國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文
指導教授：林原宏 教授
潛在類別取向在國小學童
比例問題之解題規則探究
研究生：王中瓔 撰
中華民國 一○二 年 六 月
謝辭
時光荏苒，回首兩年的研究所生涯，期間有歡笑、有淚水，而這本論 文能夠順利完成，要感謝所有曾經幫助我的人。 首先，感謝指導教授林原宏博士，有幸承蒙林教授的專業指導，在研 究所求學期間，儘管教授非常忙碌，總是不厭其煩地傾囊相授，在我遇到 困難時，適時鼓勵、督促我，也盡力幫助我解決撰寫論文所遇到的問題， 從過程中不僅學習到做研究的方法，更學到為人處事的道理，十分感謝。 其次，感謝論文口試委員劉祥通教授及易正明教授，百忙之中撥冗對 本論文提供精闢專業的指正與建議，讓我明白此研究中須改進之處，瞭解 專業的研究精神，學生獲益良多，透過兩位教授的指導，使本論文更加嚴 謹與完善。 此外，感謝研究所的同學與研究室的伙伴們，因為有你們的相伴與扶 持，讓兩年的研究所生涯感到特別快樂，也過得特別快，很高興在求學過 程中，能遇見你們，大家互相勉勵與督促。也十分感謝協助我研究上施測 的在職老師們，因為有你們的協助才能完成我的研究。 最後，更感謝我親愛的家人們，謝謝爸爸和媽媽一直以來對於我們學 習總是給予最大的支持，讓我能無憂無慮地完成學業，謝謝姊姊、姊夫和 妹妹的關心與支持，謝謝男友永升的鼓勵與陪伴，你們一直是我最堅強的 後盾，給予我很大的力量。 僅將此份喜悅與幸福，與我愛的人及愛我的人一同分享。 王中瓔 謹誌 民國一○二年六月I
摘要
本研究針對國小六年級學童在比例問題的解題規則表現進行探究。首 先分析受試者在各試題類型通過率的表現，比較不同性別之受試者的通過 率表現。其次應用潛在類別分析 (latent class analysis, LCA) 進行分群，依 據受試者在各試題類型中各題的通過率進行分群，並探討各潛在類別的特 徵。本研究比例關係式「a b: c x: 」依數字之比值關係分為四類試題類型： 試題類型 A 為 b、c 皆為 a 的整數倍，試題類型 B 為只有 b 是 a 的整數倍， 試題類型 C 為只有 c 是 a 的整數倍，試題類型 D 為 b、c 與 a 皆為非整數 倍，分析受試者在比例問題測驗的解題規則表現。研究結果分述如下： 一、 在比例問題測驗之四種試題類型中，全體受試者在試題類型 A 表現 最佳，其次為試題類型 B 及試題類型 C，在試題類型 D 表現最差。 二、 不同性別之間的試題通過率並無太大差異。在試題類型 A 及試題類 型 D，女生表現較佳；在試題類型 B，男生表現較佳；在試題類型 C，通過率則是相同。 三、 在四種試題類型中，潛在類別分析皆顯示分兩群為最佳。其中每一 試題類型的第Ⅰ群受試者主要採用的解題規則皆為規則四(公式法)， 其次為規則一(倍數法)與規則三(單價法)；而每一試題類型的第Ⅱ群 受試者之解題規則皆以規則八(加法策略)為主，其次為規則九(無規 則)。 關鍵字：比例問題、解題規則、認知診斷、潛在類別分析
II
Investigation on Rule Usage for Proportional
Reasoning based on Latent Class Analysis
ABSTRACT
The purpose of this study is to investigate the strategies of problem-solving as to proportional problems for the sixth graders of. The study shows the correct ratio of each item, and comparisons between gender. This study adopts latent class analysis (LCA) and discusses the characteristics in each latent class. In this study, there are four types of items based on the ratio of numbers. In the data analysis, each latent classes rule is discussed. Through the procedure of the analysis, some conclusions are as follows.
1. For the correct ratio in four types of items, students perform the best in type A problems, the second is type B problems, the third is in type C problems, and the lowest is in type D problems.
2. There are no differences on correct ratio of items between gender. For the correct ratio, Female students perform better than male students in type A items and type D items. However, male students perform better than female students in type B items.
3. According to LCA , there exist two classes in four types of items. Students of class mainly use the fourth rule, the first rule and the third rule. On the
contrary, students of class Ⅱ mainly use the eighth rule and ninth rule. Based on the results and findings, some recommendations and suggestions are discussed for future research.
Key words: proportional problem, rules of problem-solving, cognition diagnosis, latent class analysis
III
目錄
第一章 緒論...1
第一節 研究動機...1
第二節 研究目的...3
第三節 名詞定義...4
第二章 文獻探討...5
第一節 比、比值與比例之意義與相關...5
第二節 比例問題之相關概念...7
第三節 學童在比例問題的解題策略與相關研究...10
第四節 影響學童比例問題表現的因素...17
第五節 潛在類別分析及相關研究...21
第六節 解題規則分析方法...29
第三章 研究方法...35
第一節 研究架構...35
第二節 研究對象...36
第三節 研究工具...36
第四節 資料蒐集與處理...42
第五節 資料分析...43
IV
第四章 結果與討論...45
第一節 比例問題表現之描述性分析...45
第二節 比例問題測驗之解題規則分析...49
第三節 各類型比例問題之解題規則比較...64
第五章 結論與建議...75
第一節 結論...75
第二節 建議...79
參考文獻...81
附錄...91
附錄一 比例問題測驗...91
V
表目錄
表 3-1 本研究之有效樣本分配表...36 表 3-2 試題解題規則定義及作法...37 表 3-3 試題設計雙向細目表...40 表 3-4 比例問題測驗之試題組成...41 表 4-1 全體與男、女生在比例問題測驗之各試題通過率...45 表 4-2 全體、男女生在各類型試題之平均通過率...47 表 4-3 男、女生在各試題類型之獨立樣本 t 檢定分析摘要表...49 表 4-4 試題類型 A 不同潛在類別組數下之 AIC、BIC 和 CAIC 值...50 表 4-5 試題類型 A 之二群樣本在各題的通過率...51 表 4-6 試題類型 A 之二群樣本所採用解題規則之比例...53 表 4-7 試題類型 B 不同潛在類別組數下之 AIC、BIC 和 CAIC 值...54 表 4-8 試題類型 B 之二群樣本在各題的通過率...55 表 4-9 試題類型 B 之二群樣本所採用解題規則之比例...56 表 4-10 試題類型 C 不同潛在類別組數下之 AIC、BIC 和 CAIC 值...58 表 4-11 試題類型 C 之二群樣本在各題的通過率...58 表 4-12 試題類型 C 之二群樣本所採用解題規則之比例...60 表 4-13 試題類型 D 不同潛在類別組數下之 AIC、BIC 和 CAIC 值...61 表 4-14 試題類型 D 之二群樣本在各題的通過率...62 表 4-15 試題類型 D 之二群樣本所採用解題規則之比例...63VI 表 4-16 試題類型 A 與試題類型 B 分群人數比較...66 表 4-17 試題類型 A 與試題類型 C 分群人數比較...67 表 4-18 試題類型 A 與試題類型 D 分群人數比較...68 表 4-19 試題類型 B 與試題類型 C 分群人數比較...70 表 4-20 試題類型 B 與試題類型 D 分群人數比較...71 表 4-21 試題類型 C 與試題類型 D 分群人數比較...73
VII
圖目錄
圖 3-1 研究架構圖...35 圖 3-2 試題設計與內容...37 圖 4-1 全體在各試題類型之通過率...47 圖 4-2 男、女生在各試題類型之通過率...48 圖 4-3 試題類型 A 之二群樣本在各題的通過率長條圖...52 圖 4-4 試題類型 A 之二群樣本所採用解題規則之比例長條圖...53 圖 4-5 試題類型 B 之二群樣本在各題的通過率長條圖...55 圖 4-6 試題類型 B 之二群樣本所採用解題規則之比例長條圖...57 圖 4-7 試題類型 C 之二群樣本在各題的通過率長條圖...59 圖 4-8 試題類型 C 之二群樣本所採用解題規則之比例長條圖...60 圖 4-9 試題類型 D 之二群樣本在各題的通過率長條圖...62 圖 4-10 試題類型 D 之二群樣本所採用解題規則之比例長條圖...641
第一章 緒論
本研究旨在應用潛在類別分析方法(latent class analysis，簡稱 LCA)， 分析國小六年級學童在比例問題 (proportional problem) 之解題規則 (rule of problem solving)表現。首先就其試題通過率進行分析，瞭解不同性別受 試者在比例問題表現之差異；再根據潛在類別分析的分群結果，探討各群 組的解題規則特徵及分析學童在不同試題類型間的表現。本章說明研究動 機與研究目的，並對本研究所提及之相關名詞加以定義、解釋。
第一節 研究動機
解決問題的能力在九年一貫數學課程中，是頗重視的要點 (教育部， 2009)，其在數學領域備受強調與重視。而解決問題的過程中，學生的解題 規則往往扮演著重要的關鍵角色，不僅是教師在教學上時常研究的問題， 對學生的數學學習發展更深具意義，故在教育界頗受關注，亦是研究者關 切而欲深入了解之問題。 國內的 97 年數學課程綱要，在高年級的目標列入「能利用常用數量 關係，解決日常生活的問題」(教育部，2009)。九年一貫國小數學領域的 能力指標也列入 N-3-15 (五到六年級)：能認識比、比值與正比的意義，並 解決生活中的問題(教育部，2009)。而美國教師數學協會 (National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM) 在「學校數學準則與標準」一書 中提到，在數與計算、測量、機率等領域，均強調比例概念是六至八年級 學童應該學會的課題(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 2000)。比例這個數學結構運用在生活情境時，必須有推論、預測和批判等 能力，對國中小學生而言是相當困難的課題 (劉秋木，1996)。甚至對大學 生而言，依然困難重重 (Lamon, 1993)。由此可知，比例問題對小學生而2 言是困難的，但比例問題又與我們生活情境息息相關，例如：單位的換算、 速率問題、錢幣的兌換等皆是比例問題的一種。因此，比例問題是重要的 研究主題。 由於每個人的思考邏輯並不相同，解題時對於各種解題規則的使用情 形亦不相同；甚至在多道相同概念之題目中，同一個人也未必會使用同一 種解題規則進行解題。林原宏、游森期 (2006) 指出解題者面對問題時， 常因既有的經驗或知識架構影響其解題的規則，然而有正確的解題規則， 亦有不正確的解題規則，採用正確規則會有對的答案，但不正確的規則其 答案可能錯，亦可能對。甚至同一位解題者，亦可能交替地使用不同的規 則來解題，故而答案的正確與否無法代表受試者的認知，進一步分析解題 者的解題規則，以判斷解題者的知識結構甚為重要。 教學前教師所進行之前測，可以藉以了解學生所具備的經驗及知識， 是否足以繼續構築新的概念。而教學後所進行之測驗，目的在於了解學生 所學習的概念理解情形，進而針對個別學生的補救教學。而在學童的學習 過程中，教師時常以評量來檢視學童的學習成果，但這種評量通常是屬於 總結性評量 (summative evaluation)，而忽略了知識建構過程的形成性評量 (formative evaluation) (余民寧、陳嘉成，1998)。所以當總分就代表學習成 果時，總分相同的學童就被認定為認知結構亦相同，若以總分為標準來對 學童分組，並進行補救教學，殊不知學童在數學知識上是否存在著程度或 結構上的差異。而潛在類別分析可根據受試者的反應資料，分析學生的潛 在知識結構並加以分組，教師可就各組的知識結構特性需求進行教學。因 此，若能分析學生的解題情形進行潛在類別分組，進而獲得各組的學生解 題規則，就其解題所採用的策略及概念，將有助於教師針對各潛在類別學 生教學及補救教學進行準備。潛在類別分析是依據受試者在測驗中的反應 組型(response pattern)進行分析，根據事後機率(posterior probability)將受試
3
樣本進行分組，使得各組的組內同質性高，組間異質性高，因此，各組內 受試樣本所形成的反應組型可代表各組潛在知識型態或解題規則。
Karplus, Pulos, and Stage (1983)的研究結果顯示，在數值型態為整數之 比例問題上，男、女生之比例推理能力無差異，在數值型態為分數之問題 上，則男生表現較優。而相關研究顯示，性別的因素會影響解題規則的使 用(Jansen & Van der Mass, 1997)，且不同能力值的學生，所傾向使用的規 則並不一致(樊雪春，1998)。因此，進行不同性別之間的比例推理能力比 較與比較不同群組之間的解題規則使用特徵，確有必要與可行之處。 綜合以上所述，本研究以國小六年級學童為研究對象，以參考 Karplus and Peterson (1970) 之研究後所編製的比例問題為研究工具，探討國小六 年級學童在比例問題的解題規則表現。首先分析全體及不同性別受試者在 比例問題測驗的表現情形與差異，再藉由潛在類別分析方法，分析受試者 在各試題類型所隸屬的潛在類別(latent class)，以瞭解受試者在各試題類型 的認知結構變化。
第二節 研究目的
基於上述，本研究目的臚列如下： 一、 了解受試者在比例問題測驗之表現情形。 二、 了解不同性別受試者在比例問題測驗表現之差異。 三、 應用潛在類別分析方法，根據受試者在比例問題測驗的得分進行分 群，並探討其所採用的解題規則，以了解各群組在比例問題測驗之 表現情形與所使用的解題規則特徵。 四、 根據潛在類別分析在各試題類型的分群，了解不同試題類型間受試 者在群組的變化，並分析其所採用的解題規則特徵。4
第三節 名詞定義
本節將就研究中所涉及之相關名詞進行定義與說明如下：
一、 比例問題
本研究之比例問題，係為 Karplus and Peterson (1970) 之研究中矮先生 與高先生問題 (Mr. Short and Mr. Tall problem)，本研究之自編測驗題目圖 中有矮先生和高先生兩個人，分別以相同大小的迴紋針與鈕釦測量高度， 透過已知與矮先生相同高度的迴紋針與鈕釦數及高先生的鈕釦數，計算出 高先生的迴紋針數。
二、 解題規則
解題規則係指受試者解決問題時會依循某種方法或策略的心理歷程 (Jansen & Van der Maas, 2002)。Siegler (1976)認為解題者受到本身已存在的 知識結構的影響，在解題過程中會依循某種方法或規則進行解題。所以， 解題規則可象徵解題者的潛在知識狀態。
三、 潛在類別分析
潛在類別分析是利用機率概念來對受試者分類，依據受試者的反應組 型，分析受試者隸屬的潛在類別，使得同一類別的受試者具有相似的認知 結構，不同類別的受試者認知結構則不相同。5
第二章 文獻探討
本研究將應用潛在類別分析於學童在比例問題的解題規則，透過潛在 類別分析了解學童在解題規則的分群情形。因此本章分為比、比值和比例 之意義與相關、比例問題之相關概念、學童在比例問題的解題策略與相關 研究、影響學童比例問題表現因素、潛在類別分析及相關研究和解題規則 分析方法共六節，以下分節論述說明。第一節 比、比值和比例之意義與相關
劉祥通 (2004)認為用數學符號a b: 來表示兩數量 a 和b之間的對等關 係，稱為「比」(ratio)，而 a 稱為比的前項，b稱為比的後項。例如：「拿 3 枝鉛筆，可以換 2 枝原子筆」可以記為「3 : 2」。Lamon (1995) 認為是傳 達相對量之抽象概念的比較性指標，陳竹村、林淑君與陳俊瑜 (2002) 認 為是並置的兩對應關係量的記錄。林碧珍 (2010) 認為要用比來描述兩數 量的關係時，兩數量必須存在有某種對應關係，兩數量的比才有意義。例 如：「拿 5 個電池，可以換 2 瓶飲料」，因為兩數量存在的對應關係，其 所賦予的是人為約定的電池與飲料的兌換方式，因此可記成「5 : 2」；但是， 「 2 隻母雞生了 5 隻小雞」，母雞和小雞的數量關係為母雞的生育率， 但並不能代表每一隻母雞的生育率， 4 隻母雞未必能生出 10 隻小雞， 生育難以維持固定的倍數關係，所以此時母雞和小雞的數量記成「2 : 5」 是不具任何意義的。因此，並不是任何兩個數量都可用比來表示。 陳竹村等人 (2002) 提到在「a b: 」中，比值 (rate) 的定義則為前項 a 除以不為零的後項 b的結果，也就是對於一個比「a b: 」，找出後項為 1 的相等比「x:1」，則x a b ，即為「a b: 」的比值。林碧珍 (2010) 認為6 比值是兩個數量 A 和 B 的對應關係，從數學的觀點，比值是一個數量對 另一個數量，量化的結果，表示成 A B；若從情境的觀點，是兩個數量對應 的關係所賦予的意義。例如：「電線 15 公尺重 4 公斤」，其比為「15 : 4」，比值為「15 4 」表示電線每一公斤的長度是 15 4 公尺。周筱亭、黃敏晃 (2002)指出若兒童解比例概念問題時，能先求出單位量，再利用此單位量 解題，即具備比值單位化(unitizing)的能力。 劉秋木 (1996) 認為比例 (proportion) 則是兩個比 (或比值) 的等價 關係。如比例式「a b: c d: 」中，表示a 到b 與c 到d 的比相等，即在數 量a 與數量b 及數量c 與數量d 表達相同關係，以分數來表示則如 Levin (1999) 指出之等值分數「b d a c 」型式(引自 Levin, 2002)。劉祥通 (2004) 認為比例關係是兩個量之間比的等價關係，要了解比例關係的真正意涵， 要先明白比例關係中「共變性」(covariance) 與「不變性」(invariance) 的 特性。Lamon (1995) 提出組成比例關係的兩個比的比值具有不變性，於是 某些數量之間便存在「共變性」。例如：「 24 顆糖果要 72 元，48 顆 糖果要 144 元」這敘述中，糖果數與錢數的兩個比為24 : 72和48 :144，其 比值皆為1 3保有「不變性」。但當糖果數由 24 顆變為 48 顆時，為了要 保持糖果數與錢數的比值為1 3的不變性時，錢數便由72 元變為 144 元， 這就是比例關係中的「共變性」。 綜合上述可知，「比」為兩數量之間所存在的對等關係，且並不是任 何兩個數量之間都能稱作「比」，必須有意義之存在。所謂「比值」則為 在「a b: 」中，前項 a 除以不為零的後項 b的結果，若從數學的觀點而 言，是一個數量對另一個數量之間量化的結果，若從生活情境的觀點而言， 則為兩個數量之間所賦予的意義。而「比例」為兩數量之間比的等價關係，
7 可以比例式「a : b = c : d」或等值分數「b d a c 」之方式表達。
第二節 比例問題之相關概念
數學概念的學習需要具備充足的先備知識 (prior knowledge)，以構築 學習新概念。因此要探討學童對於比例問題之解題規則前，須先了解學童 解比例問題所需相關概念。研究者從文獻中整理出以下五點：一、乘除法 概念；二、因數與倍數概念；三、有理數概念；四、相對與絕對的思考能 力；五、單位化和基準化能力。壹、乘除法概念
比例推理能力和乘除法的關係密切，學生的解題受到是否熟悉乘除法 情境之影響。Vergnaud (1983) 提出了「乘法概念域」 (multiplicative conceptual field) 的理論，提到比、比例、分數、因數、倍數、速率、函數 等概念與乘除法間的相互關聯性。Heather (2008)指出學生擁有乘法概念這 個先備知識對於解比例問題是重要的基礎。Lo & Watanabe (1997) 指出其 個案的比例概念深受本身乘除法概念影響，也支持比和比例概念內嵌於乘 法概念體的觀點。而 Vergnaud (1988) 提出乘除法問題是比例問題的特例， 例如：「15 顆糖果賣 6 元，請問 10 顆糖果賣多少元？」是比例問題， 若將上題改為「1 顆糖果賣 6 元，請問 10 顆糖果賣多少元？」就是乘 法問題了，若將題目改為「2 顆糖果賣 6 元，請問 1 顆糖果賣多少元？」 即是除法問題。所以，比例概念可說是乘除法概念的上位概念 (劉祥通， 2004)。因此，若能熟悉乘除法概念，將有助於比例問題的解決。貳、因數與倍數概念
8 比例問題的解題經常應用到因數與倍數的概念，而 Lo & Watanabe (1997) 的研究也強調因數與倍數是解比例問題成功與否的知識基礎。Lo & Watanabe (1997) 的研究指出，研究個案 Bruce 對於「12 元可買 8 顆糖 果， 9 元可買幾顆糖果？」此題目，發現他的解法為：將 12 元分成 4 份， 每份有 3元；再將 8 顆糖果分成 4 份，每份 2 顆。如此將錢和糖果數 都分成 4 份後，再利用 3 元 2 顆，6 元 4 顆，9 元 6 顆的方式求解。 其實就是找出 12 和 8 的公因數「4」，如此縮短解法就是應用了因數與 倍數的概念解比例問題，若他有因數的概念，應該從 12 元和 8 顆找出 共同因數，而不是從嘗試錯誤的方法來找出公因數 4。而劉祥通、周立勳 (1999) 指出，解比例問題往往是要先做除法再做乘法，也就是解因數與倍 數的問題，因此因數與倍數的概念可以說是比例問題概念的基石。
参、有理數概念
比值可表示成有理數(rational number)「a b 」的方式，而有理數有多種 意義。Kieren (1980) 認為有許多不同的方式可說明有理數，例如：部分─ 整體 (part-whole)、商數 (quotient)、測度 (measures)、比值 (ratio)、運算 子 (operator)，而比值就是其中的一環。 楊錦連 (1999) 提到有些學生並不了解可用分數來表示除法除不盡的 概念，例如：遇到「8 除以 3」的問題時，學生解題遇到除不盡時，常會 放棄解題，或是認為之前的計算過程中出現錯誤，卻不會以「8 3」表示結 果。劉祥通 (2004) 認為大部分學生只理解分數概念的一、兩個意義，甚 至解比例問題時，發現學生甚至只有部分─整體的觀點，無法以分數表示 兩數量的倍數關係。美國國家科學研究委員會(National Research Council， 簡稱NRC) 指出有些學生在遇到有理數概念之問題時，會採取加法策略來 解決問題，導致失敗的解題(National Research Council, NRC, 2005)。9 綜合上述，有理數概念不完整的學童，在解比例問題遇到除法運算除 不盡時常會產生困難，以致於影響解比例問題的成敗。
肆、相對與絕對思考能力
劉祥通 (2004) 認為所謂相對的(relative)思考能力是表示學生可以了 解情境中數量關係的相對性。而 Lamon (1995) 認為相對的思考能力和比 值的單位化能力是解比例問題的兩個重要的思考策略。 比值是表示一個數值對於另一個數值的相對大小，但是比例問題牽涉 兩個比值的對等，因此「對等」正式比例問題中最重要的概念 (劉祥通， 2004)。換句話說，學生可以了解情境中數量關係的相對性與絕對性，是影 響到解比例問題成敗的關鍵之一。舉例來說，有兩株小草，分別高 3 公 分及 5 公分，一個月後測量，小草分別高 5 公分及 7 公分。以絕對的 思考觀點而言，兩株小草均長高 2 公分，看起來成長一樣多，但就相對 思考的觀點而言，原本 3 公分高的小草成長率為2 3，而另一株小草的成 長率為2 5，而 2 2 35，所以其實 3 公分的小草成長速度較快。因此，相對 思考能力是解比例問題的重要能力。伍、單位化與基準化能力
單位化和基準化能力(norming)，是比例發展重要的心理機制 (Lamon, 1994)。所謂「單位化」是將單位結構逐漸建立複雜化的歷程，它是發展更 複雜推理的重要機制 (mechanism) (劉祥通，2004)。例如：3 枝鉛筆賣 10 元，15 枝鉛筆賣多少元？能把「3 枝 10 元」 視為一個單位，並以此單 位來計數，便是具備單位化的能力。由此可知，學生經常使用的累加法策 略，亦是單位化能力的應用。周筱亭、黃敏晃(2002)指出若兒童解比例概 念問題時，能先求出單位量，再利用此單位量解題，即具備比值單位化的10 能力。 而「基準化」是採取一些單位的架構以概念化其他的情境(劉祥通， 2004)。從 Freudenthal (1983) 提出的例子來說明，「將地球的大小想像成 直徑 1 公厘的針頭那麼大，則太陽就變成直徑為 10 公分的球體，且與 地球的距離也變成只有 10 公尺。」像這樣利用「固定地球縮小為針頭的 比例」，重新概念化「太陽的大小」和「與地球的距離」，就是基準化的 過程。Lamon (1994) 指出，解比例問題時所採取的單價法策略和倍數法策 略，皆是運用基準化能力解題之例子。因此可知單位化和基準化能力皆是 比例問題成功解題之關鍵。 綜合上述可知，乘除法概念、因數與倍數概念、有理數概念、相對與 絕對思考能力及單位化與基準化能力，是學者們認為對於學習比和比例概 念之關鍵。因此教師平時應提供許多不同情境的比例問題，讓學童能發展 思考和擴展有理數概念之能力，若之後遇到比例問題時，才能應用本身所 具備之能力順利且成功的解題。瞭解乘除法、因數與倍數、有理數等概念， 並透過有意義的運算才能成功的解題，而這些概念是互相依賴的，並不能 獨立發展。
第三節 學童在比例問題的解題策略與相關研究
解題時所採用的解題策略正確與否，影響解題的成敗結果。使用錯誤 的解題方法，將會導致解題的失敗 (劉祥通，2004)，比例問題的解題也是 如此。而本研究旨在分析國小高年級學童比例問題解題規則。因此，本研 究歸納出比例問題之正確和錯誤的解題策略，分述如下：壹、正確的思考策略
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一、倍數法思考策略
利用兩個比例式中的前項(後項)之間所具有倍數關係，再將此倍數擴 充到後項(前項)之方式解題，稱為倍數法 (莊玉如，2005)。例如：「跳蚤 市場裡， 6 枝鉛筆可以換 2 枝原子筆， 18 枝鉛筆可以換幾枝原子筆？」 中，先計算18 ÷ 6 = 3，求出 18 枝鉛筆是 6 枝鉛筆的 3 倍；再以2×3 = 6 的式子，求出 2 枝原子筆的 3 倍是 6 枝原子筆。像這樣便是運用倍數 法策略來解題，也就是相對思考能力的運用(劉祥通，2004)。Lamon (1994) 將這種方法稱為內策略(within strategy)。許多實徵研究也顯示，學童經常 使用倍數法來解比例問題 (Lamon, 1993, 1994; Lo & Watanabe, 1997)。二、累加法思考策略
所謂的累加法即在對等關係中的第一個比率建立一個關係，再利用加 法將這個關係擴充到第二個比率關係上(莊玉如，2005)。例如：「跳蚤市 場裡， 6 枝鉛筆可以換 2 枝原子筆， 18 枝鉛筆可以換幾枝原子筆？」， 在此問題中先找出 6 枝鉛筆可以換 2 枝原子筆，依序利用加法，算出 12 枝鉛筆可以換 4 枝原子筆， 18 枝鉛筆可以換 6 枝原子筆。像這樣的方 法，Hart (1981) 稱之為累加策略 (building-up strategy)。Hart (1981) 指出，兒童和青少年常使用累加法解題，且使用的原因可 能為逃避乘法或不會求比值。而對於數值簡單之比例問題，使用累加法常 能成功解題；但若題目的數值型態為非整數比時，僅有少數學童能使用累 加法順利解題。如：「 6 枝鉛筆可以換 4 枝原子筆， 15 枝鉛筆可以換 幾枝原子筆？」時會發生解題困難。
三、單價法思考策略
解比例問題時，先求出單位量，再以單位量乘以單位數的方式解題 (何12 意中，1988)。例如：「 2 枝鉛筆賣 10 元，買 5 枝需要多少元？」學生 可以先算出 1 枝鉛筆賣 5 元，接著再用 5 (單位量) × 5 (單位數)＝25來算 出 5 枝鉛筆需要 25 元。由此可知，要使用單價法成功解題，學生還需 要事先就具備單位化能力，如此才可以成功的運用單價法成功的解題。楊 錦連(1999)的研究結果顯示，單價法是國小高年級學童解比例問題時使用 率最高的解題策略。
四、公式化解題─利用比例關係式
利用比例關係式中，內項乘積等於外項乘積的方式，或比值相等方式 來解題 (劉祥通，2004)。例如：a b: c x: ，使用內項乘積等於外項乘積 (c b a x) 的方法，可以求出 x 是多少；或比值等於比值的等式(a c b x)， 用所謂的十字交乘法來解題。例如：「市場中， 2 顆蘋果賣 20 元，媽 媽買了 5 顆蘋果，要付多少元？」，先列出2 : 205 : x的比例關係式，再 用20 5 2 50，內項乘積等於外項乘積求解。或是利用比值相等的方式， 先列出 2 5 20 x的式子，再用十字相乘法，以2 x 5 20的方式求解。學生 會用這種形式化解題的方式解題。理論上，他們已經對於數量間的關係有 相當程度的認識。但是，國內的數學教學往往過早將形式化的數學傳授給 學生，以致於有些學生只會套公式，實際上卻不知公式之所以然，若除去 了公式，就解不出答案了(劉祥通、周立勳，1999)。五、數量分解法
所謂數量分解法是指將問題量數在計算過程中分解為兩個以上的量 數再予以組合的解題策略 (傅宗聖，2007)。例如：「10個人吃披薩，要買 4 個大披薩才夠吃。派對會有 15 個人參加，最少要買幾個大披薩才夠13 吃？」先以10 5 15 ，把 15 個人拆為 10 個人和 5 個人；而 5 個人是 10 個人的一半，因此，用4 2 2，算出 5 個人的披薩數也變成 10 個人 的披薩數之一半。再以4 2 6求出答案；也就是把 10 個人的披薩數加上 5 個人的披薩數，就是 15 個人的披薩數。Lamon (1993) 從研究中發現， 能使用此單位的學生，還可以運用關聯的思考與了解數量間的關係。 Vergnaud (1983) 的研究也發現一些學生解比例問題也會採用此種方法。
六、公因數法
當比例問題中的數值具有公因數時，將兩數量縮小至共同的因數再求 解。Lo & Watanabe (1995) 發現，研究個案 Martha 對於「15 元買 40 顆 糖，若在同一家店，21 元可以買幾顆糖？」的題目中，利用嘗試錯誤的 方式把 15 元和 40 顆糖皆分成 5 份，以 3 元 8 顆，6 元 16 顆的方 式求解。這樣的做法其實是找出 15 和 40 的公因數「5」來縮短解法， 就是利用了因數的概念來解比例問題。另外 Lo & Watanabe (1997) 研究中， 研究個案 Bruce 利用「3 元 7 顆」成功的解決「12 元可以買 28 顆糖， 15 元可以買幾顆糖？」的問題，亦是學生利用公因數法成功的解出非整 數倍的比例問題之一例。七、公倍數法
在比例問題中，先找出兩個比之前項(或後項)的公倍數，再將兩個比 的前項(或後項)放大至共同的倍數以求解，稱為公倍數法 (Hoffer, 1992)。 例如：「10 個人吃披薩，要買 4 個大披薩才夠吃。派對有 15 個人要參 加，最少要買幾個大披薩？」先找出 10 和 15 的共同倍數 30 ，再算出 30 個人要買 12 個披薩，15個人則要買 6 個披薩。貳、錯誤的思考策略
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一、加法策略
所謂的加法策略，即是在比例關係式a b: c x: 中，以b a k，則 x c k的方式求出 x 值；或是以c a k，則x b k的方式求出 x 值(林瑋 詩，2007)。例如：「3 枝鉛筆賣 5 元，5 枝鉛筆賣多少元？」使用加法 策略的學生會以5 3 2，所以 5 枝鉛筆賣 7 元來解題。美國國家科學研 究委員會(2005)指出有些學生在遇到有理數概念之問題時，會採取加法策 略來解決問題，導致失敗的解題。二、無規則
隨意將題目中的數字任意加減乘除(何意中，1988)。例如：「3 枝鉛 筆 15元，5 枝鉛筆多少元？」學生的解法可能是3 5 15 23，但不知為 何如此做。三、比例項錯置
解比例問題時，在比例關係式「a b: c x: 」中，先以a b a b 求出單 價，再以a c x b 的方式求解。或先以 a a c c ，算出 a 和 c 之間的倍數關係， 再以c b x a 的方式求解(林瑋詩，2007)。例如：「6 枝鉛筆可以換 2 枝 原子筆，現在有 3 枝鉛筆，可以換幾枝原子筆？」，學生以 6 3 2，算 出 6 枝鉛筆是 3 枝鉛筆的 2 倍，但第二步驟卻以2 2 4的錯誤方式來 求解；後半段的正確作法應為，原先的原子筆數是後來的原子筆數的 2 倍， 所以後來的原子筆數是把原先的原子筆數除以二求得。四、計算錯誤
在四則運算的過程中，學生可能因粗心大意、字體潦草或其他原因，15 使得看錯數字或運算符號等，而造成計算錯誤。
参、比例問題之相關研究
國內外有關比例問題發展的研究甚多，而關於學童比例問題解題規則 與解題表現之研究的探究，分述如下： 何意中 (1988)以筆試和晤談法(interview)探究國小三至五年級的六十 位學童在比例問題上的解題策略與錯誤類型，其研究發現學童最常使用的 解題策略為單價法與倍數法(multiplicative)，最少使用公式法解題。而在錯 誤的解題規則中，則是無規則任意運算的使用次數最多，顯示國小學童對 於加減乘除的運算意義不瞭解。 楊錦連 (1999)的研究旨在探究不同城鄉和年級的國小高年級兒童在 不同數字型式和語意類型之比例問題的解題表現。其研究分為二階段進行， 第一階段為測驗調查法，第二階段以立意抽樣方式訪談10位不同解題層次 的兒童，探討兒童的解題策略，進而歸納有助於兒童解決比例問題的知識 和能力基礎。其研究結果顯示，針對國小五、六年級的學童解題表現中， 交換問題和組合問題最簡單，其次為密度問題和母子問題，而伸縮問題最 為困難。學童依能力層次由低至高依序使用的解題策略為具備約分和擴分 的能力、單價法及單價法與倍數法混合使用。另外，大部分錯誤解題的受 試者皆是使用絕對思考的方式來解題。 Karplus等人 (1983)的研究旨在探討不同層次高低之比例問題下，學童 所採用的解題規則情形。其研究結果顯示，在數值型態為整數之比例問題 上，男、女生的比例推理能力並無差異，在數值型態為分數之問題上，則 是男生表現較好。 Lamon (1993)的研究針對未學過比例概念的六年級學童進行測驗和晤 談，瞭解其在不同語意類型的比例問題之解題思維和策略。其研究結果發16
現，對於部份-部份-全體(part-part-whole)的問題，學童傾向使用如累加法 (building-up)等較簡單的解題策略，而放大縮小(stretcher and shrinker)的問 題是學童感到較困難的問題類型，是因為學童不能確認這類問題情境的乘 法本質。而在關聯的集合問題(associated sets) (組合問題)上，學童能使用較 複雜的解題策略來解題，是因為這類型的問題能以具體的圖示來幫助解 題。 Lo & Watanabe (1997)的研究針對一位國小五年級學童，探究其解題策 略與影響解題的因素。其研究結果發現，原本只會使用累加法和公倍數法 的學童，經過教學實驗後，會因不同的數字關係與語意情境類型，而選擇 單價法或是倍數法，而遇到數字關係為非整數倍的問題時，則會採取累加 法和公倍數法。可見這位學童對於不熟悉的題目，會彈性的使用能成功解 題的解題策略。 莊玉如 (2005)以訪談法探討未接受過比例教學的九位國小四年級學 童，在面對不同數字關係及不同題目型態的比例問題，解題表現為何。其 研究結果顯示，在不同題目型態的問題，解題表現亦不同，且學生所使用 的解題策略亦不同。學生的解題認知歷程有避開分數、小數的計算，因為 解題的思維受整數基模的影響。林瑋詩(2007)的研究旨在應用次序理論方 法，分析個別受試者的比例問題之解題規則的階層結構和其結構圖的比較。 其研究結果顯示，同一受試者在三種題目型態之比例問題上，其解題規則 結構之特徵不盡相同，而在三種數字關係類型之比例問題上，其解題規則 結構之特徵亦不盡相同。 Heather (2008)的研究旨在探究四位國小六年級學童如何依據他們的 生活經驗解決比例問題，其研究中的比例問題是指良好的合成量數 (well-chunked measures)問題，研究結果顯示，學童的生活經驗(例如：購物) 對於解決比例問題是重要的先備經驗，學童能利用單位化能力及乘法的思
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考能力成功的解題，相較之下，學童對於要描述或定義自己生活中曾接觸 哪些是比例問題是有困難的。Sungmi (2009)的研究旨在探究學童進行小組 討論比例問題時，在討論過程中學童思維的變化情形。根據小組討論的經 驗，研究者透過個別晤談，發現相同組別的學童可能會使用相同的解題策 略，而有些學童已能解決比例推理的過程。Misailidou and Williams (2003) 整理相關文獻進行編製試題、並以 Rasch 模式之試題反應理論檢驗，再以 晤談提供診斷解釋之依據，發展出診斷比例推理之解題策略的試題庫。 綜合上述相關文獻，就其研究方法而言，可分成質性研究與量性研究 兩大方向。就其影響比例問題解題之因素而言，大多可分成從不同數字關 係或語意類型之比例問題，探究與學童解題表現的關係。而本研究欲從量 性研究著手，並針對不同數字關係之比例問題，探究學童所使用的解題規 則，並利用潛在類別分析進行分群，探究各群組所使用的解題規則特徵。
第四節 影響學童比例問題表現的因素
比例問題會因問題類型、數字關係、未知數位置、數值大小和題目型 態等的不同，影響學童的解題表現。因此，就以下影響學生比例問題解題 表現的因素，分述如下：壹、問題類型
國內外不同學者的研究皆指出，不同類型的比例問題，其難易度不同， 學生的解題表現亦有差異(陳竹村等人，2002；楊錦連，1999；Lamon, 1993)。 Lamon (1993) 將比例問題的語意結構分為良好合成的量數、部分-部分-全 體、關聯的集合及放大和縮小四種類型。而陳竹村等人 (2002) 則依語意 類型將比例問題分為交換問題、組合問題、母子問題和密度問題，此分類18 與周筱亭、黃敏晃(2002)之研究相同。綜合上述，將比例問題分述如下：
一、組合問題(關聯的集合)
問題中，兩個量數之間的關係是不明確的，亦即兩個量數並沒有明顯 的關係，經過題目明確陳述後，才產生比例關係，這種問題屬於關聯的集 合 (Lamon, 1993)。例如，「親子遊戲中，3 位小孩需要 2 位大人來協助， 有 15 位小孩參加遊戲，需要多少位大人來協助？」 由上述的題目中，可 知其中的「3 位小孩」和「2 位大人」並沒有關係，但經過題目陳述之後， 這兩個量數才產生了比例關係。二、母子問題 (部份-部份-全體)
一個整體(或集合)是由兩個以上的部份集合所組成，而部份集合之間 有比例關係，這種問題稱為部份-部份-全體問題 (Lamon, 1993)。母子問題 亦屬於此類，也就是全體量和部份量有比例關係的問題。例如，「1 包糖 果有 10 顆，其中有 5 顆是草莓口味，相同的糖果買 5 包，有幾顆是草 莓口味？」這就是母子問題。楊錦連(1999) 認為母子問題包含機率概念， 是對學童解題而言是較困難的原因。三、交換問題
兩個物件因某種約定，使得有相同的價值，這種問題稱為交換問題(陳 竹村等，2002)。例如，「3 個蘋果可以換 2 個西瓜」，蘋果和西瓜是因某種 約定而等價，又如買賣的情境中，「3 顆糖果賣 10 元」，糖果和價格的等價 也是相同的道理。像這樣以物易物的情境問題就是交換問題。四、密度問題(良好合成的量數)
19 由兩個外延量所組合的比例關係，產生了一個新的內涵量，而此內涵 量是眾所皆知的，這種問題稱為良好合成的量數(Lamon, 1993)。例如，「5 公升的水重 5 公斤，幾公升的水重 10 公斤？」，水的密度是由水的重量和 水的體積比所決定。又如「16 公分長的鐵條有 20 公斤重，同樣粗細的鐵 條 32 公分，有多少公斤重？」，鐵條的密度亦是固定的。像這樣的關係可 類推至其他內涵量，例如速率是距離和時間的比。
五、放大與縮小問題
比例問題中，兩個量數間有固定的比例，當一量數增加，另一量數也 依固定比例增加；反之，當一量數減少，另一量數也隨比例減少，這種問 題稱為放大和縮小問題(Lamon, 1993)，也稱為伸縮問題(楊錦連，1999)。 例如，「樹的高度與影子的長度關係，樹高 5 公尺，影子長 3 公尺，若樹 高 10 公尺，則影子長多少公尺？」，又如「若要調製兩杯固定濃度的檸檬 汁，已知甲杯是由 2 杯原汁和 4 杯水調製而成的，若乙杯倒入 4 杯原汁， 則應該再加入幾杯水？」上述皆是屬於放大和縮小問題的例子。 綜合上述，比例問題類型分為組合問題、母子問題、交換問題、密度 問題和放大與縮小問題五類。相關文獻指出，不同問題類型對學生而言難 易度亦不相同。楊錦連 (1999) 指出，國小五、六年級學童的解題表現中， 發現交換問題和組合問題最簡單，其次為密度問題和母子問題，而伸縮問 題最難。此觀點恰與陳竹村等人 (2002) 的研究結果順序相同，且依問題 情境來看，交換問題與學童生活情境較接近，對於學童比較熟悉，其次為 組合問題和母子問題，而密度問題最為困難，因為可能受物理性質的干擾。 另外，Lamon (1993) 研究結果指出，放大與縮小問題對學生而言最為困難， 學童作答時無法以具體的畫圖或其他方式表徵，因此學童多使用較低水準 的解題策略來解題。由此可知，不同的語意類型，可能導致不同的解題策 略。另外，Lo and Watanabe (1995) 也指出學生在熟悉的日常生活情境能發20
展複雜的比例策略，顯示問題情境和學生的生活經驗有密切關係，更影響 學生的解題。雖然不同的語意結構會影響學生在比例問題上的解題，但學 童會因不同的語意類型題目選擇不同的解題策略 (莊玉如，2005；Jeong, Levine, & Huttenlocker, 2007；Steinthorsdottir, 2006)。
貳、數字關係
數字關係一直是比例推理相關研究探討的主軸之一。探討兒童在不同 數字關係下之解題表現的研究(林福來、郭汾派、林光賢，1986；翁宜青、 劉祥通，2003；楊錦連，1999；Hart, 1981；Noelting, 1980a, 1980b)都指出， 兒童解比例問題之成功與否，深受問題情境中數字關係之影響。換句話說， 兒童較擅長解整數倍的比例問題，對於非整數倍的比例問題則感到較困 難。 綜合上述，不同的數字關係會影響學童解題的表現。本研究參酌 Noelting (1980a, 1980b)、劉祥通 (2004) 和陳竹村等人(2002) 的研究，將 比例關係式「a : b = c : x」依數字之比值關係分為以下四種類型來作探討： 一、第一型式：b和c皆是a的整數倍，如：8 :16 = 24 : x； 二、第二型式：只有b是a的整數倍，如：8 :16 = 2 : x； 三、第三型式：只有c是a的整數倍，如：8 : 2 = 24 : x； 四、第四型式：b、c 與 a 之間為非整數倍，如：12 :8 = 9 : x。 許多研究者都以這四種試題類型針對國小四到六年級學童進行研究， 不論是國內或國外的研究，皆一致發現學童在解整數倍問題時比解非整數 倍問題容易(莊玉如，2005；劉祥通，2004；Karplus, Pulos, & Stage, 1983； Van Dooren, et al., 2006；Ruiz & Lupianez, 2009)。
楊錦連(1999)的研究結果顯示，數字關係為第一型式和第二型式的比 例問題，使用率最高的解題規則為單價法，而在數字關係為第三型式的比
21 例問題，使用率最高的解題規則為倍數法。而六年級學童使用公式法的頻 率，在數字關係為第三型式和第四型式之比例問題，比在數字關係為第一 型式和第二型式之比例問題明顯增多，可見學童會以數字關係類型作為選 用解題規則的依據。因此，探討個別學童在各種數字關係之比例問題，使 用何種解題規則，是本研究欲探究的重點之一。
参、題目型態
比例問題的題目型態分為求未知數和比較比值問題(Karplus et al., 1983; Lesh et al., 1988; Tourniaire & Pulos, 1985)。前者題目如「2 枝冰棒賣 20 元，買 12 枝冰棒要付多少元？」，後者題目如「甲店 2 枝冰棒賣 20 元，乙店 4 枝冰棒賣 28 元，哪一間店比較便宜？」。Karplus 等人(1983) 研究指出，求未知數問題是比較比值問題中比值相等之特例，故比較比值 的問題比求未知數的問題困難。肆、未知數位置
陳竹村等人(2002)曾指出，在比例關係式「a b: c d: 」中，當未知數 在後比例項 c 或d的教學活動，稱為正向活動；當未知數在前比例項 a 或b的 教學活動，稱為逆溯活動；並從概念發展的觀點，解決逆溯活動問題之能 力發展宛於正向活動。周筱亭、黃敏晃(2002)認為，由概念的發展觀點來 看，正向活動易於逆向活動，需要累積正向的經驗，對正向活動已有期待 時，才有可能發展逆向活動。換言之，學生對於未知數在第三、四項的問 題比較早能掌握，至於未知數在第一、二項的問題則較慢發展。第五節 潛在類別分析及相關研究
一、潛在類別分析之意義
22 潛在類別分析是一種潛在特質分析的模式，最先由 Lazarsfeld (1950) 提出，其後有一系列的母數估計研究報告，直到 Goodman(1974a, 1974b) 發展了最大概似法後，一般研究者皆採用此法進行母數估計，LCA 的應用 才開始擴展(吳毓瑩、林原宏，1996)。 而潛在類別分析主要作用在於分群，在教學上提供了兩大用途，其一 是將同質的學生分成同組，可針對共同的迷思概念進行教學，以提升學習 成效；其二可將同質的學生打散造成異質結構學生同組，以配合討論活動 或是合作學習活動，透過不同知識結構之學生互動，達到知識結構間的變 化與同化的歷程。
二、潛在類別分析之演算
在本研究中，將應用潛在類別分析於學童在比例問題測驗的解題規則， 透過潛在類別分析了解學童在解題規則的分群情形。 潛在類別分析的過程必須估計參數，包含各類別組佔全體樣本的比例， 以及每一題在各類別組內的答對機率值(或稱通過值)。而參數估計完成後， 可以各潛在類別在題目上的答對機率及題目特性，做認知結構上的描述。 接著可根據受試者的反應組型，計算出受試者的事後機率並將其歸類，由 此可看出該受試者的反應特性，並得知他的認知結構，做為認知診斷 (cognition diagnosis) 或學習分組之用。 以下說明潛在類別分析所使用之符號，解釋如下：（引自吳毓瑩、林 原宏，1996）。 （一）受試者有效人數共N 人，以i為受試者代號，則i1, 2,...,N。 （二）分析的題數共計K題，以k為各題之代號，k1, 2,...,K。 （ 三 ） 受 試 者 對 各 試 題 的 反 應 型 態 ， 以x表 示 ； 記 分 方 式 為 二 分 法 (dichotomous)，亦即答對為1，答錯為0。受試者i對題目k的反應以23 ki x 表示，而對全部題目的反應向量則為xi。 （四）根據研究所得之反應資料，可將受試者分為C 個類別，以 c 表示各 個類別，c1, 2,...,C。 （五）試題k在類別 c 的條件下，其條件機率(conditional probability)，或稱 通過率為kc。 （六）類別 c 人數佔全體受試人數比例為c。 今利用以上符號，並舉本研究來說明各符號之使用，本研究之測驗題 目共計 20 題，K20，反應組型共計 20 2 1048576，並假設第i位受試者的 反應型態xi為 (1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,0,1)，代表各試題的對錯情 形，其中對第二題的反應值為x2i 0。又假設第二題對第一類別而言相當 容易，則21會接近 1，反之則接近 0。再者，若第一類別人數佔全體人數 之 30%，則10.3 ，且由於為潛在類別之比例，故而 1 2...C 1。 而潛在類別分析所要估計參數，即為類別比例c及試題條件機率kc。 另外，潛在類別分析中有一個很重要的概念就是局部獨立性 (local independence)。一份測驗的題目間彼此必有相依之關聯，諸如內部一致性 或是共同因素，如果我們將共同特質的變異量部分去除，則可發現題目本 身扣除共同的特性後，彼此是獨立的。因此潛在分析所設立的前提便是在 同一個潛在類別之中，題目的反應互相獨立，因為共同變異的部份為潛在 類別所佔，故kc題目答對機率所反應的即是潛在類別中的條件機率(吳毓 瑩、林原宏，1996)。 接著，我們將採用潛在類別分析之估計方法中，常用的最大可能估計
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條件機率kc等參數值，並以 EM ( Expectation and Maximization ) 估計法來 輔助，介紹如下： (一) 最大可能估計法 首先令 f X ci( i )表示受試者的反應向量Xi在類別 c 中對於各試題反應 之條件機率函數，則： (1 ) 1 ( ) ki(1 ) ki K x x i i kc kc k f X c
此反應向量在全部組別中的機率則為上式的條件機率與各類別的比 重乘積之和： (1 ) 1 1 ( ) ki(1 ) ki K C x x i i c kc kc c k f X
任一組反應向量Xi，屬於特定潛在類別的事後機率為： (1 ) 1 (1 ) ( ) ( ) ki ki K x x c kc kc k i i h c X f X
令概似函數 (likelihood function)為： (1 ) 1 1 1 ( ki(1 ) ki ) N C K x x c kc kc c i k L
取 ln 之後則為： 1 ln ln ( ) N i i L f X
針對各參數進行偏微分，可得各參數估計值。 1 1 ˆ ( ) N c i i h c X N
(1) 1 1 ˆ ( ) ˆ N kc ki i i c x h c X N
(2) 此外，由貝氏事後機率 ( Bayes’ posteriori probability ) 可知25 ( ) ( ) ( ) c i i i f X c h c X f X (3) 由以上 (1)、(2)、(3) 式的關係，我們可以進行 EM 估計法的估計， 此估計法之概念由 Dempster, Laird, & Rubin (1977) 而來，但應用於潛在類 別分析的參數估計上，Clogg (1977)所設計之軟體貢獻很大。 (二) EM 估計法 EM 估計法有兩個步驟，分別為估計步驟 (Estimation)和最佳化步驟 (Maximization)。呈現如下：(引自吳毓瑩、林原宏，1996) 1. 首先，將(3)式中的c和kc給定初始值 (initial value)，並得到事後 機率h c X( i)。 2. 在最佳化步驟中，將h c X( i)代入 (1)、(2) 式的右端，並在左端得 到新的c和kc。 3. 將所得的兩個值代入(3)式，再進入估計步驟，以獲得新的事後機率， 取代原先設定之初始值。 4. 將新的事後機率估計值代入 (1)、(2) 式的右端，回到步驟 2 的最佳 化步驟，如此重複步驟 2、3、4，不斷的重複和迭代 (iteration)， 進行估計與最佳化工作，直到估計達到收斂 (convergence)。 EM 估計法利用方程式之間不斷地迭代，計算不繁雜卻冗長，今則可 藉電腦強大的計算能力，使得 EM 估計程序在短時間內可完成。
三、適配度的選擇
潛在類別分析方法的原理，是依受試者的反應組型，觀察其與模式和 資料的適配度 (goodness of fit)，再決定最適合的組數與結構。由於並不是26
每位受試者反應組型與類別模型相同無異，因此，受試者反應組型和類別 模型有距離 (distance) 存在，距離愈小適配度愈佳。潛在類別分析在適配 度的決定，常以 Akaike Information Criterion (AIC)、Bayesian Information Criterion (BIC) 及 Consistent Akaike Information Criterion (CAIC) 來判斷， 以選擇最佳類別數的依據。
Akaike (1973) 根據 Kullback-Leibler discrepancy 定義出 Akaike 資訊參 數 (Akaike Information Criterion，簡稱 AIC)。以最大概似法來進行推算， 最具有效性，也最為靈敏，相較於其他選模準則，是由於 AIC 的懲罰函數 (penalty function) 較小的緣故，選取較小的值有較佳的適配度。
Akaike (1978) 由貝氏的觀點所提出來的貝氏資訊參數 (Bayesian information criterion，簡稱 BIC)。由於 AIC 指標沒有考慮樣本數的影響， 因此當樣本數愈大時，AIC 指標愈缺乏準確性，因此當樣本數愈大時，BIC 指標愈能選出愈正確的模型。
Bozdogan (1992) 為了讓 AIC 更有一致性，提出 CAIC 指標，CAIC 的 懲罰項係數比 AIC 更大，對於複雜模型過度參數化比 AIC 和 BIC 更為嚴 格，對於簡單的模型更為有利。
在選擇最佳分群數時，可依據 AIC、BIC 和 CAIC 指標，其值愈小則 為選擇較佳的分群數模式。茲將 AIC、BIC 和 CAIC 的公式臚列如下：
AIC=2logL2t BIC=2logL(logN t)
CAIC=2logL [1 (logN t)]
其中，t 表示參數個數，N 表示受試者人數，或稱有效的樣本數；L 則 為最大概似函數。在選擇最佳分群數時，可依據 AIC、BIC 和 CAIC 指標， 質愈小則為最佳的分群數模式；若當 AIC、BIC 和 CAIC 指標並非同時為 最小值時，可考慮以「最簡潔模式」及「最佳解釋模式」 (吳毓瑩、呂玉
27 琴，1997) 的標準來執行最佳模式的選擇。
四、潛在類別分析之相關研究
潛在類別分析的應用範圍相當廣泛，此將潛在類別分析以教育為範疇 加以說明。吳毓瑩、林原宏 (1996) 應用潛在類別分析學童在除法概念結 構上，結果按受試者的答題模式分成七組，每組皆各有特色，證明透過潛 在類別分析的分群後，再配合試題題目的內容，就可了解學童的概念結構 與分類。吳毓瑩、呂玉琴 (1997) 認為應用潛在類別分析模式在學童學習 上可以達成認知診斷的功能，可用在分組合作學習時參考，可觀察認知結 構改變的歷程等三大益處，並以潛在類別分析方式，探索三、四年級學童 學習等值分數時的概念結構。 陳惠萍 (2007) 分析高年級學生在相關 (correlation) 問題的解題規則 表現，發現各類別學生所使用的解題規則並非單一性，可能同時選用多種 規則。張育綾 (2008) 應用潛在類別模式分析國小五年級學童四則運算規 則之縱貫研究，根據潛在類別分析三大運算規則的分群結果，發現前、後 測的分群組數不同，且不同群的學童在各規則下之認知結構亦有所不同。 陳宇雯 (2008) 應用潛在類別分析探討國小五年級學生的分數概念，依據 答題類型給予適當的分群，結果顯示全部學生的認知結構依據單位量可分 成兩群，等分概念可分成兩群，等值分數概念可分成三群。 洪藹鈺 (2008) 使用潛在類別分析國小高年級學童小數概念之認知結 構與改變情形。研究結果發現，前、後測各概念得到之分組數不盡相同， 且各組認知結構情形有所差異，前、後測的潛在類別改變皆達顯著差異， 其認為現金教學上，常有合作學習模式需使用分組教學，通常卻使用隨機 分組，缺乏理論上的依據，認為潛在類別分析可提供分組之參考。謝如山 (2003) 使用潛在分類模式 (latent class model)來分析學生括 號概念的應用。其研究指出，使用此分析方法優點有三項優點：一、學生
28 的學習認知階層可被顯示，潛在類別分析的變項假設是間斷的，因此可判 定不同層次能力的特徵為何；二、多重空間的考慮是可行的，如潛在類別 分析可假設兩個以上的潛在變項；三、無母數估計的分配假設，研究中有 部分題項的分配是偏態的，因此在此研究中此假設是很重要的。 李幸娟 (2012) 使用潛在類別分析國小四年級學童在直覺法則的作答 反應，進行分群探討各類別的特徵以及各潛在類別其後設認知的差異性。 藉由潛在類別分析出學童最佳分群數為 5 群，群組一的學童主要使用 「Same A-Same B」和「無限細分」法則；群組二的學童主要使用「Same A-Same B」和「有限細分」法則；群組三的學童主要使用「無限細分」法 則；群組四的學童四個法則均有使用的情形；群組五的學童主要使用「有 限細分」法則。研究結果發現不同群組在「有限細分法則後設認知能力」 和「無限細分法則後設認知能力」的表現上均達顯著差異。可作教師在教 學時分組的依據和未來對直覺法則及其後設認知之間的相關性研究之基 礎。 潛在類別分析法除了應用在一般數學教育方面，在其他的教育方面亦 有貢獻。Yang, Shaftel, Glassnap and Poggio (2005)的研究應用潛在類別分析 法分析特殊教育學生的數學能力。Notenboom & Reistma (2007)的研究則是 應用在學童的拼音規則與型態。林惠雅 (2008)應用潛在類別分析探究國小 五年級男女學童母親信念、教養目標和教養行為的類型及其與學童學業表 現的關聯。Van Lier, Verhulst and Crijnen (2003)使用潛在類別分析出類別， 並用檢核表辨別孩童是否有製造混亂的行為。莊嘉坤 (1995) 認為學生的 科學態度為一潛在的心理變項，具有潛在特質，因此應用潛在類別分析法 分析學生的科學態度之潛在類別。王郁琮、溫福星(2012)利用試題反應理 論混合模式，探討國中生家庭與學校生活適應因素結構，在研究中亦與潛 在類別分析之結果進行交叉分析比對。
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潛在類別分析亦被使用於醫療，Castle, Sham, Hesseley, and Murray (1994)的研究，用於探討男人與女人在精神分裂症的子類型。Rindskopf (2006)的研究則探討酒精重度成癮的類別，可分為三類型，並說明這三類 的特徵。 綜合上述，潛在類別分析不僅已廣泛應用於各相關領域中，更在教育 範疇中有其貢獻，本研究也以潛在類別分析學童在比例問題之解題規則的 分群情形及相關的探究。
第六節 解題規則分析方法
解題規則係指受試者解決問題時會依循某種方法或策略的心理歷程 (Jansen & Van der Maas, 2002)。Siegler (1976) 提出解題者受既有知識架構 或經驗的影響，其解題過程會依循某種方法或策略。方法或策略在此稱為 解題規則。因此分析解題者的解題規則，以了解其內在思維是一值得探討 的主題。Jansen and Van der Maas (1997) 將解題規則的分析方法稱為規則 評量方法論 (rule assessment methodology)。關於解題規則探究的分析方法， 可分為質性的研究取向和量性的研究取向。壹、質性的研究取向
在質性的分析方法上，最早將晤談方式用於瞭解學童認知發展的是 J. Piaget。從 Inhelder and Piaget (1958) 以觀察和訪談研究兒童的思維開始， 觀察與晤談便是獲得解題者思考歷程的重要方法。晤談法是研究者和解題 者以談話的方式，使解題者清楚說出內在的想法和其解決問題方式，再由 研究者分析口述內容，以得知解題者本身的知識和概念。晤談之目的一方 面在於了解解題者做該項回答時背後的想法，因此不論解題者答案的對錯，
30 晤談者以一連串的問話和透過與解題者一問一答的過程，直到瞭解解題者 可能的想法為止，另一方面也能協助解題者進行反思。 一般而言，質性研究所得到的結果，可作為量性研究的依據。但是質 性研究的樣本數小，不適於做推論，且需注意解題者或研究者的個別特質 或因素。
貳、量性的研究取向
量性研究是指以量化的統計與測驗方法分析研究資料。一般而言，量 性研究所得到的結果，可提供推論依據或建立診斷題庫系統的參考。一、潛在類別分析
潛在類別分析的研究起源是從試題反應理論(item response theory，簡 稱 IRT) 所發展出來的模式，多半是假設受試者的能力參數的特性是連續 的。然而，在某些情況下，這種假設也許不是很恰當，因此才造成模式與 資料間的不適合問題。若能將該假設放寬，允許受試者的能力參數特性不 是連續的，也許可以解決並解釋模式與資料之間不適合的現象問題(Rost, 1985, 1988)。 潛在類別分析與試題反應理論模式之間的最大差別，在於彼此對受試 者之能力參數的屬性假設不同。前者假設為間斷的，後者假設為連續的。 這兩者所使用的數學模式，都是以機率的觀念來表示某位具有某種能力(或 能力類別)的受試者在某個試題上答對的可能性。 潛在類別分析是常見的量性研究分析方法，此方法利用外顯變數的一 連串反應來建立類別變數與某潛在類別變數之間的關係。所謂的外顯類別 變數指的是可被直接觀察或測量到的類別變數，例如：血型、性別；反之， 潛在類別變數，例如：態度、喜好等。應用於解題規則分析，則是依據反
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應組型(response pattern)將受試者做最佳分群，根據每個類別下之試題條件 機率，來詮釋受試者的解題規則或認知結構(吳毓瑩、林原宏，1996；Jansen & Van der Maas, 2002)。Jansen and Van der Maas (1997, 2002) 認為Siegler (1976) 將受試者歸類至使用某種規則的規則評量方法，過於武斷似乎無法 完全適用，因此採用潛在類別分析方法。
二、試題反應理論
試題反應理論是心理計量學的重要理論，此理論的模式相當多，例如： Tatsuoka (1983) 的規則空間(rule space)模式、Fischer (1973) 的線性邏輯測 驗模式 (linear logistic test model)、Mislevy and Verhelst (1990) 的混合策略 模式 (mixture strategies model)等。說明如下：
(一) 規則空間模式
規則空間(rule space)是由 Tatsuoka (1983) 所發展出的一種認知診斷評 量，它是藉由試題評量的方式，找出受試者的試題反應組型，進而推論受 試者所擁有的潛在知識狀態 (latent knowledge state)。在獲得受試者的潛在 知識狀態後，即能瞭解受試者的知識結構，哪些部分是已經具有良好的聯 結關係，哪些部分是需要再補強的。規則空間模式透過解題規則的分析， 可以提供教學者有效的診斷訊息，然而因為其試題需包含特定認知屬性， 並不容易編制適用此模式的測驗(涂金堂，2003)。
(二) 線性邏輯測驗模式
線性邏輯測驗模式(linear logistic test model，簡稱 LLTM)是由 Fischer (1973) 所提出的，是 Rasch 模式的一種延伸。運用線性邏輯測驗模式的評 量方法，即可透過受試者的試題反應組型，推估出受試者可能因沒有具備
32 某種認知操作的知識或技能，而導致無法答對包含該種認知操作的題目。 同時，也可推估出試題的所有認知操作之間的難易度。此模式的優點是比 Rasch 模式更能診斷出受試者因缺乏某種認知操作的知識或技能，而無法 答對包含該種認知操作的試題。但線性邏輯測驗模式是以 Rasch 模式為基 礎再擴充對試題難度的探討，而 Rasch 模式的缺點是未考慮鑑別力參數與 猜測參數，這個缺點亦出現在此模式(涂金堂，2003)。 (三) 混合策略模式
混合策略模式(mixture strategies model)是由 Mislevy and Verhelst (1990) 所提出。他們認為線性邏輯測驗模式對於試題的測驗內容，已注意到不同 的認知操作。但這些不同的認知操作，通常被假定為同一種解題策略，亦 即假定每位受試者對所有試題，只採取同一種解題策略，而這些試題包含 了各種不同的認知操作。在實際的情況中，受試者通常會使用不同的解題 策略進行解題。因此，Mislevy and Verhelst (1990) 更進一步將這些不同的 認知操作歸屬於不同的解題策略，發展出新的診斷評量模式，即是混合策 略模式。 混合策略模式假定受試者對同性質的試題，可能會採取不同的解題策 略。這一點假定是較符合實際解題情況，亦即解題者面對同性質的試題， 可能會採取不同的解題策略。再者，將受試者的試題反應組型，透過混合 策略模式的估算，可以估算出不同能力的受試者選擇不同解題策略的概率 函數值，因此可推估出不同能力的受試者，較可能採取何種解題策略(涂金 堂，2003)。
三、劇變論
劇變論(catastrophe theory，簡稱CT)是由Thom (1975) 提出，是一套描 述自然界和物理世界中改變轉移現象的數學機率模型工具，此理論也被擴33
展應用於社會科學之相關研究。Van der Maas and Molenaar (1996) 則應用 劇變論探討在不同發展階段中解題規則之轉移現象的分析。一般而言，劇 變論可以解釋解題規則發展階段的現象，但此理論艱深難懂，所以並沒有 被廣泛應用。 綜合以上可知，不同的解題策略分析方法，各有其不同的著眼點和限 制。透過潛在類別分析，瞭解不同類型受試者所使用解題規則的情形，使 規則評量方法的意義更為明確，雖未能呈現出所有規則之樣貌，但卻能呈 現出各群學生在各項解題規則的表現，以瞭解受試者在此概念的發展情形， 使規則評量方法更添實際應用的意義。因此，本研究欲應用潛在類別分析 探討受試者在比例問題所採用解題規則的分群情形，比較各群間之差異。
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第三章 研究方法
本研究針對國小六年級學童在比例問題的解題規則進行探究，並應用 潛在類別分析進行分群並探討各群組之特徵。本章共分為五節，依序說明 研究架構、研究對象、研究工具、資料蒐集與處理及資料分析。第一節
研究架構
本研究旨在探討國小六年級學童在比例問題的解題規則，進行分群並 探討各群組之特徵。就研究目的與相關文獻的探討，提出如圖 3-1 之研究 架構。 圖 3-1 研究架構圖 比例問題及潛在類別分析相關文獻 1. 整理訂定比例問題概念之解題規則 2. 訂定試題雙向細目表 比例問題測驗 潛在類別分析 分析： 一、 受試者在比例問題測驗的表現情形。 二、 不同性別受試者在比例問題表現之差異。 三、 受試者在比例問題測驗的分群狀況。 四、 各群組所採用的解題規則特徵。36
第二節
研究對象
本研究係以國民小學六年級學童為對象。本研究之研究樣本來自臺中 市(包含舊制臺中縣)及臺南市國民小學六年級學童共 322 名，刪除資料無 效樣本 14 名後，共得有效樣本 308 名，其受試學童皆已學習過比、比值 與比例式的概念，茲將研究之有效樣本人數分配整理如表 3-1。 表 3-1 本研究之有效樣本分配表 縣市 學校代號 規模 施測人數(人) 臺中市 01 21 班 94 02 28 班 41 03 65 班 114 臺南市 04 66 班 59 合計 308第三節
研究工具
本研究編製之比例問題，係為參考相關文獻 Karplus and Peterson (1970) 後編製，用以了解受試者在比例問題的解題規則表現。茲將研究過程所包 括之測驗設計依據及規則內容、試題雙向細目表、預試結果等陳述如下。
