影響學童比例問題表現的因素

比例問題會因問題類型、數字關係、未知數位置、數值大小和題目型 態等的不同，影響學童的解題表現。因此，就以下影響學生比例問題解題 表現的因素，分述如下：

壹、問題類型

國內外不同學者的研究皆指出，不同類型的比例問題，其難易度不同，

學生的解題表現亦有差異(陳竹村等人，2002；楊錦連，1999；Lamon, 1993)。

Lamon (1993) 將比例問題的語意結構分為良好合成的量數、部分-部分-全 體、關聯的集合及放大和縮小四種類型。而陳竹村等人 (2002) 則依語意 類型將比例問題分為交換問題、組合問題、母子問題和密度問題，此分類

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與周筱亭、黃敏晃(2002)之研究相同。綜合上述，將比例問題分述如下：

一、組合問題(關聯的集合)

問題中，兩個量數之間的關係是不明確的，亦即兩個量數並沒有明顯 的關係，經過題目明確陳述後，才產生比例關係，這種問題屬於關聯的集 合 (Lamon, 1993)。例如，「親子遊戲中，3 位小孩需要 2 位大人來協助，

有 15 位小孩參加遊戲，需要多少位大人來協助？」 由上述的題目中，可 知其中的「3 位小孩」和「2 位大人」並沒有關係，但經過題目陳述之後，

這兩個量數才產生了比例關係。

二、母子問題 (部份-部份-全體)

一個整體(或集合)是由兩個以上的部份集合所組成，而部份集合之間 有比例關係，這種問題稱為部份-部份-全體問題 (Lamon, 1993)。母子問題 亦屬於此類，也就是全體量和部份量有比例關係的問題。例如，「1 包糖 果有 10 顆，其中有 5 顆是草莓口味，相同的糖果買 5 包，有幾顆是草 莓口味？」這就是母子問題。楊錦連(1999) 認為母子問題包含機率概念，

是對學童解題而言是較困難的原因。

三、交換問題

兩個物件因某種約定，使得有相同的價值，這種問題稱為交換問題(陳 竹村等，2002)。例如，「3 個蘋果可以換 2 個西瓜」，蘋果和西瓜是因某種 約定而等價，又如買賣的情境中，「3 顆糖果賣 10 元」，糖果和價格的等價 也是相同的道理。像這樣以物易物的情境問題就是交換問題。

四、密度問題(良好合成的量數)

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由兩個外延量所組合的比例關係，產生了一個新的內涵量，而此內涵 量是眾所皆知的，這種問題稱為良好合成的量數(Lamon, 1993)。例如，「5 公升的水重 5 公斤，幾公升的水重 10 公斤？」，水的密度是由水的重量和 水的體積比所決定。又如「16 公分長的鐵條有 20 公斤重，同樣粗細的鐵 條 32 公分，有多少公斤重？」，鐵條的密度亦是固定的。像這樣的關係可 類推至其他內涵量，例如速率是距離和時間的比。

五、放大與縮小問題

比例問題中，兩個量數間有固定的比例，當一量數增加，另一量數也 依固定比例增加；反之，當一量數減少，另一量數也隨比例減少，這種問 題稱為放大和縮小問題(Lamon, 1993)，也稱為伸縮問題(楊錦連，1999)。

例如，「樹的高度與影子的長度關係，樹高 5 公尺，影子長 3 公尺，若樹 高 10 公尺，則影子長多少公尺？」，又如「若要調製兩杯固定濃度的檸檬 汁，已知甲杯是由 2 杯原汁和 4 杯水調製而成的，若乙杯倒入 4 杯原汁，

則應該再加入幾杯水？」上述皆是屬於放大和縮小問題的例子。

綜合上述，比例問題類型分為組合問題、母子問題、交換問題、密度 問題和放大與縮小問題五類。相關文獻指出，不同問題類型對學生而言難 易度亦不相同。楊錦連 (1999) 指出，國小五、六年級學童的解題表現中，

發現交換問題和組合問題最簡單，其次為密度問題和母子問題，而伸縮問 題最難。此觀點恰與陳竹村等人 (2002) 的研究結果順序相同，且依問題 情境來看，交換問題與學童生活情境較接近，對於學童比較熟悉，其次為 組合問題和母子問題，而密度問題最為困難，因為可能受物理性質的干擾。

另外，Lamon (1993) 研究結果指出，放大與縮小問題對學生而言最為困難，

學童作答時無法以具體的畫圖或其他方式表徵，因此學童多使用較低水準 的解題策略來解題。由此可知，不同的語意類型，可能導致不同的解題策 略。另外，Lo and Watanabe (1995) 也指出學生在熟悉的日常生活情境能發

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展複雜的比例策略，顯示問題情境和學生的生活經驗有密切關係，更影響 學生的解題。雖然不同的語意結構會影響學生在比例問題上的解題，但學 童會因不同的語意類型題目選擇不同的解題策略 (莊玉如，2005；Jeong, Levine, & Huttenlocker, 2007；Steinthorsdottir, 2006)。

貳、數字關係

數字關係一直是比例推理相關研究探討的主軸之一。探討兒童在不同 數字關係下之解題表現的研究(林福來、郭汾派、林光賢，1986；翁宜青、

劉祥通，2003；楊錦連，1999；Hart, 1981；Noelting, 1980a, 1980b)都指出，

兒童解比例問題之成功與否，深受問題情境中數字關係之影響。換句話說，

兒童較擅長解整數倍的比例問題，對於非整數倍的比例問題則感到較困 難。

綜合上述，不同的數字關係會影響學童解題的表現。本研究參酌 Noelting (1980a, 1980b)、劉祥通 (2004) 和陳竹村等人(2002) 的研究，將 比例關係式「a : b = c : x」依數字之比值關係分為以下四種類型來作探討：

一、第一型式：b和c皆是a的整數倍，如：8 :16 = 24 : x；

二、第二型式：只有b是a的整數倍，如：8 :16 = 2 : x；

三、第三型式：只有c是a的整數倍，如：8 : 2 = 24 : x；

四、第四型式：b、c 與 a 之間為非整數倍，如：12 :8 = 9 : x。

許多研究者都以這四種試題類型針對國小四到六年級學童進行研究，

不論是國內或國外的研究，皆一致發現學童在解整數倍問題時比解非整數 倍問題容易(莊玉如，2005；劉祥通，2004；Karplus, Pulos, & Stage, 1983；

Van Dooren, et al., 2006；Ruiz & Lupianez, 2009)。

楊錦連(1999)的研究結果顯示，數字關係為第一型式和第二型式的比 例問題，使用率最高的解題規則為單價法，而在數字關係為第三型式的比

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例問題，使用率最高的解題規則為倍數法。而六年級學童使用公式法的頻 率，在數字關係為第三型式和第四型式之比例問題，比在數字關係為第一 型式和第二型式之比例問題明顯增多，可見學童會以數字關係類型作為選 用解題規則的依據。因此，探討個別學童在各種數字關係之比例問題，使 用何種解題規則，是本研究欲探究的重點之一。

参、題目型態

比例問題的題目型態分為求未知數和比較比值問題(Karplus et al., 1983; Lesh et al., 1988; Tourniaire & Pulos, 1985)。前者題目如「2 枝冰棒賣 20 元，買 12 枝冰棒要付多少元？」，後者題目如「甲店 2 枝冰棒賣 20 元，乙店 4 枝冰棒賣 28 元，哪一間店比較便宜？」。Karplus 等人(1983) 研究指出，求未知數問題是比較比值問題中比值相等之特例，故比較比值 的問題比求未知數的問題困難。

肆、未知數位置

陳竹村等人(2002)曾指出，在比例關係式「a b: c d: 」中，當未知數 在後比例項 c 或d的教學活動，稱為正向活動；當未知數在前比例項 a 或b的 教學活動，稱為逆溯活動；並從概念發展的觀點，解決逆溯活動問題之能 力發展宛於正向活動。周筱亭、黃敏晃(2002)認為，由概念的發展觀點來 看，正向活動易於逆向活動，需要累積正向的經驗，對正向活動已有期待 時，才有可能發展逆向活動。換言之，學生對於未知數在第三、四項的問 題比較早能掌握，至於未知數在第一、二項的問題則較慢發展。