階層線性模式之實證結果分析

本文採用HLM 來進行實證分析，並設計五個階層線性模型分別討論，計分 為模型1(零模型)、模型 2(以平均數為結果的迴歸模型)、模型 3(具隨機效果的單 因子共變數分析模型)、模型 4(隨機係數迴歸模型)與模型 5(以截距及斜率為結果 的迴歸模型)，最後並與模型 6(傳統迴歸模型)之分析結果作一比較。

一、模型 1：零模型

零模型的目的在於分析縣(市)之間的平均住宅價格是否有所差異及住宅價 格的總變異中有多少的變異是由於縣(市)地區間的差異所造成的。其估計結果如 表4-3 所示：

表4-3 零模型分析結果摘要表

固定效果 係數 標準誤 t-ratio p-value

縣(市)平均住宅價格之總平均數γ00 5.9671 ** 0.0535 111.476 0.000

隨機效果 變異數 自由度 Chi-square p-value

平均住宅價格τ00 0.0621** 22 572.2186 0.000 第一層組內σ² 0.2442

離異數(-2LL) 2819.6221 Number of estimated parameters 2

「**」代表 P<0.05，「*」代表 P<0.1。

由表 4-3 固定效果部分顯示，所有縣(市)地區平均住宅價格總平均數的加權 最小平方法(weighted least squares method, WLS)估計值γ₀₀是5.9671，(表示縣(市) 平均價格之總平均數約為 390.372 萬元(e^5.9671=390.372)，標準誤是 0.0535，則 所 有 縣 ( 市 ) 地 區 平 均 住 宅 價 格 之 總 平 均 數 95% 的 信 賴 區 間 是

( ) ( )

5.9671 1.96 0.0535± = 5.8622,6.072 。

此外，各縣(市)地區之平均住宅價格與縣(市)平均價格之總平均數的差異u_{0 j}

(組間變異)之變異量

τ

₀₀，以限制最大概似估計(restricted maximum likelihood)的結

另外，各縣(市)地區住宅價格平均數之可靠性(reliability of the sample mean)計算 公式為：

λ

j =

reliability Y ( )

^.j =

τ

00 /^⎡⎣

τ

00+

( σ

² /

n

j

)

^⎤⎦=0.943。表示以各縣(市)地區

由分析結果可知β^ˆ₀^OLS_j -β 之差異絕對值最大的為雲林縣，雲林縣固定效果之^ˆ₀^EB_j

ˆ0^OLS

β j 估計值為5.67197，隨機效果β 估計值為 5.70178，也就是利用貝氏估計使^ˆ₀^EB_j 得雲林縣的β^ˆ₀^OLS_j 估計值5.67197 縮動成β 估計值 5.70178。這是由於雲林縣的住^ˆ₀^EB_j 宅樣本數 n_j為35，是樣本數最少之縣(市)地區，且其β^ˆ₀^OLS_j 估計值5.67197 與表 4-3 之 23 個縣市平均價格之總平均數

γ

₀₀估計值為 5.9671 相較之下，其差距較大，

導致β^ˆ₀^OLS_j -β 差異絕對值最大。台南縣雖僅有 39 個樣本，但由於台南縣^ˆ₀^EB_j β^ˆ₀^OLS_j 估 計值 5.94805 與表 4-3 之 23 個縣市平均價格之總平均數γ00估計值為5.9671 相 較之下，其差距不大，故β^ˆ₀^OLS_j -β 之縮動變化不大。新竹縣與屏東縣樣本數 n^ˆ₀^EB_j j

均為58，兩者有相同的信度λ 為 0.93653，但因為新竹縣的_j β^ˆ₀^OLS_j 估計值6.11979，

屏東縣的β^ˆ₀^OLS_j 估計值5.69167，兩者估計值與表 4-3 的

γ

₀₀估計值5.9671 相較之下，

屏東縣之差異較大，故屏東縣β^ˆ₀^OLS_j -β 之縮動變化較為明顯。屏東縣的^ˆ₀^EB_j β^ˆ₀^OLS_j 估 計值5.69167，南投縣的β^ˆ₀^OLS_j 估計值5.69334，兩者估計值差異不大，但是屏東縣 樣本數 nj為 58，南投縣樣本數 nj為 117，故屏東縣β^ˆ₀^OLS_j -β 之縮動變化與南投^ˆ₀^EB_j 縣相較之下，較為明顯。

表4-4 零模型 OLS 與 HLM 對於縣(市)地區平均住宅價格分析結果摘要表

二、模型 2：以平均數為結果的迴歸模型

由零模型可知，各縣(市)之間的平均住宅價格是有所差異的，且有 20.27%是 由縣(市)地區之差異性所造成的。以平均數為結果的迴歸模型目的即是探討有哪 些縣(市)因素影響各縣(市)的平均住宅價格。其估計結果如表 4-5 所示：

表4-5 以平均數為結果的迴歸模型分析結果摘要表

固定效果 係數 標準誤 t-ratio p-value 縣(市)平均住宅價格之總平均數γ00 5.9637** 0.0324 183.949 0.000

人口密度γ₀₁ 0.0182 0.0347 0.525 0.606 教育水平γ₀₂ 0.1691 0.1862 0.908 0.376 可支配所得γ₀₃ 0.7792** 0.0027 2.484 0.023 隨機效果 變異數 自由度 Chi-square p-value

平均住宅價格τ00 0.0204** 19 153.7859 0.000 第一層組內σ² 0.2442

離異數(-2LL) 2804.4886

Number of estimated parameters 2

「**」代表 P<0.05，「*」代表 P<0.1。

由表4-5 顯示，在固定效果部分，各縣(市)地區平均住宅價格之平均數γ₀₀之 估計值為5.9637，比表 4-3 零模型γ₀₀之估計值5.9671 稍微小了一些。總體層次 變項「可支配所得」之估計值γ₀₃為 0.7792 達到 5%顯著水準，表示「可支配所 得」變項對各縣(市)平均住宅價格的影響是顯著的，亦即縣(市)特徵中之「可支 配所得」越高則該縣(市)的平均住宅價格越高。

在隨機效果的變異數檢定方面，以平均數為結果的迴歸模型γ₀₀的變異數

τ

₀₀ 為 0.0204，達到 5%顯著水準，意味著在控制總體層次變項後，各縣(市)之間在 平均住宅價格上仍存在著顯著差異尚未得到解釋，也就是說，總體層次變項除了

「人口密度」、「教育水平」與「可支配所得」之外，當另有其它影響各縣(市)平

均住宅價格之總體層次變項未被考量。

表 4-3 零模型

τ

₀₀為 0.0621，而以平均數為結果的迴歸模型

τ

₀₀為 0.0204，降

了67.15%

(

R² =

(

0.0621 0.0204 / 0.0621 67.15%−

)

=

)

，表示引進總體層次變項「人 口密度」、「教育水平」與「可支配所得」後，可以減少各縣(市)地區間平均住宅 價格β (組內平均數) 約 67.15%的變異程度。 _{0 j}

控制總體層次變項的影響後，各縣(市)間對其平均住宅價格的相關性由零模 型的0.2027 變為 0.0771

(

ρ τ= ^00/

(

τ⁰⁰ +σ²

)

=0.0204 / 0.0204 0.2442

⁽

+

⁾

=0.0771

)

， 估計值ρ 在此是條件組內相關(conditional intraclass correlation)，表示具有相同總 體層次變項「人口密度」、「教育水平」與「可支配所得」的縣(市)，其住宅樣本 的相關程度。但是，由於仍有重要的縣(市)特徵未被考量，因此，各縣(市)間的 平均住宅價格仍然存在著顯著差異。

三、模型 3：具隨機效果的單因子共變數分析模型

藉由本模型可檢視，將個體層次變項引進後，控制或排除共變數對住宅價格 的影響後，各縣(市)平均住宅價格是否仍有差異。具隨機效果的單因子共變數分 析模型估計結果如表4-6 所示：

表4-6 具隨機效果的單因子共變數分析模型分析結果摘要表

固定效果 係數 標準誤 t-ratio p-value 縣(市)平均住宅價格之總平均數γ00 5.9377** 0.0619 95.837 0.000

屋齡γ₁₀ -0.0317** 0.0116 -2.745 0.007 面積γ₂₀ 0.4192** 0.0225 18.603 0.000 結構γ₃₀ 0.2843** 0.0316 9.008 0.000 型態γ₄₀ -0.0988** 0.0260 -3.793 0.000 用途γ₅₀ -0.0562 0.0350 -1.605 0.108 隨機效果 變異數 自由度 Chi-square p-value

平均住宅價格τ00 0.0851** 22 1122.1873 0.000

第一層組內σ² 0.1859

離異數(-2LL) 2332.3236

Number of estimated parameters 2

「**」代表 P<0.05，「*」代表 P<0.1。

由表4-6 的固定效果部分顯示，具隨機效果的單因子共變數分析模型

γ

₀₀之估

計值為5.9376，比表 4-3 零模型

γ

₀₀之估計值5.9671 稍微小了一些。其中「屋齡」

變項之係數估計值-0.0317、「面積」之係數估計值0.4192、「結構」變項之係數估 計值0.2843 與「型態」變項之係數估計值-0.0988，均達 5%顯著水準。而「用途」

變項對各縣(市)之住宅價格的影響則未達顯著水準。

在隨機效果部分顯示，表 4-3 零模型的個體層次變異數σ 為 0.2442，而表²

4-6 具隨機效果的單因子共變數分析模型σ 為 0.1859，減少了 23.87%，² 縣(市)平均住宅價格之總平均數γ00 5.9440** 0.0607 97.897 0.000

屋齡γ10 -0.0425** 0.0173 -2.463 0.022 面積γ₂₀ 0.3816** 0.0361 10.578 0.000 結構γ₃₀ 0.2327** 0.0653 3.564 0.002

離異數(-2LL) 2232.6692 Number of estimated parameters 22

「**」代表 P<0.05，「*」代表 P<0.1。

由表4-7 的固定效果部分，顯示個體層次變項「型態」之係數估計值γ₄₀由表 4-6 共變異數模型中的-0.0988 達到 5%顯著水準，變為-0.1057 達到 10%顯著水準。

其他之特徵，如「屋齡」變項之係數估計值γ₁₀為-0.0425、「面積」變項之係數估 計值_γ20為0.3816、「結構」變項之係數估計值_γ30為0.2327，對各個縣(市)地區之 平均住宅價格的影響均達5%顯著水準。此一結果隱含著，對各縣(市)地區而言，

個體層次「屋齡」、「面積」、「結構」與「型態」是有效預測各縣(市)地區內住宅 價格的變項。

由隨機效果部分顯示「屋齡」參數之估計值γ₁₀的變異數

τ

₁₁為0.0033、「面積」

參數之估計值γ₂₀的變異數

τ

₂₂為0.0169、「結構」參數之估計值γ₃₀的變異數

τ

₃₃為

0.0700 與「型態」參數之估計值γ₄₀的變異數

τ

₄₄為 0.0427，均達 5%顯著水準，

表示各縣(市)地區間「屋齡」、「面積」、「結構」與「型態」對住宅價格的影響均 有顯著的不同。

「用途」係數估計值γ₅₀的變異數

τ

₅₅未達5%顯著水準，表示各縣(市)地區間

「用途對住宅價格的影響」並無顯著的不同。此一結果也說明了「用途對住宅價 格的影響」在各縣(市)間高度相似。因此進一步將「用途」變項的隨機效果剔除，

如模型B 分析結果(如表 4-8 所示)。由於模型 A 與模型 B 之間具有巢套關係，可 以進行模型適配改善率的檢定來協助結果的解釋(Kreft and de Leeuw, 1998)。模型 A 與模型 B 相較之下，其卡方檢定值 4.209(2236.8782-2232.6692)服從自由度為 6(22-16)，未達 5%的顯著水準，因此本研究爾後的模型分析固定「用途」變項，

不再考量該變項的隨機效果。

表4-8 隨機係數迴歸模型 B 的分析結果摘要表

固定效果 係數 標準誤 t-ratio p-value 縣(市)平均住宅價格之總平均數γ00 5.9428** 0.0604 98.236 0.000

屋齡γ₁₀ -0.0418** 0.0174 -2.398 0.026 面積γ₂₀ 0.3823** 0.0357 10.698 0.000 結構γ₃₀ 0.2333** 0.0649 3.592 0.002 型態γ₄₀ -0.1066* 0.0540 -1.972 0.061 用途γ50 -0.0573* 0.0341 -1.682 0.092 隨機效果 變異數 自由度 Chi-square P-value

平均房價τ₀₀ 0.0803** 21 459.3608 0.000 屋齡τ₁₁ 0.0034** 21 43.5643 0.003 面積τ22 0.0163** 21 51.5912 0.000 結構τ₃₃ 0.0690** 21 79.2560 0.000 型態τ44 0.0432** 21 70.7495 0.000

第一層組內σ² 0.1689

離異數(-2LL) 2236.8782

Number of estimated parameters 16

「**」代表 P<0.05，「*」代表 P<0.1。

因不考量「用途」變項之隨機效果，由表4-8 的固定效果部分顯示，個體層 次變項「屋齡」、「面積」與「結構」對於各個縣(市)地區之平均住宅價格仍有顯 著之影響，且在表4-7 隨機係數迴歸模型 A 中，「用途」變項之係數估計值_γ50為 -0.0446 未達顯著水準，在表 4-8 隨機係數迴歸模型 B，「用途」變項之係數估計 值_γ50為-0.0573，在 10%顯著水準下對於各個縣(市)地區之平均住宅價格亦產生 顯著影響。

表4-8 的隨機效果部分顯示，各縣(市)平均住宅價格β 的變異數_{0 j} τ₀₀為0.0803 達到5%顯著水準，表示 23 個縣(市)地區在平均住宅價格上有顯著差異。此與隨 機效果單因子共變數分析模型的結論一致。而「屋齡」變項係數估計值_γ10之變 異數τ₁₁為0.0034、「面積」變項係數估計值γ₂₀之變異數τ₂₂為0.0163、「結構」變 項係數估計值_γ30之變異數_τ33為0.0690 與「型態」變項係數估計值γ₄₀之變異數_τ44 為0.0432，均達 5%顯著水準，表示「屋齡」、「面積」、「結構」與「型態」對住 宅價格的影響，在各縣(市)地區均有顯著的不同。此一結果也呼應了 Wolverton and Senteza(2000)所指出的，在忽略了區域特性的情況下，縱使將住宅品質固定 (constant quality)，其房價估計係數仍會產生偏誤。也就是說，住宅建物特徵對房 價的影響在各地區間是有顯著差異的。

表4-3 零模型σ 為 0.2442，而表 4-8 的隨機係數迴歸模型 B 的² σ 為 0.1689，² 減少了30.43%，

(

R² =

(

0.2442 0.1689 / 0.2442 30.43%−

)

=

)

，表示引進個體層次變 項(「屋齡」、「面積」、「結構」、「型態」與「用途」)可以減少各縣(市)地區內住 宅價格約30.43%的變異程度。隨機係數迴歸模型 B 與以平均數為結果的迴歸模 型相較之下，表4-5 以平均數為結果的迴歸模型引進總體層次變項可解釋各縣(市) 地區平均住宅價格之變異達67.15%，而引進個體層次變項可解釋各縣(市)地區內 住宅價格 30.43%的變異程度。很明顯，總體層次解釋變項的解釋作用，比個體 層次變項的解釋作用大，隱含著住宅價格受縣(市)特性的影響，比住宅建物特徵 的影響大，此說明了區域特性對住宅價格影響的重要性。而在現實社會中我們也 可以發現，在縣(市)間(intercity)的差異較縣(市)內(intracity)的差異大，例如台北 市平均一般住宅價格較其他縣(市)一般平均住宅價格高出甚多，但在台北市內的 一般平均住宅價格差異程度，可能就小於其他縣(市)地區。

藉由式(3-17)的誤差項μ_{ij i, 0~5=} 之共變異數，計算各縣(市)地區之截距項 (平 均住宅價格)與斜率項(為個體層次變項，包括「屋齡」、「面積」、「結構」、「型態」

與「用途」)之相關係數，分析結果如表 4-9 所示。其中平均住宅價格與「屋齡、

「面積」、「結構」、「型態」及「用途」之相關係數分別為0.006、0.361、-0.322、

0.131 與-0.950。就各縣(市)地區內住宅樣本而言，「屋齡」預期與住宅價格為負 向關係，但由表4-9 顯示平均住宅價格與屋齡之相關係數為 0.006 且正相關，表 示平均住宅價格較高之縣(市)地區與其他地區相較之下，其「屋齡」對住宅價格

0.131 與-0.950。就各縣(市)地區內住宅樣本而言，「屋齡」預期與住宅價格為負 向關係，但由表4-9 顯示平均住宅價格與屋齡之相關係數為 0.006 且正相關，表 示平均住宅價格較高之縣(市)地區與其他地區相較之下，其「屋齡」對住宅價格

在文檔中 住宅特徵價格模型之多層次分析 (頁 58-76)