定理 36

如果各球…上每一點所生的吸引力( attractive force) 與至被 吸引球上任一點的距離平方成反比；我說，其中一球對另一 球的全部吸引力將與此二球心距離的平方成反比。

PROPOSITION LXXVI. THEOREM 36.

If spheres be however dissimilar ( as to density of matter and attractive force) in the same ratio onward from the centrc to the circumference ; but every where similar, at every given distance from the centre, on all sides round about ; and the attractive force of every point decreases in the duplicate ratio of the distance of the body attracted ; I say, that the whole force with which one of these spheres attracts the other will be reciprocally proportional to the square of the distance of the centres. (Newton, 1687, p,222 )

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圖 6-10：《原理》命題 76 示意圖。(引自 Newton, 1687, p, 222)

在《原理》前十七個命題中，牛頓解釋探討軌跡與加速度的關 係，要求出物體加速度時，需要知道物體初始的速度與後來速度之 差才能求得，或是時間過程中的路徑。計算加速度時物體在動態的 情況下，空間與時間兩條件都必須要有，否則就無法利用加速度求 解。

但在蘋果相吸與兩巨大星體的運動問題，所探討的是靜止時刻 下的位置，不能以加速度解決問題，因此牛頓提出第二運動定律將 物體運動完整地解決──力與加速度的結合，從每個時刻的受力大 小得知對應的加速度，只要知道力就可知道加速度，並從加速度找 到物體的運動軌跡。另外要解決巨大星體每部分所受的影響，牛頓 發展一套積分，但是每個部份的加速度運動並不能以數學的方式疊 加，而力才可以將之做合成。

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圖 6-11：總加速度不能以每個部分的加速度做疊加，只有力才可以 做加減，得到合成力。

速度變化並不能解釋積分，此外也必須在軌跡下才能使用加 速度。因此要利用力的概念，即每個質點受力的加總。 計算物體 的向心力須如靜力平衡般，探討兩物體靜止瞬間的距離大小，而 力不需要考慮時間的因素，只要靜止兩物體在固定的時刻的距離，

就可以知道彼此相吸大小。

圖 6-12：以球座標積分的方式，算出球體對質點所造成的總吸引力。

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首先要認為星體每一個部分相互吸引著對方，以每點吸引作積 分──在甲星上找出球體上的一點，並且此點受乙星吸引，乙星則 以剝洋蔥的方式積分總吸引力，每一層受力的結果都集中於圓心，

最後可以只考慮乙星的質心吸引；反之，也可以得出甲星的質心吸 引。最後可只考慮兩點的質心距離來算出萬有引力的大小。

圖 6-13：將甲與乙分別以積分的方式求得彼此的吸引力，最後可以 以質心方式思考萬有引力。

使用力的概念做出積分，並且找出物體的質心，將星體的運動 以質點的方式去解決運動問題，並與之距離平方反比力和加速度做 結合，質點與運動定律的結合，是機械論與數學觀的整合與突破。

牛頓認為物體每一個部分都會受到吸引或者吸引著他人，地球 吸引著月球，太陽吸引著地球及行星為佐證，直接說出宇宙物體接

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存在著萬有引力。在《原理》第三冊命題 69 和命題 70 以剝洋蔥的 方式得出星體的引力指向幾何中心，也就是圓心。以其對稱性證明 星體的引力都指向球心，這足以解釋任何物質都有吸引的性質。此 外牛頓以數學證明出蘋果落地與月球落入地球是受同一種引力影響。

所以在〈世界體系〉裡，提出了萬有引力定律：