研究工具

本研究編製之比例問題，係為參考相關文獻 Karplus and Peterson (1970) 後編製，用以了解受試者在比例問題的解題規則表現。茲將研究過程所包 括之測驗設計依據及規則內容、試題雙向細目表、預試結果等陳述如下。

一、測驗設計依據及規則內容

測驗試題共計 20 道計算題，根據受試者的作答情形，分析受試者在 比例問題測驗的解題規則表現。

今以自編測驗之例題說明，如圖 3-2 所示，圖中有矮先生和高先生兩 個人，分別以相同大小的迴紋針與鈕釦測量高度，透過已知與矮先生相同 高度的迴紋針與鈕釦數及高先生的鈕釦數，計算出高先生的迴紋針數。

比例問題測驗的解題規則與其定義，說明如表 3-2，並以圖 3-2 之試題 為例，說明試題設計與內容。

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矮先生為 4 個鈕釦高也是 6 個迴紋針高。若高先生為 6 個鈕釦高，請問 高先生相當於幾個迴紋針高？

矮先生 高先生

圖 3-2 試題設計與內容

綜合比例問題的相關研究，將學童解比例問題時最常使用的解題規則 定義如表 3-2 所示：

表 3-2 試題解題規則定義及作法

解題規則 定義及作法

正 確 規 則

1.倍數法 (1)定義：利用兩個比例式中的前項(後項)之間所具有 倍數關係，再將此倍數擴充到後項(前項)之 方式解題(莊玉如，2005)。

(2)作法：6 4 1.5  ，先求出 6 個鈕釦是 4 個鈕釦的 1.5 倍，6 1.5 9，再求出 6 個迴紋針的 1.5 倍是 9 個迴紋針。

2.累加法 (1)定義：在對等關係中的第一個比率建立一個關 係，再利用加法將這個關係擴充到第二個比 率關係上(莊玉如，2005)。

(2)作法：先找出 2 個鈕釦和 3 個迴紋針一樣高，所 以 6 個鈕釦和 9 個迴紋針一樣高。

3.單價法 (1)定義：解比例問題時先求出單位量，再以單位量 乘以單位數的方式解題(何意中，1988)。

(2)作法一：6 4 1.5  ，先求出 1 個鈕釦與 1.5 個迴 紋針一樣高，1.5 6 9，再算出 6 個鈕 釦與 9 個迴紋針一樣高。

38 倍數以求解(Hoffer, 1992)。

(2)作法：先找出 4 和 6 的共同倍數 12，再算出 12 個鈕釦和 18 個迴紋針一樣高，則 6 個鈕釦 和 9 個迴紋針一樣高。

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題目的比值型態對於學生解題來說會有難易度的差異(Noelting, 1980a, 1980b)。本研究參酌 Noelting (1980a, 1980b)、劉祥通 (2004) 和陳竹村等 人(2002)的研究，將比例關係式「a b: c x: 」依數字之比值關係分為以下 四種型式：

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(一) 第一型式：b和 c 是 a 的整數倍，如：4 : 8 12 : x ，稱為試題類型 A。

(二) 第二型式：只有b是 a 的整數倍，如：4 : 86 : x，稱為試題類型 B。

(三) 第三型式：只有 c 是 a 的整數倍，如：4 : 6 8 : x ，稱為試題類型 C。

(四) 第四型式：b、 c 與 a 之間為非整數倍，如：12 : 8 9 : x ，稱為試題類 型 D。

根據研究顯示( Hart, 1981; Lo & Watanabe, 1997; Noelting, 1980b)，學 生較擅長解決整數比的問題，對於非整數比的問題覺得較為困難。

綜合上述，本研究之比例測驗各題的雙項細目表如表 3-3 所示，其中 矮先生的鈕釦數量為 a ，迴紋針數量為b，高先生的鈕釦數量為 c 。

表 3-3 試題設計雙向細目表 b

a

整數倍 非整數倍

c a

整數倍

(試題類型 A) 1, 5, 11, 17, 20

(試題類型 C) 2, 6, 13, 15, 19

非整數倍

(試題類型 B) 3, 7, 10, 12, 18

(試題類型 D) 4, 8, 9, 14, 16

三、試題組成

由於 Lo & Watanabe (1997) 指出，數值大小是影響學童比例問題解題 表現的因素之一，而本研究目的不再探討數值大小與計算能力，因此，題 目中所涉及的數字盡量簡單。

本測驗之試題組成如表 3-4 所示，其中矮先生的鈕釦數量為 a ，迴紋 針數量為b，高先生的鈕釦數量為 c ，而要求填答的高先生迴紋針數量為

d。

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表 3-4 比例問題測驗之試題組成

題號 試題組成

( , )a b vs.( , )c d 1 (6, 12) vs.(18, 36) 2 (5, 9) vs.(10, 18) 3 (4, 12) vs.(9, 27) 4 (4, 10) vs.(10, 25) 5 (8, 16) vs.(16, 32) 6 (8, 14) vs.(16, 28) 7 (9, 18) vs.(17, 34) 8 (9, 15) vs.(12, 20) 9 (6, 21) vs.(8, 28) 10 (10, 20) vs.(13, 26) 11 (4, 16) vs.(8, 32) 12 (6, 18) vs.(11, 33) 13 (4, 7) vs.(12, 21) 14 (8, 14) vs.(12, 21) 15 (13, 16) vs.(26, 32) 16 (12, 22) vs.(18, 33) 17 (3, 9) vs.(12, 36) 18 (7, 14) vs.(12, 24) 19 (12, 15) vs.(24, 30) 20 (5, 15) vs.(10, 30)

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四、預試對象及分析

本測驗的預試活動於民國 101 年 12 月底進行，預試對象為桃園縣某 國小的六年級學童，共三個班級，有效樣本計 60 名。施測後本測驗之 Cronbach α 係數為 .932，表示本測驗具有良好之信度。預試施測前讓學生 自行閱讀題目，若有疑問再請教老師，但老師僅就問題進行複述，不做額 外講解說明。再者，本測驗共計 20 道計算題，將施測時間訂為 40 分鐘，

因本測驗並非成就測驗故以受試者能完成整份測驗為主。