第一章 緒論
本研究旨在應用潛在類別分析方法(latent class analysis，簡稱 LCA)，
分析國小六年級學童在比例問題 (proportional problem) 之解題規則 (rule of problem solving)表現。首先就其試題通過率進行分析，瞭解不同性別受 試者在比例問題表現之差異；再根據潛在類別分析的分群結果，探討各群 組的解題規則特徵及分析學童在不同試題類型間的表現。本章說明研究動 機與研究目的，並對本研究所提及之相關名詞加以定義、解釋。
第一節 研究動機
解決問題的能力在九年一貫數學課程中，是頗重視的要點 (教育部，
2009)，其在數學領域備受強調與重視。而解決問題的過程中，學生的解題 規則往往扮演著重要的關鍵角色，不僅是教師在教學上時常研究的問題，
對學生的數學學習發展更深具意義，故在教育界頗受關注，亦是研究者關 切而欲深入了解之問題。
國內的 97 年數學課程綱要，在高年級的目標列入「能利用常用數量 關係，解決日常生活的問題」(教育部，2009)。九年一貫國小數學領域的 能力指標也列入 N-3-15 (五到六年級)：能認識比、比值與正比的意義，並 解決生活中的問題(教育部，2009)。而美國教師數學協會 (National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM) 在「學校數學準則與標準」一書 中提到，在數與計算、測量、機率等領域，均強調比例概念是六至八年級 學童應該學會的課題(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 2000)。比例這個數學結構運用在生活情境時，必須有推論、預測和批判等 能力，對國中小學生而言是相當困難的課題 (劉秋木，1996)。甚至對大學 生而言，依然困難重重 (Lamon, 1993)。由此可知，比例問題對小學生而
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言是困難的，但比例問題又與我們生活情境息息相關，例如：單位的換算、
速率問題、錢幣的兌換等皆是比例問題的一種。因此，比例問題是重要的 研究主題。
由於每個人的思考邏輯並不相同，解題時對於各種解題規則的使用情 形亦不相同；甚至在多道相同概念之題目中，同一個人也未必會使用同一 種解題規則進行解題。林原宏、游森期 (2006) 指出解題者面對問題時，
常因既有的經驗或知識架構影響其解題的規則，然而有正確的解題規則，
亦有不正確的解題規則，採用正確規則會有對的答案，但不正確的規則其 答案可能錯，亦可能對。甚至同一位解題者，亦可能交替地使用不同的規 則來解題，故而答案的正確與否無法代表受試者的認知，進一步分析解題 者的解題規則，以判斷解題者的知識結構甚為重要。
教學前教師所進行之前測，可以藉以了解學生所具備的經驗及知識，
是否足以繼續構築新的概念。而教學後所進行之測驗，目的在於了解學生 所學習的概念理解情形，進而針對個別學生的補救教學。而在學童的學習 過程中，教師時常以評量來檢視學童的學習成果，但這種評量通常是屬於 總結性評量 (summative evaluation)，而忽略了知識建構過程的形成性評量 (formative evaluation) (余民寧、陳嘉成，1998)。所以當總分就代表學習成 果時，總分相同的學童就被認定為認知結構亦相同，若以總分為標準來對 學童分組，並進行補救教學，殊不知學童在數學知識上是否存在著程度或 結構上的差異。而潛在類別分析可根據受試者的反應資料，分析學生的潛 在知識結構並加以分組，教師可就各組的知識結構特性需求進行教學。因 此，若能分析學生的解題情形進行潛在類別分組，進而獲得各組的學生解 題規則，就其解題所採用的策略及概念，將有助於教師針對各潛在類別學 生教學及補救教學進行準備。潛在類別分析是依據受試者在測驗中的反應 組型(response pattern)進行分析，根據事後機率(posterior probability)將受試
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樣本進行分組，使得各組的組內同質性高，組間異質性高，因此，各組內 受試樣本所形成的反應組型可代表各組潛在知識型態或解題規則。
Karplus, Pulos, and Stage (1983)的研究結果顯示，在數值型態為整數之 比例問題上，男、女生之比例推理能力無差異，在數值型態為分數之問題 上，則男生表現較優。而相關研究顯示，性別的因素會影響解題規則的使 用(Jansen & Van der Mass, 1997)，且不同能力值的學生，所傾向使用的規 則並不一致(樊雪春，1998)。因此，進行不同性別之間的比例推理能力比 較與比較不同群組之間的解題規則使用特徵，確有必要與可行之處。
綜合以上所述，本研究以國小六年級學童為研究對象，以參考 Karplus and Peterson (1970) 之研究後所編製的比例問題為研究工具，探討國小六 年級學童在比例問題的解題規則表現。首先分析全體及不同性別受試者在 比例問題測驗的表現情形與差異，再藉由潛在類別分析方法，分析受試者 在各試題類型所隸屬的潛在類別(latent class)，以瞭解受試者在各試題類型 的認知結構變化。
第二節 研究目的
基於上述，本研究目的臚列如下：
一、 了解受試者在比例問題測驗之表現情形。
二、 了解不同性別受試者在比例問題測驗表現之差異。
三、 應用潛在類別分析方法，根據受試者在比例問題測驗的得分進行分 群，並探討其所採用的解題規則，以了解各群組在比例問題測驗之 表現情形與所使用的解題規則特徵。
四、 根據潛在類別分析在各試題類型的分群，了解不同試題類型間受試 者在群組的變化，並分析其所採用的解題規則特徵。
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第三節 名詞定義
本節將就研究中所涉及之相關名詞進行定義與說明如下：
一、 比例問題
本研究之比例問題，係為 Karplus and Peterson (1970) 之研究中矮先生 與高先生問題 (Mr. Short and Mr. Tall problem)，本研究之自編測驗題目圖 中有矮先生和高先生兩個人，分別以相同大小的迴紋針與鈕釦測量高度，
透過已知與矮先生相同高度的迴紋針與鈕釦數及高先生的鈕釦數，計算出 高先生的迴紋針數。
二、 解題規則
解題規則係指受試者解決問題時會依循某種方法或策略的心理歷程 (Jansen & Van der Maas, 2002)。Siegler (1976)認為解題者受到本身已存在的 知識結構的影響，在解題過程中會依循某種方法或規則進行解題。所以，
解題規則可象徵解題者的潛在知識狀態。
三、 潛在類別分析
潛在類別分析是利用機率概念來對受試者分類，依據受試者的反應組 型，分析受試者隸屬的潛在類別，使得同一類別的受試者具有相似的認知 結構，不同類別的受試者認知結構則不相同。
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