小數概念之分析

壹、小數的起源

小數概念的引進與發明，在西方是源自於開方的問題以及除數呈 之形狀的除法問題，而中國人的小數概念則是隱藏於度量衡制度之中。義大 利人Francesco Pellos 於 1492 年，在計算

b

÷(

a

⋅10ⁿ)的除法規則時，無意中引 進了小數點 (趙文敏，19

a 10⋅ n

85)。

中國人對“小數”的命名，是從度量衡中的“度”發展出來。從九章算術「微 數無名者，以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分 彌細。」這句話，就可看出古代中國數學家已具有清楚的小數概念，因為「微 數無名」就是十進位小數。其實，南宋數學家楊輝已對小數位數有相當的瞭 解，並能在算盤上想像一條鉛直線隔離整數與小數，但是直到元朝丁巨算法 出版，才出現隔離整數與小數部分的做法。其實，中國古算學家曾將小數命 名為“微數”、“端數”、“收數”。而“小數”這個名稱，大概是元朝朱世傑才開 始使用的 (趙文敏，1985)。

貳、小數的意義

國小數學教材屬於有限小數的範圍，有限小數是整數位值概念的擴展，

並且與分數「部份－全體」概念密不可分，故可從分數與整數的角度來了解 小數的意義與結構 (劉曼麗，1996；1998)。

一、透過分數的「部份－全體」概念來了解小數的意義

分數是表示將一個基準單位量的整體等分後，取其中一部分的量，例 如：「5

3」可表示一個整體被分成五等分後取其中的三等分的量。若整體被

分成十等分、百等分、千等分…等，則此分數就有另外記法，稱為小數記法。

而小數記法中的小數點「x」是用來區分整數和小數。例如：

10

1 可記為0.1、

100

1 可記為0.01、

1000

1 可記為0.001。

小數可依其整數部分是否為0 而有兩種名稱，當整數部分是 0，稱為純 小數，否則稱為帶小數，亦即帶小數是整數和小數合成的結果。而n 位小數 是指小數點後跟著n 位數。因此，若將 數轉換為分數表示法小 ，則一位純小

100 數0.

a

可用分數 ab

10^a 來表示，二位純小數0.

ab

可用分數 來表示。

二、透過整數的「位值」概念來了解小數的結構

由甲骨文所記載的年代可發現中國人是以十為數基，亦即採用十進位 法，而從那個時代起就沒有改用其他進位法。而現在通行的印度－阿拉伯數 字，自清朝開始出現於中國數學書籍 (趙文敏，1985)。其實，數原來是指 單位「1」的倍數，透過印度－阿拉伯的記數系統的協助所發展出來的運算 算則，則將數重組成多單位系統 (引自甯自強，1996)。因為國內小學的數與 計算教材使用十進位的印度－阿拉伯記 系統， 數概念

必須由「一」、「十」、「百」、「千」「萬」等多單位概念來建立，讓學童由多 單位概念合成一個數，來學習數概念 (甯自強，1996)。例如整數「352」不 僅可代表352 個「一」，而且也可表示由 3 個「百」、5 個「十」和 2 個「一」

的合成結果，其中該數由右邊往左的位名分別稱為「個位」、「十位」及「百 位」，而其所指示的數值「一」、「十」、「百」稱之為位值。

小數的記數系統是整數記數系統的延伸，採用 0～9 十個數字，配合位

，記錄小數。例如：三位純小數「0.352」不僅可代表 352 個「0.001」，

也可表示為3 個「0.1」、5 個「0.01」和 2 個「0.001」的合成結果。而 Hiebert (1992) 提出小數的三個重要定理來解釋小數的位值概念：

定理1 數中的每一個數字的位值，是緊鄰其右邊數字位值的十倍，反之，

是緊鄰其左邊數字位值的十分之一。

定理2：小數中的每一個數字的大小是由其位值決定之。

定理

小數概念的學習必須兼具分數「部份－全體」概念及整數「位值」概念，

故我國小數教材，將小數編排在整數與分數的學習之後，亦即由小數與整

數 故我國學童的 結構，

值概念

：小

3：小數的數值是其每一個數字之數值的加總。

數、分數的共同特質「位值」概念及「部份－全體」概念來建構學童的小數

在較高年級，有較高比例的受試學童採取「分數法則」答題。因此，Resnick、

Nesher、Leonard、Magone、Omanson and Peled (1898) 整理比較小數與整數、

分數 同性，詳見表2-4-1 2- 數定義。

讀的規則 (reading rules) 小數點左邊按照整數讀法 讀出，右

4.讀的順序是千位，百位，十 位，個位

讀的規則 (reading rul 依

表2-4-2 小數和分數知識的比較表 (引自 Resnick et al., 1989, p.12)

小數 (decimal) 知識的元素 分數 (fraction) 知識的元素 類似(＋) 不同(－) A 小數的值 (decimal values) A 分數的值 (fraction values)

1.在 0 與 1 之間表達一個值 1.在 0 與 1 之間表達一個值 (＋) 2.整體被分成很多較小等分 2.整體被分成很多較小等分 (＋) 3.在 0 與 1 之間存在無限多個

小數

3.在 0 與 1 之間存在無限多個

分數 (＋)

B 小數符號 (decimal notation) B 分數符號 (fraction notation) 1.在數字的位置中隱含一個

單位被等分成多少等分

1.在分母中明確表示一個單位

被等分成多少等分 (－) 2.在小數的量中表示有多少

等分

2.在分數的分子中表示有多少

等分 (－)

3.整體僅可被分成 10 的冪次

方 3.整體可被分成任何等分的數 (－)

4. 在 分 母 部 份 的 字 末 加 上 th，例如：0.3 表示為 3 tenth

4.在分母部份的字末加上 th，

例如：3/4 表示為 3 fourth (＋)

參、國小小數教材

國小小數概念在九年一貫的教學領域之五大主題中隸屬於「數與量」，

根據九年一貫課程網要數學學習領域 (2003)，分年細目所編列的階段能力指 標，將南一版國小三到六年級教材，與小數概念相關的教學重點羅列於下：

表2-4-3 九年一貫課程國小數學領域小數概念之分段能力指標

年級 分段能力指標

三年級 3-n-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算。

四年級

4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來 做簡單分數與小數的互換。

4-n-09 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比 較。

4-n-11 能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並 解決生活中的問題。

表2-4-3 九年一貫課程國小數學領域小數概念之分段能力指標 (續)

年級 分段能力指標

五年級

5-n-08 能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決 生活中的問題。

5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。

5-n-10 能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做 加、減、乘、除之估算。

5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。

六年級 6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。

三年級小數概念的教學重點分五部份，第一，是在等分成 20 份以內的 連續量及離散量情境中，以真分數描述其中的幾份及說讀聽寫做；第二，分 母為 20 以內真分數的數詞序列的建立；第三，一位小數的命名及說讀聽寫 作；第四，一位小數數詞序列的建立；最後是一位純小數的合成、分解與比 較活動 (合數、被減數<1)。

四年級的小數教學重點可分為四項，首先為認識二位小數及位名；其次 是能在等分好的線段上，做出一條簡單的分數和小數的數線；再則能以二位 小數描述具體的量，解決二位小數的合成、分解問題，並理解直式算則；最 後是認識三位小數及位名，進行三位小數的化聚活動及加、減直式計算。

五年級有四項教學重點，首先是解決一、二、三位小數的整數倍問題及 加減的混合計算，並用直式記錄解題過程和結果；其次是解決整數的小數倍 問題；再則為解決整數或小數除以整數，商為小數而能除盡或有餘數的問 題；最後是能用直式進行除法驗算。

六年級的教學重點可分為五項，第一，能解決並用直式記錄生活中整數 除以小數、小數除以小數有關的除法問題；第二，有關除不盡或超過指定小 數位數時用四捨五入求商的除法問題；第三，理解小數除法中，被除數、除 數、商間的關係；第四，能在具體情境中，解決小數的多步驟四則運算問題；

最後是能在具體情境中，解決分數和小數混合的多步驟四則運算問題。

肆、與小數除法相關的研究報告

「數與量」是九年一貫課程綱要數學領域內容中的五大學習主題之一，

課程階段目標指出在小學畢業前，必需熟練小數與分數的四則計算 (教育 部，2003)。但是許多研究指出，學童的小數知識表現並不理想 (艾如昀，

1994；吳昭容，1996；杜建台，1996；林原宏，1994；簡茂發、劉湘川，1993；

劉曼麗，2001；劉曼麗，2003； Bell, Swan, & Taylor, 1981; Calhoon, Emerson, Flores, & Houchins, 2007; Capenter, Corbitt, Kepner, Lindquist & Reys, 1981)，研究者分述相關的研究報告並歸納整理如下：

一、相關的研究報告

Calhoon, Emerson, Flores, & Houchins (2007) 有鑑於數學計算能力不佳 會妨礙數學理解和閱讀理解，而以小學二至六年級學童應具備的數學計算能 力為命題依據，使用一份以整數、分數與小數的加減乘除計算的試題，檢測 高中學生在數學計算能力的流暢度之研究報告指出，224 位高中學童有精熟 的整數加減乘除計算能力，但是在乘除法運算、分數與小數的計算方面表現 不佳，其中又以小數除法的計算能力最弱。

Bell, Swan, & Taylor (1981) 的研究指出學童在解小數文字題，選擇運算 策略時，存在的迷思概念有：(一) 因為「乘法使結果變大，除法使結果變 小」的迷思，導致相同題目卻有錯誤的列式表現，例如：在「一加侖汽油 1.17 元，買 5.6 加侖，須付多少錢?」，學生的列式為「 」，而當題目 問「一加侖汽油 1.5 元，買 0.25 加侖，須付多少錢?」，學生會列式為

「1.5÷0.25」。(二) 除法符號化的 ：

6 . 5 17 . 1 ×

錯誤，例如 a÷b=a b。(三) 用關鍵字 策略解題，例如：文字中有「倍」就使用乘法，有「分出」就使用除法。

Hiebert and Wearne (1985) 表示學童因為不懂規則背後的原理，而混淆 計算規則產生錯誤答案。並且發現學童在計算小數的乘法及小數的除法時，

有誤判「小數點的位置」的錯誤出現，例如：(一) 在計算 6×0.4 時，會出 現0.24 錯誤答案；(二) 計算 0.56÷7 時，出現答案為 0.8 的情形。

Fischbein, Deri, Nello, & Marino (1985) 在義大利對五、七、九年級學 童實施整數與小數的乘除法文字題測驗，其研究發現學童容易因為不瞭解題 意，有錯誤的列式表現發生，而且從其作答反應可得知許多學童存在「乘法

會使結果變大」、「除法使結果變小」、「被除數必須比除數大」、「除數 必須是一個整數」、「商數必須比被除數小」的迷思概念。其研究顯示，相

會使結果變大」、「除法使結果變小」、「被除數必須比除數大」、「除數 必須是一個整數」、「商數必須比被除數小」的迷思概念。其研究顯示，相

在文檔中 整合式即時回饋系統融入國小六年級數學教學成效實驗研究 (頁 46-56)