⅠC 群在此類別各試題的通過率均達.96 以上，在第 19 題試題通過率甚至 高達,99，綜合而言，此群受試者在此試題類型各題表現皆很不錯，因 此可將此群命名為試題類型 C 精熟群。
(二) 第ⅡC群則是佔全體 11.4%，共 35 人，是人數較少的一群。第ⅡC群 的通過率最高為.14，其餘皆未達.10，此群受試者在各題表現均較第
ⅠC群不佳，綜合而言，此群受試者在此試題類型各題表現皆不理想，
因此可將此群命名為試題類型 C 不精熟群。
表 4-11 試題類型 C 之二群樣本在各題的通過率
題號 二群樣本在各題的得分機率
試題類型 C 精熟群(88.6%) 試題類型 C 不精熟群(11.4%)
2 .97 .14
6 .96 .14
13 .97 .06
15 .96 .03
19 .99 .06
根據試題類型 C 之二群樣本在各試題的通過率，其試題類型 C 之二群 樣本在各試題的通過率長條圖，如圖 4-7 所示。
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圖 4-7 試題類型 C 之二群樣本在各題的通過率長條圖
由圖 4-7 可知，第ⅠC群和第ⅡC群受試者在第 2 題的試題通過率分別 為.97 和.14；第 6 題的試題通過率分別為.96 和.14；第 13 題的試題通過率 分別為.97 和.06；第 15 題的試題通過率分別為.96 和.03；第 19 題的試題 通過率分別為.99 和.06。在此試題類型，第ⅠC群受試者在各題表現均較第
ⅡC群受試者佳。
由表 4-12 及圖 4-8 觀察可知，第ⅠC群受試者面對此問題類型，採用
由表 4-12 及圖 4-8 觀察可知，第ⅠC群受試者面對此問題類型，採用