像 15,8,17这
18.1 平 行 四边形
平行 四边形是常见的图形。小区的伸缩门、
护栏等 (图
18.11),都
有平行 四边形的形象.庭 院的竹篱笆、载重汽车的防 你还能举 出一些例子吗?
我们知 道
,两
组 对 边 分 别 平 行 的 四边 形 叫 做平行四边形 (mrallel○gram)。 平 行 四 边 形 用“口”表示
,如
图18.1乇,平
行 四边形ABCD记
作 “口
'⒋BCD” 。
18.1.1
平 行 四 边 形 的 性 质由平行四边形的定义
,我
们知道平行 四边形的两组对边分别平行.除
此之 外,平
行 四边形还有什么性质呢?探究
根据定义 画一个平行 四边形
,观
察 它,除
了 “两组对边分别平行” 外,它 的边之 间还有什么关系
?它
的角之间有什么关系?度
量一下,和
你 的猜想一致吗?通过观察和度量 ,我 们猜想
:平
行 四边形的对边相等;平
行 四边形 的对角 相等.下
面我们对它进行证明.图18。 ⒈1
图18.⒈2
第十八章 平行 四边形 41
上述猜 想涉及 线 段 相 等 、角 相 等。我 们 知 道, 利用三角形 全 等 得 出全 等 三 角 形 的对 应 边 、对 应 角都 相等
,是
证 明线 段 相 等 、角 相 等 的一 种 重 要 的方 法 。为 此,我
们 通 过 添 加 辅 助 线,构
造 两 个 三 角形,通
过 三角形全 等进行证 明。证 明
:如
图 18.⒈3,连
接AC.∵
AD∥ BC,AB∥ CD,
∴
z1=z2,z3=z4。
又
AC是 AABC和
△CDA的
公共 边,∴ △
ABC≌
△CD⒋。∴
AD=CB,AB=CD, zB=zD。
请 同学们 自己证 明
ZBAD=zDCB。
这样我们证 明 了平行 四边 形具 有 以下性质: 平行 四边 形 的对边 相等;
平行 四边 形 的对 角相等.
例
l
如 图 ⒙.14,在
□Λ∝D中 ,□
⒐L留
, BF⊥∞,垂
足分别为 E,F。 求证 '怔 =CF。证 明:∵ 四边形
ABCD是
平行 四边形,∴
zA=zC,AD=CB。
又
zAED=zCFB=90°
,∴ △
ADE≌
△CBF。∴
AE=CF。
不 添 加 辅 助 线,你能 否 直接 运 用平行 四边 形 的 定 义,证 明 其 对 角
相 等?
已知 平 行 四边 形 一 个 内 角 的 度 数,你能确 定 其 他
内角的度数 吗?
图 18.⒈4
距离是几何中的重要度量之一。前面我们 已经学习了点与点之间的距离、
点到直线的距离。在此基础上
,我
们结合平行 四边形 的概念和性质,介
绍两条 平行线之间的距离。如图 18.15,色 ∥乙,c∥歹
,c,J与
ε,乃 分别相交于A,B,C,D四
点. 由平行四边形 的概念和性质可知,四
边形ABDC是
平行 四边形,AB=CD。
也就是说
,两
条平行线之间的任何两条平行线段都相等。图 18.⒈3
42 第十八章 平行四边形
图 18.⒈5
两条 平 行 线 之 间的距 离和 点 与 点 之 间的距 离、点 到 直线 的距 离有 何 联 系与 区别?
从上面的结论可以知道
,如
果两条直线平行,那
么一条直线上所有的点到 另一条直线的距离都相等。两条平行线中,一
条直线上任意一点到另一条直线的 距离,叫做这两条平行线之间的距离。如图18。 ⒈6,况 ∥D,A是
ε上的任意一 点,AB⊥
乙,B是
垂足,线
段AB的
长就是 Ω,乙 之间的距离.2.
1. 在E啖
BCD中
,(1)已知
AB=5,BC=3,求
它的周长;(2)已知ZA=38° ,求其余各 内角的度数。
如 图,剪 两 张对边 平行 的纸 条,随意 交 叉 叠放 在 一起, 重合 的部分构成 了一个四边形.转动其 中一张纸条,线段
AD和
BC的长度有什 么关 系?为什 么?上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质
,下
面我们研 究平行四边形对角线的性质。探 究
如 图 18。
l-7,在
口ABCD中 ,连
接AC,BD,
并设 它们相 交于 点
O,OA与
∝,OB与 OD有
什 么 关系?你
能证 明发现 的结论 吗?我们猜想 ,在
J~ABCD中
,Ω⒋=OC,OB=OD。
与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似
,我
们也可以通过三图 18.⒈7
第十八章 平行四边形 43
角形全等证明这个猜想。请你结合图18。 ⒈8完 成证明。
由此我们又得到平行 四边形的一个性质: 平行四边形的对角线互相平分.
图 18,⒈ 8