定理 7

對於一切物體存在著一種引力，它正比於各物體所含之物 質的量。

Proposition VII. Theorem VII.

That there is a power of gravity tending to all bodies,

proportional to the several quantities of matter which they contain.

(Newton, 1687, p, 397 )

按照命題 7，萬有引力 F  1/𝑟²，假如甲星、乙星的質量別是 𝑚_甲、𝑚_乙，且引力大小與物體本身質量有關：

𝐹_甲乙  𝑚_甲/𝑟²； 𝐹_乙甲  𝑚_乙/𝑟²

運用牛頓第三運動定律，甲星、乙星彼此所受的吸引會是一樣，

透過上式的關係，得到的結果如下：

𝐹_甲乙=𝐹_乙甲=F  𝑚_甲𝑚_乙/𝑟² ……(6.1)

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我們在算圓周運動的加速度，我們可以表示成三個等式如下：

𝑚𝑎 = 𝑚 𝑣²⁄ ……(6.2) 𝑅 = 𝐾 𝑅⁄ ……(6.3) ² = 𝐺 𝑀𝑚 𝑅⁄ ……(6.4) ²

(6.2)式和(6.3)式可經由前面命題一、二、四得出此結果，利用 一般向心加速度的概念；但在(6.4)式就必須用到力的概念，才能將 之與加速度連接，也就是：

𝑚𝑎 = 𝐹 = 𝐺 𝑀𝑚 𝑅⁄ ²

如此才能將兩個式子畫上等號，這也是為何第二運動定律之所 以成為定律而非定義。

力可以簡化論述並且引導思考的最好的運動表示方式；此外，

透過力的方式，物體瞬間位置下積分每個粒子受到的吸引，並以數 學找出物體的質心吸引。透過第二運動定律得到物體加速度與運動 軌跡，以此推廣至宇宙間的遵循的自然現象，證實了萬有引力。虎 克並不知道距離平方反比力的意義，這也是牛頓勝之的地方。

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力是否真正存在？

第四節

從直線運動到封閉曲線運動，牛頓將此整合，並且將力視為一 個完美的數學形式，改變後人的物理觀。它是一個不能用數學推倒 也不能用實驗歸納，完全是一個牛頓的心智創建，而六個物理學家 都沒有此想法，也沒有牛頓如此的創造力。

隨然牛頓將超巨的吸引現象稱之為力，遭受機械論的質疑，但 其實力就存在於我們的生活之中，就是潮汐現象，這可以從經驗觀 察得到 ，當月球、太陽、地球成一直線(如農曆初一、十五)，此時 海水受到引力是最大的，因此會有大潮的現象發生；如果太陽、地 球、月亮成垂直(農曆初七、初八及廿二、廿三)，則會產生小潮。

而此現象就只能用力解釋且我們可感受的到的，透過經驗力是真正 存在。

106 果、Endeavor 趨勢、Influence 影響、Intensity 強度、Power 強勢、

Tendency 傾向，並在機械論的主宰下，對力的描述過於謹慎保守；

而牛頓成功地整合這些名詞，並將天體與地表力學統合，今天已無

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運動定律。

自牛頓起，沒有基本的新原理被寫下。自其後，所有在力 學理所完成的形式皆是奠定在牛頓定律上。馬赫 (Mach, 1919)

牛頓是史上第一位給予一種全新意義的科學家，使他得以開啟 嶄新的思考世界，從牛頓之後物理學快速地發展，後人必須學習牛 頓的思考方式，並且奠定在永恆不變的公理上。

近 1500 年裡，人類心中所面臨必須克服的一切智力障礙中，

依我所見，最令人驚訝與最非凡的影響領域，就是有關運動的問題。

──科學史家 Butterfield (1957)

除了物體運動的突破，在牛頓之後所有的物理學家必須依照牛 頓的思考方式，將物理數學化外，和數學家最大的差別，牛頓指引 物理學家「概念」的建立，將現象賦予了意義。至今所有科學家仍 就遵照牛頓的思考方式。此外，牛頓也將敵對的數學和物理整合，

即質點和運動與數學的結合。

在中學的物理教學現場，可以讓學生從現象著手，再進一步引 導出概念，從最基本的物理定義在反推到許多的宇宙現象，並且以 數學表示自然的關係。給學生多點體會，了解物理的根本，比解題 來得重要且快樂許多。

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第八章 結論

力的關鍵係要從地表碰撞運動移至天體運動的探討，再來就是 第二運動定律的提出。

笛卡兒的機械論論，認為所有的力需要接觸才有意義，但唯一 可以接受的力是物體運動本身的慣性力，另外笛卡兒將所有的物理 現象以質點和運動來表示，這可是科學上的突破。

惠更斯承襲了笛卡兒的渦旋理論，首先以數學表達離心力，也 是第一位將機械論與數學觀的結合者。在十七個命題中準確指出離 心力與速度、半徑、角速度、週期等關係。並且解釋以太因地球自 轉向外離心，迫使地表物體產向下性質，因而產生重性。其具有邏 輯性的解釋影響著十七世紀的物理學家，離心力概念成為思考主流，

甚至影響年輕時的牛頓。

相對於渦旋理論，歐洲大陸發展出一套磁性理論解釋星體運動，

羅貝瓦爾支持吸引想法卻不敢打破當時機械論的權威，因而此學說 並未受到重視。直至虎克突破性地將圓周運動視為向心趨勢的結果，

並且於 1679 及 1680 年書信，點醒牛頓必須以向心的形式思考天體 運動。儘管虎克試圖以光的發散解釋向心趨勢成距離平方的反比，

但由於虎克缺乏數學功底，無法支持其直覺與想像力，成為最早發 現象卻不能提供論證的悲劇人物。

在早期機械論以衝力的概念探討力，將圓周運動視為不受力的

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數學外，還要提出概念，牛頓之後的物理發展無不依照此思考方式 解決宇宙現象。

力的核心在於探討曲線運動的問題，而最基本的曲線運動就是 圓周運動，而第二運動定律的加速度為牛頓最大的貢獻，按照力與 動量改變有正比關係來解釋所有的運動現象，將機械論所認為的自 然運動及受迫運動歸於同個原因。的確，牛頓是第一個發現力者，

之後的近代物理學也因此誕生，所有的物理學家都必須遵守運動定 律。

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