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牛頓運動定律的來源及其根本意涵──科學革命時期『力』概念的發展

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Academic year: 2021

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(1)國立台灣師範大學物理研究所碩士論文. 牛頓運動定律的來源及其根本意涵 ──科學革命時期『力』概念的發展. 學生:陳玠同 指導教授:姚珩. 中華民國一百零八年七月.

(2) 致 謝 感謝我的父母對我的支持和鼓勵,使我能朝著興趣發展,無憂 無慮地完成碩士研究。. 感謝指導教授姚珩老師在我轉撰寫期間,不辭辛勞地指導,提 供許多的想法,傾囊相授中啟發我的靈感,讓我能順利完成論文。. 感謝論文口試委員張海潮教授、劉祥麟教授對論文提出修改和 具體建議,讓內容更加嚴謹完整,更能感受到論文的張力。. 感謝國立台灣師範大學的老師與助教們,不管是修習課程或是 完成論文的程序都給予實質上的幫助,給我更多的視野和觀點。. 感謝師大和各貴校提供良好的環境與資源,以及其他專家期刊 與書籍,讓我的論文更加穩固扎實。. 感謝吳承宣同學與我討論研究內容,激發我的思考,並且在口 試當天幫忙場佈與紀錄,分擔了許雜事,讓我能專心準備報告。. 最後感謝各位夥伴以及運轉的世界,陪伴我這段難忘的歷程, 讓我如願地完成階段性的任務。. 願祝大家面向大海,春暖花開。.

(3) 摘 要 牛頓第二運動定律的發展並非一蹴可幾,它需要無數科學家的 智慧累積。. 文章主要分成三大部分:第一部是惠更斯首次提出離心力的概 念,並且將離心力數學化,提供牛頓正確量化結果,成為力學的先 驅者。第二部是牛頓受虎克影響,將地表的蘋果落地與天體的月球 運行以向心力的概念貫穿合一,並且在《論運動》證明出向心力等 價於面積定律。第三部是運動定律的提出,並且以加速度預測星運 行軌跡,在探討蘋果受地球吸引或是兩巨大星體運動必須使用力來 解決積分問題。. 《原理》出版後,在混雜的宇宙中建立出井然有序的天體模型, 之後的物理學家無不跟隨著運動定律,所有的理論皆必須建立在牛 頓的心智創見之上。. 中文關鍵字:牛頓、運動定律、力、加速度、惠更斯、自然哲 學與數學原理、虎克、向心力、離心力、科學革命、萬有引力. 英文關鍵字:Newton, force, gravity, Principia, centrifugal force, centripetal force, Huygens, Hooke.

(4) 目 次 第一章 前言…………………………………………………………1 第二章 機械論對力概念的觀點………………………………………3 第一節 機械論對力的看法──固有力為唯一可被接受的力……3 第二節 笛卡兒的離心趨勢…………………………………………5. 第三章. 牛頓力學的先驅──惠更斯………………………………6. 第一節 惠更斯論離心力……………………………………………6 第二節 離心力與重性之關係──機械論與數學觀的結合 ……12. 第四章 是向心而非離心──虎克的提示…………………………23 第一節 地心說後行星運動之探討………………………………23 第二節 向心運動概念的發展……………………………………25 第三節 虎克提出吸引強度的概念………………………………27 第四節 虎克平方反比定律之猜想………………………………35. 第五章 向心力的誕生──牛頓在力學上的第一個創見…………39 第一節 十七世紀的衝力概念……………………………………39 第二節 牛頓對離心力之探討……………………………………42 第三節 月球試驗離心力之探討…………………………………46 第四節 牛頓向心力的確立………………………………………54 的五節 向心力的數學化…………………………………………59 的六節 向心力與離心力之差別…………………………………73.

(5) 第六章. 運動定律的建立──牛頓在力學上的第二個創見………77. 第一節 第一運動定律──慣性定律於 1686 年提出……………77 第二節 第二運動定律 ……………………………………………83 第三節 力是否為必須? …………………………………………95 第四節 力是否真正存在?………………………………………105. 第七章 牛頓力學對古典物理的貢獻及在教學上的啟示…………106. 第八章 結論…………………………………………………………108. 參考資料 …………………………………………………………… 112. 附錄 ………………………………………………………………… 115 一、1679 至 1680 年間虎克與牛頓之間書信 ……………………115 二、惠更斯離心力命題補充………………………………………126 三、惠更斯離心力命題原文………………………………………134 四、《自然哲學與數學原理》命題證明…………………………137.

(6) 圖目錄 圖 2-1:笛卡兒機械論的渦旋說模型。(引自卡約里,2002,p. 48)……………………………………………………………5 圖 3-1:惠更斯認為當物體在作圓周運動時,會有離開圓心回到直 ̅̅̅̅ 大 ̅̅̅̅ 、𝐶𝐸 線的趨勢,此趨勢稱為離心力,離心力的大小為𝐷𝐹 小。…………………………………………………………7 圖 3-2:惠更斯論文假設一示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 260)…………………………………………………………8 圖 3-3:惠更斯論文假設三示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 231)…………………………………………………………9 圖 3-4:惠更斯論文假設二示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 261)…………………………………………………………10 圖 3-5:小球在固定的圓上做運動時,垂掛的重量等於離心力的大 小。…………………………………………………………11 圖 3-6:惠更斯論文假設五示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 263)…………………………………………………………12 圖 3-7:木栓 B 放在充滿水的管內,當管旋轉時水會往外推至 P 點 而木栓將朝管底運動。 (引自姚珩, 2011, p, 16)…………17 圖 3-8:當繩子掛著重物時,其繩張力會隨著弧面趨於平緩而逐漸 減少。(引自 Huygens, 1659/2015, p, 256)…………………19 圖 3-9:當物體在作圓周運動時,在第一時間隔離心力所造成的位 ̅̅̅̅ ,與在第二時間隔離心力所造成的位移量𝐸𝐷 ̅̅̅̅ ,這兩 移量𝐸𝐶 ̅̅̅̅ : 𝐸𝐷 ̅̅̅̅ = 1: 4。 ( Huygens,1659/ 2015, p, 261) … 20 為移之比𝐸𝐶 圖 3-10:離心力所造成的離開距離與時間平方成正比,與重性掉落 距離與時間平方成正比是同樣的數學關係。 (引自.

(7) Huygens,1659/ 2015, p, 259)………………………………21 ̅̅̅̅中垂線越遠,則向心 圖 4-1:圓錐擺在不同的平面上繞圓,其離𝐴𝐻 趨勢越大。(引自 Westfall,1971, p, 209)……………………30 圖 5-1:伽利略的小球實驗,小球從斜面滑下來會在另一端回到一 樣的高度,如果是在水平線上則會繞行地球一圈。 …… 40 圖 5-2:牛頓利用軌道碰撞的想法量化離心力。(引自 Herivel, 1960, p, 547) ……………………………………………………… 43 圖 5-3:物體在內接正四方形軌道運行,尋找碰撞所產生的反彈力。 (取自田芷綾、姚 珩,2010, p,23) ……………………… 43 圖 5-4:論證物體在內接正多邊形軌道運行所受到的反彈力。(取自 田芷綾、姚珩,2010, p, 24) ……………………………… 45 ̅̅̅̅。 …………………………………48 圖 5-5:利用幾何求出離心力𝐵𝐷 ̅̅̅̅。 …………49 圖 5-6:利用相似三角形 ∆𝐵𝐴𝐷~∆𝐵𝐸𝐴求出離心力𝐵𝐷 ̅̅̅̅ 。 ……………………52 圖 5-7:利用另一種幾合方式求出離心力𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 。 …………52 圖 5-8:畫上輔助線,利用相似三角形求出離心力𝐵𝐶 圖 5-9:牛頓在第四封書信所畫的示意圖。(引自 Koyre, 1964/ 2003, p, 288- 289)………………………………………………………55 圖 5-10:牛頓定理一示意圖。(引自 Brackenridge, 1996, p, 80)…60 圖 5-11:等速直線運動符合面積定律,在兩相同時刻區間,∆SAB與 ∆SBc面積必會相等 。(引自 Brackenridge, 1996, p, 82)………62 ⃑⃑⃑⃑⃑ 。(引自 ⃑⃑⃑⃑ 變成 𝐵𝐶 圖 5-12:物體在 B 點受到衝力,使之運行由原本𝐵𝑐 Brackenridge, 1996, p, 83)……………………………………63 圖 5-13:伽利略位置向量疊加。 ……………………………………64 ⃑⃑⃑⃑⃑ 與AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 。 ………………………………… 64 圖 5-14:兩位移分別為AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 兩位置的向量疊加可以利用平行四邊形法,得出 圖 5-15: ⃑⃑⃑⃑⃑ AB、AD.

(8) ⃑⃑⃑⃑⃑ 。…………………………………………………… 64 對角線AC 圖 5-16:假設一( Corollary 1.)示意圖。……………………………65 圖 5-17:平行四邊形法用於定理一( Theorm 1.)。(引自 Brackenridge, 1996, p, 83) ………………………………………………… 66 圖 5-18:∆SAB 與∆SBc 面積相等。(引自 Brackenridge, 1996, p, 84)……………………………………………………………66 圖 5-19:只要能符合面積定律,在 B 點的向心脈衝力可以任意大 小。 ………………………………………………………… 67 圖 5-20:透過面積定律可以找出圓周每一位置皆受到向心脈衝力的 作用。 (引自 Brackenridge, 1996, p, 80) ………………… 68 BC 2⁄ ,得到𝐹 ∝ ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ 圖 5-21:利用 5-3 節證明結果,CD ̅CF ̅̅̅ 𝑣 2⁄ 。 ………………………………………………………69 𝑅 圖 5-22:笛卡兒離心力圖示。(引自 Descartes, R. 1644,末頁附 錄)……………………………………………………………74 圖 6-1:慣性力也就是動量,可以和外力一樣表示於向量空間 上。 ………………………………………………………… 80 ⃑⃑⃑⃑ 就等於物體在 A 處所受到的外力,並且兩者 圖 6-2:運動量變化𝑎𝑏 是同方向且等比例關係。(引自 Pourciau, 2011, p, 1018) …85 圖 6-3:此力作用在點 B 並沿著與 cC 平行的直線上 (由第二定律)。 (Such a force) acts at position B along a line parallel to cC( by Law 2).(引自 Brackenridge, 1996, p, 80) ……………………87 ̅̅̅̅ = 圖 6-4:利用兩相似三角形∆BCF與∆DCB可以得到向心力DC ̅̅̅̅ BC2⁄. ̅̅̅̅。 ……………………………………………………88 CF. 圖 6-5:命題 17 示意圖。(引自 Newton, 1687, p, 123 ) …………… 89.

(9) 圖 6-6:命題 17 示意圖。(引自 Newton, 1687, p, 123) …………… 92 圖 6-7:距離平方反比力可以形成橢圓、拋物線或雙曲線等運動軌 跡。(引自姚珩、田芷綾 , 2010, p, 6)……………………… 93 圖 6-8:蘋果所受地球每一個部分,不同大小與方向的吸引,其總 吸引會朝向地心。 ………………………………………… 98 圖 6-9:兩有質量巨大物體會繞著共同中心作圓周運動。(引自 Newton, 1687, p,195) ……………………………………… 99 圖 6-10:《原理》命題 76 示意圖。(引自 Newton, 1687, p, 222)…99 圖 6-11:總加速度不能以每個部分的加速度做疊加,只有力才可以 做加減,得到合成力。……………………………………99 圖 6-12:以球座標積分的方式,算出球體對質點所造成的總吸引 力。 ……………………………………………………… 101 圖 6-13:將甲與乙分別以積分的方式求得彼此的吸引力,最後可以 以質心方式思考萬有引力。 …………………………… 101 圖附一:牛頓在第二封書信所畫的示意圖。(引自 Koyre, 1964/ 2003, p, 279) ………………………………………………………118 圖附二:牛頓在第四封書信所畫的示意圖。(引自 Koyre, 1964/ 2003, p, 288- 289) …………………………………………………120 圖附三:我們可以利用曲率半徑得知弧線上所對應的半徑與圓心點 皆不一樣。(引自 Cohen & Smith, 2002, p, 101)…………121 圖附四:假設地球內部重性固定,離心力會隨著切線速度與曲率半 徑的不同而改變,重性與離心力之間的拔河而畫出花瓣圖 型。(引自 Cohen & Smith, 2002, p, 104)…………………122 圖附五:假設四示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 262)……126 圖附六:假設六示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 264) ……127.

(10) 圖附七:假設八示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 267) ……129 圖附八:假設九示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 267) ……130 圖附九:假設十五示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 271) …131 圖附十:假設十六示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 272) …132 圖附十一:假設十七示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 273)………………………………………………………133 圖附十二:命題 11 示意圖。(引自 Newton, 1687, p, 116) ……… 137 圖附十三:項武義教授《原理》命題 11 證明圖。 ……………… 138 圖附十四:命題 17 示意圖。(引自 Newton, 1687, p, 123) ……… 141 圖附十五:P 位置與原點 S 距離為 r。(引自項武義、張海朝、姚珩, 2010, p, 180) …………………………………………… 142 圖附十六:P 點位置的與速度圖解。(引自項武義、張海朝、姚珩, 2010, p, 181) …………………………………………… 143 圖附十七:單位變動向量𝑒𝜃 = (− sin 𝜃 , cos 𝜃 )在𝐶 上做內積投 影。……………………………………………………… 144 圖附十八:兩有質量巨大物體互繞情形。(引自 Newton, 1687, p,195) …………………………………………………… 146 圖附十九:《原理》命題 76 示意圖。(引自 Newton, 1687, p, 222)………………………………………………………147 圖附二十:球座標形式。……………………………………………14.

(11) 第一章. 前言. 高中生在學物理,最重要的是牛頓的第二運動定律,衍生出所 有的物理公設無不出自於此。. 但學生對運動定律卻是懵懵懂懂,F=ma 到底如何來也不曾過 問,只把他當成公式背起來解所有的考試題目。將 F=ma 與質量等 於密度乘以體積 M=DV 做比較,這兩個式子的等號是否有相同意義? 大家把力等於加速度乘上質量,視為約定俗成的公式。. 大多的科學家試圖將力解釋清楚:Euler 認為力是速度的微分 ( deviation);Lagrange 與 Hertz 將力視為造成運動的原因,甚至是說 某種影響;Lazare Carnot 巧妙地避開力與加速度的因果關係。 Kirchhoff 表示力只是理論性的概念,而 Mach 卻認為力是運動的結 果(Coelho, 2009, p, 92-105)。力和加速度的關係到底為何,是由 F 知 道 a,由 a 知道 F,還是並無關係?. 而定律及定義差別,在於透過物理與數學解釋此現象,並可以 將此套用在其他的恆存自然現象上而形成公理;而定義只是一個人 為的設定,並不能解釋自然原因。如果將力視為定義,但為何正巧 能解釋圓周與落體運動同是向心運動,並且得出萬有引力定律?此 外,只要知道加速度就可以瞭解所有的運動變化,但為何還需要使 用力?. 在十七世紀,沒有一個物理學家將力說清楚,甚至是錯誤的想 1.

(12) 法,而牛頓是如何突破眾人盲點,正確地將此力概念落實提出?這 值得深入探討,運動定律的建立是我主要的研究動機。. 2.

(13) 第二章. 機械論對力概念的觀點. 第一節 機械論對力的看法 ──固有力為唯一可被接受的力 近代哲學之父笛卡兒( R. Descartes, 1596~1650)從小聰穎過人, 常對師長或前人所傳授知識的真實起疑,而有「我疑故我思,我思 故我在」之名言。周遭一切事務皆可懷疑,但唯一的一件事無法懷 疑,就是「三角形內角和為 180 度」,即一切幾何命題為真。因此 笛卡兒主張物理性質應從幾何性質出發,而長、寬、高之廣延性質 成為主要探討,當物體縮得很小則可將此想像成「質點」,而掌握 質點的位置變化為「運動」,而後的科學家也依照質點、運動思考 思考一切物理。. 在文藝復興時期的自然主義(或神秘主義)中,把心靈與物質 (mind & matter)精神與肉體(spirit & body)視為不能分離的統一 體,笛卡兒主張為了要建立起思考的有效性與嚴密性,必須要在精 神和肉體之間劃出一到清楚的界限。此二元論將物質本性剔除掉所 有的精神性質,如細碎的土瓦堆積成沒有生命的疆域,但這正為著 近代科學的目的而設計,十七世紀後半期每位重要的科學家無異議 地接受肉體、精神二元論,開創近代科學的物理本性。. 所以在十七世紀前半期西歐科學界興起了反文藝復興自然主義 的運動,建立起一種整體性、確定性的機械論( mechanism) 哲學概 念。掌握物質世界裡的思維,所使用的方法即是要透過柏拉圖所主 3.

(14) 張在現象背後的數學實體或理念(idea),而笛卡兒的思想是源自於新 柏拉圖主義。對於心靈(mind)與靈魂(soul)視為神秘的、或宗教的領 域,而非單純的思維認知,所以笛卡兒認為科學的思維是無法觸及 宗教的世界與回答靈魂的問題。(姚珩,2011, p, 15). 任何現象只要通過理解就可消除疑問,物質世界中並無深不可 測的秘密,所以任何神秘的性質都要被撤底排除。所有的運動中皆 是由物質微粒間的碰撞所引起的,「力」只能為一物體對另一的擠 或壓,其餘的解釋將視為神秘性質而加以批評,因此吉爾伯特( W. Gilbert 1544~ 1603)描述磁具有靈魂的假說不再被看重。. 機械論力學的有效性有賴於慣性運動及動量不滅的建立:慣性 運動為物體不受任何干擾會繼續運動下去;而動量不滅則是在碰撞 中,運動能從一個物體傳遞給另一個物體,但運動的總和不會因此 而減少。「運動物體的力」就類似我們所說的動量,此為機械論者 所接受的概念,且只有經過碰撞才有力的交互作用,而沒有可不接 觸而能互相影響的作用力存在。. 4.

(15) 第二節 笛卡爾的離心趨勢 笛卡兒認為任何旋轉的物質皆有逃離圓心的性質,引入了離心 傾向(endeavor)、離心趨勢(tendency)的概念。星體在環繞著太 陽而力圖擺脫中心,為了能解釋星體可以穩定在特定軌道上, 機械 論的學者也嘗試去建構一個理性的宇宙論,溪流渦旋的現象成為關 鍵,因此首次引進了渦旋理論。宇宙間布滿了流體般的以太物質, 快速移動中形成各個的渦旋環流,使行星的離心趨勢達到平衡而確 定出行星的軌道。. 圖 2-1:笛卡兒機械論的渦旋說模型。(引自卡約里,2002,p. 48). 5.

(16) 第三章 第一節. 牛頓力學的先驅──惠更斯 惠更斯論離心力. 相繼笛卡兒( R. Descartes 1596~ 1650)機械論之後,惠更斯 ( C. Huygens 1629~ 1695)發展出一套有系統性的概念來解釋天體模型, 將機械論所說的離心趨勢稱為離心力( vis centrifugam),此為笛式學 派所接受的概念,並且惠更斯以離心力貫穿全文。此論文正式發表 於 1673 年 Horologium Oscillatorium 的附錄中,裡頭只有結論卻沒 有任何證明;卻在死後發表拉丁論文 De vi Centrifugal 中,有詳細的 論述。. 惠更斯天體運行的探討,可回朔至 1659 年的手稿,以角速率 和圓半徑來表示離心力的大小──對於固定週期,離心力正比於圓 半徑;對於固定半徑,離心力正比於速率的平方。假如半徑為𝑟, 2. 速率為𝑣,ω為角頻率,以現在的代數表示:離心力𝐹 ∝ 𝜔2 𝑟 或𝑣 ⁄𝑟 。. 惠更斯行星模型中,假如物體不受任何干擾或外力,則是直線 前進。物體在運動中總想回到直線前進的形式,所以在圓周運動中, 總有一股趨勢將其脫離圓弧拉回直線運動的趨勢,這趨勢叫做離心 力。在單位時間內行星行走距離為圓弧𝐵𝐷,而在單位時間內不受任 ̅̅̅̅̅̅ 為通過圓心的直線,其中𝐷𝐹 ̅̅̅̅ ,而𝐴𝐷𝐹 ̅̅̅̅ 為 何干擾所行走的線段為𝐵𝐹 曲線回到直線的大小,即為離心力的大小。. 6.

(17) 圖 3-1:惠更斯認為當物體在作圓周運動時,會有離開圓心回到直 ̅̅̅̅ 大小。 ̅̅̅̅ 、𝐶𝐸 線的趨勢,此趨勢稱為離心力,離心力的大小為𝐷𝐹. 離心力是出自於惠更斯,並且是第一位正確表達其值。 ( Harman, 1982, p, 479) 惠更斯的論文中一共設有十七個假設,以各種方式解釋離心 力說服讀者。其中最重要的假設一至假設三,以兩個物體在三個情 境中量化離心力──不同圓半徑,相同的角速度可;相同圓半徑, 不同速度;不同圓半徑,相同速度,而非再是純粹質性探討,他給 了物理學家很好的數學經驗,包括牛頓在內,這也為何惠更斯是力 學的先驅者。. 在第一個假設中,精確地說出在相同週期下,離心趨勢與半 徑大小有成正向關係:. 假設一 假如兩個一樣的物體在相同時間內行走完一個圓周,大圓 周的離心力會大於小圓周的離心力。(Huygens, 1659/ 2015, p, 260). 7.

(18) 圖 3-2:惠更斯論文假設一示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 260) ̅̅̅̅ 和𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 的兩個圓,相同時間內兩相同物體行經相同徑 半徑為𝐴𝐶 度。在非常短時間內可以得出相近的兩圓弧,且從 B 點和 C 點得到 ̅̅̅̅ 和對應兩弧。因此,物體運行至圓弧 BD 會經歷一 ̅̅̅̅ 和𝐶𝐺 對應切線𝐵𝐹 個作用離開圓心,以向外的形式阻礙圓弧運動並自然地加速,而單 ̅̅̅̅ 大小。另一方面,物體行走在圓弧 CE 上也會 位時間內改變線段𝐷𝐹 ̅̅̅̅ 。 以一樣的效用離開圓心,且在相同的時間內改變𝐺𝐸. 另外,同樣是大圓與小圓的情況,只是物體在同樣速率下探討 離心力的大小:. 假設三 假如兩個相等物體以同樣的速率分別對不同大小的圓做運 動,它們的離心力會與直徑成反比,所以小圓的力會比較大。 ( Huygens, 1659/ 2015, p, 261). 8.

(19) 圖 3-3:惠更斯論文假設三示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 231) 假設二探討物體在等圓卻不等速的離心力狀況,並且提出一個 實驗證明離心力的存在:. 假設二 假如相同的物體在同個或一樣的軌道以不同的速率做旋轉, 但這兩個都是作均勻等速運動。而遠離中心的力,速率快的 物體會比速率慢的物體還要大,也就是說,假如繩線綁住物 體並從桌面穿過圓心,另外一頭懸掛重物,而此物體的重量 會相等抵抗離心力,重量大小與速率的平方成正比。 ( Huygens, 1659/ 2015, p, 260). 9.

(20) 圖 3-4:惠更斯論文假設二示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 261) ̅̅̅̅ 為半徑,物體在圓周移動得一瞬間,速率較慢的 令 A 為圓心𝐴𝐵 物體以線段 N 表示,速度較快的物體以線段 O 表示。假如取一個非 常小的圓弧 BE、BF,則它們的長度比例於 N 和 O 線段,可以證明 經歷相同的時間內,相於較慢的物體行走 BE,較快物體則行走 BF, ̅̅̅̅ 和𝐵𝐷 ̅̅̅̅相等於 BE 和 BF 圓弧。 而切線𝐵𝐶. 任何一個物體會受到趨勢的影響而沿著繩線向外脫離圓心,圖 ̅̅̅̅ 和𝐹𝐷 ̅̅̅̅。而離心力與速度的關係為如何,惠 中離心力大小分別為𝐸𝐶 ̅̅̅̅ 2 = 𝐸𝐶 ̅̅̅̅ ∙ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ 更斯並沒有去證明,但我們可以利用相似三角形得出𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ,在極短的時間下𝐴𝐶 ̅̅̅̅ ≈ 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ ≈ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ,近似於圓半徑, ̅̅̅̅2 = 𝐷𝐹 ̅̅̅̅ ∙ 𝐴𝐷 和𝐵𝐷 ̅̅̅̅ : 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ : 𝐹𝐷 ̅̅̅̅ = 𝑁: 𝑂,所以離心力之比為𝐸𝐶 ̅̅̅̅ = 𝑁 2 : 𝑂2 ,即為速率 而𝐵𝐶 的平方。. 為了將離心力具體化,必須要從現象著手,惠更斯很巧妙地將 10.

(21) 繩子穿過鑽孔的桌子,桌面上放著旋轉的球,另外一頭懸掛著重物, 如圖 3-5,當球在旋轉的時候物體就會被拉起,要使球在桌面穩定 旋轉,物體重量要等於離心力大小,並且重量與旋轉速率平方成正 比。. 圖 3-5:小球在固定的圓上做運動時,垂掛的重量等於 離心力的大小。. 惠更斯想從現象將離心力具體化;但重性與離心力的關係為何? 接下來做個深入的探討。. 11.

(22) 第二節 離心力與重性之關係 ──機械論與數學觀的結合 至於重性(gravity)怎麼來的,離心力是否和重性相關,如果有 相關孰先孰後?. 重性與離心力環繞於惠更斯的論文裡,其中第五個假設如下:. 假設五 假如一個物體在地球圓周上運動的速率等同於物體掉落四 分之一的地球直徑,而此時離開圓心的效果會等同於重性的 大小,也就是說,它將會強而有力地拉著繩弦並保持物體懸 掛著。( Huygens, 1659/ 2015, p, 262). 圖 3-6:惠更斯論文假設五示意圖。(引自 Huygens, 1659/ 2015, p, 263) 在第二個假設中已清楚表示離心力的存在,而離心力和重性對 12.

(23) 於機械論是個重大的問題,懸掛的物體提供重量,使繩線通過圓心 保持物體旋轉。而這兩種作用並非簡單的杜撰,而惠更斯在研究各 式各樣的圓錐擺運動中,建立出離心力和重性的關係。. 在第五個假設,可以用代數來表示:地球半徑為 r,而先前伽 利略已表示物體下落的距離與時間平方成正比,而速度與時間成正 比,所以距離與速度的平方成正比關係,此外惠更斯也說明離心力 大小與速率的平方成正比。. 現在令降落速度為 v, g 為重力加速度,地球半徑為 r,而速度 與時間的關係為 v=gt。此命題利用速率與的關係𝑣 2 = 2𝑔𝑆,而此時 2. 掉落的速度在地球表面離心力的加速度為𝑎 = 𝑣 ⁄𝑟。假如物體掉落 2. 為四分之一地球直徑長度,𝑣 2 = 2𝑔 𝑟⁄2 = 𝑔𝑟,而𝑎 = 𝑣 ⁄𝑟 = 𝑔𝑟⁄ 𝑟 = 𝑔,惠更斯的假設五確實正確。. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 另外,惠更斯又說出𝐶𝐵⁄̅̅̅̅2 = 𝐶𝐺⁄̅̅̅̅ 2 的關係式,其中𝑐𝑔 ̅̅̅、𝑐𝐵 𝐵𝐷 𝐵𝐸 ̅̅̅̅、𝐵𝐸 ̅̅̅̅為物體以落體以其 為自由落體在特定時間內掉落的長度,𝐵𝐷 ̅̅̅̅特定時間內 掉落地球直徑四分之一的速率√𝑔𝑟,並在與對應𝑐𝑔 ̅̅̅、𝑐𝐵 所行走的距離。 ̅̅̅̅ = 1⁄ 𝑔𝑡1 2 , ̅̅̅̅ 現在設兩個時間分別為𝑡1 與𝑡2 ,而𝐶𝐺 𝐶𝐵 = 2 1⁄ 𝑔𝑡 2 ̅̅̅̅ 1 𝐶𝐵 1⁄ 𝑔𝑡 2 ;𝐵𝐷 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = √𝑔𝑟𝑡1 ,𝐵𝐷 = √𝑔𝑟𝑡1 ,所以 ⁄̅̅̅̅2 = 2 2 = 2 2 ( 𝑔𝑟𝑡 𝐵𝐷 √ 1). 13.

(24) 1. 2. ⁄2𝑔𝑡2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 1⁄ , 𝐶𝐺 ⁄ = = 1⁄2𝑟 , 得 到 𝐶𝐵⁄̅̅̅̅2 = 𝐶𝐺⁄̅̅̅̅ 2 = 1⁄2𝑟 。 2 2 ̅̅̅̅ 2𝑟 ( 𝑔𝑟𝑡 ) 𝐵𝐸 𝐵𝐷 𝐵𝐸 √ 2. ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ 至於要如何得出𝐶𝐺 𝐹𝐸 ,惠更斯並沒有任何的計算,只寫出 結論。在這裡可以利用前面的式子得出此結果:1⁄2 𝑔𝑡22 = ̅̅̅̅ 𝐶𝐵 = 1⁄ 𝑟 → 𝑡 = √𝑟⁄ ,所以𝐵𝐷 ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = √𝑔𝑟𝑡1 = √𝑔𝑟√𝑟⁄𝑔 = 𝑟;𝐶𝐺 2 𝑔 2 ̅̅̅̅⁄ ̅̅̅̅⁄ 1⁄ 𝑔𝑡 2 → 𝑡 = 2𝐶𝐺 ̅̅̅̅ 。 ̅̅̅̅ = 𝑣𝑡1 = √𝑔𝑟√2𝐶𝐺 1 √ 𝑔,所以𝐵𝐸 𝑔 = √2𝑟𝐶𝐺 2 1 ̅̅̅̅⁄ ̅̅̅̅ 2⁄ 2𝑟𝐶𝐺 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝐵𝐸 最後𝐹𝐸 2𝑟 = 2𝑟 = 𝐶𝐺 。. 只有在掉落二分之一半徑的速度繞行地表離心力才等於重性。 此外,在 1667 年,以一個中心有孔的圓掛重物試圖量出地球在赤道 時旋轉速率使離心力相等於重性,如圖 3-5 所述。. 雖然惠更斯希望讓大家相信重性和離心力相關,但在他的論文 沒有清楚的解釋。但這兩種關係重要嗎?它的意義有何在?. 在先前笛卡兒與伽利略( G. Galileo 1564~ 1642)對於加速度大小 爭論以及對重性現象做清楚解釋,而惠更斯對重性的解釋卻是模糊 不清,他是站在哪一方呢?儘管惠更斯相信物體下落的距離與時間 平方成正比,但他對伽利略的工作存在著偏見,迫使他更進一步探 討,對於物體下落的性質的原因可以進一步說出離心力的性質,且 在序文的最後一段,這兩種性質是一樣的。在此情況,繩線以物體 重量的大小拉住物體作圓周運動,而繩張力使物體行走距離的效用 14.

(25) 正比於時間平方,換言之,. 惠更斯對自由落體給予特別的性質,說明離心力與重力 (性)是相等關係,甚至是一樣的自然性質。他的目的並不是 支持伽利略的理論,反而想要去證實伽利略的重力(性)加速 度是由笛卡兒啟發,是只考慮物體運動的動量,重力(性)是 離心力造成的結果,而非初始原因。( Gandt, 1995, p, 128). 在他的 Discour Sur la Cause de Pesanteur (1690),流體物質以渦 旋形式旋繞地球產生離心力效用,並驗證伽利略的定律:. 一個可以最終找出伽利略已被認可的定理之原因,而更能 清楚解釋落體加速度其速度是隨著時間而增加。而天體是被 物質的部分連續性地推擠,這些物質努力上升到它們的位置 而且連續均勻的力作用於它們,最後我們所觀察到落體運動, 成為重要的結果速度隨著時間成比例增加。( Gandt, 1995, p, 128-129) 惠更斯的手稿中,更清楚地表示重性產生的原因:. 物體的重性和等同(體積)的物質以非常快地速度離開圓心 所產生的效果。 這保持物體懸掛著的物質不斷地向後退去,並盡可能沿著 半徑方向離開圓心使物體掉落。 雖然在一開始物質以單位長度奇數倍等比方式(也就是說, 距離與時間平方成正比)地離開中心,沒有力施予重物就不會 15.

(26) 有相似的加速度運動接近中心,所以這兩件事必須相等的運 動起始條件:物質遠離中心,然後物體向中心掉落。 從這裡出發,假如我們已經找到在特定時間內物體下降多 少,舉個例子:假如物體在1′′′ 中下落 3/5 的直線距離,我們 也將知道物質向上遠離中心,且以 3/5 的直線距離在1′′′ 中。 我們必須知道以這種方式在特定的地球半徑了解物質的速度。 ( Gandt, 1995, p, 129) 「物質」( matter) 這術語為「隱含物質」( subtle matter) 的縮寫, 惠更斯無疑地將笛卡兒所認為宇宙充斥的液體以及快遞速度環繞著 地球,並且環繞著太陽及整個宇宙,因為隱含物質是無法被法被觀 測的,而透過重物的掉落間接證明物質的存在。. 先前早已有實驗解釋落體現象:. 木栓 B 放在充滿水的管內,當管子沿中心軸 A 旋轉時,由 於管內的水之離心趨勢或受到的離心力作用較大,會朝管端 P 移動,而將木栓壓向管底。重力(性)( gravity)便是在一個充 滿以太( ether)物質的渦旋世界中,一些離心趨勢較缺乏、較 弱的物體,由於受到以太物質因離心趨勢造成重組與碰撞, 而被迫落向中心或拉向地心,遂形成重力(性)。(姚珩, 2011, p, 16 )。. 16.

(27) 圖 3-7:木栓 B 放在充滿水的管內,當管旋轉時水會往外推至 P 點 而木栓將朝管底運動。 (引自姚珩, 2011, p, 16). 雖然重性與重力都叫做 gravity,在牛頓《原理》出版前,物理 學家把掉落當成一種性質,重性比重力更能貼近歐洲十七世紀的物 理觀。. 而這「隱含物質」就是以太,是一個感受不到但有體積的物質, 甚至比物體還重,當「隱含物質」被地球甩開時,會留出空缺,使 物體向下掉落填補空,因而有下落的性質產生。下落性是離心力的 結果,在 De vi centrifuga 以伽利略的定律原因加以解釋,並以此作 為向心力發展的基礎。自然作用的強度是由物質附著於旋轉的繩或 輪上所離開中心的大小所造成。. 在全部的前言中,並沒有提及離心效用或是圓周運動,只提到 重性及繩線張力提供物體重量。惠更斯強調分析繩子的張力所提供 物體重量,就可以正確分析離心力的原理。我們的手感受到繩子因 離心力產生的張力,相對的手也提供由物體體重量。惠更斯將張力 與物體被釋放時所造成的運動互為相關,而張力和運動就是趨勢或 效用:. 17.

(28) 繩子被延展是因為重物對其做出一個離開的效用。( Gandt, 1995, p, 130) 所以只要能量出物體被釋放時運動的大小,就可以找出繩子的 張力,即為趨勢的大小,重性就是使物體掉落的效用。「隱含物質」 以距離正比於時間平方的方式離開圓心,重物也會以距離正比於時 間平方向下墜落;但重物被繩弦所束縛使物體維持平衡,而繩弦提 供的效用也會隨時間平方成正比。假如在斜面上,效用就會漸少因 為產生較少的速度:. (物體在斜面上)會感受到較小的作用而且效用會明顯地減 少,和另一個相關,垂直面的效用,在同樣時間內重物在空 間運動的效用在斜面會小於垂直面。( Gandt, 1995, p, 131132) 物體被繩子束縛,而從同個時刻起,它們做出一個效用,以相 同的加速度並向外離開繩子,且行經對應的長度會有對應的時間。 張力或是效用的大小可以藉由單位時間內移動的距離來估算,不同 的移動距離比較出不同的張力。如果要更精準比較出張力的大小, 就要嚴格確定一開始物體瞬間運動。惠更斯舉了一個例子:球被一 條繩子懸掛著並且和弧面接觸。儘管弧面導引著球,起初弧面在 C 點是垂直地表,而所造成的效用也是垂直的。假如繩子斷掉,球將 會以圓弧的方式進行,但起始的運動我們將定義為球所產生的效用, 因此必須以極小的時間來計算物體行進距離。. 18.

(29) 圖 3-8:當繩子掛著重物時,其繩張力會隨著弧面趨於平緩而逐漸 減少。(引自 Huygens, 1659/2015, p, 256). 這種計算方式影響了牛頓,在論運動( De motu) 中也是以取極 限來計算物體的初始運動。以運動的瞬間來計算作用強度更能清楚 明確地找出效用的大小,在圓周運動中以切線速度算出離心力。. 從重性以及證明物體墜落性,進而解釋並測量張力與作用效果, ̅̅̅̅̅̅切線方 假如被繩子繫住並以非常快的速度作旋轉,球則會傾向𝐵𝐶𝐷 向移動,而球的傾向或效用可以被決定為:. 當一個物體到達 E 點時會趨向於 C 點當它在 B 點被釋放, 而它會在趨向 D 點時當物體在 F 點。 ̅̅̅̅ 和𝐴𝐹 ̅̅̅̅ 的延伸上, 假如在另一方面 C 點和 D 點分別在直線𝐴𝐸 這將會造成一個趨勢使物體從原本位置沿著連心線離開中心。 ̅̅̅̅ 遠離,在第二個時 以這種方式在第一個時間它將會以距離𝐸𝐶 ̅̅̅̅遠離。 間以距離𝐹𝐷 ̅̅̅̅ 、𝐹𝐷 ̅̅̅̅以及其他的時間內的距離會以級數平 而這些距離𝐸𝐶 方倍的方式增加,而它們的比例將會是 1、4、9、16…假如 19.

(30) BE、EF 等圓弧取更小,級數平方倍的比例會更加精確,幾 乎看不出它們距離的差別。( Huygens,1659/ 2015, p, 257). 圖 3-9:當物體在作圓周運動時,在第一時間隔離心力所造成的位 ̅̅̅̅ ,與在第二時間隔離心力所造成的位移量𝐸𝐷 ̅̅̅̅ ,這兩位移之 移量𝐸𝐶 ̅̅̅̅ : 𝐸𝐷 ̅̅̅̅ = 1: 4。 ( Huygens,1659/ 2015, p, 261) 比𝐸𝐶 ̅̅̅̅ 2 = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 和 在極短的時間間隔內,利用相似形得出𝐵𝐶 𝐸𝐶 ∙ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅2 = ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 𝐷𝐹 ∙ ̅̅̅̅ 𝐴𝐷,物體行經 F 點為行經 E 點的兩倍時間,所以 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ≈ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ≈ 1: 2,𝐴𝐶 𝐵𝐶 : 𝐵𝐷 𝐴𝐷 ≈ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵,最後可以得到𝐸𝐶 𝐷𝐹 = 1: 4,而 接下來的時間間隔也會以級數的平方繼續下去。. 惠更斯更進一步說明圓周運動離開中心所造成的努力正比於時 間的平方,而這努力就是單位時間內所離開的距離,也就距離和時 間的平方成正比,與落體運動的情形是完全相同的:. 這效用完全和一個實驗完全吻合當球體被繩子繫上,而在 這個例子球體努力沿著繩子直線方向遠離以自由落體完全相 同的加速度形式,在第一個時刻物體將會移動 1 的距離,在 20.

(31) 第二個時刻物體會移動 4 的距離,第三個時刻為 9 的距離, 依此類推。( Gandt, 1995, p, 134). 圖 3-10 正可以說明離心力的意義,在三個極短的時刻物體分別 行至 E、F、M,而此離心力大小就是弧線上至質線上 C、D、S 的 ̅̅̅̅ : 𝐷𝐹 ̅̅̅̅ = 1: 4: 9, ̅̅̅̅ : 𝑆𝑀 長度,也是物體要回到質線上的強度,因此𝐶𝐸 這也可以說明離心力與重性的運動性質是一樣的。. 圖 3-10:離心力所造成的離開距離與時間平方成正比,與重性掉落 距離與時間平方成正比是同樣的數學關係。 (引自 Huygens,1659/ 2015, p, 259) 雖然這虛擬的運動和落體運動是一樣的,而且效用是相近的: 繩張力是由旋轉而產生的,並且和懸掛重物所抵抗的重量是一樣的 自然性質。惠更斯獨到新穎的見解啟發了牛頓,在當時年輕的牛頓 並不知道向心力,只知道離心力;而伯雷利更是惠更斯的擁護者, 並且選擇旋轉座標作為解釋:. 我所了解的離心力和惠更斯一樣當他在論文最後解釋鐘 擺現象;舉個例子,假如一個人甩動石頭,手會感受到力 21.

(32) 因為石頭做出來開中心的努力,這力叫做離心力。( Gandt, 1995, p, 138) 惠更斯明確地說明並且量化繩子的張力,但對於其效用的方向 不是很在乎,並且也沒有非常嚴謹的運動分析,而旋轉的物體持續 運動下去,這向外趨勢會無限繼續累加下去──這確實值得爭議。. 而惠更斯卻是第一位將機械論與數學觀整合,也就是量化離心 力。儘管只有數學結論沒有推倒,但年輕時的牛頓讀了惠更斯圓周 運動受到啟發且推導出離心力的公式;雖然牛頓的論文以笛卡兒哲 學原理( Principia Philosophiae) 為命名,卻深受惠更斯離心力概念的 影響,內容與圓周運動與離開中心的趨勢( Conatus Recedendi a Centro)緊密結合在一起。. 22.

(33) 第四章. 是向心而非離心 ──虎克的提示. 第一節. 地心說後行星運動之探討. 1543 年,哥白尼( N. Copernicus 1473~ 1543) 臨終前發表了《天 體運行論》,它取代了亞里斯多德 ( Aristotle B.C. 384~ B.C. 322)的 地心說,以地動說說明行星以圓周運動圍繞太陽,此外以地球自轉 說明晝夜交替。這理論在當時歐洲驚為天人,打破以地球為中心的 思想,但有科學家反駁地球自轉白雲及飛鳥為何不會拋在後頭,儘 管當時無法解釋,但相較於托勒密( C. Ptolemy 90~ 168)地心說的本 輪與均輪,地動說卻只要一個圓形軌道就能解釋所有天體模型,更 為簡單和諧,因此掀起科學革命的浪潮,天體成為物理學界中常被 討論的議題,思考行星如何在特定軌道中運行。. 磁早在以前被希臘人發現,並認為磁石具有靈魂且存在著魔力, 所以早期物理學家從磁性得到靈感。在 1600 年,吉爾伯特( W. Gilbert 1544~ 1603) 發表《磁論》,內文討論到星體繞日運動是透過 磁之間的相吸;而克卜勒( J. Kepler 1571~ 1630) 認為太陽是一個全 部 N 極的球體,當星體 S 極面向太陽時會被吸引,而星體運行至 N 極面向太陽時則被排斥,這相吸與排斥的交替而形成橢圓軌道;此 外,克卜勒試圖以「引力」和「牽引力」來解釋此現象。. 歐洲大陸的世界,笛卡兒( R. Descartes 1596~ 1650) 的機械論認 23.

(34) 為旋轉的物體會受離心趨勢而甩開,宇宙中有眾多的渦旋,使星體 能安穩地運行於特定軌道上,如水面上的樹葉因漩渦朝向中心而不 至於被離心趨勢甩開。笛氏學派強調力必須要有接觸才具有意義, 引力被視為隱密性質,並將此視為鬼怪加以抨擊。. 儘管機械論的渦旋理論較為耀眼,磁性理論仍有部分物理學 家擁護著,在解釋星體模型的理論裡,這兩派學說皆在歐洲大陸佔 有一席之地。. 24.

(35) 第二節. 向心運動概念的發展. 用吸引解釋重性在 1636 年由羅貝瓦爾( G. Roberval 1602~ 1675) 提出,有別於吉爾伯特,這種吸引不是磁力而是其他性質,在他的 一封書信中寫道:. 重力(性)可能是一種存在於下落物體本身中的性質,也可能 是一種存在於像地球那樣的吸引下降物體的性質,或可能是 使物體相互吸引結合在一起的一種天然趨向。類似磁體吸引 鐵塊的情形…( Koyre, 1964/ 2003, p, 200). 很重要的一點,羅貝瓦爾將星體與太陽之向心運動擴及至地球 與落體間的關係,並且點出這兩種運動源自同個原因,即物體相互 吸引結合在一起的天然趨向,將天文與地表物理的現象結合一起。. 過了幾年,羅貝瓦爾在《世界的體系》中提及:. 散布在宇宙各處的流體物質,每一部份都被賦予了一種特 定屬性或偶然性,此種屬性可使得所有物質彼此奮力拖動, 且相互吸引。( Koyre, 1964/2003, p, 201). 羅貝瓦爾的研究未曾受到重視,其絕大部分的著作未被出版過, 而他所提的宇宙論極為含混不堪,稱引力為「隱密性質」,這也是 為什麼遭到機械論的譴責。. 於 1666 年,波雷利( A. Borelli 1608~ 1679) 在他的天體模型中, 25.

(36) 提及行星能在軌道上穩定運行,是由於受到向心及離心這兩種趨勢 的平衡所致。既不會離開太陽,也不會隨之掉入。儘管提出有別於 他人的渦旋理論,但依然承襲機械論離心趨勢的概念。. 然而虎克( R. Hooke 1635~ 1703)又和波雷利有著不一樣的觀點, 其中最大的不同虎克完全沒有提到「離心趨勢」此名詞,並首次提 出向心趨勢,而非離心趨勢,這確實是一個大突破,使後人接受此 世界體系。. 26.

(37) 第三節. 虎克提出吸引強度的概念. 虎克從小孱弱但卻有很高的天份。1653 年進入牛津基督學院就 讀,1655 年擔任波義耳( R. Boyle 1627~ 1691) 的助手時,對空氣泵 以及真空研究有卓越的建樹,七年後成為皇家學會實驗室的負責人。. 在 1665 年發明史上第一支顯微鏡並在同年出版《顯微術》,此 時虎克只有三十歲卻威嚇一時。此外他也當過倫敦 Gresham 學院幾 何學教授,1666 年倫敦大火由虎克重建規劃,直至現今依然保持原 本樣貌,而 1673 年發明反射式望遠鏡首次觀察到木星紅斑,過了四 年成為皇家學會秘書,隔年出版《應力與應變成正比》即我們熟知 的虎克定律。. 對於虎克種種事蹟,不能否認其對科學的貢獻及它本身的天賦; 可惜他在爭奪萬有引力的優先權在現今看來是完全的失敗者,但他 確實影響牛頓發現引力並且完成最重要的第二運動定律。. 1664 年 1 月虎克開始將注意力轉向天文,1666 年 5 月 23 日向 皇家學會提交了一篇論文:. 我一直覺得很不解,行星又沒有被限制在任何結實的軌道 之中,為什麼要按照哥白尼的規定繞著太陽運動…又沒有可 見的繩索把他們綑綁在它們的中心,卻從不過分地脫離,也 不沿直線運動,就像所有的物體一次推動後就必須按直線的 方式運動…因為一個在流體中朝著任何固定地點運動的固體 必定保持在一條直線上運動,而不會有所偏離。然而所有的 27.

(38) 天體雖然都是在流體中運動的普遍固體,卻沿著圓形或者橢 圓軌道運動,這就表明除了最初的推動外,必然有某種別的 原因使的它們運動折彎到那些曲線軌道。( 吳以義, 2013, p, 401- 402) 惠更斯與其他物理學家認為假如繩子斷了,石塊為何會飛離中 心;相反的是,虎克一開始把問題焦點設為「為什麼不離開中心」, 且認為物體不受任何外在原因會是單純的直線運動,假如物理沒有 沿切線方向飛離,必有一個力把物體拉住,即「引力」的概念。虎 克肯定笛卡兒慣性運動的想法,且認為宇宙間充滿流體或以太的物 質,但他並不認為這些流體中有渦旋使星體安穩在特定軌道中。. 至於行星是什麼原因做橢圓運動?虎克提出兩個可能性的猜測, 其中第一個是:. 第一種可能來自於介質密度不均衡,行星正是在這種介質 中穿行的 …距離中心或者離太陽較遠的那部分介質的密度要比較近 的介質大,則直線運動總是由於內部介質的柔順和外部介質 的更大阻力而向內偏斜…如果以太具有某些空氣性質,則很 自然靠近太陽的以太因熱而變得稀薄,而遠離太陽較為稠 密… ( Koyre, 1964/ 2003, p, 178). 虎克試圖用以太的不同密度來解釋行星運動,想將星體向心性 質具體化,從機械論發展出一套假設,似乎承襲了羅貝瓦爾的假說。 在虎克發表初期,他並沒鐵口直斷此為「向心力」或者是「引力」 28.

(39) ──屬於隱密的性質,倒是以趨勢代替為力,虎克認為此解釋較能 大眾接受。. 但虎克因為無法考察而拋棄了用以太解釋星體模型的假說。可 是過了五十年後,牛頓在 1717 年英文版的《光學》中疑問 21 提到 類似所表述的與虎克的類似,用以太的壓力來解釋引力,而此介質. 在太陽、恆星、行星和彗星這些致密物體的內部,要遠比 在他們之間空虛的宇宙空間中稀薄很多,並且從這些天體一 直到距離很遠的地方,這種介質會變得越來越稠密…由此引 起這些巨大物體相互吸引,並使物體的各部份西向各自。 ( Koyre, 1964/ 2003, p, 161) 牛頓為了使他的以太理論更廣為接受,並且解決超距力無法解 釋的矛盾。而這些物質會不會造成運動的阻力?牛頓增加一個假說, 此介質彈性比空氣大 700000 倍,稀薄程度比空氣大 700000 倍以上, 才不會干擾行星運動,且在一萬年內是不被察覺的。. 倒是「吸引」屬性放在虎克第二個猜想,可能當時虎克對此把 握程度不如以太密度。其內容如下:. 第二個能使直線運動變為曲線運動的原因可能來自中心物 體的一種吸引屬性,通過這種性質,中心物體一直竭力要把 它引向或拉向自身。如果假定了這樣一種定律,那麼行星所 有現象幾乎通過這種機械運動的一般定律來說明…( Koyre, 1964/ 2003, p, 178) 29.

(40) 此外,虎克將引力具體化,以圓錐擺類比天體模型,當單擺在 不同的水平高度旋轉,其返回中心的傾向( conatus)不是常數,且離 中心越遠朝向重心的傾向就越來越大,單擺受到固定向下的重性, 我們可以以簡單的數學關係找出向心趨勢的強度, 𝐹𝐶 : 𝐹𝐹 = sin 𝜃1 : sin𝜃2 = CD : FG。. ̅̅̅̅中垂線越遠,則向心 圖 4-1:圓錐擺在不同的平面上繞圓,其離𝐴𝐻 趨勢越大。(引自 Westfall,1971, p, 209). 這有如在珠子繞行於碗上,因摩擦力衰減逐漸地趨於中心,而 圓錐擺類比行星模型最好不過了。. 於是在他第二篇論文(1666.5.23)寫道:. 30.

(41) 一直線運動如何通過遵循某種引力定律之作用,而形成曲 線。這一引力定律還有待發現,其中包含著由實驗論證所引 入的介紹。它顯示出:圓周運動是由一種朝向切線方向之直 線運動的趨勢( endeavor by a direct motion by the Tangent), 與一種朝向中心的趨勢( tending to the center)組合而成:為 此,在天花板掛上一個圓錐擺…如果開始向切線的趨勢的強 於朝向中心的趨勢,那麼就會產生一種橢圓的運動,其最長 直徑會平行於第一瞬間的衝擊;如果這個趨勢小於朝向中心 的趨勢,那麼就會產生最短直徑會平行於第一瞬間衝擊的橢 圓;如果這兩者相等,那麼就會產生一個精確的圓周運動。 ( Koyre, 1964/ 2003, p, 178- 179) 虎克試圖用圓錐擺來解釋星體的路經偏折,隨著衝力的不同, 擺錘也劃出相對應的圓與橢圓,就如同星體的軌跡。很重要的一點 這兩條路徑都是封閉曲線,這與行星軌道一樣,成為很好的類比。 但在這兩種情況中,圓錐擺「返回中心的傾向」隨著中心越來越遠 也變得越來越大,與太陽的吸引完全相反。即便如此,虎克確實有 獨到見解,拋開引力的曖昧性質,提供物理學家不錯的想法。. 1670 年,虎克在另一演講中提及,並在四年後發表成書《通過 觀測來證明地球運動的一個嘗試》,提出與機械論不同的三條假設。 虎克又邁進一步,吸引趨勢不再被認為是把行星束縛於太陽,或是 把衛星束縛於行星的一種特別的性質,而是一種所有天體束縛在一 起的普遍因素,而且這與我們地球重性是同一種來源。. 31.

(42) 第一條是,無論是什麼天體,都具有一種朝向其中心的吸 引強勢。通過這種強勢,它們不僅吸引往自身的多個部分, 從而使之不致分崩離析,就像我們所看到的地球一樣,而且 也吸引所有位於其作用範圍內其他天體。結果是,不僅太陽 與月球對地球及其運動發生影響,同時地球也影響著它們, 而且水星、金星、火星、木星和土星也通過各自的這種吸引 能力對地球產生巨大的影響,同時地球的吸引能力也相應地 以同一方式對它們中的每一個施以巨大的影響。( Koyre, 1964/ 2003, p, 275) 第二條假設是,無論什麼物體,只要它進入一種筆直且單 純的運動狀態,它就會繼續沿此直線前行,直至被其他某些 外來的原因所改變,從而被迫進入一種划出正圓、橢圓或者 其他更加複雜曲線的運動中。( Koyre, 1964/ 2003, p, 275). 1680 年,虎克列舉了九種重性的主要表現,其中有:重性的作 用在任何時間都是一樣的,重性使得下落物體加速,而且在相同的 時間裡得到相同的加速度。此外,還有一條是地球和天體都是球形 的正說明這種趨勢的存在。並且以力學觀點再進一步解釋:. …引力,我視它為這樣的一種力量:可使得具有同質的類 似物體相向運動,直到它們結合在一起。這種力可以是衝力 或驅動力,吸引或迫使運動按此方式移動,使它們結合在一 起。( 吳以義, 2013, p, 409). 32.

(43) 虎克曾寫道「引力是世界上最普遍的基本原則之一」,但在先 前羅貝瓦爾於 1644 年 5 月 23 日提出萬有引力定律,而後梅森( M. Mersenne 1588~ 1648) 在《物理數學思想》再次被提及。儘管如此, 虎克是第一個打破的機械論威權體制。而在 1679 年的與牛頓的書信 中提醒了牛頓用向心力來尋找星體運動的軌跡,這使牛頓拋棄離心 力的概念重新思考問題,最後得出萬有引力定律。. 至於引力作用有多強,虎克還無法用實驗得出:. 第三條假設是,這種吸引能力作用有多強,取決於被作用 的物體距離其中心有多近。至於它們之間的關聯程度有多強, 我現在還沒有用實驗驗證;但如果這個想法真能夠付諸實施, 將極大地幫助天文學家把所有的天體運動簡化成一個特別的 規律,我認為只有如此別無其他途徑。只要一個人理解了圓 錐擺以及圓周運動的性質,它就能輕易弄懂整個原理,並會 知道如何在自然中尋覓此中真意。( Koyre, 1964/ 2003, p, 275). 將這物理性質與數學結合,這套萬有引力的定律才算是真正的 成功。自從伽利略( G. Galileo 1564~ 1642) 提出自由落體距離與時間 平方成正比後,開啟了新柏拉圖主義的思潮,物理現象數學化,並 且遵循著簡單和諧,實驗論證反而不是最重要的。. 在當時絕大部分得物理學家專注於碰撞及靜力平衡來尋找力; 虎克則是從天文出發,認為如果能將引力數學化,就能真正了解整 個原理。. 33.

(44) 儘管虎克並沒清楚地將向心趨勢發展的完善,但他卻完全打破 機械論傳統的離心力模型中,這方面的成就依舊備受肯定:. 依循笛卡兒所建立的模型中,每個運動學的學生都必須依 照其所說的物理在圓周運動下有離開中心的趨勢,而虎克是 第一個打破這個既有的權威並且重新建立新概念。 (Westfall,1971, p, 210). 34.

(45) 第四節 虎克平方反比定律之猜想 1666 年 5 月,虎克認為引力大小反比於中心距離,而他力圖從 鐘擺的運動中推出引力作用的數學公式;而在 1679 年虎克、哈雷 ( E. Halley 1656~ 1742) 、雷恩( C. Wren 1632~ 1723) 一起發現萬有 引力平方反比定律。但在 1645 年法國人布里阿德( I. Bullialdus 1605~ 1694) 已有提出類似的想法:. 至於說太陽得以羈挾眾行星的力量,是實實在在的, 就像雙手一樣(抓住行星),在整個宇宙中直線放射出去… 這力越來越弱,很大的距離或間隔削弱了它,而它減弱 的速率和光的形式一樣,即以距離平方反比的方式…( 吳 以義, 2013, p, 412). 當然,虎克提出距離平方反比也不是憑空虛設。虎克認為,宇 宙間以兩條定律構成世界的型態與秩序:一是光,二是重性。. 1680 年和 1681 年之間,彗星再次激起宇宙研究的熱情,在 1682 十月虎克在皇家學會宣讀了《論彗星本質》。虎克稱光是 「運動第一定律」,其次是重性:. 這兩種力量似乎構成了世界萬物的靈魂,太陽和群星,還 有行星,圍繞著太陽,或者圍繞任何其他中心物體。在所有 這種物體中都可以看見,或多或少,有些支配這個運動,有 些不然,但沒有任何一者沒有一定程度地兼有兩者,又為沒 有東西沒有重力(性),也因此也沒有任何東西在一定程度上沒 35.

(46) 有光。( 吳以義, 2013, p, 410). 顯然重性與光有一定程度的相似關係,且被歸類為同類,虎克 很自然地推論,這兩種力量作用方式是一樣,並且將重性稱為「宇 宙通則」或「萬有的」。. 至於光是如何傳播?他寫道:. 光的傳播是物體的作用,不是神靈,光的作用在傳播中是 一種和距離平方成反比的擴展。( 吳以義, 2013, p, 411). 重性的性質類似於光,光的傳播等同於重性,即以距離平方成 反比的方式擴展;但虎克認為其是有限範圍,超過一定的距離重性 不再有任何作用。. 而 1680 年虎克以機械論的方式解釋引力,表面發出快速振動的 以太使物體產生向心趨勢,就如光與聲音一樣,隨著球面的增大而 減小:. 我猜想這種力量總是與球面波的面積或表面成反比,即與 距離的平方成反比;這一點可以由球面波的性質自然地得出, 也將在日後通過在不同距離處所產生的效應更簡單地說明。 ( Koyre, 1964/ 2003, p,181) 至於要怎麼證明,哈雷曾經告訴虎克單擺在山頂比山腳動得來 得慢。為了檢驗引力的減少,虎克曾在聖保羅教堂和威斯敏斯教堂 36.

(47) 的投樓頂上,以及深 300 尺的井坑裡做過數次實驗都徒勞無功。似 乎這平方反比定律有很好的直覺猜想而無法用實驗證明。. 但虎克與牛頓爭吵萬有引力平方反比定律的提出優先權:虎克 透過光與重性為相同性質得出引力隨距離平方成反之比關係,並試 圖以單擺實驗作為證明,可惜卻沒有明確的力與加速度的關係作為 支撐;相反的,牛頓是用第二運動定律──單位時間內物體的速度 變化與力同方向且成正比做為出發,並從天體的圓周運動得到論證, 推得向心力以距離平方成反比定律。. 物理想法的提出固然重要,但如果不將之數學也只是個假設或 空談,這也為何虎克無法將萬有引力量化而成為完全的失敗者,後 人也只記得牛頓在力學上的功勞。. 正如虎克所說:. 我敢保證,從事這項研究的人將會發現世界中所有運動都 是受到這個原理所支配的,對它的真正理解將成為天文學的 制高成就。( Koyre, 1964/ 2003, p, 275). 牛頓是完全拋棄了機械論的觀點純粹以力與數學的想法出發, 這三大運動定律延續至今,儘管相對論的侵襲依然無法將之拋棄。 牛頓的確達到天文學的至高成就,所有的運動都必須遵循的運動定 律出發。. 雖然牛頓在此領域的工作令虎克難以望其項背,但虎克是第一 37.

(48) 個斷言可利用數學方法得出引力隨距離函數比率的變化,並且此比 率具有普遍性及基礎地位。虎克確實扮演關鍵角色,比起同時代的 人顯然出色許多,我們可以用 Koyre 的話對虎克做個評價:. 虎克在彈性理論發展史上的功績已被歷史所認可,其基本 定律已被冠以「虎克定律」之名;而另一方面,他對於天體 力學的貢獻卻被牛頓的工作如此徹底地掩蓋了,以致我們幾 乎無法去公證地評價和它們當時的價值和重要行有多大。為 了能做到這一點,我們不應把虎克的嘗試與牛頓的成果做比 較──它們之間沒有共同的衡量標準──而應與他的那些同 時代人或直接的前輩,比如伯雷利的成果進行比較。( Koyre, 1964/ 2003, p, 274) 不能否認的是虎克的思想獨特且多變,他的實驗能力與直覺確 實超出常人,與牛頓的書信往來中看出他獨特的思考,因此牛頓也 不能造成對他的詆毀(附錄一)。可惜虎克一生中經常因理論以及發 明的優先權和他人爭吵,言語傲慢讓人厭惡,而後來的史學家也會 為此加以批評並對他不公正。. 但虎克的承襲笛卡兒的思維辯證而沒有數學論證與物理密切結 合,在他的機械學理論裡從來沒有正式的論文專書出版,就連引力 的發現也沒有嚴謹的數學作為支持,只提出想法與概念。. 最後一步公理的完成並非一蹴可幾,只要能找出這宇宙的奧秘, 就可以被宣稱為力的發現者。只是虎客缺乏數學功底去之配他的創 造力,這是他非常可惜的地方。 38.

(49) 第五章. 牛頓向心力的誕生── 牛頓在力學上的第一個創見. 第一節 十七世紀的衝力概念 在十七世紀歐洲的機械觀點,否定自然運動和受迫運動的分別, 所有的運動皆是歸於同一個原因,而且並符合同一種原因。然而, 這想法提出比概念理解還要容易,圓周運動依舊懸而未決。. 在此時的科學家,致力於運動學的術語解釋上,反而沒有特別 強調物體運動與力的真實探討。對於力架構與制度上的模糊,可歸 咎於笛卡兒將「物體的運動等同於力」(mv) 以及保守的接觸力想法, 以致後人無法跳脫此陷阱。. 中世紀的科學家認為,衝力( impulse)會隨著行進而逐漸消失, 而重性屬於自然運動的一種,當手給予物體一個脈衝,他會攜帶衝 力而運動,其衝力可以克服自然運動而持續在空中運動,這衝力會 隨著時間而減弱而無法克服重性向下掉落。. 伽利略的學生托里切利( E. Torricelli 1608~ 1647)專精於碰撞所 造成的力,並採用衝力概念。假如一千磅的重物可以打破大理石桌, 那要如何將一百磅的物體達到同樣的效果?很明顯地,將它從一定 的高度落下,在每個瞬間物體的重性會等於其的重量的方式增加 「動量」( momento,不考慮方向性),直至物體落在障礙物上阻止 39.

(50) 其運動並破壞其「動量」。所以衝力的大小即為力的大小,如果有 受到外界干擾,這動量會隨之改變,所以在不受任何外在因素影響 下速率是固定的。. 另外,笛卡兒所提出的慣性力只存在於直線運動上,也就是動 量的特例,它會攜帶這種原初的力持續運動下去。牛頓年輕時認為 兩物體的接觸會造成慣性力之間的傳遞,這動量改變的過程就是接 觸力;但當時牛頓只考慮直線運動的力,卻沒推及曲線運動的受力 情形,將圓周運動視為兩力平衡的動量守恆。. 科學家將力視為衝力或者是慣性力與其傳遞的過程沒有一定的 說法,這也是科學史上繼黑暗又混亂的時期,物理學家對力的解釋 莫衷一是。. 在伽利略的小球與圓弧的思維中,小球從特定的高度從斜面滑 下,不管斜面斜度如何,在無阻力的情況中,小球會在另一端達到 同樣的高度再滑落。但在地表無限延伸的狀況下,實際的運動狀況 並不是直線而是繞行地球一圈。. 40.

(51) 圖 5-1:伽利略的小球實驗,小球從斜面滑下來會在另一端回到一 樣的高度,如果是在水平線上則會繞行地球一圈。 Boudr 提到伽利略所認為的慣性是圓動量大小的守恆,速率不 變即不受任何干擾,等速圓周運動等同於靜止的平衡運動 ( Boudr, 2002, p, 54- 55) 。Westfall 也說出十七世紀的物理學家強調動量大小, 而衝力概念即為力的概念,始終把圓周運動視為力守恆的均衡運動 ( Westfall, 1972, p, 189) 。. 但圓球與斜面的實驗中,笛卡兒認為圓周運動並不是「慣性」 運動,而是圓動量的守恆運動,如果不受任何干擾,這動量大小會 穩定不變,這也造成伯雷利把圓周運動視為離心力與重性的平衡運 動。此外,當時的物理學家不知速率與速度的差別,只考慮物體運 動的快慢,並不在意移動的方向。. 惠更斯認為圓周運動是一個等速率的運動,它保持著固定「圓 動量」大小,因此惠更斯將圓周運動視為一個平衡的狀態,而離心 力只有在物體作曲線運動才存在,假如是做圓周運動,而此時會有 相同的力抵抗離心力,因為如此將此視為不受到任何干擾的狀況, 星體圓周運動即重性與離心力的平衡。. 伯雷利認為橢圓運動並不是一個均勻的運動,它隨著時間而有 速率改變,而所具有的動量也有所不同,因此提出重性與離心力的 消長而形成橢圓運動。. 笛卡兒與惠更斯都認為離心力使物體做直線運動,也就是切線 方向的運動,並且遠離圓心,但宇宙間充滿渦旋並碰撞著星體,這 41.

(52) 造成牛頓以碰撞的形式來推算離心力的大小。當時的科學家知道物 體變快與變慢與力有關,對於曲線運動困擾著所有的物理學家。. 第二節 牛頓離心力之探討 笛卡兒於 1644 年發表《哲學原理》( Principle of Philosophy)影 響了物理學家的思考方式,其主張物體可以視為質點,並且以運動 作為基礎來描述,而所有作用必須要以碰撞或接觸來傳遞。. 當時的牛頓深受機械論的影響,在 1665 年其《雜記》(Waste Book)詳細描述物體受到離心力作用下運動的情形。. 牛頓先從一個物體沿著正四邊形軌道作等速率運動開始,而物 ̅̅̅表示其大小。當遇 體本身具有「原動力」或「慣性力」,而位移ab 到軌道壁時,物體遠離中心的趨勢力會作用其上,而接觸壁也施予 反彈或作用力給物體,造成運動方向上的改變。. 在惠更斯離心力的概念中,曲線運動的物體傾向回到原本的運 動形式,這回去的距離為力的大小 (動量的改變為末速度到出速度 所改變的量,也就是初速度減去末速度)。. 物體從 a 點出發行至 b 點,碰撞後行至 c 點,假如不受任何碰 撞則在相同時間內會直線前進至 y 點,如此延續下去,物體將沿著 正方形的 abcd 軌道運動。. 42.

(53) 圖 5-2:牛頓利用軌道碰撞的想法量化離心力。(引自 Herivel, 1960, p, 547) 而物體有回到原本直線運動的趨勢,物體的運動力與物體運動 速度的變化量成正比,而總反彈衝量與運動衝量的大小比值為 ̅̅̅:𝑓𝑎 ̅̅̅̅,也就等於內接正方形的周長與圓半徑的比值。 4𝑎𝑏. 圖 5-3:物體在內接正四方形軌道運行,尋找碰撞所產生的反彈力。 (取自田芷綾、姚珩,2010, p,23) 43.

(54) 在正多邊行的運動中,利用相似三角形( ∆𝑛𝑎𝑏~∆𝑎𝑥𝑏),得出物 ̅̅̅:𝑛𝑏 ̅̅̅̅,而完成一圈的所受到 體反彈衝量和運動衝量的大小比值為𝑎𝑏 的總反彈衝量與運動衝量的大小比值為周長與半徑比。假如多邊形 的邊不斷增加而形成圓,物體繞完一圓周所受到的總反彈衝量與運 動衝量的大小比值為2𝜋𝑛𝑎 ̅̅̅̅:na ̅̅̅=2𝜋:1。 ̅̅̅為衝量的大小,以現在的代 物體作圓周運動在單位時間線段𝑎𝑏 數表示為 mv ( m 維質量,v 為速率),而繞完圓周所受的總衝量大小 為2𝜋mv,若衝量與除以一圈所需的作用時間(週期 T),即為平均作 用力,而此離心趨力的大小為 2. 𝐹 = 2𝜋𝑚𝑣⁄𝑇 = 2𝜋𝑚𝑣⁄2𝜋𝑟⁄𝑣 = 𝑚𝑣 ⁄𝑟 …… (5.1). 藉由伽利略𝑡 2 定律,牛頓將此推演在克服離心力下物體做的圓 周運動,物體從一開始繞行一整圈所離心力使物體離開的距離為時 間的平方,其中繞行一周的時間為𝑇 = 2𝜋𝑟⁄𝑣,我們可以利用代數 算出繞行一周離心力所以拋離物體距離為 2. 𝑆 = 1⁄2 𝑎𝑇 2 = 1⁄2 𝑣 ⁄𝑟 (2𝜋𝑟⁄𝑣)2 = 2𝜋 2 𝑟 …… (5.2). 44.

(55) 圖 5-4:論證物體在內接正多邊形軌道運行所受到的反彈力。(取自 田芷綾、姚珩,2010, p, 24). 牛頓在 1665 年得出離心力正比於切線速度平方與半徑的比值。 雖然與現今的正確結果吻合,但當時的牛頓依循着笛卡兒作圓周運 動物體所具有的為向外趨勢,和惠更斯的離心力概念,並認為作圓 周運動物體會對軌道壁產生作用,而軌道壁再向物體產生推擠,使 物體克服離心力維持在圓周軌道上,這正好符合機械論物體所受的 力必須是要接觸。而繩弦拉著球做圓周運動時,手提供了拉力,就 等同於軌道壁給予主動推擠,因而球克服了離心力平衡於圓周上。 這想法現在看來並不是正確,當時的牛頓並不知道物體是被吸引主 動地朝向中心,而非被動地受到推擠。. 45.

(56) 第三節 月球試驗離心力之探討 牛頓於 1666 年利用克卜勒的週期定律──行星到太陽距離乘 以週期平方倒數為定值,得出離心力反比於距離的平方: 𝑣 = 2𝜋𝑟⁄𝑇 2. →𝑣 2 = (2𝜋𝑟 ⁄ 𝑇)2 ∝ 𝑟 ⁄ 2 ∝ 1⁄𝑟 …… (5.3) 𝑇 2. →𝐹 = 𝑣 ⁄𝑟 ∝ 1⁄ 2 …… (5.4) 𝑟. 牛頓在 1718 年晚年自傳裡,關於平方反比律發現的優先權 曾提出的辯駁,認為他要比 1673 年惠更斯正式發表的相關論述還 要早:. 可能是 1666 年左右,我開始思考重力延伸到月球軌道,而 且也找出如何估計運動質點在球面內運行撞擊至表面時所施 的力:由克卜勒的行星週期律,我推算維持行星在它們各自 軌道上的力,必定與它們到圍繞中心距離平方成反比。(田芷 綾、姚珩, 2010, p, 25). 但在當時牛頓提出是離心力的概念而非是吸引的結果,所提出 平方反比律原理並不是正確:. 假如物體 A 往 D 方向行走圓弧 AD,而離新趨勢所做的努 力將會由物體所攜帶,在 AD(我假定這長度非常的小),這物 46.

參考文獻

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