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08.ˉ ^{ˉˉˉˉˉˉˉˉˉˉ} θ6ˉ ˉˉ.

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人 底垓席 瘀磁 姓

义 务 教 育 教 科 书

丿

`4F ^{下 册}

主 编:林 群

副 主 编:田载今 薛 彬 李 海 东 本册 主编:李龙 才

主要 编 写人 员:章建跃 俞 求是 张劲 松 田载今 王 嵘 吴 增 生 王华 鹏 王万 丰 李 昌官

责任 编辑:张唯一 美 术 编辑:王俊宏 封面设计 :吕 曼 王俊宏

插

图:王俊宏 文鲁工作室 ^(封面)

义务教育教科书

数 学

八年级 下册

兮 愆 串 忍 编 著

'大 底 珈 '“

〃 社 出版发行

(北京市海淀区中关村南大街 17号 院 1号 楼 由阝编:100081) 网址 :hup仲 明w`,pep com.cn

江苏凤凰 出版传媒股份有 限公 司经销 江 苏 省 高淳 印刷 股 份有 限公 司 印装 开本:787毫米 ×1092毫米 1/16 印张:9 字数:170千 字

⒛13年9月 第 1版 2013年 ⒓ 月第 1次 印刷 IsBN978-7-107-27221-9 定 价:8.51元

著作权所有 ・请勿擅用本书制作各类 出版物 ・违者必究 如发现印、装质量问题,影响阅读,请与承印厂联系调换。

(联系地址:南京市高淳区双高路 178号 邮编:211300 电话:∞孓5788980s)

本册 导 引

亲爱的同学

,新

学期开始 了。

摆在你 面前 的这本 书

,是

我们根据 《义务教 育数 学课程标准 (2011年 版)》 编写的教科书的八年级下册。现在我们一起来看看这本书的内容。

我们 已经学过整式与分式

,知

道实际问题 中的很多数量关系可以用它们表 示。本册我们再来学习 “二次根式”。掌握二次根式的内容

,我

们就 能够解决 更多的数量关系问题。

三角形 中还有许多奥秘等着你去探究。你知道直角三角形的三条边有什么 关系吗

?请

你到 “

勾股定理”

中去探 索。在探 索的过程 中

,你

会 由衷地感叹数 学的美妙与和谐。

在我们生活的世界随处可见平行 四边形的身影

,各

种各样 的平行 四边形装 点着我们的生活

,给

我们带来美的感受。一般的平行 四边形与特殊的平行 四边 形—— 矩形、菱形、正方形之间有什么联系和 区别

?它

们有怎样的性质

?通

过

Ⅱ平行四边形”一章的学习

,你

会对这些问题有更深的认识。

我们生活在变化的世界 中

,时

间的推移、人 口的增长、水位的升降……变 化的例子举不胜举,函 数将给你提供描述这些变化的一种数学工具。通过分析 实际问题 中的变量关系

,得

到相应的函数

,你

就能利用 它解决非常广 泛 的问 题。学习了 ¨一次函数”

,你

_{会对这些有所体会。}

我们 已经 了解 了一些数据处理的基本方法

,看

到统计在现代生活中扮演着 越来越重要的角色。“

数据的分析”

将引导你进 一步学习数据处理的方法

,比

如如何分析数据的集中趋势

,如

何刻画数据的离散程度等。通过一些有趣的调 查活动

,你

会对数据的作用有更深刻的认识

,对

用样本估计总体的思想有更多 的体会。

数学伴着我们成长、数学伴着我们进步、数学伴着我们成功

,让

我们一起 随着这本书

,继

续畅游神奇、美妙的数学世界吧!

目

第十六章 二 次根式

16.1 二 次根 式

16.2

二 次根 式 的乘 除

16.3 二 次根 式 的加 减

阅读与思考 海伦一秦九韶公式 数 学活动

小结 复 习题 ¹⁶

第十七 章 勾股 定理

17.1

_勾股定理

阅读与思考 勾股定理的证明

17.2

勾股 定理 的逆 定理 阅读与思考 费马大定理 数 学活动

小结 复 习题 ¹⁷

2 6 12 16 17 18 19

22 30 31 35 36 37 38

第十八章 平行 四边形

18.1 _{平行 四边 形}

18.2

特 殊 的 平行 四边 形

实验与探究 丰富多彩的正方形 数 学活动

小结 复 习题 18

第十九章 一次函数

41 52 63 64 66 67

71 85 86 101 102 105 106 107

19.1 函 数 阅读 与 思考

19.2 一 次 函 数 信_`急技术应用

19.3

_{课 题 学 习} ∷ 数 学 活动

小结 复 习题 19

科学家如何测算岩石的年龄

用计算机画函数 图象 选择 方 案

第二 十章 数据 的分析

⒛。

1

_{数据的集中趋势}

⒛。

2

_{数据 的波动程 度}

阅读与思考 数据波动程度的几种度量

⒛。

3

课题 学 习 体质健 康 测试 中的数据 分析 数 学活动

矽l、结 复 习题 ²⁰

部分 中英文词汇索引

1

4

9

1

4

5

6 1

2

2

3

3

3

3

°

°

°0

第十六章 ^{二 次根 式}

电视塔越 高 ,从 塔 顶发射 出的 电磁 波传播 得 越远 ,从 而能收看到 电视 节 目的 区域就越广。电视 塔 高 九

^(单

位 :km)与 电视 节 目信 号 的传播 半径

r(单 位 :km)之 间存在近似关 系 r=√

2R九

,其 中

R是 地球半径 ,R≈ ^6幻

^{O km。}

如 果 两个 电视塔 的 高分别是 九 1km,九 2km,那 么它们 的传播 半径之 比是 芸雾雾乒 你能将这个式子化 简吗

?

化 简这个式子需要二次根 式的有关知识。我们

学过整式的运算 、分式的运算。如何进行二 次根 式

的运算呢 ?这 就是本章要 解决的主要 问题。通过本

章 学习 ,可 以为后 面的 勾股 定理 、一元二 次方程

等 内容 的学习打下基础。

16.1二 _{次根 式}

思考

用带有根号的式子填空

,看

看写出的结果有什么特点^:

(1)面积为 3的 正方形 的边长为

____,面

^积为

^S的

^{正方形 的边}

长为

^。

(2)一_{个长方形 的围栏}

,长

是宽 的2倍

,面

积为

130m2,则

它的宽 为

m.

(3)一个物体从高处 自由落下

,落

到地面所用 的时间 莎^(单位

:s)

与开始落下时离地面的高度 九^(单位

:m)满

足关系 九^=5莎2。 如果用含有 九的式子表示彦

,那

么 彦为

^。

上面问题的结果分别是溽

,溽 ,洒 ,√

_罾

,它

们表示一些正数 的算术 平方根。

我们知道

,一

个正数有两个平方根

;0的

平方根为

0;在

实数范 围内

,负

数没有平方根。因此

,在

实数范围内开平方时

,被

开方数只能是正数或^0。

一般地

,我

们 把 形 如 √

7(a≥ O)的

式 子 叫 做 二 次 根 式 (qtladratic

radical),γ~”

称为二次根号。

例

1

_当

r是

_{怎样的实数时}

, 2在

实数范围内有意义^? 解:由

J-2≥ 0,得

J≥^2。

当r≥2时,√

/J-2在

实数范围内有意义^.

思考

当

J是

_{怎样 的实数时},√

t2在

_{实数范围内有意义}?√

t3呢

?

2 第十六章 二 次根式

I 1.要

_{画一个 面积 为} 18cm2的_{长 方 形},使它的 长 与 宽之 比为3:2,它 的长 、宽各 应

‘

I

_{取 多少?}

| 2。 当 色是 怎样 的 实数 时,下列各式在 实数 范围内有意义?

| (1)√

′ Ω -1; (2)√

2Ω+3;

` (3)√

t石

; (4)/5_Ω 。 '

当 Ω

)O时

,√

t表

_{示 Ω的算术平方根}

,因

此 √

t)0;当 c=0时

,γ厅 表 示0的_{算术平方根}

,因

此√t=O。 这就是说

,当

^c≥O时,√

t≥

^O。

探究

根据算术平方根的意义填空^:

△厅 )2=___ˉ

;(√

7)2=___ˉ

;

卩 =~晌 ^饪 _~.

洒 是 4的 算术平方根

,根

据算术平方根的意义

,洒

是一个平方等于 吐的 非负数。因此有“D2=4。

同理

,柜 ,樗 ,雨

_{分别是 ⒉ 告}

,0的

算术平方根。因此有 ⒄

2=⒉

晤

^)2=告

^{,雨 y乱}

一般地^,

臼t)2=c(Ω≥^O)。

例

2

_计算:

(1)(√π

)2; (2)(2Ⅳ

f歹 )2。

解:(1)〔湎 )2=1.5;

(2)(2γ丐)2=22× 臼

t)2=4×

^5=20。

第十六章 二次根式

3

探 究 填 空^:

/7=____,v巧 =F=

厣 =~;雁

溜 ^=⒉ 硕 Γ ^F=⒍ △陌 ^=ξ

^,

一般地

,根

据算术平方根的意义^,

石

7=ε

^(Ω≥^o)。

例

3

_化简^:

(1)√π

; (2)v/(-5)2。

解

:(1)/两 =淫

^=吐;

(2)√

(-5)2= =5。

回顾我们学过的式子

,如

^5,Ω

,c+D,一

汕 ,÷^, 们都是用基本运算符号 ^(基本运算包括加、减、乘、除、

数的字母连接起来的式子

,我

们称这样的式子为代数式

√犭^2=O。

—

J3,雨 ,沥

Ω≥O),它 乘方和开方

)把

_数或表示

(algeb1fI彐Lic expresslon)。

1.计 算^:

(D雨

)2;

2.说出下列各式的值^:

(1)胛

_;

(3)—^ˇ

/′(—π_)2;

(2)(3沔_)2。

4

第十六章 二次根式

’

~

复 习巩 固

1.当 夕是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?

(1)√′

c+2;

(3)√飞厉;

2,计算^:

(D⒃ )2; (2) ^(0(5溽

^)2;

⑸收一 ⑼ %⑹ _←

⁷

3.用 代数式表 示^:

(1)面_积为S的_圆的半径;

(2)面_{积 为}S且_{两条邻边的比为}2:3的长方形的长和 宽。

4.利 用 α=臼t)2(Ω≥0),把下列非 负数分别写成一个非 负数 的平方的形式^:

(1)9; (2)5; (3) 2.5; (4) 0,25;

⑸ :;⑹ ^⒐

综 合 运 用

5.半径为r crn的圆的面积是,半径为2cm和 3crn的 两个圆的面积之和。求 r的 值。

6,△

ABC的

面积为

12,AB边

_上的高是

AB边

长的4倍_。求

AB的

长^. 7,当 ￡是怎样的实数时,下列各式在 实数范围内有意义?

⑴〃

^+△

⑵洳 D%⑶ _{茌孓 ⑷浩 ・}

8,小 球从 离地面为九^(单位:⑹ 的高处 自由下落,落到地面所用的时间为 莎^(单位:Θ^. 经过实验,发现 九与 莎2成 正比例关系,而且 当 九=⒛ 时,彦=2,试用 九表示 莎,并

分别求当凡=10和 九=25时 ,小球落地所用的时间^. 拓 广 探 萦

9,(1)已知√′

18—″是整数,求自然数 ″所有可能的值;

(2)已_知√^′_{24饣是整数},求正整数 彳的最小值。

10.一 个圆柱体的高为10,体积为^y。 求它的底 面半径r(用 含y的_{代数式表 示),}

并分别求当V=5π,10π 和 ⒛π时,底面半径r的大小^.

樗

^)2;

^←引

^(8)一

第十六章 二 次根式 5

16.2二 _{次根式的乘除}

由算术平方根的意义

,沔 ,褥 ,拒 ,…

都是实数。当 Ω取某个非负数值 时,√

t就

是非负数

a的

_{算术平方根}

,也

是一个实数

.这

_{类实数 的运算满足怎} 样的运算法则呢

?我

们该如何进行二次根式的加 、减 、乘 、除运算呢?

下面先探究二次根式的乘法法则。

探究

计算下列各式,观察计算结果

,你

_{能发现什么规律}?

(D√

_{t× √}

t= ,^/′

4×

9=~;

(2)√t6× √勹

5= ~,√

^16×

25=____;

(3)√勹5×/丽

= ,√

^25×

36=

一般地

,二

次根式的乘法法则是

√^t・ γ厉

=诌

石 ^(Ω≥^O,乙≥^0)。

⑵樗× 沥

^.

⑵樗Ⅺπ ^=茯 盯丌 ^=沔 姑

把√t・ _沥

=诫

_{石 反过来}

,就

得 到

√π

=沥

・沥 ^,

在本章 中,如果 利用 它可 以进行 二次根 式 的化 简 。

没有特 别说 明,所 有

的字母都表示正数^. 例

l

_计算:

(D√

_t×

;

6 第十六章 二 次根式

例

2

化简^:

(D√

16×

81; (2)Ⅳ

^/4c2D3。

解:(1)√^{′16×81=Ⅳ}π ×√π =4× 9=36;

(2)v/dε^2乙

3=洒

_・

_/'・

_√歹

=2・ _Ω・√^′D2・ D

=‰

而^2・ 沥

=2c汪历。

例

3

_{计 算}:

(1)Ⅳ巧Ⅱ×√7;

(2)3朽

_×2硕O;

被 开方数 妩233含 4,色

2,'这

_{样 的 因数}

或 因式,它们被 开方后 可以移到根 号外,是开 得尽方的因数或 因式。

本 章 中根 号 下含 有字母 的二 次根 式 的 化 简 与 运 算 是 选 学

内容。

⑶酒⒎√ %.

解

:(1)v顸

X厅^〓w′^1吐×7η历吓刁

=v7x沥

=‰

伢;

(2)3√t×2√

tO=3×

2v/5× 1O=6√52×2

=6/歹 _×沥

=6× 5萜

=3%伢

;

⑶厢

"厚

石 ^=宀 ・ _{:刀 =石} 万

=y'・ _汀

=￡

汀 。

'(III:::I::】^II)

计算^:

(D萜

_{×褥 ;}

⑶貂议樗

^;

化 简^:

(1)√^′_{49× 121;}

(D^/t;

2.

3.一个长方形的长和宽分别是/而 和^2Ⅳ伢.求这个长方形的面积。 ^{` ,''}

第十六章 二次根式

探 究

计算 下列各 式^,

(1)争

_一 ,

(3)i隽

詈=—_——

你能发现什么规律?

⑵镖 ^=~,摆 =~

一般地

,二

次根式 的除法 法则是

沥 (ε≥0,D)0)。

⑴箐 ; _{⑵樗÷ 渑・}

解 ^:⑴ 箬 ^=谔 邦 ^=洒 劝 ^9轭

^;

利用它可以进行二次根式的化简。

√ 孑 ^{=鲁 G≥} ⒐乙 ^>ω

^,

⑵樗

^.

例

5

_{化 简}:

⑴诂需

^;

濉⑴诂髡喘 ^<吕

⑵樗刊啜 爿鬃 ^=:.

8

第十六章 二次根式

⑴掊 ^; ⑵筹 ^; ⑶携・

解 ^:⑴ 解 法⒈争樗飞厚拜 ^{=樗 =窘 =雩} 觥⒉掊镱争罟 ^=譬 ・

⑵筹可导攴 F抵

一 锷一 名 ^0隽 一 唔・

⑶携 =黠 ^{=誓 =竽 ・}

观察上面例 ^4、 例 ^5、 例 6中_{各小题 的最后结果}

,比

如

2滔 ,嚅 ,垫

^互

等

,可

以发现这些式子有如下两个特点^:

(1)被

_{开方数不含分母}

;

(2)被

开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

我们 把满 足上述 两个 条 件 的二 次根 式

,叫

做 最 简 二次 根 式 ^(⒍mplest

quadratic radical)。

在二次根式的运算 中

,一

般要把最后结果化为最简二次根式

,并

且分母 中 不含二次根式。

例

7

_{设长方形的面积为}

S,相

_{邻两边长分别为 己},D。 已知

S=2擂

,乙

=

/面 ,求

Ω。

解

:因

_为

S=cD,所

以

S 2褥 2滔

×硕

o

雨^o

Ω

=丁

=而

飞石

^;×

√ π 5・

第十六章 二 次根式 9

现在来看本章引言中的问题。

如果两个电视塔的高分别是 九

1km,

√^2R九1。

这个式子还可以化简^:

√^2R九

1

√冢 ・√玩

1

√冗¹

√^2R九

2

√冢 ・√冗 √冗 我们看到

,这

个 比与地球半径无关。

出比值。

九

2km,那

么它们 的传播半径之 比是

√π ・√砺 √九^1九2

√冗 ・√冗 九2・

这样

,只

要知道 九1,九

2,就

可 以求

1.

⑴滔韶 ;⑵ 嚅 弘 ⑶历÷ 湎 ;⑷

把 下列二 次根 式化 成 最 简二 次根 式^:

⑴沔 ;⑵ ^{颅 ;⑶ 丙丐} ;⑷ _浮

3.设长方形 的面积为S,相邻 两边长分别为 夕,乙。已知S=16,3=√

t0,求

伤,

°乙

复 习巩 固 1,计 算^:

(1)√24×_√勿 ;

(3)√t8×√勹万×

;

2.计 算^:

(D√_{π ÷溽 ;}

3,化简^:

(1)√_厕

; (2)√

^勹石σ;

4.化简:

⑴ ;⑵ _碚 ;⑶ 男 箐

^;

10 第十六 章 二 次根式

⑶茌豇

⑴∶ ∶

^i∶

∶

^|;;;i∶

∶ ;⑸

i|;}i:;||∶|∶

;

⒌ 根 据 下列条件 求代数 式二生

L篑

_{≡≡≡ 的值}

:

(1)a=1,乙_=10,‘ =-15;

(2)n=2,D=-8,‘

_=5.

综 合 运 用

6.设_{长方形 的 面积 为}S,相邻 两边 分别 为 α,乙^.

(1)已_{知 夕='√愆,3=^√勹}2,求 S;

(2)已_{知 Ω}

=2 ,沙

=、盈 ,求 S.

7.设正 方形 的 面积 为

S,边

长 为 Ω^,

(1)已_知

S=50,求

Ω;

(2)已_知 S=242,求 ^a,

8,计算:

(1)汀

I×_√

t6;

⑶男箐× 擂

^;

⑵

_vf军

× 樗

^;

(4)v巧_{7× √tσ÷√t.}

⒐ 已矢踊 ≈ ⒈

414,气

^∫

雩 与褥 的近似值^,

10.设长 方形 的 面积 为S,相邻 两边 长分 别 为 曰,D.已^知S=4√t,曰=√

t5,求

沙.

11.已知 长 方体 的体 积

V=帆

厅,高 ^九=3拒 ,求它的底 面积^S.

拓 广 探 索

^加

12.如 图,从一个大正 方形 中裁去 面积 为 15cm2和24cm2自勺两 个 小正方形,求留下部分的面积。

13,用 计算器计算^:

(1)ˇ巧×9+19; (2)/99× 99+199;

(3)^ˇ^/′999×999+1999; (4)√^′9999× 9999+19999.

观 察 上 面 几 题 的 结 果,你能 发 现 什 么规 律?用 你 发 现 的 规 律 直 接 写 出 下 题 的 结果^:

(第 12题)

刀个9

第十六 章 二 次根式 ll

16.3二 _{次根 式的加减}

问题 现有一块长为 7.5dm、 宽为

5dm的

木板

,能

否采用如 图

16.31的

_方式

,在

这块木板 上截出两个面积分别是

8dm2和 18dm2的

_正方形

木板^?

因为大、小正方形木板 的边长分别为

/丙 dm

和洇

dm,显

然 木 板 够 宽。下 面 考 虑 木 板 是 否 够长。

由于两个正方形的边长的和为^(洇

+/丙

)dm。

这实际上是求溽

,/丙

这两个二次根式 的和

,我

们可以这样来计算^: 洇

+/两

=2萜 +3柜 (化

成最简二次根式⁾

=(2+3)沔 (分

配律⁾

=5√2。

由扼

<1.5可

知^{5^沔}

<7.5,即

两个正方形 的 边长的和小于木板 的长

,因

此可 以用这块木板按 要求截出两个面积分别是

8dm2和 18dm2的

_正方

形木板。

在 有 理 数 范 围 内 成 立 的 运 算 律,在 实 数 范 围内仍 然成立^.

分析上面计算溽+√π 的过程

,可

以看到

,把

洒 和√π 化成最简二次根式 2沥_和3萜后

,由

于被开方数相同 ^(都是

2),可

_{以利用分配律将}2^沔和3萜_进 行合并。

一般地

,二

次根式加减时

,可

以先将二次根式化成最简二次根式

,再

将被 开方数相同的二次根式进行合并。

图16,31

12 _第十六章 二次根式

1 )

・

・

)

例

0解

⑿

计算^:

√丽 一√π ^;

(2)J死

_{+√25Ω 。}

(DJ丽 _一拒

5=吐

福 -3溽 =福

;

√ 匆ε +/死 万

=3、

厉

_+5√

t=8√

t。

例

2

计算^:

(1)2√

t2-6 +弘

砸8;

(2)(雨

2+/丽 )+(滔

一溽 ^)。

解 ^{:⑴ 2沔} 刊樗扪洒

=⒋

厅 一h厅

+1纨

厅

=1⒋

厅;

(2)(硕 2+雨

ω

+(擂

一茯

0

=h厅 +纨

厅+γ厅一沔

=弘

^{厅+Ⅳ丐。}

比较 二 次根 式 的加 减 与 整 式 的加 减,你能得 出什 么 结 论?

擂 与福 能 合 并吗?

0

下列计算是否正确?为什么?

(D√t—_√t=v/′8-3;

(2)√T+√

t=厢

;

(3)弘_历一倌

=2

。 计算^:

(D‰

_{厅—帆厅;}

(2)厢

_{一沥 +栌}

L

(3)√

t8+G俪

一√勹7);

⑷栩 +湎 》 _W丁 刊㈡。

如图,两个圆的圆心相 同,它们的面积分别是1z.“和 ⒛^.

求圆环的宽度dC9r取 ^3。⒕,结果保留小数_`点后两位^{)。 (第} 3题)

第十六章 二次根式 13

例

3

计算^:

(1)(洇

_+≮

0×

沉

; (2)(4沥 -3沉

)÷2沔。 解

:(1)(洇 +沔

^)×沉

=溽

×沉

+溽

×沉

=√′

8×6+√′

3×6

=蜘 t+弘

历;

(2)(⒋_{历一弘厅)÷纨历}

=⒋

历÷纨历一弘厅÷‰伢

=2一 号 Ⅳ ∈ ・

例

4

计算^:

(1)(萜 +3)( -5); (2)(沔 +滔

×溽 一≮^0。

解

:(1)(沥 +3)(沔 -5)

=(^√7)2+3√7— %伢

-15

=2_‰

历

-15

=-13-2√

2;

(2)(溽 +滔

×朽 一≮勋

=臼

t)2一 臼t)2

=5-3

=2。

例

3(D运

用 了 分 配律^,

例4(1)用 了多项 式乘法法则, (2)用 了 公式^(夕+3)(伤 一

D)=

'一^乙

2。

在 二 次根 式 的 运 算 中,多 项 式 乘 法 法 则 和 乘 法 公 式 仍 然 适用。

1. 计算^:

(D萜

_{欲 「+栌勋};

(3)(褥_+3)臼t+2);

计算^:

(1)(4+√7×

4_/0;

(3)wt+2)2;

(2)臼_丽

+/面

)÷溽 ;

(4)w石_+诏、wt一诏⒉^)。

(2)臼

t+沥

×√t一_雨η;

(4)(2溽_一诏、^2。

14 _{第十六章 二次根式}

复 习巩 固

1.下 列计算是否正确?为什么^? (1)√_2+'√t=√E;

(3)3^√2—√

2=3;

2.计_算^:

(D2、_{/π 、}

J;

⑶号湎邾栌孓

3.计 算^:

(l)ˇ/π—_'/刃

+萜 ; (2)

(s)G硒

5+丙

8)一 臼π一丙 ^2歹

); (4)

4,计_算:

(DG/π

_+弘愿)溽;

(3)(%厅 +‰厅)2;

综合 运 用

(1)J2+2Jy+丿^2; (2)r2—_~,l2.

(2)2+'√’=h厄 ;

(4)Z≡

告 卫 ^E=褥 一 拒 ^=3-2=1.

⑵沲一 √ 窍 ⒎

(4)′_{√娇 +3曰}v/′5oΩ3,

,一 4亠

:(萜^+≮

η寻

^{(萜 +√}

π

^)・

(纨厅+弘砑׉厅 一弘厄^);

G掏

恧 →沉

^)÷

沔・

⒌ 已韬 ≈⒉

"⒐ ^求

5樗

^—_导/手

+/丐

的近似值 6,已 知J一沔+1,丿

=溽 -1,求

下列各 式的值^:

(结果 保 留 小数 ‘点后 两位),

A

(第 7题)

7.如图,在 ^Rt△

ABC中

,zC=90°

,CB=G⒋

^=Ω,求

AB的

长^. (提示:作^出

AB边

_{上 的 高},借助△

ABC的

面积 求解^,)

拓广探 索

⒏ 已知 a|l=/面 ,求^色一

÷的 值,鼷 示:利用

← ÷)2与0+÷ y铡 _{的 关 钔}

伤

9,在下列各方程后面的括号 内分别给 出了一组数,从中找 出方程的解^: (1)2￡2-6=0,

⑴t,√t, —√t, 一砍”^;

,-5—‰厅^)・

‰厅,5~‰^厅

,-5+纨

^厅

(2)2←+5)2=24,(5

第十六章 二次根式 15

海伦

^-秦

九韶公式

如果一个三角形的三边长分别为 色

,3,c,记 p= ,那

_{么三角形的面积为}

S=~//p(p_Ω )(p-3)(夕一c)・

'①

古希腊的几何学家海伦 ^(Her。n,约公元50年),在数学史上 以解决几何测量 问题而 闻名.在他的著作 《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这_{一公式称为海伦公式。}

我国南宋时期数学家秦九韶 ^(约 1202一 约1261),曾提 出利用三角形的三边求面积的 秦九韶公式

卜√÷ ^Lγ — (呷

_)η

^{・ ②}

下面我们对公 式②进行变形^:

√ ÷ Dγ —

_(Z凵

吃 齐 二 兰

)η

刹咭㈥℃

^(≡

凵 ≈ 笋 二 兰

)2

=√(:Ω3+望

凵 ≈ ε 二 兰

)(:Ω

a~屮

₎

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是 同一个公式,所 以戬们也称①为海伦^-秦九韶公式^.

如 图1,在△ABC中 ,BC=4,AC=5,AB≡ 6,请你

用海伦^-秦九韶公式求△浊BC的面积。

图 1

=√p(p—曰)(p-3)(p—^c)。

16 _第十六章 二次根式

数 学 活 动

书籍和 纸 张的长与 宽都 有 固定 的尺 寸

,常

用纸 张 的规 格 由下 列 两个表 给 出:

A型 mm× mm B型 mm× mm A5

A4 A3 A2 A1

148〉《210 210× 297 297× 420 420× 594

594〉《841

B5 B4 B3 B2 B1

182×257 257× 364

364〉《515

500〉《707 707×1000

(1)使

用计算器求出各规格纸张长与宽的比值

,你

有什 么发现

?各

^规

格纸张的长与宽的比有什 么关系^?

(2)测量教科书与课外读物的长与宽

,看

看它们的长与宽的比是否也 有类似确定的关系^?

做 一 个底 面积 为

24cm2,长

_{、宽 、 高的 比为}

4:2:1的

长 方体

,并

回 答 下列 问题^:

(1)这

个长方体 的长 、宽 、 高分 别是 多少^?

(2)长

方体 的表 面积是 多少^?

(3)长_{方体 的体积是 多少?}

第十六章 二次根式 17

'l、

-、

本章知识结构 图

二次根式 的乘除

二 、 回顾 与 思 考

本章在数的开方知识的基础上

,学

习了二次根式的概念、运算法则和加减 乘除运算。

对于二次根式

,要

注意被开方数必须是非负数。在二次根式的运算和化简 中

,要

利用运算法则。二次根式的加减法与整式的加减法类似,只要将根式化 为最简二次根式后

,去

括号与合并被开方数相同的二次根式就可以了。二次根 式的乘法与整式的乘法类似,以 往学过 的乘法公式等都可以运用。二次根式的 除法与分式的运算类似

,如

果分子分母 中含有相 同的因式

,可

以直接约去。

至此

,我

们 已经学习了整式 ^(单项 式、多项式^)、 分 式、二次根式等代数 式的概念和运算。因为字母表示数

,所

以代数式的运算也就是含有字母符号的 算式之间的运算

,实

际上就是用实数的运算律对这些符号进行运算。

请你带着下面的问题

,复

习一下全章的内容吧。

l。 当￡是怎样的实数时,√

t在

实数范围内有意义?

2.什 么叫最简二次根式

?你

能举 出一些最简二次根式的例子吗?

3.请 你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则。

结

二 次 根

二次根式 的加减

18 第十六章 二次根式

吲 耳

^;

2,化简^:

(l)^ˇ//500;

⑶潺

^;

(5) ^ˇ//2r2丿3;

3.计 算^:

⑴防一 旷引 晤 ^+㈤

^;

(3)(‰_厅

+沉

×纨厅一硕0;

复 习巩 固

1,当 r是怎样的实数时,下列各式在 实数范围内有意义?

⑴厢 ; _⑵历手玎

^;

(5)(‰厄+弘^厅)2;

4.正方形 的边 长 为 夕cm, 求 伤的值 。

综合运 用

⑷浑

^;

⑹樗

⑵Ⅳ两赠÷湎

^;

⑹ (舻 孓河

⁾¹

已知 岔

=褥 -1,求

代数 式

J2+5J-6的

值^.

已知J=2一溽 ,求代数 式(7+4√ 了)J2+(2+褥 )J+溽 ^自勺值^,

电流通过导线时会产生热量,电流 Ⅰ^(单位 :A)、 导线 电阻

R(单

位:Ω)、 通 电 时间r(单位:s)与产 生的热量

Q(单

^位:J)满足

Q=r巛

^{扌.已知 导线的 电阻为}

5Ω

,1s时

间导线产生30J的热量,求电流r的值 ^(结果保 留小数 点后 两位^)。

拓 广 探 索

8,已 知 ″是正整数,√^/189″ 是整数,求″的最小值。

9.(1)把一个圆心为_`点

O,半

径为r的圆的面积四等分.请_{你尽可能多地设想各种}

(4)

它的面积 与长为 96cm、 宽为12cm的长方形的面积相等。

1 (贯-1)2

分 割 方 法^.

第十六章 二 次根式 19

如 图,以点O为 圆心的三个 同心 圆把 以^o⒋ 为半径 的大 圆O的 面积 四等分^. 求这三个 圆的半径

OB,∝ ,OD的

长。

(第 9(2)题)

你 能看 出其 中的规律吗?用 字母表 示

20 第十六章 二次根式

第十七章 ^勾股定理

章前 图中左侧 的 图案是 2O02年 在 北京 召开的 国际数 学 家大会 的会徽 ,它 与数 学 中著 名 的 勾股 定理有着密切 关 系。

在我 国古代 ,人 们 将 直 角三 角形 中短 的直 角 边叫做 勾 ,长 的直角边叫做 股 ,斜 边叫做 弦。根据 我 国古代 数 学 书 《周 髀算 经 》记 载 ,在 约公 元 前 11OO年 ,人 ^{们就 已经知道} ,如 果 勾是 三、股是 四

^,

那么弦是五。后 来人 们进 一步发现 并证 明 了关于直 角三 角形 三 边之 间的 关 系 —— 两条直 角边的平方 和等于斜边的平方 ,这 就是 勾股定理。

本章我们将探 索并证 明勾股定理及其逆定理

^,

并运 用这 两个定理去解决有 关 问题。由此可 以加 深

对直角三 角形的认识。

17.1勾 _股定理

相传

2500多

_年前

,毕

_{达哥拉斯有一次在朋友}

家作客时

,发

现朋友家用砖铺成的地面图案反映了 直角三角形三边的某种数量关系。我们也来观察一 下地面的图案 ^{(图 17。}

11),看

_{看能从 中发现什么}

数量关系。

毕达哥拉斯 ^(P皿hcagolcas,约前 5⒛一 约前 ∞ω,古希腊著名 的 哲学家 、数学家 、天文学家^.

等腰直角三角形 的三边

图^17。 ⒈1

思 考

图

17.12中

三个正方形的面积有什么关系^? 之间有什么关系?

图 17.⒈²

可以发现

,以

等腰直角三角形两直角边为边长 的小正方形的面积的和

,等

于以斜边为边长的大正方 形的面积。即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊 的关系:斜边的平方等于两直角边的平方和^.

22 第十七章 勾股定理

看 似 平 淡 无 奇 的 现 象有 时却 蕴 涵 着 深 刻的道理^.

探究

等腰直 角 三角形 有 上述 性质^, 其他 的直 角 三角形 也 有这 个 性质 吗

?图

^17.1-3中

,每

个 小 方格 的 面积均为

1,请

_{分别算 出图中正方}

形

A,B,C,A′

,B′ ,C′ 的面积^, 看看能得 出什 么结论。 ^(提示

:以

斜边为边长 的正方形 的面积

,等

于 某个正方形的面积减去

4个

_直角三 角形的面积。⁾

图 17.⒈³

由上面的几个例子

,我

们猜想 ^{(图 17。} ⒈4):

命题

1

如果直角三角形的两条直角边长分别为 “^q宀・斜边长为

f,那

么 '爿

一/,2=t 。

图 17,⒈⁴

证明命题 1的方法有很多

,下

面介绍我 国古 人赵爽的证法。

如图^17。 ⒈

5,这

个图案是

3世

_{纪我 国汉代 的} 赵爽在注解 《周髀算经 》时给 出的

,人

们称它为

“赵爽弦 图”。赵爽根据此 图指 出

:四

个全 等 的直 角三角形 ^(红色

)可

以如 图围成一个 大正方形^,

中空的部分是一个小正方形 ^(黄色^)。

赵爽利用 弦 图证 明命题 1的_{基本思路 如下}:

如图

17.16(1),把

边 长 为 α,乙 的两个 正 方 形

图 17.⒈⁵

赵 爽 指 出:按 弦

图,叉 可 以 勾 股 相 乘 为 朱 实二,倍之 为 朱 实四,以勾股之 差 自相 乘 为 中黄 实。加 差 实^, 亦成 弦实^.

第十七章 勾股定理 23

连在一起

,它

的面积是 Ω

2+32;另

_一方面

,这

个 图形可分割成 四个全等的直 角三角形 ^(红色

)和

一个正方形 ^(黄色^)。 把 图^17.⒈

6(D中

_{左 、右两个三角}

形移到图

17.10(2)中

_{所 示 的位 置}

,就

会 形 成 一 个 以

c为

_{边 长 的正 方 形}

(图 17.16(3))。 因为 图 17.1-6(1)与 图 ^17.⒈6(3)都 由四个全等 的直角三 角形 ^(红色

)和

一 个 正方 形 ^(黄色

)组

成

,所

以它们 的面 积相 等。因此^, 曰^2+乙2=c2。

(1) (2)

图^17。⒈6

这样我们就证实 了命题 1的_正确性

,命

题 ¹ 与直角三角形 的边有关

,我

国把它称为勾股定理

(Pythagoras theorelm)。

“赵爽弦图”

通过对图形 的切割、拼接

,巧

妙 地利用面积关系证 明了勾股定理

,它

表现 了我 国 古人对数学 的钻研精神和聪 明才智

,是

我 国古代 数学的骄傲。因此 ,这 个 图案 ^{(图 17。} ⒈

5)被

选为 20O2年 在北京召开的国际数学家大会的会徽。

赵 爽 所 用 的 这 种 方 法 是 我 国 古 代 数 学 家常 用 的 “

出入 相 补 法”。在 西方,人们 称 勾股 定 理 为 毕 达 哥 拉 斯定理。

'⑾

设直角三 角形的两条直 角边长分别为 夕和3,斜边 长为^c,

(1)已_{知 Ω}

=6,c=10,求

乙;

(2)已_{知 夕}

=5,3=12,求

c;

(3)已_知

c=25,b=15,求

￠。

如 图,图 中所有 的三 角形都是 直 角三 角形,四边形 都是正方形.已知正方形

A,B,C,D的

边长分别

是

12,16,9,12,求

_{最大正方形}E的面积^{. (第 2题)}

24 第十七章 勾股定理

勾股定理有广泛应用

,下

面我们用它解决几个问题。

例

1

一个 门框 的尺寸如 图 ^17。 ⒈

7所

_示

,一

块 长

3m,宽 2.2m的

长方形薄木板能否从 门框 内通 过

?为

什么?

分析

:可

以看 出

,木

板横着或竖着都不能从 门框 内通过,只 能试试斜着能否通过。门框对角线

AC的

长度是斜着能通过的最大长度。求 出

AC,再

_与木板

的宽比较

,就

能知道木板能否通过。

解

:在

^Rt△

ABC中 ,根

据勾股定理^,

AC2=AB2+BC2=12+22=5。

AC=、厅≈^2。 ⒛。

因为

AC大

_{于木板 的宽}

2.2m,所

_{以木板能从 门}

框 内通过。

例

2

如 图 17.⒈

8,一

架

2.6m长

_{的梯 子}

AB斜

靠在一 竖直 的墙

AO上 ,这

时

AO为

2.4m。 如果 梯 子 的顶 端

A沿

_{墙 下 滑}

0.5m,那

_{么梯 子 底 端}

B也

_外

移

0.5m吗

?

解

:可

以看 出

,BD=OD—

^OB。

在

RtAAoB中 _,根

_{据勾 股定理},

OB2=AB2—

OA2=2.62-2。 ^42=1。

α =√t=1。

在 Rt△

COD中 ,根

据勾 股定 理^,

OD2=CD2—

OC2=2.62一 ^(2。 4-0,5)2=3.15。

OD=√

^′3.15≈1.77,

BD=oD— OB≈

1.77-1=0.77。

所 以梯 子 的顶 端 沿 墙 下 滑

0.5m时 _,梯

_{子 底 端}

并不是 也外 移

O.5m,而

是外 移 约 O.77m。

日

㈧

lm 图^17。⒈7

图 17.⒈8

D

⒕

C

刀

第十七章 勾股定理 25

1

2

(第 1题)

如 图,在平面直 角坐标 系中有 两^J点A(5,

(第 2题)

0)和 B(0,0。 求这 两^j点之 间的距 离。

思考

在八年级上册 中我们 曾经通过画图得到结论

:斜

边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等。学习了勾股定理后

,你

能证 明这一结论吗^?

先画出图形

,再

写出已知 、求证如下^:

已知:如图^r。 ⒈

9,在 RtAABC和 RtAA臼

℃′ 中^,

zC=zC'=gO° ,AB=A臼

^','℃

=A℃

1

求证

:△ ABC≌

△

A勹

℃′

。

证 明

:在 RtAABC和

RtAA'B'C′ _中

,zC=

zC'=90°

,根

据勾股定理

,得

BC=√

⒕B2一

Ac2,B℃

^′=√⒕

z'2_A℃

^'2。

又

AB=Az′ ,Ac=A'C′

^,

r。

Bc=B'c′

。

∴ △

ABC≌

△

A勹

℃'(sss)。

我们知道数轴上的点有的表示有理数

,有

的表示无理数

,你

能在数轴 上画出表示

/Π

的点吗?

26 第十七章 勾股定理 探 究

如图,池塘边有两点A, BC=60m,AC=20⒒

B,点

C是与

BA方

向成直 角的

AC方

_向上一点,测得 求

A,B两

・点间的距 离 ^(结果取整数^)。

如果能画出长为汀 的线段

,就

_{能在数轴上画出表示}

/Π

的点。容易知道^, 长为混 的线段是两条直角边的长都为^1的直角三角形的斜边。长为泸丙的线段 能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗^?

利用勾股定理

,可

以发现

,直

角边 的长为正 整数

2,3的

直 角三角形 的斜边 长 为

/Π

。由此^, 可以依照如下方法在数轴上画出表示√π 的点。

如图^17。 ⒈

10,在

_{数轴上找出表示} 3的点

A,

则

OA=3,过

点

A作

_{直线 J垂 直于}

OA,在

J上 取 点

B,使 AB=2,以

原点

O为

圆心

,以 OB为

半 径作弧

,弧

与数轴的交点

C即

为表示

/丙

的点。

类似地

,利

用勾股定理

,可

以作出长为沔

,雨 ,福

^, 按照同样 方 法

,可

以在 数 轴 上 画 出表 示 汀

,萜

^,

(逐彐^17.1-12)。

图 17,⒈¹⁰

…的线段 ^(图 溽

,洒 ,溽

^,

17.1-11)。

・…的 点

图 17.⒈¹²

1.在数轴上作 出表示√t7的J点。 2.如_图,等边三角形的边长是 6.求:

(1)高

AD的

长;

(2)这_{个三 角形的面积。}

第十七章 勾股定理 27

复 习 巩 固

1.设直角三角形的两条直角边长分别为 Ω和3,斜_边长为^c。

(1)已_{知 夕}=12,乙

=5,求

c;

(2)已_{知 夕}

=3,c=4,求

8;

(3)已_知c=10,乙

=9,求

Ω。

2.一木杆在 离地面

3m处

折断,木杆 顶端落在 离木杆底端

4m处

。木杆折断之前有多高?

A

3.如图,一个 圆锥 的高AO=2。 4,底面半径 OB=0.7。

AB的

长是 多少?

4.已知长方形零件尺寸 ^(单位

:mω

如 图,求两孔 中心的距 离 ^(结果保 留小数^J点后一 位)。

(第4题)

5.如图,要从 电线杆 离地 面

5m处

_{向地 面拉 一条长为}

7m

点

A到

_{电线杆底部}B的距 离 ^(结果保 留小数 点后 一位^)。

6.在数 轴上作 出表示√厄0的 丿点。

综 合 运 用

7.在△沮BC中 ,ZC=90° ,AB=c。

(1)如_果ZA=30° ,求

BC,AC;

(2)如_果ZA=45° ,求

BC,AC.

8.在尘沮BC中 ,ZC=90°

,AC=2.1,BC=2.8.求

^:

28 第十七章 勾股定理

(第 5题)

的钢 缆。求地 面钢 缆 固定

(第 2题) (第3题)

(1)△

ABC的

面积;

(2)斜_边AB;

(3)高 _CD.

9.已知 一 个三 角形 工件 尺 寸 ^(单位

:mm)如

图,计算 高 氵的长 ^(结果取 整数^).

10.

(第 9题) (第 10题)

有 一 个 水 池,水面是 一 个边 长为 10尺的正 方 形,

在水池正 中央有一根 芦苇,它高出水面1尺.如果把 这根芦苇拉向水池一边的中_`点,它的顶端恰好到达池 边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少^?

如 图,在 ^Rt△ABC中 ,zC=90° ,zA=30° ,AC=2。

这是 我 国古代数 学 著作 《九章 算 术 》 中的 一 个 问题。原 文 是:今

有池 方 一 丈,葭生其 中 央,出 _{水 一 尺}.引 葭赴 岸,适与岸 齐。问水深、

葭长各几何,(丈、尺是 长 度 单 位

,1丈 =

10丿艮.)

求斜边

AB的

长^,

(第 11题) (第 12题)

12.有 5个边长为 1的 正方形,排列形式如图。请把它们分割后拼接成一个大正方形^, 拓广 探 索

13,如 图,分别以等腰R￠_{盟∞ 的边'ω}

,'C,∞

为直径画半圆,求证:所得两个月形 图案A∝

E和

引叹F自勺面积之和 ^(图中阴影部分)等于

Rˉ

⒋

V的

面积^,

(第 13题)

如 图,△

ACB和

_△

ECD都

是 等腰 直 角 三 角 形^, 边

DE上

.求证

:AE2+AD2=2AC2.(提

示:

(第 14题)

△ACB的 顶J点 A在 △ECD的 _斜

连 接 BD,)

14~

第十七章 勾股定理 29

勾股定理 的证 明

2000多_年来,人们对勾股定理 的证 明颇感 兴趣。不但 因为这个定理 重要、基本,还

因为这个定理贴近人们 的生活实际.以_{至于古往今来},下至平 民百姓,上至帝王 总统都愿 意探讨 、研 究它的证 明,新的证法不 断 出现。下面介绍几种用来证 明勾股定理 的图形,你

能根据这 些 图形及提 示证 明勾股定理吗?

1.传 说 中毕达哥拉斯 的证法 ^(图

D

提 示:(1)中拼成 的正方形 与 (2)中 拼成 的正方形面积相等。

图¹

2,弦 图的另一种证法 ^{(图 2)}

提 示:以斜边为边长 的正方形 的面积

+4个

三角形 的面积=外正方形 的面积^,

图²

3,美国第 ⒛ 任总统詹姆斯 ・加菲尔德的证法 提示:3个三角形的面积之和=梯形的面积^,

(图 3)

30 第十七章 勾股定理

17.2勾 股定理的逆定理

据说

,古

埃及人用图

17.21的

_{方法画直角}

:把

一根长绳打上等距离的¹³ 个结

,然

后以3个_{结间距 、}

4个

_{结间距 、}5个_{结间距 的长度为边长}

,用

木桩钉 成一个三角形

,其

中一个角便是直角。

∷氵

"秘

相 传,我 ^{国 古 代}

大 禹治 水 测 量 工 程 时^, 也 用 类 似 方 法 确 定 直 角。

(5) (6) (7)

图17.21

这个问题意味着

,如

果 围成的三角形的三边长分别为

3,4,5,它

们满足 关系 “32+42=52” _,刀阝么围成的三角形是直角三角形^.

画画看

,如

果三角形的三边长分别为

2.5cm,6cm,6.5cm,它

们满足 关系 “2.52+62=6.52”

,画

出 的三角形是直角三角形 吗

?换

成 三边分别 为 吐

cm,7.5cm,8.5cm,再

试一试^.

由上面的几个例子

,我

们猜想^:

命题

2

如果三角形的三边长 “^.宀

,c满

足 α2+′

=r9那

么这个三角形 是直角三角形^,

我们看到

,命

题

2与

_{上节 的命题} 1的_{题设 、} 结论正好相反。我们把像这样 的两个命题 叫做互 逆命题。如果把其 中一个 叫做 原命题

,那

么另一 个叫做它的逆命题。例如

,如

_果把命题 1当_成原 命题

,那

_么命题

2是

_命题 1的_{逆命题。上节 已证} 明命题 1正 确

,能

证明命题2正_确吗?

在 图 17.2-2(l)中

,已

知△

ABC的

_三边长

分别 为 Ω^,抄

,c,且

满 足 Ω2+乙

2=c2,要

_证

△

ABC一

定是直角三角形。我们可 以先画一个两

命 题 ^1、 命 题 2的题 设 、 结 论 分 别是 什 么?

第十七章 勾股定理 31