第二章 文獻探討
第二節 比例問題之相關概念
可以比例式「a : b = c : d」或等值分數「b d
a c 」之方式表達。
第二節 比例問題之相關概念
數學概念的學習需要具備充足的先備知識 (prior knowledge)，以構築 學習新概念。因此要探討學童對於比例問題之解題規則前，須先了解學童 解比例問題所需相關概念。研究者從文獻中整理出以下五點：一、乘除法 概念；二、因數與倍數概念；三、有理數概念；四、相對與絕對的思考能 力；五、單位化和基準化能力。
壹、乘除法概念
比例推理能力和乘除法的關係密切，學生的解題受到是否熟悉乘除法 情境之影響。Vergnaud (1983) 提出了「乘法概念域」 (multiplicative conceptual field) 的理論，提到比、比例、分數、因數、倍數、速率、函數 等概念與乘除法間的相互關聯性。Heather (2008)指出學生擁有乘法概念這 個先備知識對於解比例問題是重要的基礎。Lo & Watanabe (1997) 指出其 個案的比例概念深受本身乘除法概念影響，也支持比和比例概念內嵌於乘 法概念體的觀點。而 Vergnaud (1988) 提出乘除法問題是比例問題的特例，
例如：「15 顆糖果賣 6 元，請問 10 顆糖果賣多少元？」是比例問題，
若將上題改為「1 顆糖果賣 6 元，請問 10 顆糖果賣多少元？」就是乘 法問題了，若將題目改為「2 顆糖果賣 6 元，請問 1 顆糖果賣多少元？」
即是除法問題。所以，比例概念可說是乘除法概念的上位概念 (劉祥通，
2004)。因此，若能熟悉乘除法概念，將有助於比例問題的解決。
貳、因數與倍數概念
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比例問題的解題經常應用到因數與倍數的概念，而 Lo & Watanabe (1997) 的研究也強調因數與倍數是解比例問題成功與否的知識基礎。Lo &
Watanabe (1997) 的研究指出，研究個案 Bruce 對於「12 元可買 8 顆糖 果， 9 元可買幾顆糖果？」此題目，發現他的解法為：將 12 元分成 4 份，
每份有 3元；再將 8 顆糖果分成 4 份，每份 2 顆。如此將錢和糖果數 都分成 4 份後，再利用 3 元 2 顆，6 元 4 顆，9 元 6 顆的方式求解。
其實就是找出 12 和 8 的公因數「4」，如此縮短解法就是應用了因數與 倍數的概念解比例問題，若他有因數的概念，應該從 12 元和 8 顆找出 共同因數，而不是從嘗試錯誤的方法來找出公因數 4。而劉祥通、周立勳 (1999) 指出，解比例問題往往是要先做除法再做乘法，也就是解因數與倍 數的問題，因此因數與倍數的概念可以說是比例問題概念的基石。
参、有理數概念
比值可表示成有理數(rational number)「a
b 」的方式，而有理數有多種 意義。Kieren (1980) 認為有許多不同的方式可說明有理數，例如：部分─
整體 (part-whole)、商數 (quotient)、測度 (measures)、比值 (ratio)、運算 子 (operator)，而比值就是其中的一環。
楊錦連 (1999) 提到有些學生並不了解可用分數來表示除法除不盡的 概念，例如：遇到「8 除以 3」的問題時，學生解題遇到除不盡時，常會 放棄解題，或是認為之前的計算過程中出現錯誤，卻不會以「8
3」表示結
果。劉祥通 (2004) 認為大部分學生只理解分數概念的一、兩個意義，甚 至解比例問題時，發現學生甚至只有部分─整體的觀點，無法以分數表示 兩數量的倍數關係。美國國家科學研究委員會(National Research Council，
簡稱NRC) 指出有些學生在遇到有理數概念之問題時，會採取加法策略來 解決問題，導致失敗的解題(National Research Council, NRC, 2005)。
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綜合上述，有理數概念不完整的學童，在解比例問題遇到除法運算除 不盡時常會產生困難，以致於影響解比例問題的成敗。
肆、相對與絕對思考能力
劉祥通 (2004) 認為所謂相對的(relative)思考能力是表示學生可以了 解情境中數量關係的相對性。而 Lamon (1995) 認為相對的思考能力和比 值的單位化能力是解比例問題的兩個重要的思考策略。
比值是表示一個數值對於另一個數值的相對大小，但是比例問題牽涉 兩個比值的對等，因此「對等」正式比例問題中最重要的概念 (劉祥通，
2004)。換句話說，學生可以了解情境中數量關係的相對性與絕對性，是影 響到解比例問題成敗的關鍵之一。舉例來說，有兩株小草，分別高 3 公 分及 5 公分，一個月後測量，小草分別高 5 公分及 7 公分。以絕對的 思考觀點而言，兩株小草均長高 2 公分，看起來成長一樣多，但就相對 思考的觀點而言，原本 3 公分高的小草成長率為2
3，而另一株小草的成 長率為2
5，而2 2
35，所以其實 3 公分的小草成長速度較快。因此，相對 思考能力是解比例問題的重要能力。
伍、單位化與基準化能力
單位化和基準化能力(norming)，是比例發展重要的心理機制 (Lamon, 1994)。所謂「單位化」是將單位結構逐漸建立複雜化的歷程，它是發展更 複雜推理的重要機制 (mechanism) (劉祥通，2004)。例如：3 枝鉛筆賣 10 元，15 枝鉛筆賣多少元？能把「3 枝 10 元」 視為一個單位，並以此單 位來計數，便是具備單位化的能力。由此可知，學生經常使用的累加法策 略，亦是單位化能力的應用。周筱亭、黃敏晃(2002)指出若兒童解比例概 念問題時，能先求出單位量，再利用此單位量解題，即具備比值單位化的
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能力。
而「基準化」是採取一些單位的架構以概念化其他的情境(劉祥通，
2004)。從 Freudenthal (1983) 提出的例子來說明，「將地球的大小想像成 直徑 1 公厘的針頭那麼大，則太陽就變成直徑為 10 公分的球體，且與 地球的距離也變成只有 10 公尺。」像這樣利用「固定地球縮小為針頭的 比例」，重新概念化「太陽的大小」和「與地球的距離」，就是基準化的 過程。Lamon (1994) 指出，解比例問題時所採取的單價法策略和倍數法策 略，皆是運用基準化能力解題之例子。因此可知單位化和基準化能力皆是 比例問題成功解題之關鍵。
綜合上述可知，乘除法概念、因數與倍數概念、有理數概念、相對與 絕對思考能力及單位化與基準化能力，是學者們認為對於學習比和比例概 念之關鍵。因此教師平時應提供許多不同情境的比例問題，讓學童能發展 思考和擴展有理數概念之能力，若之後遇到比例問題時，才能應用本身所 具備之能力順利且成功的解題。瞭解乘除法、因數與倍數、有理數等概念，
並透過有意義的運算才能成功的解題，而這些概念是互相依賴的，並不能 獨立發展。