第三章 分析模式之建立
3.4 層級分析法
層級分析法(AHP)為 1971 Thomas L. Satty 所發展出來的一套決策方法，
主要應用在不確定(Uncertainty)情況下及具有多數個評估準則(Criteria)的決 策問題上，利用決策制訂時的特徵與層級結構(Hierarchical Structure，可以同 時擷取、整合多數專家的意見，確立目標範圍，限制條件和替代選擇。層級 分析法的目的即為「將複雜的問題簡化」，經由不同得層面加以層級分解，透 過量化的判斷覓得脈絡後，再加以綜合評估，提供決策者充分資訊，最後再 由決策者對評估標的及基準之成對比較矩陣加以運算。以下將就層級分析法 之特性、基本假設、操作步驟及優缺點做說明。
一、層級分析法之決策特性：馮正明、李穗玲於「由決策習慣探討AHP 之評 估方法」【21】文中針對層級評析法之決策特性，之說明如下：
(一) 結構性：評估標的、基準的設定具有層級架構，將人之條列式決策 思考習性，組構成具有系統層級結構之思考架構。由上制下逐一計 算標的、準則間之重要度。
(二) 複雜得尺度：以九種尺度表達兩標、兩準則間彼此成對比較的評比 尺度，以此代表人類的選擇偏好可被切割係分成九種程度差異。
(三) 理性的成對比較：層級分析比較成對的處理過程，可使受訪者更合 乎理性，使選出之基準無邏輯上之錯誤。
(四) 加權平均值：以加權平均值整合不同決策者的認知，及平均決策者 對各基準之權重值。
三、層級分析法之基本假設：鄧振源、曾國雄於「層級分析法的內涵特性與 應用」【20】【27】文中針對層級分析法之假設提出共有九項，茲說明如 下：
(一) 一個系統可被分解成許多種類(Classes)或成分(Components)，並形成 有向網路的層級架構。
(二) 層級結構中，每一層級之要素間均假設具有獨立性(Independence) (三) 每一層級內的要素，可以用上一層級內的某些或所有要素作為評
準，進行評估。
A
B2
B1 B3
C5 C6
C4 C7 C8 C9
C2 C3
C1
方案 1 方案 2 方案 3
(四) 比較評估時，可將絕對數值尺度轉換成比例尺度(Ratio Scale)。
(五) 成對比較後，可使用正倒值矩陣處理。
(六) 偏好關係滿足遞移性(Transitivity)，不僅優劣關係滿足遞移性，同時 強度關係亦滿足遞移性(A 優於 B 二倍，B 優於 C 三倍，則 A 優於 C 六倍)。
(七) 由於偏好關係欲完全具備遞移性並不容易，因此容許不具遞移性的 存在，但須測試其一致性(Consistency)的程度。
(八) 要素的優勢程度，經由加權法則(Weighting Principle)而求任何要素只 要出現在階層結構中，不論其優勢程度是如何的小，均被認為與整 個評估結構有關，而並非檢核階層結構的獨立性。
四、層級分析法之操作步驟：
步驟一：界定評估問題與研究目的。進行層級分析法運作時，應該對於 問題所處之系統儘量詳加瞭解分析，將可能影響問題之因素均 納入問題中，同時決定問題之主要目標。
步驟二：建立層級架構。此階段依決策問題的整體目標、標的、評估準 則與替代方案以建立起整體決策完整關係的層級架構，如圖3.1 所示。
圖3.1 AHP 層級結構圖
而其在評估準則以及替代方案之產生可應用群體腦力激盪法、德菲法等 方法萃取出較重要之評估準則與替代方案，且每一層級中各評估準則之間具 有獨立性。在理論上，層級結構之階層數以及同一階層之元素個數，可依據 系統之需求定之，不過依照 Satty 建議為避免決策者對準則之相對重要性的 判斷產生偏差同一階層之元素數最好不超過七個。在進行部分研究時，常因 研究之特性與需要，可將此一類型之層級關係加以修正為具有部分關係之層 級結構，如圖3.2 所示。
圖3.2 AHP 層級結構圖(部分)
步驟三：建立各層級之成對比較矩陣。針對某層級之下要素間進行成對 比較時，應以上一層級所對應的要素作為評估基準，以進行要 素的成對比較。而成對比較是由評比尺度來表示，依 Saaty 建 議評估尺度可劃分為1 至 9 分的來做為決策者之主觀判定值，
層級分析法之評估尺度通常採用名目尺度(Nominal Scale)的形 式表示之，評估尺度基本劃分為五項即「同等重要」、「稍重要」、
「頗重要」、「極重要」、及「絕對重要」，並給予名目尺度1、3、
5、7、9 之衡量值；另有四項介於五個基本尺度之間的中間值，
並給予2、4、6、8 之衡量值，共九個評估尺度，層級分析之評 估尺度值與意義，如表 3.1 所示。若某一層級中共有 n 個準則 時，則決策者必須進行 n(n-1)/2 次的成對比較。成對比較所採 用的數值為 1/9,1/8,1/2,1,2,8,9，將要素比較結果的衡量置於成 對比較矩陣A 的上三角形部分，而下三角形部分的數值為上三 角形部分相對位置的倒數，即
ij
ji a
a = 1 且主對角線為要素自身 A
B2
B1 B3
C5 C6
C4 C7 C8 C9
C2 C3
C1
的比較值，故均為1，如下成對比較矩陣 A(3.4)所示：
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
. . . .
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
(3.4)
表3.1 AHP 評估尺度意義及說明
評 估 尺 度 相對名目尺度的定義 說 明
1 同等重要 兩比較方案的貢獻程度具同等
重要性；等強
3 稍重要 經驗與判斷稍微傾向喜好某一
方案；稍強
5 頗重要 經驗與判斷強烈傾向喜好某一
方案；頗強
7 極重要 經驗與判斷非常強烈傾向喜好
某一方案；極強
9 絕對重要 有足夠證據肯定絕對喜好某一
方案；絕強 2,4,6,8 相鄰尺度之中間值 須要折衷值時
步驟四：求解特徵向量與最大特徵值。為檢定成對比較矩陣A 是否符合 一致性與求得各準則的權重因此必須計算出特徵向量與最大特 徵值。Satty 提出(1)行向量平均值的標準化(2)列平均值的標準 化(3)行向量和倒數的標準化(4)列向量幾何平均值的標準化等 四種計算方法，以下將利用列向量幾何平均值的準化簡介特徵 向量與最大特徵值之求法：
假設成對矩陣
[ ]
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
=
nn n
n
n n
ij
a a
a
a a
a
a a
a a A
...
. . . .
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
(3.5)
則
S S W
S S
S S
n i
a a
a S
i i
n n in i
i i
/
...
...
2 , 1 , ) ...
(
2 1
/ 1 2
1
=
+ + +
=
=
×
×
×
=
所得之特徵向量即為相對應之權重，最大特徵值求法則是將成對比較矩 陣 A 乘上以求得之特徵向量 W，則得一新的向量，再求兩者之間的平均倍 數，即為最大特徵值。
步驟五：一致性檢定。當成對比較矩陣A 為正倒值矩陣時，對於決策者 在成對比較時能達到前後一致的情況是不容的，因此需要進行 一致性檢定，即利用一致性指標及一致性比率，來檢查決策過 程所構成的成對比較矩陣之一致性。然而就整個階層觀點而 言，亦應滿足一致性的要求，可以整個階層的一致性表示。其 一致性指標之定義公式如下：
(1) 一致性指標(C.I.)
) 1(
. 1
. max n I n
C −
= − λ (3.6)
當 C.I.=0 表示前後判斷完全具一致性；C.I.＞0.1 則表示前後判 斷不一致；一般當C.I.≤0.1 時，為可容許之偏差。
(2) 一致性比率(C.R.)：
C.R.=C.I./R.I
若C.R.≤0.1 時，則一致性程度達可接受的水準。
R.I.為評估矩陣的隨機指標(Random Index)，其值隨矩陣階數的 增加而增加。R.I.值如下表 3.2 所示：
表3.2 R.I.值
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 R.I. 0. 0. 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.59
(3) 整體一致性
∑∑
∑∑
= = +
= = +
= h j
n
i
j i ij h
j n
i
j i ij
ij ij
R W
U W R
C H
1 1 , 1
1 1
1 ,
.
. ，當 J=1 時，Wij=1 (3.7)
步驟六：整個層級權重的計算。各層級要素間的權重計算後，再進行的 計算。最後依各替選方案的權重，以決定終目標的最適替代方 案。若為群體決策時，各替代方案的權重可以加以整合。根據 以上各主要步驟的描述，層級分析法的處理程序如圖3.3 所示。
圖3.3 應用 AHP 的流程圖
規劃群體 問題描述
問卷設計
決策群體 問卷填寫
決策群體
影響要素分析
建構層級結構
建立成對比較矩陣
計算特徵值與特徵向量
求取一致性指標
求取各層級 C.I.綜合值
求取 H.C.R.值
替代方案加權平均
替代方案之選擇
C.R.<0.1
H.C.R<0.1
四、層級分析法應用之優缺點：
層級分析法之優點：依據 Saaty 的說明，建立層級結構具有以下的 優點：
(一) 利用要素個體形成層級形式，易於達成工作。
(二) 有助於描述高層級要素對低層及要素的影響程度。
(三) 對整個系統的結構面與功能面，能詳細的描述。
(四) 自然系統都是以層級方式組合而成，是一種有效的分析方式。
層級具有穩定性(Stability)與彈性(Flexibility)；也就是說微量的改變能成 微量的影響，同時新層級的加入，對依結構良好的層級而言，並不會影響整 個系統的有效性。