實證模型設定

一、 HLM 方法介紹

以往的研究，限於統計研究方法及技術上的限制，以特徵價格模型利用OLS 對於住宅價格的估計，常常將屬於不同階層 (如區域特徵及住宅建物特徵)的資 料當成單一階層(single-level model)處理。假如在層級分析當中，較高階層的群組 之間的屬性(如區域特徵)並無顯著差異，那以單一階層的迴歸方式來資料處理並 不會發生過大的估計錯誤，但是假如較高階層的群組之間具有顯著差異，卻仍以 單一階層的方式來處理，則估計出來的參數可能就會有很大的偏誤而導致推論錯 誤。

近年來由於統計分析技術的進步及電腦發展的快速，許多研究者提出階層線 性模式HLM 來解決上述問題，並且據此發展出許多富有彈性的次模式。階層線 性模式能夠化解前述傳統迴歸分析所遭遇到的困境，進而能避免產生標準誤的誤 估、忽略迴歸的異質性、以及加總誤差等問題( Raudenbush and Bryk, 2002)。

HLM 與 OLS 兩者均屬迴歸方程式，但是 OLS 將資料當成單一層級資料來 分析，因此它的截距項與斜率項不考慮較高層級資料的誤差項，亦即以固定效果 (fixed effect)來估計截距項及斜率項，得到的多元迴歸方程式也是單一層次的迴 歸方程式。Wolverton and Senteza(2000)曾以虛擬變項來代表美國各不同地區，並 利用固定效果(fixed effect)以 OLS 作迴歸分析，實證不同地區間之住宅建物特徵 對住宅價格的影響，結果產生不一致的效果。在本研究中，雖然也可用22 個虛 擬變項來代表 23 個縣(市)地區，並在住宅建物特徵與區域特徵變項間設定交互 作用項，但這樣的方式無法探討影響住宅價格的差異有哪些區域特徵，也無法探 討有哪些縣(市)區域特徵造成各縣(市)地區內之建物特徵對住宅價格的影響。

HLM 是將低層級迴歸式中的截距項及斜率項當成較高層級的依變項，考量 較高層級的誤差項，以隨機效果(random effect)來估計截距項及斜率項，得到的 迴歸方程式就會因較高階層的群組不同，而有不同的迴歸方程式來預估各群組的

依變項。也就是說階層線性模式分析方法與迴歸分析最大的不同所在，就是其能 型態，以找出與資料適配較佳之函數型式(best fitting functional form)來建立特徵 價格模型。本研究採以往住宅特徵價格研究常用的雙對數型式(log-log form)(例如：

Hendershott and Turner, 1999; Janssen, Soderberg, and Zhou, 2001; Saderion, Smith, and Smith, 1994)如式(3-1)所示：

ln

P

a

∑ a

Z

ε

以下就研究假設來說明分析步驟及模型。

(一)、模型 1：零模型(null model)

在HLM 的分析過程中，零模型分析具有以下目的，分別為考驗各組之間是 否有差異、估計總變異量中有多少變異是由組間的變異所造成、以及提供初步訊 息，以做為進一步分析其他模式時的比較參照之用，決定是否考慮以HLM 或是 一般的迴歸來分析(Kreft and de Leeuw, 1998)。本模型又稱為具隨機效果的單因子 變異數分析模型(one-way ANOVA with random effect)，其模型設定如下：

Level 1：

00 0 σ²)，則ρ 稱為組內相關係數(intraclass correlation coefficient；ICC)或稱為集群效 果(cluster effect)(Raudenbush and Bryk, 2002)。也代表著由於住宅價格間空間自我 相關(autocorrelation)的程度(Skinner et al., 1989)。該係數可用來說明組間變異占 整體變異的比例，代表依變項的變異量可以被組間差異解釋的程度，用來呈現依 變項與組間的關連程度(McGraw and Wong, 1996)。Kreft and de Leeuw(1998)進一 步指出，若是ρ 確實存在於樣本空間，則樣本間獨立性的假設是被違反的，因此 不應該使用傳統的線性模型來估計參數。Roberts(2007)實證結果顯示，即使在零

模形中ρ 接近於 0，但由於特徵價格方程式(含有解釋變項)中的共變異數使得組

(二)、模型 2：以平均數為結果的迴歸模型(means-as-outcomes regression)

以平均數為結果的迴歸模型也就是設定第一層迴歸模型為零模型，蒐集到個

其中，

在控制總體層次變項後，縣(市)地區平均住宅價格β 的條件變異數(conditional _{0 j}

(三)、模型 3：具隨機效果的單因子共變數分析模型(one-way ANCOVA with random effects)

假設個體層次變項對住宅價格的影響是固定的，亦即要求具隨機效果的單因

4j 40

γ50：住家專用與其他用途比較後，在各縣(市)地區平均住宅價格的差 效果ANCOVA(classical fixed-effect ANCOVA)皆有一重要基本假設，即「組內迴 歸係數同質性假設」，也就是說個體層次變項對住宅價格的迴歸係數並不會隨著 地區不同，而有所差異。

藉由具隨機效果的單因子共變數分析模型可檢測：將個體層次變項引進後，

以控制或排除共變數對住宅價格的影響後，檢測各縣(市)平均住宅價格β 是否_{0 j} 仍有差異。

(四)、模型 4：隨機係數迴歸模型(random coefficients regression model)

隨機係數迴歸模型是假設階層線性模型只有兩層，而第二層是零模型，也就 是第二層沒有解釋變項或是總體層次的變項，只有第一層的迴歸模型存在個體層

次的依變項與解釋變項。此一模型是傳統ANCOVA 視為違反基本假設的無法分

異，與所有縣(市)地區集合式住宅與其他型態比較後平均價格差異之總

(五)、模型 5：以截距及斜率為結果的迴歸模型(intercepts and slopes as outcomes)

以截距及斜率為結果的迴歸模型是將各地區的個體層次變項係數當成依變

此模型可以從區域特徵與住宅建物特徵的交互作用來探討其關係。探討由於 似估計(restricted maximum likelihood)來估計較高層級迴歸模式的截距項與斜率 項之貝氏估計值(Bayes estimator)(過程詳見 Raudenbush and Bryk, 2002, pp.

39-51)。

β 代表各縣(市)地區平均住宅價格之貝氏估計值(Bayes estimator) j ._j ˆ^OLS

nj代表各縣(市)地區內之住宅樣本數

式(3-33)代表式(3-32)的權重(weights)，類似精確度(precision)也就是所謂信度 (reliability)的概念，它反映的就是一種縮動(shrinkage)特徵。由式(3-32)可知各縣 (市)地區平均住宅價格之貝氏估計值β ，是以 OLS 所估計的各縣(市)地區平均^ˆ₀^EB_j

住宅價格Y. j與利用縣(市)地區平均住宅價格之總平均數加權組合而成。當縣(市) 地區之組間差異越大，則λ 越大並趨近於 1，則以 OLS 所估計的各縣(市)地區平_j 均住宅價格Y. j可信度越高，隨機截距項β 貝氏估計值將會趨近於^ˆ₀^EB_j Y. j；當縣(市) 地區內住宅樣本變異程度σ 增加，或各縣(市)地區之組間差異越小，則² β 就會^ˆ₀^EB_j 往Y..移動，這就是縮動的涵義。這個縮動的關鍵在於λ ，當_j λ 越大，代表不是_j n_j

越大就是σ 越小，也就是表示各縣(市)地區所提供的資料精確度越高，則各縣(市)² 地區提供的資訊加權就越大的意思。這也是在 HLM 中，允許各縣(市)地區的樣 本數可以不相等，當n_j越小，則λ 會很小，但透過由其他縣(市)地區相同的特徵_j

Y..，可以填補資料過少的資訊，這也是 Kreft and Leeuw(1998)所談的借力 (borrowing strength)，這也是貝氏估計量的統計特徵。²¹

21 「借力」(borrowing strength)在本研究中，係指住宅樣本規模較小的縣(市)地區(如雲林縣、嘉 義縣)其解釋變項的係數之估計，可借用所有縣(市)地區之總平均數的資料，而得到改進。