層級分析法

層級分析法（AHP）是美國匹茲堡大學教授薩帝（Thomas L. Saaty）於 1971 年擔任美國國防部應變規劃問題工作時所首創，其後於 I972 年為美國國家科學 基金會進行按產業對國家之貢獻程序以決定各產業所應獲得電力配額之研究，

1973 年又為蘇丹主持該國運輸系統之專案研究，之後 Saaty 與其同僚更將此方 法應用於行為科學，行銷管理及投資組合選擇等之論文。

AHP 法中問題的描述即在澄清決策所希望達成的目的，將複雜的問題予以 系 統 化 ， 並 將 問 題 的 各 個 考 慮 面 予 以 層 級 化 的 架 構 ， 由 於 層 級 架 構 (HierarchicalStructure)具有彈性、易於了解及合乎邏輯等優點，將問題描述建構 成層級架構後，透過量化的判斷，找出脈絡後加以綜合評估決定替代方案的優 先順序(Priority)，以選擇適當的方案，減少決策錯誤的發生機率，故有助於決 策者對於事物的整體瞭解。

AHP 主要是藉由層級結構的建立，將複雜問題簡單化，使決策者更容易做

出正確的決定。但AHP 的層級並不同於一般傳統的決策樹，它的每一個層級皆 表示對原問題的一個重要部分，建立層級的優點可歸納出以下幾點：【Saaty , 1980】

（一）很清楚的說明上一層內的各因子之優先權重發生變動時，將會如何影響 下一層內各因子的優先權重。

（二）將元素分成不同層級的集合，此法使整體評估易於達成且有效率，對整 個系統更詳細的劃分層級結構，以更深入的瞭解層級結構的目標。

（三）利用組合式結構系統組合成較具效率的層級分析因子。

（四）層級具有可靠性（Reliability）及彈性（Flexibility）；即局部的改變不會 影響整體的評估效率。

AHP 的主要功能在於決定多個變項間的相對重要性（即權重），除了求得 同級各個變項的權重分配數值外，另可測出所求得結果的一致性。多年來AHP 己有效應用於政策規劃、預測、判斷、資源分配以及投資組合等各方面，提供 建立系統化結構清晰的層級體系，並賦予相同層級中的不同要素指標相異但具 關連性的權重，從而提供決策者選擇與作決策判斷的依據，據以作出較佳的決 定。亦即，分析層級程序法能使錯綜複雜的系統，削減為簡明的要素層級；然 後以比例尺度(Ratio Scale)匯集各專家之評估意見，在各要素間，兩兩配對比較 而得到問卷的結果。如此一來，不僅可有效去除個人主觀的項目權重分配，對 於複雜度與更迭性高的定性或定量問題，皆能得到客觀的結論。

二、層級分析法的目的與假設

AHP 發展的目的是將複雜的問題系統化，並將此問題分成簡明的要素層級 系統，透過數量化的評斷，利用矩陣演算，求得各層級的優先度，再加以綜合 而成，主要是協助決策者順利剖析複雜問題以及制定決策。因此由鄧振源、曾 國雄(1989)，層級分析法(AHP)的內涵特性與運用，中國統計學報中指出使用 AHP 時有以下的基本假設：

（一）一個系統或問題可被分解成許多被評比的種類或成分（Components），

形成具方向性之網路的層級結構。

（二）層級結構中，每一層級的要素均假設具獨立性（Independence）。

（三）每一層級內的要素，可以用上一層級內的某些或所有的要素為基準，進 行評估。

（四）比較評估時，可將絕對數值尺度轉換成比例尺度（Ratio Scale）。

（五）成對比較（Pairwise Comparison）後，可用正倒值矩陣（Positive Reciprocal Matrix）處理。

（六）偏好關係滿足遞移性（Transitivity）。

（七）完全具遞移性不容易，因此容許不具遞移性質，但必須測試其一致性

（Consistency）的程度。

（八）要素的優勢比重，經由加權法則求得。

（九）任何要素只要出現在階層結構中，不論其優勢比重為多少，均被認為與 整個評估結構有關。

另外，在使用AHP 方法之前，使用者對執行之層級結構應該具備以下的幾 點認識：

（一）倒數對照特性（Reciprocal Comparison）：決策者在進行比較時，對於元 素喜愛的程度必須滿足倒數特性，若 A 比 B 的偏好程序是 a 倍，則 B 是1/a 倍偏好於 A。

（二）同質性（Homogeneity）：元素的比較必須是有意義的，並且在一個合理 的評估尺度內。

（三）獨立性（Independence）：元素間彼此間的比較必須假設相互獨立。

（四）預期性（Expectations）：為了完成決策目標，關係階層必須完整的描述，

在建構關係階層及相關準則，或是撰擇方案必須完整不能有所遺漏或忽 略。

三、層級分析法的應用範圍

根據 Saaty(1980)提出一套完整的方法論 (Saaty, 1980；Saaty & Vargas , 1982)，分析層級法的應用範圍廣泛，主要可應用於下列 13 種決策問題：

（一）決定優先順序 (Setting Priorities)

（二）產生可行方案 (Generating a Set of Alternatives)

（三）選擇最佳方案 (Choosing the Best Policy Alternative)

（四）決定需要條件 (Determining Requirements)

（五）依據成本效益制定決策 (Making Decision Using Benefits and Costs)

（六）資源分配 (Allocating Resources)

（七）預測結果-風險評估 (Predicting Outcomes-Risk Assessment)

（八）衡量績效 (Measuring Performance)

（九）系統設計 (Designing a System)

（十）確保系統穩定性 (Ensuring System Stability)

（十一）最適化 (Optimizing)

（十二）規劃 (Planning)

（十三）衝突解決 (Conflict Resolution)

四、層級分析法理論

AHP 考慮人類思考上的限制，先將複雜之問題逐層分解，並透過量化之判 斷，使決策者能脈絡分明地分析問題，以提供充分資訊給決策者選擇最適方案。

假設某一層級的要素 A1,A2,……….An，在上一層某一要素為評估基準下，

其每一要素的權重 W1,W2,….Wn，且已知。接下來建立成對比較矩陣（Pairwise Comparison Matrix），而矩陣的每一列是由單一要素的權重相對於其他要素的權 重之比例而成。此時，Ai與 Aj的相對重要度以aij表示，而要素A1,A2,….An的 成對比較矩陣A＝〔aij〕，若W1,W2,….Wn為已知時，則成對比較矩陣A＝〔aij〕

可寫成如下形式【Saaty , 1980】：

（二）矩陣 A 的所有元素均為正值，且滿足 aij＝1/ aji 則稱為正倒值矩陣

（Positive Reciprocal Matrix）。

（三）成對比較矩陣A 的秩（Rank）為 1，即 rank(A)＝1。因為每一列皆是第

中只有一個不為 0。同時 ⁿ

Trace ( A ) n ,

n

（1991）建議在一致性比率(Consistency Ratio, C.Ｒ.)

I

1.最高層級代表評估之最終目標。

2.儘量將重要性相近的要素放在同一層級。

3.層級內之要素不宜多，因為受限於人之因素，同時過多時，也會影響層級 之一致性。

而層級的結構圖主要分為兩種，一是完整層級(Complete Hierarchy)，表示 相鄰兩層的要素皆有關連；另一是不完整層級(Incomplete Hierarchy)，表示相鄰 兩層的要素不一定都有完整的關連。

（四）成偶比對評估：層級結構建立以後，即根據問卷結果或專家評估同層級 之各評估要素間的相對重要性。層級分析法之評比方式是以上一層級的 要素為基準，將同層級內之任兩要素對該上層要素之重要性或影響力兩 兩比較，可減輕決策者在思考時的負擔，更能清晰地呈現決策因素的相 對性。層級分析法係採用名目尺度為成偶比對之評估指標，其可分為九 個尺度如表2-4 所示:

表 2-4：層級分析法之評比尺度 A 因素與 B 因素之

相對重要性強度 定 義 說 明

１ 一樣重要 A 與 B 對該目標有相同貢獻 ３ 稍重要 評比者認為A 較 B 稍重要 ５ 很重要 評比者認為A 較 B 為頗重要 ７ 十分重要 對A 有強烈偏好，甚重要 ９ 極其重要 A 之重要性絕對凌駕於 B ２，４，６，８ 重要性介於此數之相

鄰兩數間

當需要折衷值時

上列數之倒數 在比較B 對 A 之相對 重要性

資料來源: Thomas, L. Saaty (1980) “The Analytic Hierarchy Process”

（五）建立成偶比對矩陣：成偶比對矩陣之建立是以每一層的評比要素作為基 準，並以其所屬之下一層的n 個評比要素，進行兩兩比較，形成成偶比 對的評估值，其所產生的C(n,2)=n(n-1)/2 個評估值 aij，即為成偶比對矩 陣（如：表 2-5 所示）中，主對角線右上方的元素值。將右上方之元素 值之倒數放置主對角線左下方相對位置中，並將主對角線上的元素數值 均設為1，則可得完整之成偶比對矩陣 A。

表 2-5：成偶比對矩陣

評比要素 A B C

A 1 2 3 B 1/2 1 2 C 1/3 1/2 1

資料來源：本研究整理

令aij=Wi/Wj，此處 W1,W2,‥．,Wn 代表層級中各要素對於上一層級中某 要素的相對權數。此時矩陣有兩個特點:

1.層級分析法的成偶對比矩陣為正轉置矩陣。

2.若專家評比時的判斷均非常完美精確，此時矩陣為一致性矩陣。亦即所 有比對值均滿足數學遞移律。

（ 六 ） 計 算 各 比 對 矩 陣 的 特 徵 向 量 (Eigenvalue Vector) 及 最 大 特 徵 值 (Maximized Eigenvalue) ：為了瞭解所建立的一致性，及各要素間的相對 權重，成對比較矩陣建立後，即可利用數值分析去求得特徵向量及最大 特徵值。

1.特徵向量之解法，Saaty (1982) 提出四種近似解法如下：

(1) ANC 法 (Average of Normalized Columns) －行向量平均值常態化 法：將各行予以常態化，再將常態化後之各列元素加總，最後除以各 列元素之個數。

(2) NRA 法 (Normalization of the Row Average) －列向量平均值常態化 法：將各列元素予以加總，然後再予以常態化後得之。

(3) NGM 法 (Normalization of the Geometric of the Rows) －列向量幾何 平均值常態化法：將各列元素相乘取其幾何平均數，而後予以常態化

特徵向量 (Eigenvalue Vector)

(4) 行向量和倒數的標準化：將各行元素予以加總，再求其倒數並予以

（七）一致性指標 (Consistency Index, C.I.) 與一致性比率 (Consistency Ratio, C.

Ｒ.) ：測定一致性之方法，首先先求成對比較矩陣之一致性指標 C.I.值 (consistency index) ，及一致性比率 C.R.值(consistency ratio)。因為實務 上 aij 項有小量的變動，則λmax 將隨之小量的變動，因此λmax 與 n 之差值可做為矩陣一致性之評量。此處(λmax-n)/(n-1)所得之值稱為一 致性指標(consistency index)，乃 AHP 法用來衡量評估者之判斷過程是否 合乎一致性的指標，即C.I.=(λmax-n)/(n-1) （Saaty , 1980）。而相對於

一致性指標 C.I.，由隨機產生的倒值矩陣之一致性指標稱為隨機指標 R.I.(random index)，其值將隨矩陣階數的增加而增加。

利 用 表 2-5 之 R.I. 值 ， 可 求 得 一 致 性 比 率 C.R.(consistency ratio) ， 即 C.R.=C.I./R.I.。AHP即利用C.R.值來衡量成對比較矩陣的整體一致性，其C.R.值必 須小於0.1才是可接受的一致性水準。如果C.R. 值大於0.1，即表示專家判斷具有 隨機性，必須考慮重新評估或修正。

此外，隨機產生的正倒值矩陣的一致性指標稱為隨機指標 (Random index) R. I.，Saaty 求出與階數相對應的隨機指標如表 2-6：

表 2-6：n 階正倒值矩陣的隨機指標值表

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 R.I. 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51

資料來源: Thomas, L. Saaty (1980) “The Analytic Hierarchy Process”

（八）計算整體層級的總優先向量：整體層級之一致性若達到可接受的水準

（八）計算整體層級的總優先向量：整體層級之一致性若達到可接受的水準