AD处 。
汽车行驶 ⒛ 0km时 9油 箱 中还有 30L汽 油 。
像
y=∞
-0。h这
样,用
关于 自变量的数学式子表示函数与 自变量之间的关 系,是
描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式 (and”c expressiOn).下列 问题 中哪 些量是 自变量?哪些量是 自变量 的 函数?试写 出函数 的解析 式。
(1)改变正 方形 的边 长
=,正
方形 的 面积S随之 改 变。(2)每分 向一 水 池 注水0.1m3,注水 量 丿 (单位
:m3)随
注 水 时 间J(单
位:min)的变化 而变化。
(3)秀水村 的耕 地 面积是 106m2,这个村人 均 占有 耕 地 面积
y(单
位:m2)随
这 个村人 数 ″的 变化 而 变化 。
(4)水池 中有 水
10L,此
后 每 小 时 漏 水0,05L,水池 中的水 量V(单
位:L)随 时 间 彦(单位
:h)的
变化 而 变化 。74 第十九章 一次函数
2,梯形 的上底 长
2cm,高 3cm,下
底 长J cm大于上底 长但 不超过5cm.写 出梯 形 面积S关于 ￡的函数解析式及 自变量J的取值 范围,19.1.2
函数 的 图 象有些问题 中的函数关系很难列式子表示
,但
是可以用图来直观地反映,例
如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系。即使对于能列式表示 的函 数关系
,如
果也能画图表示,那
么会使函数关系更直观。例如
,正
方形的面积S与
边长J的
函数解析式为S=`。
根据问题 的实际 意义,可
知 自变量J的
取值范围是￡>0。 我们还可以利用在坐标系中画图的方 法来表示S与 r的
关系。'计算并填写表19刂。
表 19-s
J 00.511.522.533,54 S 0 0,25 1
如图
19.13,在
直角坐标系中,画
出上面表 格中各对数值所对应 的点,然
后连接这些点。所 得曲线上每一个点都代表J的
值与S的
值 的一种对应
,例
如点(2,4)表
示 当r=2时
,S=4。自变量r的一 个确 定 的值 与 它 所 对应 的 唯 一 的 函数 值 S,是否 确 定 了 一个J点 CJr,S)呢?
i●:
表 示J与 S的 对 应 关 系的`点有 无 数 个。
但 是 实 际上 我 们 只 能 描 出 其 中 有 限 个 点,
同时 想 象 出其 他 点 的 位置,
用空心圈表示 不在 曲线的点
1234
图 19.⒈3
第十九 章 一次 函数 75
一般地
,对
于一个 函数,如
果把 自变量与 函 数的每对对应值分别作为点 的横 、纵坐标,那
么 坐标平面内由这些点组成 的图形,就
是这个 函数 的冈象 (grap⑴ 。图19.1七 的曲线即函数S=茁
2(J)ω
的图象。
普
通过 图象可 以数 形 结合地研 究 函数,
IⅡ灬 思考
图19。 l吐 是 自动测温仪记录的图象,它 反映了北京的春季某天气温
T如
何随时间莎的变化而变化。你从图象中得到了哪些信息?如有条件,你可 以 用带有温度探 头的计算 机 (器),测 量 、记 录 温度,并绘制表 示温度 变化的图象.
图19.⒈ 4
可以认为
,气
温T是
时间 莎的函数,图
19。 ⒈4是
这个 函数 的图象。由图 象可知:(1)这
一天中凌晨4时气温最低(-3℃ ),14时
气温最高 (8℃ )。(2)从
0时至4时气温呈下降状态 (即温度随时间的增长而下降),从
4时到 14时 气温呈上升状态
,从
l4时 至 24时 气温又呈下降状态。(3)我
们可以从图象 中看出这一天 中任一时刻的气温大约是多少。臼
|2
如 图 19.1巧 所示,小
明家 、 食堂、图书馆在 同一条直线上。小 明从 家去食堂吃早餐,接
着去 图书馆读报, 然后 回家 图19.16反
映 了这 个过 程 中,小
明离家的距离 丿与时间J之
间的 对应关系。76 第十九章 一次函数
食堂 图19,⒈5
小 明家 图书馆
o 8 2528 58 68 豸/min
图19.⒈6
根据图象回答下列问题:
(1)食
堂离小明家多远?小
明从家到食堂用了多少时间?(2)小
明吃早餐用了多少时间?(3)食
堂离图书馆多远?小
明从食堂到图书馆用了多少时问?(4)小
明读报用了多少时间?(5)图书馆离小明家多远
?小
明从图书馆回家的平均速度是多少?兮析:小 明离家的距离 γ是 时间
J的
函数.由 图象 中有两段平行于J轴
的线段可知
,小
明离家后有两段时间先后停 留在食堂与图书馆里。解
:(1)由
纵坐标看 出,食
堂离小 明家0.6km;由
横坐标看 出,小
明从 家到食堂用了 8mh。(2)由横坐标看 出
,25-8=17,小
明吃早餐用了17min。(3)由纵坐标看出
,0.8-0.6=0.2,食
堂离图书馆O。2km;由
横坐标看出
,28-25=3,小
明从食堂到图书馆用了3min。(4)由横坐标看出
,58-28=30,小
明读报用了 30mh。(5)由纵坐标看出
,图
书馆离小 明家0.8km;由
横坐标看 出,68-58=
10,小
明从 图书馆 回家用了10min,由
此算出平均速度是O.08km/min。例
3
在下列式子 中,对
于J的
每一个确定 的值,丿 有唯一的对应值,即 y是 J的
函数。画出这些函数的图象:(1)γ =△+0.5; (2) ty=菇; 0>0)・
解
:(1)从
式子 丿=J+0.5可
以看出,茁 取任意实数时这个式子都有意 义,所
以J的
取值范围是全体实数.从 ￡的取值范围中选取一些数值
,算
出y的
对应值,列
表 (计算并填写 表19-吐 中空格)。第十九章 一次函数 77
表 ⒚叫
根据表中数值描点
(c,y),并
用平滑曲线连接这些点 (图 19.1彳)。图19。⒈7
从函数图象可以看出
,直
线从左向右上升, O.5随 之增大。(2)【
y=号
(J>>O)・
列表 (计算并填写表 19-5中 空格)。
即当
J由
小变大时,丿=J+
根据表中数值描点
(J,y),并
用平滑曲线连接这些点 (图 19.1-8)。''尸
~~-ˉ ~`、
你 画 出的 图 象 与 图 19.⒈7相 同 吗?
表 19ˉ5
你 画 出的 图 象 19.1-8相 同
78 第十九章 一次函数
从函数图象可以看 出
,曲
线从左 向右下 降,即
当J由
小变大时,(￡
>0)随
之减小,归纳
描点法画函数 图象的一般步骤如下:
第一步,列 表——表 中给 出一些 自变量的值及其对应的函数值;
第二步
,描
点——在直角坐标系中,以 自变量的值为横坐标,相
应的 函数值为纵坐标,描
出表格 中数值对应的各点;第三步
,连
线——按照横坐标 由小到大的顺序,把
所描 出的各点用平 滑 曲线连接起来。1.(1)画 出函数
y=2=-1的
图象;(2)判断】点
A(-2.5,-4),B(1,3),C(2.5,4)是
否在 函数 丿=h-1
图象上.
2.如图是 某一天北京与上海的气温随时间变化 的图象。
(1)这一天 内,上海与北京何 时气温相 同?
(2)这一天 内,上海在 哪段 时 间比北京 气温 高?
在 哪段 时 间比北京 气温低?
3.(1)画 出函数 γ
=/的
图象。(2)从图象 中观 察,当 贸
(0时
,丿 随 茁 的增 大 而增 大,还是 丿 随 品 的 增 大 而 减 小?当、
r)0时
呢?6~J
〓
γ
(第 2题)
由上可知
,写
出函数解析式,或
者列表格,或
者画函数图象,都
可以表示 具体的函数。这三种表示函数的方法,分
别称为解析式法 、列表法和图象法。思考
从前面的例子看
,你
认为三种表示函数的方法各有什么优点?表示函数时
,要
根据具体情况选择适当的方法,有
时为全面地认识 问题, 需要同时使用几种方法。第十九章 一次函数 79
Ⅱ
i
一个水库的水位在最近5h内
持续上涨。表 19咱 记录了这5h内
6个时间点的水位高度
,其
中 莎表示时间,y表
示水位高度。昂艮I9-6 1 2 莎
/h
丿
/m
3 3.9
5
4.5 0
3
4 4.2
图19,⒈9
(1)在
平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这
些点是否在一条直线 上?由
此你能发现水位变化有什么规律吗?(2)水
位高度 丿是否为时间 莎的函数?如
果是,试
写出一个符合表中数据 的函数解析式,并
画出这个 函数的图象。这个函数能表示水位的变化规律吗?(3)据
估计这种上涨规律还会持续2h,预
测再过2h水
位高度将为多少米。∷
| (1)如
图19.19,描
出表19咱 中 数据对应 的点。可 以看 出,这 6个
点在一 条直线上。再结合表 中数据,可
以发现每 小时水位上升 0.3m。 由此猜想,如
果 画 出这5h内
其他时刻 (如 ∠=2.5h等 )及
其水位高度所对应 的点
,它
们可能也在这 条直线上,即
在这个时间段 中水位可能是 始终以同一速度均匀上升的。(2)由 于水位在最近
5h内
持续上涨,对于时间 彦的每一个确定 的值
,水
位高度 丿都有唯一 的值与其对应,所
以 丿是 莎的 函数。开始时水位高度为3m,以
后每小 时水位上升0.3m。 函数y=0.3莎
+3(0≤
莎≤5)是符合表 中数据的一个 函数
,它
表示经过 莎h水位上升0.3彦m,即
水位 丿为 (0.3莎+
3)m。 其 图象是 图
19.110中
点A(0,3)
和点
B(5,4.5)之
间的线段AB。如果在这
5h内 ,水
位一直匀速上升, 即升速为O。3m/h,那
么 函数y=0・ 3彦+3
(0≤莎≤
5)就
精确地表示 了这种变化规律。即使在这