第二章 文獻探討
第五節 潛在類別分析及相關研究
一、潛在類別分析之意義
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潛在類別分析是一種潛在特質分析的模式，最先由 Lazarsfeld (1950) 提出，其後有一系列的母數估計研究報告，直到 Goodman(1974a, 1974b) 發展了最大概似法後，一般研究者皆採用此法進行母數估計，LCA 的應用 才開始擴展(吳毓瑩、林原宏，1996)。
而潛在類別分析主要作用在於分群，在教學上提供了兩大用途，其一 是將同質的學生分成同組，可針對共同的迷思概念進行教學，以提升學習 成效；其二可將同質的學生打散造成異質結構學生同組，以配合討論活動 或是合作學習活動，透過不同知識結構之學生互動，達到知識結構間的變 化與同化的歷程。
二、潛在類別分析之演算
在本研究中，將應用潛在類別分析於學童在比例問題測驗的解題規則，
透過潛在類別分析了解學童在解題規則的分群情形。
潛在類別分析的過程必須估計參數，包含各類別組佔全體樣本的比例，
以及每一題在各類別組內的答對機率值(或稱通過值)。而參數估計完成後，
可以各潛在類別在題目上的答對機率及題目特性，做認知結構上的描述。
接著可根據受試者的反應組型，計算出受試者的事後機率並將其歸類，由 此可看出該受試者的反應特性，並得知他的認知結構，做為認知診斷 (cognition diagnosis) 或學習分組之用。
以下說明潛在類別分析所使用之符號，解釋如下：（引自吳毓瑩、林 原宏，1996）。
（一）受試者有效人數共N 人，以i為受試者代號，則i1, 2,...,N。
（二）分析的題數共計K題，以k為各題之代號，k1, 2,...,K。
（ 三 ） 受 試 者 對 各 試 題 的 反 應 型 態 ， 以x表 示 ； 記 分 方 式 為 二 分 法 (dichotomous)，亦即答對為1，答錯為0。受試者i對題目k的反應以
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xki表示，而對全部題目的反應向量則為xi。
（四）根據研究所得之反應資料，可將受試者分為C 個類別，以 c 表示各 個類別，c1, 2,...,C。
（五）試題k在類別 c 的條件下，其條件機率(conditional probability)，或稱 通過率為kc。
（六）類別 c 人數佔全體受試人數比例為c。
今利用以上符號，並舉本研究來說明各符號之使用，本研究之測驗題 目共計 20 題，K20，反應組型共計220 1048576，並假設第i位受試者的 反應型態xi為 (1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,0,1)，代表各試題的對錯情 形，其中對第二題的反應值為x2i 0。又假設第二題對第一類別而言相當 容易，則21會接近 1，反之則接近 0。再者，若第一類別人數佔全體人數 之 30%，則10.3 ，且由於為潛在類別之比例，故而 1 2...C 1。 而潛在類別分析所要估計參數，即為類別比例c及試題條件機率kc。
另外，潛在類別分析中有一個很重要的概念就是局部獨立性 (local independence)。一份測驗的題目間彼此必有相依之關聯，諸如內部一致性 或是共同因素，如果我們將共同特質的變異量部分去除，則可發現題目本 身扣除共同的特性後，彼此是獨立的。因此潛在分析所設立的前提便是在 同一個潛在類別之中，題目的反應互相獨立，因為共同變異的部份為潛在 類別所佔，故kc題目答對機率所反應的即是潛在類別中的條件機率(吳毓 瑩、林原宏，1996)。
接著，我們將採用潛在類別分析之估計方法中，常用的最大可能估計 法( Maximum Likelihood Estimation，簡稱 MLE )，估計類別比例c及試題
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令概似函數 (likelihood function)為：
(1 )
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( )
( )
( )
c i
i
i
f X c h c X
f X
(3)
由以上 (1)、(2)、(3) 式的關係，我們可以進行 EM 估計法的估計，
此估計法之概念由 Dempster, Laird, & Rubin (1977) 而來，但應用於潛在類 別分析的參數估計上，Clogg (1977)所設計之軟體貢獻很大。
(二) EM 估計法
EM 估計法有兩個步驟，分別為估計步驟 (Estimation)和最佳化步驟 (Maximization)。呈現如下：(引自吳毓瑩、林原宏，1996)
1. 首先，將(3)式中的c和kc給定初始值 (initial value)，並得到事後 機率h c X( i)。
2. 在最佳化步驟中，將h c X( i)代入 (1)、(2) 式的右端，並在左端得 到新的c和kc。
3. 將所得的兩個值代入(3)式，再進入估計步驟，以獲得新的事後機率，
取代原先設定之初始值。
4. 將新的事後機率估計值代入 (1)、(2) 式的右端，回到步驟 2 的最佳 化步驟，如此重複步驟 2、3、4，不斷的重複和迭代 (iteration)，
進行估計與最佳化工作，直到估計達到收斂 (convergence)。
EM 估計法利用方程式之間不斷地迭代，計算不繁雜卻冗長，今則可 藉電腦強大的計算能力，使得 EM 估計程序在短時間內可完成。
三、適配度的選擇
潛在類別分析方法的原理，是依受試者的反應組型，觀察其與模式和 資料的適配度 (goodness of fit)，再決定最適合的組數與結構。由於並不是
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每位受試者反應組型與類別模型相同無異，因此，受試者反應組型和類別 模型有距離 (distance) 存在，距離愈小適配度愈佳。潛在類別分析在適配 度的決定，常以 Akaike Information Criterion (AIC)、Bayesian Information Criterion (BIC) 及 Consistent Akaike Information Criterion (CAIC) 來判斷，
以選擇最佳類別數的依據。
Akaike (1973) 根據 Kullback-Leibler discrepancy 定義出 Akaike 資訊參 數 (Akaike Information Criterion，簡稱 AIC)。以最大概似法來進行推算，
最具有效性，也最為靈敏，相較於其他選模準則，是由於 AIC 的懲罰函數 (penalty function) 較小的緣故，選取較小的值有較佳的適配度。
Akaike (1978) 由貝氏的觀點所提出來的貝氏資訊參數 (Bayesian information criterion，簡稱 BIC)。由於 AIC 指標沒有考慮樣本數的影響，
因此當樣本數愈大時，AIC 指標愈缺乏準確性，因此當樣本數愈大時，BIC 指標愈能選出愈正確的模型。
Bozdogan (1992) 為了讓 AIC 更有一致性，提出 CAIC 指標，CAIC 的 懲罰項係數比 AIC 更大，對於複雜模型過度參數化比 AIC 和 BIC 更為嚴 格，對於簡單的模型更為有利。
在選擇最佳分群數時，可依據 AIC、BIC 和 CAIC 指標，其值愈小則 為選擇較佳的分群數模式。茲將 AIC、BIC 和 CAIC 的公式臚列如下：
AIC=2logL2t BIC=2logL(logN t) CAIC=2logL [1 (logN t)]
其中，t 表示參數個數，N 表示受試者人數，或稱有效的樣本數；L 則 為最大概似函數。在選擇最佳分群數時，可依據 AIC、BIC 和 CAIC 指標，
質愈小則為最佳的分群數模式；若當 AIC、BIC 和 CAIC 指標並非同時為 最小值時，可考慮以「最簡潔模式」及「最佳解釋模式」 (吳毓瑩、呂玉
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琴，1997) 的標準來執行最佳模式的選擇。
四、潛在類別分析之相關研究
潛在類別分析的應用範圍相當廣泛，此將潛在類別分析以教育為範疇 加以說明。吳毓瑩、林原宏 (1996) 應用潛在類別分析學童在除法概念結 構上，結果按受試者的答題模式分成七組，每組皆各有特色，證明透過潛 在類別分析的分群後，再配合試題題目的內容，就可了解學童的概念結構 與分類。吳毓瑩、呂玉琴 (1997) 認為應用潛在類別分析模式在學童學習 上可以達成認知診斷的功能，可用在分組合作學習時參考，可觀察認知結 構改變的歷程等三大益處，並以潛在類別分析方式，探索三、四年級學童 學習等值分數時的概念結構。
陳惠萍 (2007) 分析高年級學生在相關 (correlation) 問題的解題規則 表現，發現各類別學生所使用的解題規則並非單一性，可能同時選用多種 規則。張育綾 (2008) 應用潛在類別模式分析國小五年級學童四則運算規 則之縱貫研究，根據潛在類別分析三大運算規則的分群結果，發現前、後 測的分群組數不同，且不同群的學童在各規則下之認知結構亦有所不同。
陳宇雯 (2008) 應用潛在類別分析探討國小五年級學生的分數概念，依據 答題類型給予適當的分群，結果顯示全部學生的認知結構依據單位量可分 成兩群，等分概念可分成兩群，等值分數概念可分成三群。
洪藹鈺 (2008) 使用潛在類別分析國小高年級學童小數概念之認知結 構與改變情形。研究結果發現，前、後測各概念得到之分組數不盡相同，
且各組認知結構情形有所差異，前、後測的潛在類別改變皆達顯著差異，
其認為現金教學上，常有合作學習模式需使用分組教學，通常卻使用隨機 分組，缺乏理論上的依據，認為潛在類別分析可提供分組之參考。
謝如山 (2003) 使用潛在分類模式 (latent class model)來分析學生括 號概念的應用。其研究指出，使用此分析方法優點有三項優點：一、學生
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的學習認知階層可被顯示，潛在類別分析的變項假設是間斷的，因此可判 定不同層次能力的特徵為何；二、多重空間的考慮是可行的，如潛在類別 分析可假設兩個以上的潛在變項；三、無母數估計的分配假設，研究中有 部分題項的分配是偏態的，因此在此研究中此假設是很重要的。
李幸娟 (2012) 使用潛在類別分析國小四年級學童在直覺法則的作答 反應，進行分群探討各類別的特徵以及各潛在類別其後設認知的差異性。
藉由潛在類別分析出學童最佳分群數為 5 群，群組一的學童主要使用
「Same A-Same B」和「無限細分」法則；群組二的學童主要使用「Same A-Same B」和「有限細分」法則；群組三的學童主要使用「無限細分」法 則；群組四的學童四個法則均有使用的情形；群組五的學童主要使用「有 限細分」法則。研究結果發現不同群組在「有限細分法則後設認知能力」
和「無限細分法則後設認知能力」的表現上均達顯著差異。可作教師在教 學時分組的依據和未來對直覺法則及其後設認知之間的相關性研究之基 礎。
潛在類別分析法除了應用在一般數學教育方面，在其他的教育方面亦 有貢獻。Yang, Shaftel, Glassnap and Poggio (2005)的研究應用潛在類別分析 法分析特殊教育學生的數學能力。Notenboom & Reistma (2007)的研究則是 應用在學童的拼音規則與型態。林惠雅 (2008)應用潛在類別分析探究國小 五年級男女學童母親信念、教養目標和教養行為的類型及其與學童學業表 現的關聯。Van Lier, Verhulst and Crijnen (2003)使用潛在類別分析出類別，
並用檢核表辨別孩童是否有製造混亂的行為。莊嘉坤 (1995) 認為學生的 科學態度為一潛在的心理變項，具有潛在特質，因此應用潛在類別分析法 分析學生的科學態度之潛在類別。王郁琮、溫福星(2012)利用試題反應理 論混合模式，探討國中生家庭與學校生活適應因素結構，在研究中亦與潛 在類別分析之結果進行交叉分析比對。
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潛在類別分析亦被使用於醫療，Castle, Sham, Hesseley, and Murray (1994)的研究，用於探討男人與女人在精神分裂症的子類型。Rindskopf
潛在類別分析亦被使用於醫療，Castle, Sham, Hesseley, and Murray (1994)的研究，用於探討男人與女人在精神分裂症的子類型。Rindskopf