各類型學生在小數除法之試題階層結構分析

本研究教學單元「小數除法」之教學重點包括：「整數除以小數」、「小 數除以小數」、「小數除法的估算」以及「被除數、除數和商的關係」四項。

而本章第三節依據六年級學童於本單元之學習成就與學生注意係數，應用 S-P 表分析學生學習類型，結果顯示六類學習類型與人數分別為：A 類 49 人 (實驗組28 人，控制組 21 人)，A'類 41 人 (實驗組 24 人，控制組 17 人)，

B 類 23 人 (實驗組 10 人，控制組 13 人)，B'類 11 人 (實驗組 5 人，控制組 6 人)，C 類 7 人 (實驗組 2 人，控制組 5 人)，而 C'類 6 人 (實驗組 0 人，控 制組6 人)。

本研究在探討比較不同教學模式對學童學習成效之影響，並應用S-P 表 分析學童的學習類型後，接著於本節應用次序理論，分析國小六年級學童於 小數除法學習表現之試題階層結構圖。為達研究目的，應用莊宗霖、林原宏 (2007) 研發設計之診斷導向補救教學即時服務系統，設定閾值 ε=0.1，分析 產生各學習類型學生於小數除法四項教學重點之試題階層結構圖，進一步由 研究者分析比較各類型學生之試題階層結構的特性。

壹、整數除以小數之試題階層結構分析

根據表4-5-1 所示，整數除以小數試題共計 3 題，這三個試題皆屬於程 序知識，其中○¹ 為計算題，○² ○³ 為應用題。

表4-5-1 整數除以小數之試題及其概念屬性

題號 概念代碼/試 題 概念屬性

三(2) ○¹ 51÷1.7=( ) 整數除以1 位帶小數整除的計算 四(4) ○² 小毛體重15 公斤，恰好是阿

明的0.75 倍，阿明有多重?

整數除以2 位純小數整除的基準 量未知之比較型應用

四(5) ○³ 在一條長13 公里的道路兩 旁，每隔2.6 公里種 1 棵樹，

頭尾都要種，共需要種幾棵 樹?

整數除以1 位帶小數整除的四則 運算包含除應用

一、各類型學生之「整數除以小數」表現分析

A 類型、A'類型、B 類型、B'類型、C 類型及 C'類型學生「整數除以小 數」表現之試題階層結構圖，如圖4-5-1 至圖 4-5-6 所示：

圖4-5-1 整數除以小數 A 類型學生試題 階層結構圖

圖4-5-2 整數除以小數 A'類型學 生試題階層結構圖

圖4-5-3 整數除以小數 B 類型學生試題 階層結構圖

圖4-5-4 整數除以小數 B'類型學 生試題階層結構圖

圖4-5-5 C 類型學生試題 階層結構圖

圖4-5-6 學

生試題階層結構圖

整數除以小數 整數除以小數C'類型

(一)

4-5-1 4-5-5 4-5-6 A C C'

階層結構分為二個階層。第一階層包含○¹ 及○² ，第二階層只有○³ 。 階層分析

根據圖 、圖 、圖 所示， 類、 類及 類學生之試題

根據圖4-5-2 所示，A'類學生之試題階層結構僅有一個階層，亦即○¹ ○² 以 及○³ 皆屬於第一階層。

根據圖4-5-3、圖 4-5-4 所示，B 類及 B'類學生之試題階層結構分為三個 階層。第一階層為○¹ ，第二階層為○² ，第三階層為○³ 。

(二) 次序分析

根據圖4-5-1、圖 4-5-5、圖 4-5-6 所示，A 類、C 類及 C'類學生之試題 階層結構中，第一階層的○¹ 及○² ，是第二階層○³ 的先備基礎。

根據圖4-5-2 所示，A'類學生之試題階層結構中，○¹ 、○² 以及○³ 三個概 念各自獨立，表示這三個概念之間並無先備與後續關係。

根據圖4-5-3、圖 4-5-4 所示，B 類及 B'類學生之試題階層結構中，第二 階層○² 是第一階層○¹ 的後續概念，是第三階層○³ 的先備基礎。

二、各類型學生「整數除以小數」試題階層結構之比較

由上述各類型學生「整數除以小數」的試題階層結構圖結果，整理比較 如表4-5-1 及表 4-5-3。

(一) 階層分析

由階層分析來看，如表4-5-1 所示，A'類學生之試題階層結構僅有一層，

A 類、C 類、C'類學生之試題階層結構分二層，B 類、B'類學生之試題階層 結構分三層。除了A'類學生之試題階層結構顯示這三個試題皆為第一階層之 外，其餘各類學生之試題階層結構有相似之處，例如：

1.○¹ 皆分布於第一階層，而○³ 分布於最高層。

2.A 類、B 類、B'類學生 (共 83 人，實驗組 43 人，控制組 40 人) 在○¹ 的通 過率高達0.91 以上，C 類及 C'類學生 (共 13 人，實驗組 2 人，控制組 11 人) 在○¹ 的通過率介於0.43 與 0.83 之間，表示○¹ 對多數學生而言 (A 類、

B 類、B'類)，屬於簡單熟練的程序知識。

3.學生在○³ 試題表現方面，A 類及 B'類學生 (共 60 人，實驗組 33 人，控制

組27 人) 的通過率介於 0.27 與 0.39 之間，B 類、C 類及 C'類學生 (共 36

(0.93~0.95)

○¹

(0.96)

○¹

(0.91)

○¹ ○²

(0.43~0.71)

○¹ ○²

(0.50~0.83)

註：括號內容代表該試題之通過率。

念，表示對各類學生而言，○¹ 與○² 的先備後續關係並不一致。

表4-5-3 各類型學生「整數除以小數」概念之試題階層結構圖次序分析比較 表

概念 A 類型 A'類型 B 類型 B'類型 C 類型 C'類型

○¹ ○³ c ○² ○² ○³ ○³

○² ○³ c ○³ ○³ ○³ ○³

○³ ＊ c ＊ ＊ ＊ ＊

註：＊代表該試題有先備基礎而無後續概念。

c代表該試題為獨立概念，無先備基礎及後續概念。

三、小結

綜合上述各類型學生「整數除以小數」試題階層結構的比較發現，對將 近半數的實驗組與控制組學生 (A 類、C 類及 C'類共 62 人，實驗組 30 人，

控制組32 人) 而言，○¹ 是○³ 的先備基礎且通過率高，然而各類學童在○³ 的 通過率表現卻很低，研究者認為造成○¹ ○³ 通過率懸殊的原因，可能是學童不 全然了解○³ 文字題的題意與粗心大意的問題所導致而成的。因此，建議教學 者進一步分析歸納學童在試題○³ 的錯誤類型，並適時進行補救教學。

貳、小數除以小數之試題階層結構分析

根據表4-5-4 所示，小數除以小數試題共計 10 題，其中○¹ 屬於概念知 識，○² ○³ ○⁵ ○⁷ ○⁸ 屬於程序知識，○⁴ ○⁶ ○⁹ ○¹⁰屬於後設認知知識。

表4-5-4 小數除以小數之試題及其概念屬性

表4-5-4 小數除以小數之試題及其概念屬性 (續)

題號 概念代碼/試 題 概念屬性

四(6)

○¹⁰某數除以1.8，弟弟誤算為除以 2.8，

結果得商是2.5，餘數是 0.1，求正確 答案應為多少? (求商到小數第一 位，並寫出餘數)

1 位帶小數除以 1 位帶 小數，商為小數並有餘 數，錯誤更正的後設認 知之試題

一、各類型學生之「小數除以小數」表現分析

A 類型、A'類型、B 類型、B'類型、C 類型及 C'類型學生「小數除以小 數」表現之試題階層結構圖，如圖4-5-7 至圖 4-5-12 所示：

圖4-5-7 小數除以小數 A 類型學生 試題階層結構圖

圖4-5-8 小數除以小數 A'類型學生試 題階層結構圖

圖4-5-9 小數除以小數 B 類型學生 試題階層結構圖

圖4-5-10 小數除以小數 B'類型學生試 題階層結構圖

圖4-5-11 小數除以小數 C 類型學 生試題階層結構圖

圖4-5-12 小數除以小數 C'類型學生試 題階層結構圖

(一) 階層分析

根據圖4-5-7 所示，A 類學生之試題階層結構分為三個階層。第一階層 包含○² ○³ ○⁴ ○⁵ ○⁶ ○⁸ 以及○⁹ ，第二階層只有○⁷ ，第三階層包含○¹ 與○¹⁰。

根據圖4-5-8 所示，A'類學生之試題階層結構分為三個階層。第一階層 包含○² ○⁵ ○⁶ ○⁸ 以及○⁹ ，第二階層包含○⁷ 和○¹⁰，第三階層包含○¹ ○³ 以及○⁴ 。

根據圖4-5-9 所示，B 類學生之試題階層結構分為四個階層。第一階層 為○²，第二階層包含○⁸ 與○⁹ ，第三階層包含○³ 和○⁴，第四階層包含○¹ ○⁵ ○⁶ ○⁷ 以及○¹⁰。

根據圖4-5-10 所示，B'類學生之試題階層結構分為四個階層。第一階層 為○²，第二階層包含○³ 與○⁸ ，第三階層包含○⁴ ○⁵ ○⁶ ○⁷ 以及○⁹，第四階層包含

○¹ 和○¹⁰。

根據圖4-5-11 所示，C 類學生之試題階層結構分為四個階層。第一階層 為○²，第二階層包含○⁷ ，第三階層包含○¹ ○⁵ 與○⁶，第四階層包含○³ ○⁴ ○⁸ ○⁹ 以 及○¹⁰。

根據圖4-5-12 所示，C'類學生之試題階層結構分為四個階層。第一階層 為○¹，第二階層包含○² 與○⁸ ，第三階層包含○³ 及○⁹，第四階層包含○⁴ ○⁵ ○⁶ ○⁷ 以及○¹⁰。

(二) 次序分析

由次序分析來看，根據圖4-5-7 所示，對 A 類學生而言：1.第一階層○² ○³

○⁴ ○⁵ ○⁶ ○⁸ ○⁹ ，這七個試題為第二階層○⁷ 的先備基礎。2.第三階層○¹ 及○¹⁰為第 二階層○⁷ 的後續概念。

根據圖4-5-8 所示，對 A'類學生而言：第二階層○⁷ 和○¹⁰是第一階層○² ○⁵

○⁶ ○⁸ ○⁹ 這五個試題的後續概念，也是第三階層○¹ 的先備基礎。另外第三階層

○³ 以及○⁴ 兩個試題，對A'類學生而言屬於獨立概念，與其他試題概念無先備 基礎及後續概念關係。

根據圖4-5-9 所示，對 B 類學生而言：1.第二階層○⁸ ○⁹ 是第一階層○² 的 後續概念，是第三階層○³ ○⁴ 的先備基礎。2.第三階層○³ ○⁴ 是第四階層○⁵ ○⁶ 的 先備基礎。3.第四階層○¹ ○⁷ ○¹⁰三個試題屬於獨立概念，與其他試題無先備基 礎及後續概念關係。

根據圖4-5-10 所示，對 B'類學生而言：1.第二階層○³ ○⁸ 是第一階層○² 的 後續概念，是第三階層○⁷ 的先備基礎。2.第三階層○⁴ ○⁵ ○⁶ 是第二階層○³ 的後 續概念，是第四階層○¹ 的先備基礎。3.第三階層○⁹ 是第二階層○⁸ 的後續概 念，是第四階層○¹ 的先備基礎。4.第四階層○¹⁰屬於獨立概念，與其他試題概 念無先備基礎及後續概念關係。

根據圖4-5-11 所示，對 C 類學生而言：1.第二階層○⁷ 是第一階層○² 的後 續概念，是第三階層○⁵ ○⁶ 的先備基礎。2.第三階層○¹ ○⁵ ○⁶ 是第四階層○³ ○⁴ ○⁸

○⁹ ○¹⁰的先備基礎。

根據圖4-5-12 所示，對 C'類學生而言：1.第二階層○² ○⁸ 是第一階層○¹ 的 後續概念，是○³ ○⁹ 的先備基礎。2.第三階層○³ ○⁹ 是第四階層○⁴ ○⁵ ○⁶ ○⁷ ○¹⁰的先 備基礎。

二、各類型學生「小數除以小數」試題階層結構之比較

由上述各類型學生「小數除以小數」的試題階層結構圖結果，整理比較

如表4-5-5 及表 4-5-6。

(0.00~0.00)

○⁴ ○⁵ ○⁶

○⁷ ○¹⁰

(0.00~0.00)

第三 階層

○¹ ○¹⁰

(0.53~0.63)

○¹ ○³ ○⁴

(0.71~0.80)

○³ ○⁴

(0.14~0.29)

○³ ○⁹

(0.17~0.17)

第二 階層

○⁷

(0.7)

○⁷ ○¹⁰

(0.83~0.83)

○⁸ ○⁹

(0.33~0.33)

表4-5-5 各類型學生「小數除以小數」概念之試題階層結構圖階層分析比較

(0.88~1.00)

○² ○⁵ ○⁶

較，臚列發現如下：

(一) ○² 是全體學童在本研究之後測評量小數除以小數試題的先備基礎，除 了C 類與 C'類學童 (共 13 人，實驗組 2 人，控制組 11 人) 仍需特別 加強該試題概念之外，其他學童在○² 的試題通過率皆極高。亦即表示 相較於實驗組，控制組有相當高比例學童的小數除以小數基礎概念不 足，建議教學者宜即時進行補救教學。

(二) ○¹ 對多數學童 (A 類、A'類、B'類、C 類，共 108 人，實驗組 59 人，

控制組49 人) 而言，屬於其他試題的後續概念且通過率較低，亦即為 較難的概念，亦即如同文獻所述，學童在除法試題表現容易存在「以 大的數除以小的數」的迷思概念 (林原宏，1994；Bell, Swan, & Taylor，

1981)。不過對 C'類學童 (共 6 人，實驗組 0 人，控制組 6 人) 而言，

○¹ 是其他試題的先備基礎，且通過率達0.67，顯示 C'類學童在這項迷 思概念的通過率並不低於其他類型學童，甚至有較高通過率的傾向。

然而研究者認為，由於試題○¹ 為選擇題，故值得教師進一步深入了解 C'類這六位學童是否確實了解該試題之概念。

(三) 本研究後測試題屬於小數除以小數有餘數的部份包含○⁴ ○⁶ ○⁹ ○¹⁰四個後 設認知試題，其中，○¹⁰對全體學童而言通過率皆偏低；而○⁴ ○⁶ ○⁹ 與其 對應的程序性知識試題○³ ○⁵ ○⁸ 試題若不為同階層，則是呈現上下位階 層的關係，亦即有先備後續關係，而且驗算題 (後設認知知識) 為計算 題 (程序知識) 的後續概念。相關文獻顯示，學童在小數除法有餘數的 問題容易存在迷思概念 (陳永峰，1998；簡茂發、劉湘川，1993；劉曼

(三) 本研究後測試題屬於小數除以小數有餘數的部份包含○⁴ ○⁶ ○⁹ ○¹⁰四個後 設認知試題，其中，○¹⁰對全體學童而言通過率皆偏低；而○⁴ ○⁶ ○⁹ 與其 對應的程序性知識試題○³ ○⁵ ○⁸ 試題若不為同階層，則是呈現上下位階 層的關係，亦即有先備後續關係，而且驗算題 (後設認知知識) 為計算 題 (程序知識) 的後續概念。相關文獻顯示，學童在小數除法有餘數的 問題容易存在迷思概念 (陳永峰，1998；簡茂發、劉湘川，1993；劉曼

在文檔中 整合式即時回饋系統融入國小六年級數學教學成效實驗研究 (頁 115-162)