牛頓於 1666 年利用克卜勒的週期定律──行星到太陽距離乘 以週期平方倒數為定值，得出離心力反比於距離的平方：
𝑣 = 2𝜋𝑟 𝑇⁄
→𝑣2 = (2𝜋𝑟 ⁄ 𝑇)2 ∝ 𝑟2⁄𝑇2 ∝ 1 𝑟⁄ …… (5.3)
→𝐹 = 𝑣2⁄ ∝ 1 𝑟𝑟 ⁄ …… (5.4) 2
牛頓在 1718 年晚年自傳裡，關於平方反比律發現的優先權 曾提出的辯駁，認為他要比 1673 年惠更斯正式發表的相關論述還 要早：
可能是 1666 年左右，我開始思考重力延伸到月球軌道，而 且也找出如何估計運動質點在球面內運行撞擊至表面時所施 的力：由克卜勒的行星週期律，我推算維持行星在它們各自 軌道上的力，必定與它們到圍繞中心距離平方成反比。(田芷 綾、姚珩, 2010, p, 25)
但在當時牛頓提出是離心力的概念而非是吸引的結果，所提出 平方反比律原理並不是正確：
假如物體 A 往 D 方向行走圓弧 AD，而離新趨勢所做的努 力將會由物體所攜帶，在 AD(我假定這長度非常的小)，這物
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60 個半徑並且將月球繞地球週期平方，並將地球半徑設為 1，
將週期平方為746 1 2⁄ ，所以得出 60 比746 1 2⁄ ，分別是月亮 和地表的遠離地球中心的努力。所以在赤道上遠離地球的努 力為月球的12 1 2⁄ 倍，(地表的)重性為月球遠離地球的努力的 4000 倍。
假如月球遠離地球的努力總在地表同一面，地表和月球遠 離太陽的努力將會小於月球遠離地球的努力，不然月球會繞 的太陽旋轉而非地球…
而且重性地球遠離太陽的努力的 5000 倍…
最後形體距離太陽的立方與其繞太陽週期平方互為相關：
遠離太陽的努力和距離太陽的平方互為相關。(Gandt, 1995, p, 139- 141)
圖 5-5：利用幾何求出離心力𝐵𝐷̅̅̅̅。
這篇最主要是比較重性與離心力的關係，且重性大於地球轉動
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所造成的離心力，使物體免於被拋至空中，而在牛頓的手稿中，地 表上的重性為離心力的 350 倍。離心力的概念從笛卡兒的發展而來 的，在他的《哲學原理》一書中有提到「遠離中心的努力」；但相 反的是，有別於惠更斯離心力造成重性的想法，牛頓認為重性和離 心力一樣是相同的自然性質，而且使物體移動距離也是與時間平方 成正比。
至於離心力是如何量化，且重性為何是離心力的 350 倍，牛頓 用利用極限與相似三角形得出結果。首先保留直線並把 ADEA 圓去 除，將 A 點與 D 點連成直線，A 點與 E 點連上，可以得出
∆𝐵𝐴𝐷~∆𝐵𝐸𝐴兩相似三角形。在微小的時間裡，𝐵𝐸̅̅̅̅~𝐷𝐸̅̅̅̅, 𝐵𝐴̅̅̅̅~𝐷𝐴̅̅̅̅，
利用相似三角形找出線段比例：𝐷𝐴̅̅̅̅: 𝐷𝐵̅̅̅̅ = 𝐵𝐸̅̅̅̅: 𝐵𝐴̅̅̅̅ ≈ 𝐷𝐸̅̅̅̅: 𝐷𝐴̅̅̅̅，即 𝐷𝐴̅̅̅̅2 = 𝐷𝐵̅̅̅̅ ∙ 𝐷𝐸̅̅̅̅。
圖 5-6：利用相似三角形 ∆𝐵𝐴𝐷~∆𝐵𝐸𝐴求出離心力𝐵𝐷̅̅̅̅。
離心趨勢的大小隨著單位時間成正比，𝐷𝐵̅̅̅̅為離心趨勢的大小，
在等速率圓周運動中，弧長𝐷𝐴和圓周𝐴𝐷𝐸𝐴的離心趨勢比就是兩 者長度的平方比，即：
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離心趨勢離開對應所走至圓周的距離隨著時間平方成正比是惠更斯 的貢獻，類似於落體，在短時間的離開的距離確實精確，但在長時 間的一天尺度就不盡如此。
牛頓在文中指出月球的離心力只有地表重性的四千分之一，而 月球為何穩定於軌道上，牛頓並沒有說明，當時伯雷利表示星體能 穩定在特定軌道上是因為離心力與重性的平衡，但不能表示牛頓隱 含支持這些論點。如果要以渦旋理論加以解釋重性的來源，重性隨 著距離平方成反比嗎？其實牛頓也不清楚，並且牛頓在當時不知道 何謂是向心力。
此外，韋斯特福爾認為牛頓仍處於機械論的框架之中，儘管結 果正確，不能是萬有引力的發現：
1666 年 … 牛頓沒有使用引力的概念，仍舊侷限於傳統的 機械論哲學思維框架；他沒有指出萬有引力，而只是指出離 心的趨向。（韋斯特福爾，2000，p, 157）
另外在 1684 年的《論運動》中也有類似的推導，除了弦切線
𝐷𝐹̅̅̅̅沒有通過直徑外，最重的是牛頓所算的力是離心力而非向心力：
物體 B 作(等速率)圓周運動時，所受到向心力作用的大小正 比於速率平方除上圓半徑。──《論運動》(1684)
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圖 5-7：利用另一種幾合方式求出離心力𝐵𝐶̅̅̅̅。
我們可以加上簡單的輔助線，利用幾何證明得出：
圖 5-8：畫上輔助線，利用相似三角形求出離心力𝐵𝐶̅̅̅̅。
已知𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑ 為向心力的大小，其中∆FCB~∆BCD，所以 CD ̅̅̅̅̅ = BC̅̅̅̅2
CF̅̅̅̅
⁄ ，在極短的時間下，CF̅̅̅̅ ≈ 𝑅， BC̅̅̅̅ = 𝑣，而CD ̅̅̅̅̅
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可以表示為 F，最後得到𝐹 ∝ 𝑣2⁄ 。 𝑅
雖然數學結果一致，與前後二十年比起，向心力和離心力是截 然不同的物理概念。另外從月球的試驗，可以看出牛頓對力的含糊，
將「離心力」與「重性」兩不相關的概念相結合，而牛頓在二十年 前發現萬有引力的自述可能是杜撰，這平方反比定律提出的優先權 顯得軟弱無力：
在 1660 年代於牛頓的手稿中，都未發現任何暗示指出太陽 作用在行星之上的力，與地球作用在月球之上的力是同樣的。
同時期，他認為行星具有遠離的趨勢，而在 1679~1680 年代 或是更晚，他認為行星受到的為向心力，而連續地偏離行星 的慣性軌跡，這兩者有很大的區別。也就是說，在 1665 年代，
牛頓還沒有將重力普遍化的概念，而他說早有這樣的概念，
只是晚了 20 年才發表，這樣的說法是沒有根據的。甚至在當 時，他都還沒有月球會有力作用在地球上，或是行星會作用 在太陽上的概念。( Cohen, 1980, p, 233)
牛頓的向心力概念需要受到某種的啟發，力的發現並不是一件 簡單的是。惠更斯的數學觀給與牛頓重大的影響，有了量化的技巧，
使牛頓只需臨門一腳完成運動定律，早期離心力數學化的過程物理 構雖不正確，但卻是啟發牛頓邁向成功之路的重要因素。
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