一般人認為牛頓在二十多歲發現了萬有引力，甚至牛頓也宣稱 這項發現早在 1666 年已做出分析，只是計算值與觀測值並不一致，
為了求精準而未將此發表：
牛頓宣稱他在 1666 年就分析過行星運動，只是在 20 年後 才寫在《原理》 上… 。並且在 1660 年代中期，他就認為力 是相互作用的：月球拉地球的力與從地球延伸到月球的力一 樣大，行星也可能會拉著太陽，這兩種力是相同種類的。
（ Cohen, 1980, p, 232）
雖然力距離平方反比的結果與實際吻合，但在我們已知道當時 牛頓所提出的天體概念並不正確。此外還有與虎克的書信，足以證 明虎克為平方反比律吵得不可開交，而牛頓為了詆毀虎克杜撰自己 早已發現向心力。
在 1679 年至 1680 年間，羅伯特‧虎克與伊薩克‧牛頓之間進 行一系列的書信，這些書信對牛頓的思想發展有著重要的決定性，
它們被鮑爾( W. W. R, Ball) 於三一學院圖書館中發現，並於他的
《論牛頓的〈原理〉》( Essay on Newton’s Principia) 中發表。不幸 的是，三一學院收藏得不完整，七封中只保留五封，虎克 1679 年 12 月 9 日致牛頓的信，及 1679 年 12 月 13 日牛頓的回信則不知去向。
116 其《光和顏色的新理論》( New Theory about Light and Colors) 倉促 地做出尖銳的批評，並且說在他的《顯微術》( Micrographia)已提 出相似的理論，受到這種不禮貌口氣，心思敏感的牛頓為此忿忿不
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( Koyre, 1964/ 2003, p, 272- 273)
已二十年沒有再碰過天文運動的牛頓，專心於煉金術，停留在 離心力的想法，從沒聽過圓周運動是一種朝向中心的運動，於是在 11 月 28 日回了虎克，並提出一個物體從空中直線掉落會因為地球 自轉而不會直接通過地心：
在此之前，我已經從哲學轉到其他領域的研究…在收到您 的信以前，我完全沒聽說過您關於：用沿曲線切向的直線運 動合成的行星運動的假說…
假定 BDG 為地球，地球每天按照 BGD 的順序，繞著中心 C 自向東旋轉；A 是一個懸在空中並與地球一起運動的重物，
因此它將永遠位於地球上同一點 B 的上方。這時想像讓 A 落 下，則此時除了保持原有的自西向東的運動不變以外，物體 的重力將給它一種朝向地心的運動。由於在其落下以前，它 的位置要比下落過程中所要到達的部分距地心更遠，於是，
此物體自西向東運動，要比所有那些在下落過程中所達到的 部分運動更多；因此，他不會沿著 AC 線下落，而會落向其 東邊，最終划出一條螺旋線ADEC…
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圖附一：牛頓在第二封書信所畫的示意圖。(引自 Koyre, 1964/ 2003, p, 279)
聽候您使喚的忠實僕人 伊‧牛頓 ( Koyre, 1964/ 2003, p, 278- 280)
從牛頓的信可以知道物體有向下掉落的特性，因為自轉現象當 物體掉落到地面會以原對應正下方的點像東偏移，假如地球中空，
會像圓盤物體以螺旋方式朝向中心，牛頓將重性視為自然性質，並 且最終回到中心的趨勢。物體從高空落下到地面會向東偏移受到虎 克大力稱讚，並希望能付諸實驗，但虎克認為物體雖受到向心的趨 勢，但並不會墜入中心：
…就其下落曲線而言，您似乎認為(雖然沒有得到討論)他將 是一條螺旋線，並且在旋轉幾圈之後最終落在地球的中心。
根據我圓周運動理論，情況將很不同，它將不類似於一螺旋 線，而是一種 elliptoid。至少，如果假設下落物體位於赤道面 上，並將地球分為兩半球，並分為兩個半球，將兩邊分開一
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些距離，以使物體能落入地球內部，再假設朝向以前中心位 置的引力不變，而且地球仍然繞軸做著周日運動，則我認為 此下落物體運動時所划出的應該類似於一個橢圓…我能補充 許多其他的考慮，那是與我的由一直向運動和一吸向中心的 運動和成圓周運動的理論相協調的…
您非常謙卑的僕人 羅‧虎克 格雷欣學院，1679 年 12 月 9 日
( Koyre, 1964/ 2003, p, 285- 287)
虎克再次提到向心運動和直線運動的協調會造成橢圓運動，但 在地球裡卻是類似橢圓曲線的運動，假如受到其他空氣或介質的阻 力則會以螺旋的方式墜入圓心。虎克的信看起來和顏悅色，但受到 如此糾正並且將此信公布給皇家學院，令牛頓大為光火，並在 1679 年 12 月 13 日回覆虎克，以乾巴簡短的信糾正虎克的錯誤：
我同意您的意見…如果他的重力是均勻的話，它將不是一 條沿螺旋線朝地心下落，而會通過其離心力與重性的交替平 衡，如圖…
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圖附二：牛頓在第四封書信所畫的示意圖。(引自 Koyre, 1964/ 2003, p, 288- 289)
您非常忠實的僕人 伊‧牛頓 ( Koyre, 1964/ 2003, p, 288- 289)
顯然牛頓運用了離心力和重性的交替平衡解釋物體的落入地球 的狀況，但他處理的物理非常複雜，並且沒有多做解釋，只是畫出 像花瓣的圖片，可能當時還沒掌握此數學的方法。另外，牛頓把重 性當作衡定的，這也被虎克做出了糾正，並且說牛頓誤解他的意思 了。
但 Brackenridge 和 Huenberg 卻認為此圖極具有價值(Cohen &
Smith, 2002, p, 95- 106)，並且提到牛頓運用曲率的概念畫出此圖。
在先前月球試驗中得出離心力的大小正比於速率平方乘上距離的倒 數( f = 𝑣2⁄ )，其離心力的大小並不是以物體至曲線中心為距離，𝜌
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而是以此圓弧找出對應的曲率半徑為距離，如圖中 PP’弧線所找出 其圓心，而圓心到弧的中心就是曲率半徑。
圖附三：我們可以利用曲率半徑得知弧線上所對應的半徑與圓心點 皆不一樣。(引自 Cohen & Smith, 2002, p, 101)
對於物體剛進入地表內，其曲率最大(半徑最小)，但由於速率 小，離心力不足以克服重性，所以被朝向中心的趨勢所吸引進去。
我們可以在微小的弧上中心找出其對應半徑，再由此半徑再向下畫 出新的圓弧，並以此整個圓弧中心找出其半徑，再由此半徑再向下 畫出圓弧……依此類推下去，所以在 F 點所對應出的曲率半徑並不 是 C 點，而是 M 點。重性始終朝向 C 點中心，物體在第二象限不
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斷加速，在二三象限之間速率雖然大，但由於曲率半徑大，離心力 始終無法克服重性將物體甩出，到了第三象限又慢慢減速，之後又 周而復始運動，最後畫出花瓣的圖樣。
但如果真要嚴謹的數學探討，此圖型確實有問題，可能是憑感 覺畫出曲線，或是只考慮曲率半徑而並不考慮物體在地球內部各位 置的速度，且我們不能否認的是，牛頓對力的概念尚未完全清楚。
圖附四：假設地球內部重性固定，離心力會隨著切線速度與曲率半 徑的不同而改變，重性與離心力之間的拔河而畫出花瓣圖型。(引自
Cohen & Smith, 2002, p, 104)
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牛頓還尚未真正了解面積定律的意義。但牛頓或許知道曲率 概念，這可以說明其圓幾何概念比他人再清楚不過，或者這是牛 頓一種特別的直觀而畫出花瓣圖型。
所以虎克在 1680 年 1 月 6 日寫道：
您讓一個物體在到中心的所有距離上都被相等的力吸引，
並用這種方法離計算物體所划出的曲線，就像對一個的凹 拱中滾動球的計算是正確的，並且兩個拱點將不是由大約 三分之一圓周所接合的。但我的假設是，吸引強度總是與 到中心的距離平方成反比的。( Koyre, 1964/ 2003, p, 289)
前面的幾封信虎克並沒有告訴牛頓引力和空間的關係為何，直 到牛頓地球吸引是均勻的概念，虎克才說是距離平方成反比，對於 虎克突如其來地指出錯誤，牛頓並沒向虎克回信，也看得出兩人一 直有相互競爭心態。而虎克又在 1680 年 1 月 17 日再次寫信給牛頓，
也是最後一封信：
此中心之吸引(central attraction power)與距離的平方成反比。
毫無疑問，以您傑出的方法，您可輕易地找出這會是何種曲 線，且提供造成此比例的物理原因。( Koyre, 1964/ 2003, p, 294- 295)
虎克看似占上風，告訴牛頓星體的運動只受吸引的影響，這也 讓牛頓重新思考星體模型架構如何，力的概念又是如何。但可以明
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顯的發現，虎克並沒有說出向心力，只說出吸引強度( central attraction power)，對於機械論對非接觸力的排斥，虎克很巧妙地避 開「力」(Force)這名詞。
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Herivel 提到離心力是科學史中重大的問題，而我們知道惠更斯 數學的量化比物理上的概念更為重要，當時年輕的牛頓指深受其影 響。而牛頓「向心力」概念是在虎克 1679 年的提醒而發展而成 ( Herivel, 1960, p, 546)，並且正確將之數學化，而「向心力」的物理 概念更是科學史上重大突破。因此回歸孔恩的一段論述：
在 1660 年代，牛頓還是受到笛卡兒的影響，尚未建立行星 沿曲線運動是受到「向心力」而非「離心力」的概念，直到 1679 年跟虎克通信後，才被提醒要考慮朝向中心加速的運動 與慣性運動的合成，而 這就是「向心力」提出的關鍵。天體 重力延伸至月球，且是向著中心，這就是為何行星跟月球受 到向心力，而持續不斷地偏離他們各自的慣性運動路徑。
（ Cohen, 1980, p, 231）
儘管虎克無法找出運動定律，但他也間接影響了牛頓，如果沒 有虎克的臨門一腳的功勞，物理的發展可能還要停滯許久，牛頓在 物理學界上也將不會如此閃耀。
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